Исследование применимости CES-функций для описания процессов сельскохозяйственного производства Текст научной статьи по специальности «Прочие сельскохозяйственные науки»

ххжжхжжхжэкономика и управление народным хозяйством^ХХЖХЖХХХ

08.00.05 ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ НАРОДНЫМ ХОЗЯЙСТВОМ

Научная статья УДК 330.356.7

DOI: 10.24412/2227-9407-2022-9-65-83

Исследование применимости СЕ8-функций для описания процессов сельскохозяйственного производства

Артем Дмитриевич Черемухин113, Георгий Васильевич Груздев2

12 Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Княгинино, Россия

1 еи.скегетиЫп@уа^ех.гим, НПр8://огс1й.org/0000-0003-4076-5916

2 izogor242@mail. ги

Аннотация

Введение. Оригинальная статья ставит своей целью изучение вопроса о применимости CES-вида производственных функций для описания процесса сельскохозяйственного производства на уровне совокупности сельскохозяйственных организаций на примере данных по Нижегородской области.

Материалы и методы. Приводится краткий обзор современных зарубежных исследований в части применения CES-функций, рассматривается вопрос о добавлении неклассических факторов производства в модель, рассматриваются некоторые методологические вопросы, в частности вопросы нормализации данных, математических алгоритмов оценки параметров производственной функции. Описывается план исследования, состав рассматриваемых факторов.

Результаты. Построены 35 различных двух-, трех- и четырехфакторных CES-моделей отдельно для организаций, занимающихся выпуском только продукции растениеводства, отдельно для занимающихся выпуском только продукции животноводства и отдельно для организаций, занятых производством продукции обеих отраслей. По каждой модели оценена значимость полученных статистических коэффициентов. Для модели, описывающей процесс производства продукции растениеводства, со всеми значимыми параметрами построено соответствующее уравнение и сделаны содержательные выводы. Отмечено, что не удалось подобрать достоверную и адекватную CES-функцию для организаций, занятых производством продукции животноводства и для организаций, занятых производством продукции обеих отраслей.

Обсуждение. Подведены итоги исследования. Сделаны выводы о применимости классических CES-функций для описания процесса производства. Выдвинуты предложения о путях изменения уравнения CES-функций для повышения точности аппроксимации, в частности, обоснована необходимость разработки модифицированных форм CES-функции с эластичностью замещения, зависящей от количества и соотношения ресурсов. Заключение. Предложены дальнейшие направления развития исследований.

Ключевые слова: достоверность модели, животноводство, земля, капитал, производственная функция, растениеводство, труд, условное поголовье, эластичность замещения, CES-функция

Для цитирования: Черемухин А. Д., Груздев Г. В. Исследование применимости ces-функций для описания процессов сельскохозяйственного производства // Вестник НГИЭИ. 2022. № 9 (136). С. 65-83. DOI: 10.24412/2227-9407-2022-9-65-83

(© Черемухин А. Д., Груздев Г. В., 2022

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License. The content is available under Creative Commons Attribution 4.0 License.

65

xxxxxxxxxxeconomics and national economymanagementxxxжxжxжжxш Study of applicability of CES-functions for describing agricultural production

Artem D. CheremuhinGeorgy V. Gruzdev2

12 Nizhny Novgorod State University of Engineering and Economics, Knyaginino, Russia

1 ngieu.cheremuhin@yandex.ru, https://orcid.org/0000-0003-4076-5916

2 izogor242@mail.ru

Abstract

Introduction. The original article aims to study the applicability of the CES-type of production functions to describe the process of agricultural production at the level of the population of agricultural organizations using the data for the Nizhny Novgorod region as an example.

Materials and methods. A brief overview of modern foreign research on the use of CES-functions is given, the issue of adding non-classical factors of production to the model is considered, some methodological issues are considered, in particular, the issues of data normalization, mathematical algorithms for estimating the parameters of the production function. The research plan, the composition of the considered factors is described.

Results. 35 different two-, three-, and four-factor CES models were built separately for organizations engaged in the production of only crop products, separately for those engaged in the production of only livestock products, and separately for organizations engaged in the production of products from both industries. For each model, the significance of the obtained statistical coefficients was evaluated. For a model that describes the process of crop production, with all significant parameters, an appropriate equation is constructed and meaningful conclusions are made. It is noted that it was not possible to select a reliable and adequate CES function for organizations engaged in the production of livestock products and for organizations engaged in the production of products of both industries.

Discussion. The results of the study are summed up. Conclusions are drawn about the applicability of classical CES functions to describe the production process. Suggestions are made on ways to change the equation of CES functions to improve the approximation accuracy, in particular, the need to develop modified forms of the CES function with substitution elasticity depending on the amount and ratio of resources is substantiated. Conclusion. Further directions of research development are proposed.

Keywords: production function, grain production, capital, labor, land, factors of production, elasticity, marginal rate for damage, Gauss-Markov conditions, model evaluation

For citation: Cheremuhin A. D.. Gruzdev G. V. Study of applicability of CES-functions for describing agricultural production // Bulletin NGIEI. 2022. № 9 (136). P. 65-83. (In Russ.). DOI: 10.24412/2227-9407-2022-9-65-83

Введение

Данная работа продолжает серию исследований, посвященных применению производственных функций для описания процессов сельскохозяйственного производства. Прошлые статьи были посвящены применению моделей типа Кобба-Дугласа. Текущее же исследование посвящено возможности применения производственных функций с постоянной эластичностью замещения (CES-функции), которые обладают большими аналитическими возможностями.

