CC BY
17
УДК 517.518
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛНОЙ НАБЛЮДАЕМОСТИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ВОЗМУЩЕННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
UDC 517.518
RESEARCHING OF COMPLETE OBSERVABILITY OF TIME - VARYING PERTURBED DYNAMICAL SYSTEM
Фам Туан Кыонг аспирант
Воронежский государственный университет, Воронеж, Россия
Статья посвящена исследованию полной наблюдаемости нестационарной возмущенной дифференциально-алгебраической системы. Применяется метод каскадного расщепления исходных пространств на подпространства. Выводится формула для нахождения вектора состояний системы. Устанавливается связь между входной и выходной функциями
Pham Tuan Cuong postgraduate student
Voronezh State University, Voronezh, Russia
The article is devoted to the researching of complete observability of time-varying perturbed differential-algebraic system. The method of cascade splitting of the original space to the subspace is used. The formula for finding the state vector is derived. The relations between input and output functions are obtained
Ключевые слова: НЕСТАЦИОНАРНАЯ Keywords: TIME-VARYING PERTURBED
ВОЗМУЩЕННАЯ СИСТЕМА НАБЛЮДЕНИЯ, SYSTEM, COMPLETE OBSERVABILITY,
ПОЛНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ, КАСКАДНОЕ CASCADING SPLITTING
РАСЩЕПЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается дифференциально-алгебраическая нестационарная возмущенная система:
dx(t, e)
------= B(t ,e) x(t ,e) + f (t, e), (1)
dt
F (t ,e) = A(t ,e) x(t, e), (2)
где: x(t,e)e Rn; B(t,e) = Bo(t) + eBo1x(t,e);B0(t),B01(t,e):Rn ®Rn ;
A(t,e) = A0(t) + eA01x(t,e); A0(t),A01(t,e):Rn ®Rm ; B(t,e) = B0(t) + eB01x(t,e);
f (t,e)eRn ; F(t,e)eRm; te[0,T] ; ee[0,e0].
Вектор-функция x(t,e) называется вектором состояний системы, f (t ,e) и F (t ,e)
- входной и выходной функциями, соответственно. Система
(1), (2) называется полностью наблюдаемой, если состояние системы в любой момент времени определяется однозначно по реализуемым входной и выходной функциям.
Постановка задачи полной наблюдаемости динамической стационарной системы (e= 0,B(t,e)=const,A(t,e)=сош)связана с именем Р. Калмана. Вопросы полной наблюдаемости различных систем изучались в работах: Н.Н. Красовского, В.М. Попова, Э.Б. Ли и Л.М. Маркуса, D,Aнжело, Ю.Н. Андреева, В.И. Гурмана, Х. Кванернаака и Р. Сивана, Ю.Е. Бояринцева, С.А. Красновой и В.А. Уткина, А.Ф. Щегловой и др., а также в работах И.К. Асмыковича и В.М. Марченко, Т.Б. Копейкиной и О.Б. Цехан, S.L. Campbell, J.D. Cobb, F.N. Koumboulis и B.G. Mertzrns, E.L. Yip и R.F. Sincovec, P.N. Paraskevopoulos и др.
Для линейных стационарных систем наблюдения, как правило, рассматривался случай регулярного пучка (A - ^B).
При исследовании полной наблюдаемости возмущенной системы (1),
(2) будем использовать метод каскадной декомпозиции исходного пространства. От исходной системы переходим к эквивалентным системам в подпространствах. Этот метод применялся ранее для исследования полной наблюдаемости и полной управляемости различных стационарных систем [1,2], при выявлении инвариантности динамической системы относительно некоторых возмущений [3], при решении задачи управления для одной макроэкономической модели [4], а также при исследовании полной наблюдаемости нестационарной предельной системы [3].
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛНОЙ НАБЛЮДАЕМОСТИ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим дифференциально-алгебраическую нестационарную предельную систему:
dx (t) _
—— = B0(t) x (t) + f (t), (3)
dt
F (t) = A0(t) x (t). (4)
Матрице A0(t) соответствуют разложения:
Rn = KerA^(t) -&ImA0(t) , Rm = KerA^(t) -&ImAg(t) , (5)
где Im A0(t) - множество значений A>(t) в Rn; KerA0(t) - множество решений уравнения A(t)x (t) = 0 в Rn; Im A*(t) - прямое дополнение к подпространству KerA0(t); KerAi)(t) - прямое дополнение к подпространству ImA0(t). Через P0(t) и Q0(t) обозначим проекторы на подпространства KerA0(t) and KerA*(t), соответственно, а через (1 -P0(t)) и (1 -Q0(t)) -проекторы на подпространства ImA0(t) и ImA*(t), соответственно. I -единичная матрица в соответствующем пространстве.
