Идентификация параметров производственной функции для зернопроизводящих организаций Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ххжжхжжхжэкономика и управление народным хозяйством^ХХЖХЖХХХ

_ 08.00.05 ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ НАРОДНЫМ ХОЗЯЙСТВОМ_

Научная статья УДК 330.356.7

Б01: 10.24412/2227-9407-2021-12-72-81

Идентификация параметров производственной функции для зернопроизводящих организаций

Артем Дмитриевич Черемухин Андрей Николаевич Игошин 2, Николай Николаевич Кучин 3

123 Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Княгинино, Россия 1 п$ви.екегетиЫп@уа^ех.гыМ' НПр8://огс1й.org/0000-0003-4076-5916 [email protected]' https://orcid.org/0000-0001-6481-2399 3 [email protected]

Аннотация

Введение. Данная статья продолжает цикл работ, посвященных установлению формальных закономерностей сельскохозяйственного производства с помощью производственных функций. Проведен обзор последних работ по исследуемой теме, подтверждена ее актуальность.

Материалы и методы. Информационную базу исследования составили данные по зернопроизводящим организациям Нижегородской области в 2019-2020 гг. Было построено множество моделей, основанных на производственной функции Кобба-Дугласа. Исследовалась возможность добавления в нее третьего фактора производства - земли, проверялись гипотезы о наличии зависимости эластичности выпуска от величины экономических ресурсов (размера организации), их соотношения, а также качественных показателей (заработная плата, количество тракторов, мощность техники). Описана процедура оценки качества моделей, включающая в себя расчет параметров А1С, значение правдоподобия, проверку полученных коэффициентов на статистическую значимость, а также проверку выполнимости условий Гаусса-Маркова.

Результаты. Исследование полученных результатов показало, что наиболее точным и статистически достоверным является классическая модель Кобба-Дугласа с трудом и капиталом в роли факторов производства. Не подтвердилась гипотеза о зависимости эластичности от количества ресурсов, их соотношения и от качественных показателей.

Обсуждение. Коэффициенты выбранной модели статистически значимы и несмещены. На основе их можно сделать вывод о наличии возрастающей отдачи от масштаба. Получены параметры зависимости предельной нормы замещения труда капиталом от фондовооруженности.

Заключение. Подведены итоги исследования, намечены основные направления дальнейшей работы, включающие в себя построение ПФ других видов, модификацию модели Кобба-Дугласа с учетом эффектов временных рядов, расширение объема информационной базы.

Ключевые слова: земля, капитал, оценки модели, предельная норма замещения, производственная функция, производство зерна, труд, условия Гаусса-Маркова, факторы производства, эластичность

Для цитирования: Черемухин А. Д., Игошин А. Н., Кучин Н. Н. Идентификация параметров производственной функции для зернопроизводящих организаций // Вестник НГИЭИ. 2021. № 12 (127). С. 72-81. Б01: 10.24412/2227-9407-2021-12-72-81

(© Черемухин А. Д., Игошин А. Н., Кучин Н. Н., 2021

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License. The content is available under Creative Commons Attribution 4.0 License.

72

ххжжхжжхжэкономика и управление народным хозяйством^ХХЖХЖХХХ Application of scaling laws to the economy of rural educational organizations

Artem D. CheremuhinAndrey N. Igoshin2, Nikolay N. Kuchin3

123 Nizhny Novgorod State University of Engineering and Economics, Knyaginino, Russia 1 [email protected], https://orcid.org/0000-0003-4076-5916 [email protected], https://orcid.org/0000-0001-6481-2399 3 [email protected]

Abstract

Introduction. This article continues the cycle of works devoted to the establishment of formal laws of agricultural production using functions of functions. A review of the latest works on the topic under study is carried out, its relevance is confirmed.

Materials and methods. The information base of the study was made up of data on grain-producing organizations of the Nizhny Novgorod region in 2019-2020. Many models have been built based on the Cobb-Douglas production function. The possibility of adding a factor of the third production - land - was investigated, hypotheses about the existence of a dependence of the elasticity of output on the size of economic resources (size of the organization), their ratio, as well as quality indicators (wages, number of tractors, power of equipment) were tested. A quality assessment procedure is described, which includes the calculation of the AIC parameters, the likelihood value, checking the performed coefficients for statistical significance, as well as checking the satisfaction of the Gauss-Markov conditions. Results. The results of the study of the results showed that the most accurate and statistically reliable is the classical Cobb-Douglas model with labor and capital as factors of production. The hypothesis of elasticity from the amount of resources, their ratio and qualitative indicators was not confirmed.