За последние несколько лет в мировой научной литературе появилось много исследований по применению CES-функций:

- была разработана теоретическая основа для изучения с помощью ПФ (производственных функций) технических изменений, основанных на энер-

гетике (капитал, труд и земля выступают в качестве ресурсов) [1];

- ПФ применялась для разработки вычислительного метода для оценки коэффициента экономического вклада талантливых людей [2];

- ПФ была построена для гражданской авиации Китая, с помощью чего были рассчитаны вклады разных экономических ресурсов [3];

- множество работ при применении производственных функций для анализа экономик стран использовали три экономических ресурса - капитал, труд и энергию в трехвходной функции [4; 5; 6; 7; 8];

Целью нашей работы является анализ применимости CES-функций с разным составом факторов и порядком их вложенности для анализа процесса сельскохозяйственного производства на уровне совокупности отдельных сельскохозяйственных организаций.

экономика и управление народным хозяйством]

Материалы и методы

Большое количество исследований в области CES-функций тем не менее не решило все методические и методологические вопросы. Первым из них является выбор состава факторов производства. В последнее время при исследовании экономики в целом к двум традиционным факторам производства (труд и капитал) добавляют энергию [9; 10; 11]. Применение данного подхода для решения поставленной задачи, по мнению автора, некорректно из-за специфики сельскохозяйственного производства. Опыт предыдущих исследований показывает, что для отрасли сельского хозяйства наиболее эффективным является включение в состав факторов производства естественных ресурсов сельскохозяйственного производства - земли (измеряется в га пахотных земель) и скота (измеряется в условном поголовье). Методологически правильным считается также обособленное выявление законов по отраслям - отдельно рассматриваются группы организаций, занимающихся только животноводством, только растениеводством или и тем, и тем.

Также важным является вопрос о нормализации данных. В [12] указано, что эффективность оценки параметров зависит от единиц, в которых измеряются, единица измерений. В этом же исследовании предложено использовать нормализацию данных, однако в работе [13] указано, что использование неправильных методов и приемов нормализации также ведет к получению ошибочных параметров модели. Авторы считают, что при использовании оригинальных значений полученные оценки коэффициентов имеют больший содержательный смысл.

Ключевым является вопрос техники оценки параметров моделей. Существуют три [14] основных способа оценки коэффициентов модели: через линеаризацию, с использованием модификаций МНК и с использованием разных нелинейных алгоритмов. Применение способа линеаризации в исследуемом случае невозможно из-за рассмотрения моделей, в которых эластичность является зависимой перемен-

ной, использование метода наименьших квадратов неоправданно из-за смещенности его оценок при невыполнении условий Гаусса-Маркова. Кроме того, в большинстве статей применяются различные оптимизационные алгоритмы для получения оценок коэффициентов: китайскими учеными применялся метод «роя светлячков» [15; 16], в научных работах встречается и применение байесовских подходов [17], модифицированные алгоритмы роя [18; 19; 20; 21; 22]. Авторы полагают, что решение, предложенное в исследовании [10], заключающееся в использовании пакета micEconCES [23], является наиболее оптимальным и соответствующим целям данного исследования.

Различия базовых отраслей сельскохозяйственного производства вынуждают строить отдельные производственные функции для организаций, занимающихся только растениеводством, только животноводством или обеими отраслями. В качестве интегрального показателя было принято решение использовать общую величину выручки сельскохозяйственной организации, в качестве независимых переменных - общую стоимость основных средств (К), общее количество работников (Ц), общую посевную площадь (Т), общее количество условных голов скота

Схема анализа подразумевает проверку статистической значимости коэффициентов CES-модели с разным составом факторов. В случае, если все коэффициенты статистически значимы, происходит содержательный анализ полученной модели. Уровень значимости коэффициентов примем на уровне 0.05. Строятся разные (двух-, трех- и четырехфак-торные) модели, причем в скобках записываются обозначения факторов нижнего уровня, за скобками - факторов внешнего уровня.

Для расчетов использовалась база отчетности сельскохозяйственных организаций Нижегородской области за 2007-2020 гг.

Результаты

Всего было построено более 30 моделей. Их характеристики представлены в таблицах 1-35.

Таблица 1. Показатели качества производственной функции растениеводства вида (KL) Table 1. Quality indicators of the production function of crop production of the species (KL)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value

р-значение / p-value

Gamma

Delta

Rho

0.234 0.982 -1.45 0.317 -2.23

XXXXXXXXXXeconomics and national economymanagementXXXЖXЖXЖЖXш

Все коэффициенты построенной CES- значимы, что говорит об ошибочности выбора фак-функции выпуска продукции растениеводства не- торов.

Таблица 2. Показатели качества производственной функции растениеводства вида (KT) Table 2. Quality indicators of the production function of crop production of the species (KT)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

Delta

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены / Elasticity of replacement Источник: составлено авторами на основании расчетов

0.6897 0.9845 0.7402 0.553 0.5746

< 2e-16

< 2e-16 4.6e-06

<2e-16

Все коэффициенты построенной CES-функции выпуска продукции растениеводства с единичной отдачей от масштаба значимы, что говорит о выборе верной комбинации факторов. Уравнение можно записать в виде У = 0.6897 ■ (0.9845^-°-74 + 0.0155Г-074)-135. (1)

Оно показывает, что влияние капитала как ресурса производства более значимо, чем влияние труда, а эластичность замены капиталом труда равна 0.5746.

Проверим (таблица 3) гипотезу о влиянии времени на показатель продуктивности гамма.

Таблица 3. Показатели качества производственной функции растениеводства вида (KT) с учетом времени

Table 3. Quality indicators of the production function of crop production of the species (KT) with time

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma Lambda Delta Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены / Elasticity of replacement Источник: составлено авторами на основании расчетов

5.46e-43 0.0048 0.988 0.856 0.659 0.5389

0.93 8.1e-16

< 2e-16 4.4e-06

<2e-16

Анализ коэффициентов построенной модели показал, что значение коэффициента лямбда, обозначающего параметр экспоненциального роста продуктивности со временем, статистически значим, но коэффициент Gamma очень близок к 0 и статистически незначим, а значения остальных ко-

эффициентов незначительно отличаются от модели (1). Это позволяет сделать вывод о том, что гипотеза о наличии роста эффективности деятельности в отрасли растениеводства не может быть подтверждена, но и не может быть опровергнута и требует дополнительных исследований.