Сужение A0(t) отображения A)(t) на подпространство KerA*(t) осуществляет взаимнооднозначное соответствие между
подпространствами ImA*(t) и ImA0(t), соответственно. Введем A-(t) -
полуобратную матрицу: A-(t) = (t)(I - Q0(t)).
Уравнение (4) эквивалентно системе:
Q0(t) F (t) = 0, (6)
x (t) = A0- (t) F (t) + x1(t), (7)
с произвольной вектор-функцией x1(t) = P0(t)x(t) eKerA0(t).
Доказано [5], что dimA0(t) = const "te [0,T], при условии
дифференцируемости матрицы P0(t) e[0,T]. Потребуем выполнения
этого условия. Введем обозначение n0 = dim KerA0(t).
В этом случае возможны три случая: 1) n0 = n; 2) n0 = 0; 3) 0 < n0 < n. Рассмотрим их подробнее.
1) п0 = п ® 1т А0(г) = {0} . Уравнение (4) имеет вид: Р(1) ° 0. Функция
состояния , как решение дифференциального уравнения (3), находится неединственным образом.
Система (3), (4) является ненаблюдаемой.
2) п0 = 0 ®КегА0(?) = {0}.
Случай инъективной матрицы А0(1) ^ р0(1) = 0 " е[0,т ].
Функция состояния х (^) определяется единственным образом по формуле (7) и имеет вид:
х (*) = ц ^) Р 0). (8)
с учетом выражения (8), уравнение (3) принимает вид:
0) Р 0)
dt
= B*(t) A0- (t) F (t) + f (t) (9)
- это соотношение «входа - выхода», которому должны удовлетворять f (t) - входная и F (t) - выходная функции. Заметим, функция A (t)F(t) необходимо дифференцируема. Таким образом, в случае инъективной матрицы A0(t) система (3), (4) является полностью наблюдаемой.
3) 0 < n0 < n. С учетом выражения (7) уравнение (3) принимает вид:
dx1(t) dA0 (t)F(t) - _
—, + 0 , = B0(t) x1(t)F(t) + B0(t)A* (t)F (t) + f (t). (10)
dt dt
Введем обозначения:
P0(t)B0(t)Po(t) = B1(t):KerA(t) ® KerA)(t) ;
(1 - P(t)) Bo(t) P0(t)=A1(t): KerAo(t) ®Im A (t); po(t)(Bo(t) A (t) F (t)+f (t))=f1(t )e KerAo(t);
dA)(t)F(t) - (I - P (t))(Bo (t)A (t)F(t) + f (t)) = F1(t) e Im A*(t). (11)
dt
“Расщепим” уравнение (10) на уравнения в подпространствах и перейдем к системе:
dx1 (t)
= B1(t) ^(t) + f1(t), (12)
dt
F1(t) = A1(t) x1(t). (13)
Таким образом, от системы (3), (4) переходим к эквивалентной совокупности условий (6), (7) и редуцированной системе первого шага расщепления (12), (13). При исследовании полной наблюдаемости системы (12), (13) рассуждаем так же, как и при исследовании системы (3), (4).
Матрице A1(t) соответствуют разложения:
KerA* (t) = KerA1 (t) &Im A1 (t) , Im A* (t) = KerAli (t) &Im A1 (t). (14)
Подпространства, проекторы на них и полуобратная матрица A- (t)
определяются так же, как для разложений (5) (с заменой индексов “0” на “1” и “1” на ”2” ). Уравнение (13) эквивалентно системе:
Q1 (t) F1(t) = 0, (15)
x1(t) = A1 (t)F(t) + x2(t), (16)
с произвольной вектор-функцией x2(t) e KerA1(t). Потребуем
дифференцируемости матрицы P1(t) "t e[0,T ]. В этом случае
dim KerA1(t) = const. Обозначим: n1 = dimKerA1(t).
Здесь возможны три случая: 1) n1 = no; 2) n1 = 0; 3) 0 < n1 < no. Рассмотрим их подробнее.
1)n1 = no ®Im A1(t) = {0} . Уравнение (16) имеет вид: F1(t) ° 0.