Discussion. The coefficients of the chosen model are statistically significant and unbiased. Based on them, it can be concluded that there is an increasing return to scale. The parameters of the marginal rate for damage to labor by capital from the capital-labor ratio are obtained.

Conclusion. The results of the study have been summarized, the main directions of further work have been outlined, including the construction of PFs of other types, modification of the Cobb-Douglas model taking into account time series, and expansion of the information base.

Keywords: production function, grain production, capital, labor, land, factors of production, elasticity, marginal rate for damage, Gauss-Markov conditions, model evaluation

For citation: Cheremuhin A. D., Igoshin A. N., Kuchin N. N. Application of scaling laws to the economy of rural educational organizations // Bulletin NGIEI. 2021. № 12 (127). P. 72-81. (In Russ.). DOI: 10.24412/2227-9407-202112-72-81

Введение

Эффективное управление как сельским хозяйством в целом, так и отдельными его отраслями невозможно без формального описания законов их производства. Развитие цифровой экономики, методов эконометрики и технологий анализа данных позволяет решить задачу описания законов создания сельскохозяйственной продукции.

Традиционно для этого используется аппарат производственных функций. В настоящее время учеными активно используется большое количество разных моделей ПФ, в числе которых можно выделить: модель Кобба-Дугласа, модель CES [1], производственные функции Солоу [2], Джири [3], Ре-

венкара [4], Лу-Флетчера [5], Лиу-Хильдебранда [6], Кадияла [7], Бруно [8; 9].

Однако наибольшее практическое распространение получила модель Кобба-Дугласа. Это связано с удобством интерпретации коэффициентов производственной функции, а также простота вычисления их. Для нахождения параметров функции Кобба-Дугласа достаточно провести линеаризацию и воспользоваться методом наименьших квадратов. Оценка же коэффициентов моделей других функциональных форм невозможна без использования методов нелинейной оптимизации, что не всегда гарантирует оптимальность полученных значений.

xxxxxxxxxxeconomics and national economymanagement-хжхжхжхжжх

Особенного внимания в этой связи заслуживает недавняя совместная работа чешских и немецких ученых [10], которая поднимает серьезные вопросы о существующей практике применения производственных функций. Они показывают, что текущие способы применения модели Кобба-Дугласа с единичным эффектом отдачи от масштаба для оценки показателей эластичности замещения капитала и труда ведут к систематической погрешности получаемых значений. Проведенное ими метаисследование показало, что используемые обычно методы оценки не являются оптимальными из-за нарушения предпосылок симметричности распределения. Это говорит о необходимости особого внимания к применяемым в работах способах оценки параметров.

Анализ последних исследований позволяет выделить следующие важные научные результаты, полученные в сфере производственных функций:

- в работе О. Г. Кантор, С. И. Спивака [11] предложен альтернативный подход к расчету доверительных интервалов для коэффициентов в модели Кобба-Дугласа, основанный на решении задач минимизации модулей невязок и ошибке аппроксимации. Эффективность данного метода продемонстрирована на примере данных по ВРП Республики Башкортостан;

- в статье [12] представлен новый метод оценки параметров производственной функции, основанный на многоступенчатой корректировке оценок с использованием разбиения исследуемой выборки. Эффективность предложенного мнения была представлена на статистических данных экономики Чили;

- несколько исследований решали задачу построения производственной функции страны/региона. Н. В. Суворов с коллегами [13] построил производственную функцию экономики Республики Башкортостан на основании данных 2006-2016 гг. Ученые из Центрального экономико-математического института РАН [14] продемонстрировали новую постановку задачи построения уравнения производственной функции для экономики страны, добавив в качестве влияющих переменных уровень загрузки производства и цены на нефть. В. М. Никоноров [15] расширил состав факторов производства в модели Кобба-Дугласа, добавив в модель затраты на ИКТ;

- на примере данных по экономике Польши в работе [16] было проанализировано влияние степени открытости рынка на экономический рост с помощью производственной функции Кобба-Дугласа, модернизированной с помощью модели авторегрес-

сионной распределенной задержки и модели коррекции ошибок Грейнджа. Это подтверждает высокий потенциал одновременного применения производственных функций с другими эконометрически-ми процедурами для решения практических задач.