Таблица 4. Показатели качества производственной функции растениеводства вида (LT) Table 4. Quality indicators of the production function of crop production of the species (LT)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

Delta

Rho

20.8 8.73е-14 6.02 0.399 0.142

< 2e-16 0.96 0.18

0.12

ХХЖЖХЖЖХЖэкономика и управление народным хозяйством^ХХЖХЖХХХ

3 из 4 коэффициентов построенной CES- торов. Перейдем к оценке значимости трехфактор-функции выпуска продукции растениеводства не- ных моделей. значимы, что говорит об ошибочности выбора фак-

Таблица 5. Показатели качества производственной функции растениеводства вида (KL)T Table 5. Quality indicators of the production function of crop production of the species (KL)T

Коэффициент / Parameter

Значение / Value р-значение / p-value

Gamma

deltal

Delta

rhol

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

1.92e-7 5.42 1.00 -0.0719 0.794 0.599 1.0774

0.5574

0.98 0.81

< 2e-16 0.52

2.2e-06

< 2e-16

< 2e-16

В построенной трехфакторной CES-функции выпуска продукции растениеводства незначим коэффициент продуктивности Gamma, а также коэффициенты deltal и rhol, относящиеся к вложенной

части модели. Это может свидетельствовать о переусложнении модели и не позволяет содержательно интерпретировать соответствующие коэффициенты.

Таблица 6. Показатели качества производственной функции растениеводства вида (LT)K Table 6. Quality indicators of the production function of crop production of the species (LT)K

Коэффициент / Parameter

Значение / Value р-значение / p-value

Gamma

deltal

Delta

rhol

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

0.4888 -0.4291 0.1266 0.1622 0.233 0.5829 0.8605

0.811

6.4e-05 0.314 0.013 0.322 0.061

1.3e-12

< 2e-16

Трехфакторная модель, коэффициенты которой представлены в таблице 6, также неприменима, как и описанная таблицей 5: незначимы параметры вложенной части модели.

Модель, коэффициенты которой представлены в таблице 7, обладает только двумя значи-

мыми коэффициентами. Соответственно, все рассмотренные трехфакторные модели не могут быть использованы в качестве объясняющих для описания процесса производства продукции растениеводства. Перейдем к оценке моделей животноводства.

!economics and national economy management

Таблица 7. Показатели качества производственной функции растениеводства вида (TK)L Table 7. Quality indicators of the production function of crop production of the species (TK)L

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

delta1

Delta

rho1

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

185.00 0.0153 1.47e-32 0.732 -13.1 0.577 0.5772

-0.0827

0.00052 0.25237 0.99781 7.8e-05 0.83976

< 2e-16

0.85

Таблица 8. Показатели качества производственной функции животноводства вида (KL) Table 8. Quality indicators of the livestock production function of the species (KL)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

Delta

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены / Elasticity of replacement Источник: составлено авторами на основании расчетов

46.484 0.345 -0.174 0.897 1.21

0.74 0.62 0.64

0.027

Все коэффициенты построенной CES-функции выпуска продукции животноводства незначимы, что говорит об ошибочности выбора факторов.

2 из 3 коэффициентов построенной модели выпуска продукции животноводства незначимы, что говорит об ошибочности выбора факторов.

Таблица 9. Показатели качества производственной функции животноводства вида (KS) Table 9. Quality indicators of the livestock production function of the species (KS)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

Delta

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены / Elasticity of replacement Источник: составлено авторами на основании расчетов

31.7 1.68e-07

-3.8 0.9471 -0.357

<2e-16 0.97 0.54

0.65

Таблица 10. Показатели качества производственной функции животноводства вида (SL) Table 10. Quality indicators of the livestock production function of the species (SL)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

Delta

Rho

159.0 7.76e-07 -9.41 0.851 -0.119

0.73 1.00 0.99

0.99

экономика и управление народным хозяйством]

Все коэффициенты построенной CES-функции выпуска продукции животноводства незначимы, что говорит об ошибочности выбора факторов. Таким образом, все рассмотренные двухфак-

торные модели выпуска продукции животноводства не могут быть использованы для интерпретации соответствующих законов производства. Рассмотрим трехфакторные модели.

Таблица 11. Показатели качества производственной функции животноводства вида (KL)S Table 11. Quality indicators of the livestock production function of the species (KL)S

Коэффициент / Parameter Значение / Value p-значение / p-value

Gamma 31.7 <2e-16

deltal 0.602 1.00

Delta 6.59e-07 1.00

rhol -1.41 1.00

Rho -3.8 0.58

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / 0.9471 -2.427 1.00

Elasticity of substitution of internal factors

Эластичность замены внешнего комплекса факторов / -0.357 0.69

Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

Все основные коэффициенты модели, представленной в таблице 11, незначимы, что говорит об ошибочности выбора факторов.

Все основные коэффициенты модели, представленной в таблице 12, незначимы, что говорит об ошибочности выбора факторов.

Таблица 12. Показатели качества производственной функции животноводства вида (LS)K Table 12. Quality indicators of the livestock production function of the species (LS)K

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

deltal

Delta

rhol

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

26.98 -0.0035 0.9935 -1.656 -1.1784 0.9457 -1.52

-5.6

0.92 1.00 <2e-16 1.00 0.2

1.00

0.84

Таблица 13. Показатели качества производственной функции животноводства вида (SK)L Table 13. Quality indicators of the livestock production function of the species (SK)L

Коэффициент / Parameter Значение / Value p-значение / p-value

Gamma 3.91 0.89

deltal 1.0 <2e-16

Delta 1.8 0.72

rhol -2.62 0.58

Rho -0.126 0.89

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared 0.953 -

Эластичность замены внутренних факторов / -0.619 0.73

Elasticity of substitution of internal factors

Эластичность замены внешнего комплекса факторов / 1.144 0.34

XXXXXXXXXXeconomics and national economymanagement-ХЖХЖХЖХЖЖХ

Все основные коэффициенты модели, представленной в таблице 13, незначимы, что говорит об ошибочности выбора факторов. Таким образом, не удалось подобрать адекватную производственную CES-функцию, описывающую процесс производ-

ства продукции животноводства. Перейдем к анализу моделей, описывающих деятельность организаций, производящих сельскохозяйственную продукцию обеих отраслей.