Также можно отметить недавнюю работу ученых из КНР [17] - они использовали производственную функцию Кобба-Дугласа, где в качестве зависимой переменной выступала урожайность кукурузы. Было выявлено, что в качестве влияющих факторов выступают площадь посевных площадей, объем внесенных химических удобрений и объем выпавших осадков. Эта работа продолжает целый цикл подобных исследований и свидетельствует о важности подобных исследований применительно к отрасли сельскохозяйственного производства.

Материалы и методы

Данная работа является логическим продолжением серии работ [18; 19], посвященных описанию с использованием функций Кобба-Дугласа и их модификаций процессов производства сельскохозяйственной продукции. Поднятые выше вопросы о сущности зависимого показателя, методах оценки и функциональной форме модели нуждаются в дополнительном рассмотрении.

Цель данной работы - подобрать наиболее оптимальную форму модели Кобба-Дугласа для организаций, занимающихся производством зерна в качестве единственного вида производимой продукции,

Данная постановка задачи приводит к необходимости использования в качестве зависимой переменной натурального показателя - количества произведенного зерна в центнерах.

Анализ научных работ также показал широкое использование модифицированных функций, в том числе и более чем с двумя переменными. Это позволяет принять в качестве независимых переменных три фактора производства - землю (как основной экономический ресурс сельскохозяйственного производства), труд и капитал. Кроме того, предыдущие исследования показали возможность наличия зависимости эластичности факторов производства от их величины или от параметров, характеризующих качество факторов производства. Таким образом, в состав независимых переменных были включены:

- общее количество работников, чел. (как количественный показатель труда L);

- среднемесячная заработная плата работников, руб. (как показатель, который может влиять на эластичность труда);

(Л

3

О *

со

О о ст*

ст* ■

О

о с

оо

ч ч

й

О)

о

н

а

8

Я

О

(Я

Й и

^ ^

►в» со

р ся

п

О 8

сг со

гз с 3

ст* со

со со

к 8

О

ю со

ю

ю

я

е

0

О) р

1

Й

VI

Й р

о р

О о ст*

ст* ■

О

о с 00, &Г

сл

ЧЭ Ч

О

ь я о ►в*

о

£ 2 №

ЕГ со

гз с

ст* со

Й О) о н я я

£ *

я

е

О

о с 00, &Г

сл

ч

Ч

03 О)

О) р

^ I _ ^

3 р

? О р

р

о

о -ё

О О

о

я я

О 05 ►в* р* р ся

О Я

Я

е

ч ч

О

ь я о ►в*

о

£ 2 №

О

с\ Я

ю со

I

ю ю

ю

р

VI

о

о ст* ст*

р I

Й

VI

Й р

о о

р

0\ со

I

00

ю ю ю

о

гз со

р

VI

о

о ст* ст*

я

е «

о о\

р ■

Й Р

о р

о

со

00

ю

Ю

о Й со Й 8

О

о-со

о

а о

Я" СО

ГЗ £

о гз

со н

£-3

т с-1

о щ я

со' со Р

з. -6 8

5 о

8с §

я 2

О ^ й 2 ►в* 3 -в* 8 8 ^

С 8 со

3

ЕГ со

о о-со

2

< о р Й

£ 2

О ™

I

и> 8

Й со 8 8 со

Показатель правдоподобия/

Информационный критерий Акаике / А1С

В о м о со

5 Н нн ш 8

• &Г1 и со

^ (ГС

3 2. 3 02"