Таблица 14. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (KL) Table 14. Quality indicators of the production function of both industries of the type (KL)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

Delta

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены / Elasticity of replacement Источник: составлено авторами на основании расчетов

242.65

0.0077

-0.761

0.771

4.186

1.67e-09 0.0958 < 2e-16

0.00247

Рассматривая модель, описанную в таблице 14, можно отметить наличие только одного незначимого коэффициента - Delta, который отвечает за определение важности факторов. Возможно, это

говорит о необходимости усложнения формы модели, о зависимости значения коэффициента дельта от значений факторов.

Таблица 15. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (KT) Table 15. Quality indicators of the production function of both industries of the type (KT)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

Delta

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены / Elasticity of replacement Источник: составлено авторами на основании расчетов

6.675 1.3е-14 -13.16 0.718 -0.082

2.52е-16 0.995 0.851

0.862

Все основные коэффициенты модели, представленной в таблице 15, кроме коэффициента

Gamma, незначимы, что говорит об ошибочности выбора факторов.

Таблица 16. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (KS) Table 16. Quality indicators of the production function of both industries of the type (KS)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

Delta

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared

Эластичность замены / Elasticity of replacement Источник: составлено авторами на основании расчетов

25.05 7.213е-13 -7.449 0.716 -0.1551

5.6е-7 0.985 0.589

0.64

Gamma, незначимы, что говорит об ошибочности выбора факторов.

экономика и управление народным хозяйством]

Таблица 17. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (LS) Table 17. Quality indicators of the production function of both industries of the type (LS)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value р-значение / p-value

Gamma

Delta

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены / Elasticity of replacement Источник: составлено авторами на основании расчетов

Все коэффициенты построенной CES-функции выпуска продукции сельскохозяйственными организациями с единичной отдачей от масштаба значимы, что говорит о выборе верной комбинации факторов. Уравнение можно записать в виде

822.0 1.0 -7.148 0.707 -0.1626

< 2e-16

< 2e-16 0.00131

0.00569

У = 822- (1.01-7148 + ОЖ-7148)-0139. (2) Фактически мы имеем модель Кобба-Дугласа от одного фактора производства - от труда.

Проверим (таблица 18) гипотезу о влиянии времени на показатель продуктивности гамма.

Таблица 18. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (LS) с учетом времени

Table 18. Quality indicators of the production function of both industries of the type (LS) with time

Коэффициент / Parameter

Значение / Value р-значение / p-value

Gamma Lambda Delta Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены / Elasticity of replacement Источник: составлено авторами на основании расчетов

1.118e-08 0.0124 1.001 1.564 0.5628 0.39

0.887 0.00036 < 2e-16 0.603

0.394

Анализ коэффициентов построенной модели показал, что значение коэффициента лямбда, обозначающего параметр экспоненциального роста продуктивности со временем, статистически значим, но коэффициент Gamma очень близок к 0 и статистически незначим, так же как и коэффициент Rho. Это позво-

ляет сделать вывод о том, что гипотеза о наличии роста эффективности деятельности в отрасли животноводства может быть отвергнута, а сама модель (2) в силу вырожденности не может быть признана удовлетворительно объясняющей процесс производства сельскохозяйственного производства.

Таблица 19. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (TS) Table 19. Quality indicators of the production function of both industries of the type (TS)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

Delta

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены/ Elasticity of replacement Источник: составлено авторами на основании расчетов

66.81 1.243e-5 -5.588 0.283 -0.219

< 2e-16 0.954 0.516

0.595

Gamma, незначимы, что говорит об ошибочности выбора факторов.

!economics and national economy management

Таблица 20. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (TL) Table 20. Quality indicators of the production function of both industries of the type (TL)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

Delta

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены / Elasticity of replacement Источник: составлено авторами на основании расчетов

1121.3 -0.231 0.081 0.598 0.924

< 2e-16 9.99e-8

0.464

< 2e-16

Рассматривая модель, описанную в таблице 20, можно отметить наличие только одного незначимого коэффициента - ЯЪо, который связан с эластичностью замещения, при этом значение самой эластичности статистически значимо. С учетом рассмотренных ранее моделей можно констатировать,

что труд - ключевой показатель, и необходимо разрабатывать модифицированное двухфакторное уравнение CES-функции с трудом как основным показателем. Далее рассмотрим адекватность трех-факторных моделей.

Таблица 21. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (KT)L Table 21. Quality indicators of the production function of both industries of the type (KT)L

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

delta1

Delta

rhol

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

221.9 1.09e-22 0.047 -25.11 -0.706 0.772 -0.041

3.405

1.98e-08 0.9995 0.0401 0.9765 < 2e-16

0.977

0.0004

Модель, коэффициенты которой представлены в таблице 21, имеет значимые коэффициенты, относящиеся к внешней части модели при незначи-

мых остальных. Это может свидетельствовать о неправильном подборе факторов производства во внутренней части моделей.

Таблица 22. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (TL)K Table 22. Quality indicators of the production function of both industries of the type (TL)K

Коэффициент / Parameter

Значение / Value

p-значение / p-value

Gamma

delta1

Delta

rhol

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

9.93 -0.862 0.413 -0.126 -0.135 0.884 1.144

1.156

0.0059 1.21e-10 1.22e-06 3.52e-05 2.54e-05

< 2e-16

< 2e-16

ХХЖЖХЖЖХЖэкономика и управление народным хозяйством^ХХЖХЖХХХ

Все коэффициенты построенной CES-функции выпуска продукции сельскохозяйственными организациями с единичной отдачей от масштаба значимы, что говорит о выборе верной комбинации факторов. Уравнение можно записать в виде У = 9.93 х

х (0.413 - (-0.862Г01 2 6 + 1. 8 6 2 7Ь01 2 6) 10 71 + 0. 5 87К 0 13 5 ) 7 4 . (3) Построенная CES-модель, несмотря на значимость коэффициентов, не может быть содержа-

тельно интерпретирована. Отрицательный коэффициент delta1 перед количеством посевных площадей показывает, что выручка организаций снижается при увеличении количества земли, что не соответствует результатам других исследований. Попробуем поменять порядок следования факторов производства в надежде на получение интерпретируемой модели.

Таблица 23. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (LK)T Table 23. Quality indicators of the production function of both industries of the type (LK)T

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

deltal

Delta

rhol

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

53.58 0.45 1.03 0.166 -0.966 0.647 0.857

30.173

0.2284 0.0494

< 2e-16 0.1984 0.0027

< 2e-16 0.918

CES-модель, коэффициенты которой представлены в таблице 23, имеет два незначимых ко-

эффициента в разных частях модели, что позволяет сделать вывод о ее неадекватности.

Таблица 24. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (KT)S Table 24. Quality indicators of the production function of both industries of the type (KT)S

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

deltal

Delta

rhol

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

1.667 0.00002 1.527 -4.603 -0.155 0.794 -0.277

1.183

1.88е-06 0.919

< 2e-16 0.265

2.77е-7

0.383

< 2e-16

CES-модель, коэффициенты которой представлены в таблице 24, имеет два незначимых коэффициента во внутренней части модели, что может говорить о неправильно подобранных факторах.

Все коэффициенты описываемой таблицей 25 модели незначимы на 5 %-м уровне, что говорит об ошибке в составе и расположении факторов в модели.

!economics and national economy management

Таблица 25. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (TS)K Table 25. Quality indicators of the production function of both industries of the type (TS)K

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

delta1

Delta

rhol

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

1.9 -0.0002 0.469 -1.030 -0.49 0.692 -33.07

1.963

0.352 0.997 0.346 0.978 0.155

0.999

0.14

Таблица 26. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (SK)T Table 26. Quality indicators of the production function of both industries of the type (SK)T

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

delta1

Delta

rhol

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

Анализ данных таблицы 26 позволяет констатировать, что, несмотря на значимость коэффициента Gamma, вся модель в целом неадекватна.

CES-функция производства сельскохозяйственной продукции, описываемая таблицей 27, имеет два незначимых коэффициента параметров

6.692 0.2813 1.9e-19 -2.681 -18.55 0.717 -0.595

-0.056

< 2e-16 1 1 1

0.914 1

0.919

замещения. Наблюдаемая незначимость значения эластичности замены внешнего комплекса факторов позволяет предположить непостоянность соответствующего параметра и его зависимость от внешних переменных.

Таблица 27. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (TS)L Table 27. Quality indicators of the production function of both industries of the type (TS)L

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

delta1

Delta

rhol

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

845.45 1.355 0.997 -0.218 -2.343 0.76 1.28

-0.744

< 2e-16

< 2e-16

< 2e-16 0.207 0.054

6.8e-06

0.271

экономика и управление народным хозяйством]

Таблица 28. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (LT)S Table 28. Quality indicators of the production function of both industries of the type (LT)S

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

deltal

Delta

rhol

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

Изменение структуры факторов в модели, однако, не поменяло результат - наблюдается статистическая незначимость коэффициентов параметра замещения и эластичности замены внутренних факторов.

Как и в двух ранее рассмотренных моделях, CES-функция, представленная таблицей 29, имеет

978.49 1.048 -0.153 -1.378 0.0048 0.589 -2.645

0.995

< 2e-16 0.000115 0.000117 0.5685 0.973

0.876

9.17e-12

два незначимых коэффициента. В целом можно констатировать, что использование трехфакторной производственной функции с трудом, площадью и условным поголовьем можно считать перспективным при условии замены соответствующих параметров эластичности функциями.

Таблица 29. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (SL)T Table 29. Quality indicators of the production function of both industries of the type (SL)T

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

deltal

Delta

rhol

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

1111 5.342e-7 1.222 -5.854 -0.0585 0.795 -0.206

1.056

< 2e-16 0.815

< 2e-16 0.00073

0.358

0.005

< 2e-16

Таблица 30. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (KT)S Table 30. Quality indicators of the production function of both industries of the type (KT)S

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

deltal

Delta

rhol

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

1.667 2.018e-5 1.527 -4.603 -0.155 0.794 -0.277

1.183

1.88e-6 0.919

< 2e-16 0.256

2.77e-7

0.383

< 2e-16

!economics and national economy management

СЕ8-функция производства сельскохозяйственной продукции, описываемая таблицей 30, имеет два незначимых коэффициента внутренней части модели, что может говорить о неправильно подобранном составе переменных.

Производственная функция, описанная таблицей 31, отличается незначимостью всех оцененных коэффициентов, что говорит о неправильно подобранной форме уравнения.