3 --

со и Р

СЗ со

№ со

Р §

со

>> "©* со

% 8

й 8 й

Й В л

2 8 Я

н ^

Я я ^ н о

(Я

Я

р

8 со

.Ol я

ti ft H

о

H

и s

л %

tr о to

я о

о о

4

о

п

tr

я ft я о

H

о •в о ft

о ti ft и ft Яс

я о

H

о •в о ft

к

р

я ft •в Cd

о

ы

H р

я ft

я

о о и ft

ti о

Cd

s

я •в ft

ti я о и

щ

Й

to

а я ft я

H

о

Cd Cd

я р

с я я

Ol t ^ to t

я я

а

э °

Я g

« 5

о С

H

я

о H

я

л « ft >3 G

я я

Я н ft

Я Ъ

I

W

я

s ft я я ft

я

яс >

я

ё я ft

я о я

8

ft

и tr

я

•в р

Cd t о я о t о

Я О to g

о t ft и я

Cd

с ft

о

ÜQ

г

§ >

►в* - • я

о я о •в •в

ft %

я •в о

Cd р

я я Е

яс

я о ы ►в* ►в* я с я ft я

H

t ft H ft •в

ft

H

о

Cd

о t я

H № о to

я о о

и

я

W

ы H

о о

s

бг1 я

л т

Я о

Е ß

яс 2

W

s ft

и у

я о

H

о •в Е

0

01

в ft ft

s ft

t о

ft

H

о

t

я p

я я

я о ы ►в-

яс §

5

в

я

я е-

s s ft ß

я я

я о

" и

13 л

о *

ft

H

Cd

и я to H №

о t ft и ft яс

X Cd

я

Cd

t •в

I

Cd

о t ft и ft яс

ft о H Cd

о

H

•в g

» р

s ®

I Б

H H

Я s

О ft

я о о H №

я о

я я р р

и я

я о

H Cd Е

Я

Р

^^

я

p

я

я

о

и

я

л

ft

о

H

Cd

ft

я

я

Е

Яс

я

О

я

р

w

Р

H

ft

и

tr

u>

ft

g

я <*> р р

5 С

я я

о Р H о

Ol в Я Е о Ol В

p S

to •в to

О н

Cd Ol

ft о

ti Я я

я g

Л р о

Я я о

я H

р я й

я о и о о Я

о я

о л

ft ft о

Cd о Cd

Я H Я

й X Cd ft Я я бг1 X о

я Е •в

а о Яс ft t

В Я о н

ё О я р Cd

ft О

Яс S p •в

w н р

ft ft Я

•в ■ а Й Я 1

я ft •в

ft

g

ft я я

й

g Cd

ft О

я t

1 я Е о н Cd

§ ft

Я я Я

в Я

д 4Í • Е

Я л ft

я ►в-

5 ^

я я я

а а

я я

о я

н о о

^ о

н о t

н Я

Cd о

Я Яс

5 t

W Cd

й ^

Cd Я о S to

Я S О 4 ft

о н s

ft to

Яс Я

ы ft

и •в

P ft

►в* g

я

H

о •в о

Cd

о я

W Cd

о t о H

Cd p

яГ •в о я

tu §

s

S!

i §

i

"в

! !

I ¡

s s

I

СП §

I с а;

а:

3

s

Nj Nj Nj Nj

Кд 1-Л

Ю Ю

Кд 1-Л

Nj Nj

Nj Nj

ГО n

Nj Nj

I I

Oo Oo

У1 У

Nj Nj

Nj Nj

Nj Nj

41 41

Г Г

VC lo

•fe. -fe.

O O

41 41

""O

!economics and national economy management

Продолжение таблицы 1 / End of table 1

1

4

5

б

Двухфакторная ПФ Кобба-Дугласа с со стоимостью капитала и количеством земли / Two-factor Cobb-Douglas PF with cost of capital and amount of land Двухфакторная ПФ Кобба-Дугласа с со стоимостью капитала и количеством работников / Two-factor Cobb-Douglas PF with the cost of capital and the number of employees

Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа / Three-factor Cobb-Douglas PF Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность капитала зависит от мощности техники / Three-factor Cobb-Douglas PF, capital elasticity depends on the power of technology

Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность капитала зависит от мощности тракторов / Three-factor Cobb-Douglas PF, capital elasticity depends on tractor power

Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность земли зависит от мощности техники / Three-factor Cobb-Douglas PF, the elasticity of the earth depends on the power of the technique Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность земли зависит от количества тракторов / Three-factor Cobb-Douglas PF, the elasticity of the earth depends on the number of tractors

Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность труда зависит от заработной платы работников / Three-factor Cobb-Douglas PF, labor elasticity depends on workers' wages

Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность земли зависит от фондовооруженности труда / Three-factor Cobb-Douglas PF, the elasticity of the land depends on the capital-labor ratio Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность земли зависит от стоимости капитала на 1 га земли / Three-factor Cobb-Douglas PF, the elasticity of land depends on the cost of capital per 1 ha of land

0.91б

3.81е-50 -63.9 136

0.б87

0.919

0.919

4.45е-24 -126 260

1.0е-49 -61.5 133

1.58е-48 -61.2 134

+

+

0.920

1.07е-48 -60.8

134

+

0.919

1.63е-48 -61.2

134

+

0.920

1.20е-48 -60.9

134

+

0.919

1.29е-48 -61.0

134

+

0.919

1.29е-48 -61.0

134

+

0.920

1.08е-48 -60.8 134

+

2

3

экономика и управление народным хозяйством]