Таблица 31. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (TS)K Table 31. Quality indicators of the production function of both industries of the type (TS)K

Коэффициент / Parameter Значение / Value p-значение / p-value

Gamma 1.90 0.352

delta1 -0.0002 0.997

Delta 0.469 0.346

rho1 -1.03 0.978

Rho -0.49 0.155

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared 0.691 -

Эластичность замены внутренних факторов / -33.07 0.999

Elasticity of substitution of internal factors

Эластичность замены внешнего комплекса факторов / 1.963 0.14

Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

Таблица 32. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (SK)T Table 32. Quality indicators of the production function of both industries of the type (SK)T

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

delta1

Delta

rho1

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены внутренних факторов / Elasticity of substitution of internal factors Эластичность замены внешнего комплекса факторов / Elasticity of substitution of the external complex of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

6.692 .0.2813 1.9e-19 -2.861 -18.66 0.794 -0.595

-0.056

< 2e-16 1 1 1

0.914 1

0.919

Таблица 33. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (KL)(TS) Table 33. Quality indicators of the production function of both industries of the type (KL)(TS)

Коэффициент / Parameter Значение / Value p-значение / p-value

Gamma 65.64 0.188

delta1 0.539 0.071

Delta2 -0.021 0.782

Delta 0.762 0.311

rhol 0.185 0.285

Rho2 -0.482 0.912

Rho -4.067 0.003

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared 0.741 -

Эластичность замены первой пары внутренних факторов / 0.845 8.78e-12

Elasticity of substitution of the first pair of internal factors

Эластичность замены второй пары внутренних факторов / 1.932 0.906

Elasticity of substitution of the second pair of internal factors

Эластичность замены пар факторов / -0.326 0.026

ХХЖЖХЖЖХЖэкономика и управление народным хозяйством^ХХЖХЖХХХ

Анализ данных таблицы 32 позволяет констатировать, что, несмотря на значимость коэффициента Gamma, вся модель в целом неадекватна. В целом можно отметить, что среди рассмотренных трех-

факторных производственных функций не нашлось полностью адекватной модели, описывающей процесс сельскохозяйственного производства. Рассмотрим четырехфакторные модели.

Таблица 34. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (KT)(LS) Table 34. Quality indicators of the production function of both industries of the type (KT)(LS)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value p-значение / p-value

Gamma

deltal

Delta2

Delta

rhol

Rho2

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены первой пары внутренних факторов / Elasticity of substitution of the first pair of internal factors Эластичность замены второй пары внутренних факторов / Elasticity of substitution of the second pair of internal factors Эластичность замены пар факторов / Elasticity of substitution of pairs of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

32.63 0.0089 1

0.676 -3.042 -6.028 0.111 0.809 -0.489

-0.198

0.9

0.0388 0.8799

< 2e-16 5.5e-06 0.4492 0.0771 0.3459

0.611

0.14

< 2e-16

CES-модель, описываемая табл. 33, отличается незначимостью всех коэффициентов, кроме общего коэффициента Rho, что говорит о неправильном распределении переменных по вложенным моделям.

Модель, описанная в таблице 34, имеет два значимых коэффициента - Gamma и Rho, но в целом она не является адекватной.

Не все коэффициенты модели, представленной в таблице 35, статистически значимы. Это позволяет констатировать, что четырехфакторные производственные функции не могут быть применены для описания процесса сельскохозяйственного производства.

Таблица 35. Показатели качества производственной функции обеих отраслей вида (KS)(LT) Table 35. Quality indicators of the production function of both industries of the type (KS)(LT)

Коэффициент / Parameter

Значение / Value

p-значение / p-value

Gamma

deltal

Delta2

Delta

rhol

Rho2

Rho

Коэффициент детерминации / Multiple R-squared Эластичность замены первой пары внутренних факторов / Elasticity of substitution of the first pair of internal factors Эластичность замены второй пары внутренних факторов / Elasticity of substitution of the second pair of internal factors Эластичность замены пар факторов / Elasticity of substitution of pairs of factors Источник: составлено авторами на основании расчетов

23.65 0.443 -0.968 0.538 -0.825 -0.116 -0.175 0.889 5.739

1.131

1.212

0.57 0.792 2.79e-05 7.09e-05 0.548 0.0071 2.58e-05

0.899

< 2e-16

< 2e-16

XXXXXXXXXXeconomics and national economymanagement-ХЖХЖХЖХЖЖХ

Обсуждение

Анализ полученных моделей позволяет констатировать, что деятельность сельскохозяйственных организаций Нижегородской области в 2007-2020 гг.:

- в области производства продукции растениеводства может быть адекватно описана двухфак-торной СЕ8-функцией с капиталом и трудом в качестве используемых ресурсов. Гипотеза о наличии изменений во времени показателя продуктивности производственной функции нуждается в дополнительной проверке;

- в области производства продукции животноводства не может быть адекватно описана ни одной из рассматриваемых СЕ8-функций;

- в области одновременного производства и продукции растениеводства, и продукции животноводства не может быть адекватно описана ни одной из рассматриваемых СЕ8-функций. Наиболее перспективной для дальнейшей разработки является трехфакторная СЕ8-функция с использованием в качестве показателей труда, площади и условного поголовья при условии замены непостоянности соответствующих показателей эластичности.

В целом можно констатировать, что применение классических СЕ8-функций на уровне совокупности организаций для описания общих законов сельскохозяйственного производства малоперспективно. Также стоит признать верным предпо-

ложение из статьи [24] о том, что полученные значения эластичности не являются непреложными и фиксированными константами, а также могут меняться. С целью проверки этой гипотезы отдельно необходимо протестировать модели с параметрами, зависящими, в свою очередь, от количества экономических ресурсов - это позволит оценить точность предположения о том, что для сельскохозяйственных организаций разных размеров значение эластичности будет различаться, что говорит о необходимости поиска модифицированных СЕ8-функций.

Заключение

Проведенное исследование ставит несколько важных задач для дальнейшей работы:

- оценка применимости других типов функций производственных функций, кроме функций Кобба-Дугласа и СЕ8-функций;

- пути эффективной модификации формы СЕ8-функции для описания процессов производства в организациях животноводства и организациях, занятых производством продукции обеих отраслей;

- сравнение точности аппроксимации модифицированных производственных и модифицированных СЕ8-функций;

- разработка способов использования производственных функций как инструмента диагностики как всей совокупности, так и отдельных организаций.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Zha D., Kavuri A. S., Si S. Energy-biased technical change in the Chinese industrial sector with CES production functions // Energy. 2018. № 148. Р. 896-903.