Окончание таблицы 1 / End of table 1

1

4

5

6

Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность земли зависит от количества работников на 1 га земли / Three-factor Cobb-Douglas PF, the elasticity of the land depends on the number of workers per 1 ha of land

Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность труда зависит от фондовооруженности труда / Three-factor Cobb-Douglas PF, labor elasticity depends on the capital-labor ratio

Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность труда зависит от стоимости капитала на 1 га земли / Three-factor Cobb-Douglas PF, labor elasticity depends on the cost of capital per hectare of land Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность труда зависит от количества работников на 1 га земли / Three-factor Cobb-Douglas PF, labor elasticity depends on the number of workers per hectare of land Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность капитала зависит от фондовооруженности труда / Three-factor Cobb-Douglas PF, the elasticity of capital depends on the capital-labor ratio Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность капитала зависит от стоимости капитала на 1 га земли / Three-factor Cobb-Douglas PF, the elasticity of capital depends on the cost of capital per hectare of land Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность капитала зависит от количества работников на 1 га земли / Three-factor Cobb-Douglas PF, capital elasticity depends on the number of employees per 1 ha of land Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность капитала зависит от капитала /

0.919

1.68е-48 -61.3 135

+

0.921

4.17е-49 -59.8

132

+

0.920

8.31е-49 -60.5

133

+

0.919

1.59е-48 -61.2

134

+

0.919

1.30е-48 -61.0

134

+

0.919

1.37е-48 -61.1

134

+

0.919

1.43е-48 -61.1

134

+

0.919

Three-factor Cobb-Douglas PF, capital elasticity depends on capital Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность труда зависит от труда / Three-factor Cobb-Douglas PF, labor elasticity depends on labor

Трехфакторная ПФ Кобба-Дугласа, эластичность земли зависит от земли / Three-factor Cobb-Douglas PF, the elasticity of the earth depends on the earth

Источник: составлено авторами на основании расчетов

2.0е-48

-61.5

0.919

0.919

1.72е-48 -61.3

1.98е-48 -61.4

135

135

135

+

+

+

2

3

XXXXXXXXXXeconomics and national economymanagement-ХЖХЖХЖХЖЖХ

Данные таблицы 1 позволяют констатировать, что трехфакторные модели производственной функции или модели, в которых эластичность факторов производства не постоянна, имеют статистические незначимые коэффициенты, что делает невозможной их содержательную интерпретацию и говорит о том, что они не могут быть применены для формализации законов производства.

Из рассмотренного множества моделей наиболее качественными являются: однофакторная ПФ Кобба-Дугласа с количеством земли, двухфак-торная ПФ Кобба-Дугласа с количеством работников и земли, двухфакторная ПФ Кобба-Дугласа с со стоимостью капитала и количеством работников. Их анализ на выполнимость условий Гаусса-Маркова показал следующее:

- для однофакторной ПФ Кобба-Дугласа с количеством земли подтверждается гипотеза о распределении остатков, отличном от нормально-

Согласно таблице 2, общая отдача от масштаба превышает 1, т. е. при увеличении объема производственных ресурсов на 1 % ожидаемое увеличение объема произведенной продукции составляет 1,135 %. Согласно формуле расчета из [21], предельная норма замещения труда капиталом составляет 0,458 К^. Таким образом, процентное изменение использования капитала К при уменьшении или

го, что говорит о возможной смещенности коэффициентов;

- для двухфакторной ПФ Кобба-Дугласа с количеством работников и земли подтверждается гипотеза о распределении остатков, отличном от нормального, что говорит о возможной смещенности коэффициентов;

- для двухфакторной ПФ Кобба-Дугласа с количеством работников и капитала подтверждается гипотеза о несимметричности распределения остатков, но в целом гипотеза о выполнимости условий Гаусса-Маркова принимается, что говорит о возможности использования данной модели в качестве формализации законов производства.

Обсуждение

Среди рассмотренных моделей лучшей и наиболее статистически достоверной является классическая модель Кобба-Дугласа с капиталом и трудом в качестве факторов производства. Описание этой модели представлено в таблице 2.

^-значение / ^-уа1ие 7.32е-08 7.25е-09 0.0001 < 2е-16 0.6895

0.814 0.292

0.739

0.563 0.911

увеличении труда L на 1 % является линейной функцией от фондовооруженности.