2. He Y., Gao S., Liao N. An intelligent computing approach to evaluating the contribution rate of talent on economic growth // Computational Economics. 2016. № 48 (3). P. 399-423.

3. Liu G. C., Lai W. W. An empirical study on contribution rate of production factors of Civil Aviation in China based on CES production function model // Modernization of Management. 2016. № 36 (4). P. 29-32. 5617061-19

4. Bosetti V., Carraro C., Galeotti M., Massetti E., Tavoni M. WITCH: a world induced technical change hybrid model // Energy J. 2006. № 27 (2). P. 13-38.

5. Manne A., Mendelsohn M., Richels R. MERGE-A model for evaluating regional and global effects of GHG reduction policies // Energy Policy. 1995. № 23 (1). P. 17-34.

6. Zakharchenko N. V., Hasanov S. L., Yumashev A. V., Admakin O. I., Lintser S. A., Antipina M. I. Legal rationale of biodiversity regulation as a basis of stable ecological policy // Journal of Environmental Management and Tourism. 2018. 9 (3). P. 510-23. doi: 10.14505/jemt.v9.3(27).11.

7. Van der Werf E. Production functions for climate policy modeling: an empirical analysis // Energy Econ. 2008. № 30 (6). P. 2964-2979.

8. Wissema W., Dellink R. AGE analysis of the impact of a carbon energy tax on the Irish economy // Ecol. Econ. 2007. № 61 (4). P. 671-683.

9. Zha D. Zhou D. The elasticity of substitution and the way of nesting CES production function with emphasis on energy input // Applied Energy. 2014. V. 130. P. 793-798. http://dx.doi.org/10.1016/j.apenergy.2014.01.093

80

ХХЖЖХЖЖХЖэкономика и управление народным хозяйством^ХХЖХЖХХХ

10. Henningsen A., Henningsen G., van der Werf E. Capital-labour-energy substitution in a nested CES framework: A replication and update of Kemfert (l998) // Energy Economics. 20l9. V. 82. P. l6-25. https://doi.org/l0.l0l6/j.eneco.20l7.l2.0l9

11. Qian H., Wu L., Fan J. On estimation of deep nested CES // SSRN. 20l8. http://dx.doi.org/l0.2l39/ssrn.3247693

12. Qian H., Wu L. Avoiding Mis-estimation of the CES Function: Unit Matter // Applied Economics. 20l9. http://dx.doi.org/l0.l080/00036846.20l9.l682ll6

13. Temple J. The calibration of CES production functions // Journal of Macroeconomics. 2012. № 34. Р.294-303.

14. Lagomarsino E. Estimating elasticities of substitution with nested CES production functions: Where do we stand? // Energy Economics. 2020. https://doi.org/l0.l0l6/j.eneco.2020.l04752

15. ChengM., XiangM. Application of a modified CES production function model based on improved firefly algorithm // Journal of industrial and management optimization. 2020. № 16 (4). P. l57l-l584.

16. Lv Y. Q., Lu Z., DengX. Application of improved particle swarm optimization algorithm in estimating parameters of production function // Statistics & Decision. 2014. № 4. Р. 21-24.

17. Olutayo I. J., Adedayo A. A., Ayobami A. O. Effects of varying substitution parameter (p) of the CES production function on the estimation methods: Bayesian and frequentist approaches // Global Journal of Pure and Applied Sciences. 2018. № 24 (1). Р. 51-59.

18. ChengM., Han Y. Application of a modified CES production function model based on improved PSO algorithm // Applied Mathematics and Computation. 2020. https://doi.org/l0.l0l6/j.amc.2020.l25l78

19. Ning Y., Peng Z. S., Dai Y. X., Bi D. Q., Wang J. Enhanced particle swarm optimization with multi-swarm and multi-velocity for optimizing high-dimen- sional problems // Appl. Intell. 2019. № 49 (1). Р. 335-35l.

20. El-Ashmawi W. H., Ali A. F., Tawhid M. A. An improved particle swarm optimization with a new swap operator for team formation problem // J. Ind. Eng. Int. 2019. № 15 (1). Р. 53-7l.

21. Liu W., Wang J., Chen L., Chen B. L. Prediction of protein essentiality by the improved particle swarm optimization // Soft Comput. 2018. № 22 (20). Р. 6657-6669.

22. Tang M. N., Chen S. J., Zheng X. H., Wang T. S., Cao H. Sensors deployment optimization in multidimensional space based on improved particle swarm optimization algorithm // J. Syst. Eng. Electron. 2018. № 29 (5). Р. 969-982.

23. Henningsen A., Henningsen G. Econometric estimation of the constant elasticity of substitution function in R: Package micEconCES // Tech. rep., FOI Working Paper. 20ll/9, Institute of Food and Resource Economics, University of Copenhagen.

24. Knoblach M., Stock F. What determines the elasticity of substitution between capital and labor? A literature review // Journal of Economic Surveys. 2020. № 34 (4). Р. 847-875.

Дата поступления статьи в редакцию l4.06.2022, одобрена после рецензирования 11.07.2022;

принята к публикации l3.07.2022.

Информация об авторе: А. Д. Черемухин - к.э.н., доцент кафедры «Физико-математические науки», Spin-код: 3067-9927; Г. В. Груздев - д.э.н., профессор кафедры товароведения, сервиса и управления качеством, Spin-код: 7879-l949.

Заявленный вклад авторов:

Черемухин А. Д. - постановка научной проблемы статьи и определение основных направлений ее решения, разработка концепции статьи и понятийного аппарата.