Заключение Резюмируя результаты исследования, отмечаем, что оно подтвердило эффективность классической двухфакторной модели Кобба-Дугласа. На полученных данных не подтвердилась гипотеза о наличии эластичности, зависящей функционально

Таблица 2. Модель Кобба-Дугласа производства зерна в сельскохозяйственных организациях Table 2. Cobb-Douglas model of grain production in agricultural organizations

Параметр / Factor

Значение/ Value

Свободный член / Free member Капитал / Capital Труд / Work

F-критерий модели / F-criterion of the model

Скорректированный коэффициент детерминации / Adjusted coefficient of determination Глобальная статистика невыполнимости условий Гаусса-Маркова в модели / Global statistics of the failure of the Gauss-Markov conditions in the model Статистика гипотезы наличия асимметричности распределения ошибок / Statistics for the hypothesis of asymmetric error distribution

Статистика гипотезы наличия отличий распределения ошибок от нормального / Statistics of the hypothesis of the presence of differences in the distribution of errors from the normal Статистика гипотезы нарушения предпосылки линейности / Statistics of the hypothesis of violation of the premise of linearity Статистика гипотезы наличия гетероскедастичности / Heteroscedasticity hypothesis statistics Источник: составлено авторами на основании расчетов

4.2578 0.778 0.357 102.8

1.569 1.11

0.111

0.335 0.013

ХХЖЖХЖЖХЖэкономика и управление народным хозяйством^ХХЖХЖХХХ

от количества экономических ресурсов, или от соотношения ресурсов, или от качественных параметров. Подтверждена гипотеза о повышенной отдачи от масштаба, что говорит о том, что для крупных организаций урожайность и прочие параметры эффективности производства выше.

Можно выделить следующие направления дальнейших исследований:

- проверка полученных выводов на данных сельскохозяйственных организаций других регионов;

- проверка полученных выводов на более полной выборке, включающей в себя данные других временных периодов, и модификация моделей Коб-ба-Дугласа с учетом наличия временных рядов;

- проверка соответствия закономерностей производства зерна другим производственным функциям с разными составами факторов производства.

Таким образом, существует большой потенциал применения производственных функций в сельском хозяйстве.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Arrow K. J., Chenery H. B., Minhas B. S., Solow R. M. Capital-labor substitution and economic efficiency // The Review of Economics and Statistics. 1961. V. 43. №. 3. P. 225-250.

2. Solow R. M. A contribution to the theory of economic growth // Quarterly Journal of Economics. 1956. V. 70. № 1. P. 65-94.

3. Geary R. C. A note on «A constant-utility index of the cost of living» // The Review of Economic Studies. 1950. V. 18. № 1. P. 65-66.

4. Revankar N. S. A class of variable elasticity of substitution production functions // Econometrica. 1971. V. 39. № 1. P. 61-71.

5. Lu Y. C., Fletcher L. B. A Generalization of the CES production function // Review of Economics and Statistics. 1968. V. 50. P. 449-452.

6. Liu T. C., Hildebrand G. H. Manufacturing production functions in the United States. Ithaca: Cornell University Press, 1965. 224 p.

7. Kadiyala K. R. Production functions and elasticity of substitution // Southern Economic Journal. 1972. Vol. 38. P. 281-284.

8. Bruno M. A Note on the implications of an empirical relationship between output per unit of labor, the wage rate and the capital-labour ratio // Unpub. Mimeo. Stanford. 1962.

9. Bruno M. Estimation of factor contribution to growth under structural disequilibrium // International Economic Review. 1968. V. 9. P. 49-62.

10. Bond S., Hashemi A., Kaplan G., Zoch P. Some unpleasant markup arithmetic: Production function elasticities and their estimation from production data // Journal of Monetary Economics. 2021. V. 121. P. 1-14. https://doi.org/10.1016/jjmoneco.2021.05.004

11. Кантор О. Г., Спивак С. И. Моделирование параметров расширенной функции Кобба-Дугласа в условиях неопределенности исходных данных // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2019. Т. 23. № 1 (83). С. 104-109.

12. Arreola J. P. L., Yagil D., Johnson A. L. Insights from machine learning for evaluating production function estimators on manufacturing survey data // Journal of Productivity Analysis. 2020. V. 53. P. 181-225.

13. Суворов Н. В., Ахунов Р. Р., Губарев Р. В., Дзюба Е. И., Файзуллин Ф. С. Применение производственной функции Кобба-Дугласа для анализа промышленного комплекса региона // Экономика региона. 2020. Т. 16. № 1. С. 187-200.

14. Пономарева О. С., Афанасьев А. А. Народнохозяйственная производственная функция России в 1990-2017 гг. // Экономика и математические методы. 2020. Т. 56. № 1. С. 67-78.

15. Никоноров В. М. Математическая модель экономики РФ (трехфакторная производственная функция) // Наука и бизнес: пути развития. 2020. № 2 (104). С. 156-161.

16. Dritsaki K., Stamatiou P. Cobb-Douglas Production Function: The Case of Poland's Economy // Advances in Time Series Data Methods in Applied Economic Research. 2018. Chapter 21. P. 465-483.

17. Zhanga Q., Dong W., Wena C., Li T. Study on factors affecting corn yield based on the Cobb-Douglas production function // Agricultural Water Management. 2020. № 228. 105869.

XXXXXXXXXXeconomics and national economymanagementXXXЖXЖXЖЖXш

18. Проскура Н. В., Черёмухин А. Д. Методика определения производственных функций для сельскохозяйственных организаций // Экономика сельского хозяйства России. 2020. № 12. С. 50-58.

19. Шамин А. Е., Черемухин А. Д. Анализ производства зерна в сельскохозяйственных организациях методом производственных функций // Никоновские чтения. 2018. № 23. С. 163-165.

20. Pena E. A., Slate E. H. Global validation of linear model assumptions // Journal of the American Statistical Association. 2006. № 101. Р. 341-354.

21. Хацкевич Г. А., Проневич А. Ф., Чайковский М. В. Двухфакторные производственные функции с заданной предельной нормой замещения // Экономическая наука сегодня. 2019. № 10. С. 169-181.

Статья поступила в редакцию 17.09.2021; одобрена после рецензирования 18.10.2021;

принята к публикации 21.10.2021.

Информация об авторах: А. Д. Черемухин - к.э.н., доцент кафедры «Физико-математические науки», Spin-код: 3067-9927; А. Н. Игошин - к.э.н., доцент кафедры «Экономика и автоматизация бизнес-процессов», Spin-код: 2788-7770; Н. Н. Кучин - д.с.-х.н., профессор кафедры «Технический сервис», Spin-код: 7394-2263.

Заявленный вклад авторов:

Черемухин А. Д. - сбор и обработка материалов, компьютерные работы, написание окончательного варианта текста.

Игошин А. Н. - формулирование основной концепции исследования.

Кучин Н. Н. - общее научное руководство, участие в обсуждении материалов статьи.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов

REFERENCES

1. Arrow K. J., Chenery H, B., Minhas B. S., Solow R. M. Capital-labor substitution and economic efficiency, The Review of Economics and Statistics, 1961, Vol. 43, No. 3, pp. 225-250.

2. Solow R. M. A contribution to the theory of economic growth, Quarterly Journal of Economics, 1956. Vol. 70, No. 1, pp. 65-94.

3. Geary R. C. A note on «A constant-utility index of the cost of living», The Review of Economic Studies, 1950, Vol. 18, No. 1, pp. 65-66.

4. Revankar N. S. A class of variable elasticity of substitution production functions, Econometrica, 1971, Vol. 39, No. 1, pp. 61-71.

5. Lu Y. C., Fletcher L. B. A Generalization of the CES production function, Review of Economics and Statistics, 1968, Vol. 50, pp. 449-452.

6. Liu T. C., Hildebrand G. H. Manufacturing production functions in the United States, Ithaca: Cornell University Press, 1965, 224 p.

7. Kadiyala K. R. Production functions and elasticity of substitution, Southern Economic Journal, 1972, Vol. 38, pp. 281-284.

8. Bruno M. A Note on the implications of an empirical relationship between output per unit of labor, the wage rate and the capital-labour ratio, Unpub. mimeo, Stanford, 1962.

9. Bruno M. Estimation of factor contribution to growth under structural disequilibrium, International Economic Review, 1968, Vol. 9, pp. 49-62.