Груздев Г. В. - проведение критического анализа материалов, формирование методологии исследования и выводов.

xxxxxxxxxxeconomics and national economymanagementxxxжxжxжжxш

REFERENCES

1. Zha D., Kavuri A. S., Si S. Energy-biased technical change in the Chinese industrial sector with CES production functions, Energy, 2018, No. 148, pp. 896-903.

2. He Y., Gao S., Liao N. An intelligent computing approach to evaluating the contribution rate of talent on economic growth, Computational Economics, 2016, No. 48 (3), pp. 399-423.

3. Liu G. C., Lai W. W. An empirical study on contribution rate of production factors of Civil Aviation in China based on CES production function model, Modernization of Management, 2016, No. 36 (4), pp. 29-32, 5617061-19

4. Bosetti V., Carraro C., Galeotti M., Massetti E., Tavoni M. WITCH: a world induced technical change hybrid model, Energy J., 2006, No. 27 (2), pp. 13-38.

5. Manne A., Mendelsohn M., Richels R. MERGE-A model for evaluating regional and global effects of GHG reduction policies, Energy Policy, 1995, No. 23 (1), pp. 17-34.

6. Zakharchenko N. V., Hasanov S. L., Yumashev A. V., Admakin O. I., Lintser S. A., Antipina M. I. Legal rationale of biodiversity regulation as a basis of stable ecological policy, Journal of Environmental Management and Tourism, 2018, 9 (3)б pp. 510-23, doi: 10.14505/jemt.v9.3(27).11.

7. Van der Werf E. Production functions for climate policy modeling: an empirical analysis, Energy Econ., 2008, No. 30 (6), pp. 2964-2979.

8. Wissema W., Dellink R. AGE analysis of the impact of a carbon energy tax on the Irish economy, Ecol. Econ., 2007, No. 61(4), pp. 671-683.

9. Zha D. Zhou D. The elasticity of substitution and the way of nesting CES production function with emphasis on energy input, Applied Energy, 2014, http://dx.doi.org/10.1016/j.apenergy.2014.01.093

10. Henningsen A., Henningsen G., van der Werf E. Capital-labour-energy substitution in a nested CES framework: A replication and update of Kemfert (1998), Energy Economics, 2018, https://doi.org/10.1016Zj.eneco.2017.12.019

11. Qian H., Wu L., Fan J. On estimation of deep nested CES production functions, SSRN, http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.3247693

12. Qian H., Wu L. Avoiding Mis-estimation of the CES Function: Unit Matter, Applied Economics, 2019, http://dx.doi.org/10.1080/00036846.2019.1682116

13. Temple J. The calibration of CES production functions, Journal of Macroeconomics, 2012, No. 34, pp. 294-303

14. Lagomarsino E. Estimating elasticities of substitution with nested CES production functions: Where do we stand? Energy Economics, 2020, https://doi.org/10.1016/j.eneco.2020.104752

15. Cheng M., Xiang M. Application of a modified CES production function model based on improved firefly algorithm, Journal of industrial and management optimization, 2020, No. 16 (4), pp. 1571-1584.

16. Lv Y. Q., Lu Z., Deng X. Application of improved particle swarm optimization algorithm in estimating parameters of production function, Statistics & Decision, 2014, No. 4, pp. 21-24.

17. Olutayo I. J., Adedayo A. A., Ayobami A. O. Effects of varying substitution parameter (p) of the CES production function on the estimation methods: Bayesian and frequentist approaches, Global Journal of Pure and Applied Sciences, 2018, No. 24 (1), pp. 51-59.

18. Cheng, M., Han. Y. Application of a modified CES production function model based on improved PSO algorithm, Applied Mathematics and Computation, 2020, https://doi.org/10.1016/j.amc.2020.125178

19. Ning Y., Peng Z. S., Dai Y. X., Bi D. Q., Wang J. Enhanced particle swarm optimization with multi-swarm and multi-velocity for optimizing high-dimen- sional problems, Appl. Intell, 2019, No. 49 (1), pp. 335-351.

20. El-Ashmawi W. H., Ali A. F., Tawhid M. A. An improved particle swarm optimization with a new swap operator for team formation problem, J. Ind. Eng. Int., 2019, No. 15 (1), pp. 53-71.

21. Liu W., Wang J., Chen L., Chen B. L. Prediction of protein essentiality by the improved particle swarm optimization, Soft Comput, 2018, No. 22 (20), pp. 6657-6669.

22. Tang M. N., Chen S. J., Zheng X. H., Wang T. S., Cao H. Sensors deployment optimization in multidimensional space based on improved particle swarm optimization algorithm, J. Syst. Eng. Electron, 2018, No. 29 (5), pp. 969-982.

ХХЖЖХЖЖХЖэкономика и управление народным хозяйством^ХХЖХЖХХХ

23. Henningsen A., Henningsen G. Econometric estimation of the constant elasticity of substitution function in R: Package micEconCES, Tech. rep., FOI Working Paper, 2011/9, Institute of Food and Resource Economics, University of Copenhagen.

24. Knoblach M., Stockl F. What determines the elasticity of substitution between capital and labor? A literature review, Journal of Economic Surveys, 2020, No. 34 (4), pp. 847-875.

The article was submitted 14.06.2022; approved after reviewing 11.07.2022; accepted for publication 13.07.2022.

Information about the authors: A. D. Cheremuhin - Ph. D. (Economy), associate professor of the chair «Physics and mathematics», Spin-code: 3067-9927;

G. V. Gruzdev - Dr. Sci. (Economy), Professor of the Department of Commodity Science, Service and Quality Management, Spin-code: 7879-1949.

Contribution of the authors:

Cheremuhin A. D. - formulated the problem of the article and defined the main methods of solution, development of the concept of the article and the conceptual apparatus.

Gruzdev G. V. - critical analysis of materials; formation of the research methodology and conclusions.

The authors declare no conflicts of interests.