10. Bond S., Hashemi A., Kaplan G., Zoch P. Some unpleasant markup arithmetic: Production function elasticities and their estimation from production data, Journal of Monetary Economics, 2021, Vol. 121, pp. 1-14. https://doi.org/10.1016/jjmoneco.2021.05.004

11. Kantor O. G., Spivak S. I. Modelirovanie parametrov rasshirennoj funkcii Kobba-Duglasa v usloviyah neo-predelennosti iskhodnyh dannyh [Modeling the parameters of the extended Cobb-Douglas function under conditions of uncertainty in the initial data], Vestnik Ufimskogo gosudarstvennogo aviacionnogo tekhnicheskogo universiteta [Bulletin of the Ufa State Aviation Technical University], 2019, Vol. 23, No. 1 (83), pp. 104-109.

80

ХХЖЖХЖЖХЖэкономика и управление народным хозяйством^ХХЖХЖХХХ

12. Arreola J. P. L., Yagil D., Johnson A. L. Insights from machine learning for evaluating production function estimators on manufacturing survey data, Journal of Productivity Analysis, 2020, Vol. 53, pp. 181-225.

13. Suvorov N. V., Ahunov R. R., Gubarev R. V., Dzyuba E. I., Fajzullin F. S. Primenenie proizvodstvennoj funkcii Kobba-Duglasa dlya analiza promyshlennogo kompleksa regiona [Application of the production function of Cobb-Douglas for the analysis of the industrial complex of the region], Ekonomika regiona [Economy of the region], 2020, Vol. 16, No. 1, pp. 187-200.

14. Ponomareva O. S., Afanas'ev A. A. Narodnohozyajstvennaya proizvodstvennaya funkciya Rossii v 19902017 gg. [National economic production function of Russia in 1990-2017], Ekonomika i matematicheskie metody [Economics and Mathematical Methods], 2020, Vol. 56, No. 1, pp. 67-78.

15. Nikonorov V. M. Matematicheskaya model' ekonomiki RF (trekhfaktornaya proizvodstvennaya funkciya) [Mathematical model of the economy of the Russian Federation (three-factor production function)], Nauka i biznes: puti razvitiya [Science and business: ways of development], 2020, No. 2 (104), pp. 156-161.

16. Dritsaki K., Stamatiou P. Cobb-Douglas Production Function: The Case of Poland's Economy, Advances in Time Series Data Methods in Applied Economic Research, 2018, Chapter 21, pp. 465-483.

17. Zhanga Q., Dong, W., Wena, C., Li, T. Study on factors affecting corn yield based on the Cobb-Douglas production function, Agricultural Water Management, 2020, No. 228, 105869.

18. Proskura N. V., Cheryomuhin A. D. Metodika opredeleniya proizvodstvennyh funkcij dlya sel'skohozyajst-vennyh organizacij [Methodology for determining production functions for agricultural organizations], Ekonomika sel'skogo hozyajstva Rossii [Agricultural Economics of Russia], 2020, No. 12, pp. 50-58.

19. Shamin A. E., Cheremuhin A. D. Analiz proizvodstva zerna v sel'skohozyajstvennyh organizaciyah metodom proizvodstvennyh funkcij [Analysis of grain production in agricultural organizations by the method of production functions], Nikonovskie chteniya [Nikon readings], 2018, No. 23, pp. 163-165.

20. Pena E. A., Slate E. H. Global validation of linear model assumptions, Journal of the American Statistical Association, 2006, No. 101, pp. 341-354.

21. Hackevich G. A., Pronevich A. F., Chajkovskij M. V. Dvuhfaktornye proizvodstvennye funkcii s zadannoj predel'noj normoj zameshcheniya [Two-factor production functions with a given marginal rate of substitution], Ekonomicheskaya nauka segodnya [Economics today], 2019, No. 10, pp. 169-181.

The article was submitted 17.09.2021; approved after reviewing 18.10.2021; accepted for publication 21.10.2021.

Information about the authors: A. D. Cheremuhin - Ph. D. (Economy), associate professor of the chair «Physics and mathematics», Spin-code: 3067-9927;

A. N. Igoshin - Ph. D. (Economy), associate professor of the chair «Economics and automation of business processes», Spin-code: 2788-7770;

N. N. Kuchin - Dr. Sci. (Agricultural), professor of the chair «Technical service», Spin-code: 7394-2263.

Contribution of the authors:

Cheremuhin A. D. - collection and processing of materials, preparation of the initial version of the text, computer work.

Igoshin A. N. - developed the theoretical framework.

Kuchin N. N. - managed the research project, participation in the discussion on topic of the article.

The authors declare no conflicts of interests.