Функция состояния х1(1), как решение дифференциального уравнения (15) находится неединственным образом. Система (12), (13) является ненаблюдаемой. Система (3), (4) также является ненаблюдаемой.
2) п1 = 0 ® КегА^) = {0}. Случай инъективной матрицы А1(г) ^ Р1(г) ° 0.
Функция состояния х (г) определяется единственным образом по формуле (16) и имеет вид:
х1(г) = А_ (г) р1(г). (17)
С учетом выражения (17) уравнение (12) принимает вид:
йАл (г) Р1(г) _
1 , 1 = «,(04 (г)Р1(/) + /,(/) (18)
йг
- это соотношение “входа - выхода”, которому должны удовлетворять т) - входная и Рх(г) - выходная функции редуцированной системы первого шага (12), (13). Заметим, функция А_(г)Р1(г) необходимо
дифференцируема "ге[0,т]. Система (12), (13) является полностью наблюдаемой. Функция состояния предельной системы (3), (4)
единственным образом “восстанавливается44 по формулам (7) и (17):
х(г) = £ А,_ (г) р (г), с Р0(г) = Р (г). (19)
,=0
Подстановка выражения (19) в уравнение (3) задает соотношение “входа - выхода”, которому должны удовлетворять / (г) - входная и р (г) -выходная функции системы (3), (4):
-£А, (г)р(г) = В0(г)£А, (г)р(г) + /(г). (20)
йг ,=0 ,=0
1
Заметим, функция £ А, (г)р (г) необходимо дифференцируема "ге[0,т].
,=0
Таким образом, в случае инъективной матрицы А1(г) система (3), (4) является полностью наблюдаемой.
3) 0 < п1 < п0. Продолжается процесс каскадного расщепления для системы
(12), (13).
Пусть предельная система (3), (4) полностью наблюдаема с
инъективной матрицей А1(г).
Исследование полной наблюдаемости возмущенной системы
Уравнение (2) эквивалентно системе:
-еСШАнМ) х(г,е) = О0(г) Р (г ,е), (21)
(I + еА_ (г)А01(г,е)х(г,е) = А_(г)Р(г,е) + х1(г,е), (22)
с произвольной вектор-функцией х1(г ,е) = Р0(г) х(г ,е)е КегА0(г).
Пусть е таково, что еД_(г)А01(г,е) < 1, "ге[0,Г], тогда при
е< ш1и(е0,е1 ) из (22)
выражаем:х(г,е) = (I + еА_(г)А01(г,е)) (А_(г)Р(г,е) + х1(г,е)). (23)
Домножим обе части уравнения (1) на матрицу (1 + еА0(г) А01(г ,е)) и с учетом (22) и (23) получим уравнение:
(I + еА0_(г)А01(г,е)) Б(г,е)(I + еА_(г)Аи(г,е)) (л_(г)Р(г,е) + х^г,е)) + /(г,е) . (24) Заметим: (I + еА,_(г )А01(г,е)) Б(г,е) (I + еА_(г )А01(г,е)) =
= Б0(г) + е (I + еА (г)А)1 (г, е)) Б01 (г, е) (I + еА (г)Аи (г, е))
Обозначим:
Р0 (г) (I + еА0 (г) А01 (г, е)) Б (г, е) (I + еА_ (г) А01(г, е)) 1Р0 (г) = Б1 (г, е),
(I _ Р0 (г)) (I + еА_ (г)А01 (г, е)) Б(г, е) (I + еА_ (г)Аи(г, е)) 1Р0 (г) = А1 (г, е),
Б1(г,е) = Б1(г) + еБ11(г,е) и Б1 (г) = Р0 (г) Б0(г) Р0(г);
Б1(г,е) = Б1(г) + еБ11(г,е) и А1(г) =(I _ Р0(г)) Б0(г) Р0(г);
^ ^(г,е) _(I_Po(г))(I + еА_(г)Ац(г,е)).
Б(г, е) (I + еА0 (г)А01(г,е)) Аз (г)Р(г,е) + /(г, е)
Р0(г) (I + еА0_(г) А01(г ,е)).
Б(г, е) (I + еА_ (г) А01 (г, е)) А_ (г) Р (г, е) + / (г, е)
(25)
= Р1(г ,е);
= /1(г ,е).
Здесь А1(г), А11(г,е):КегА0(г) ® 1шА,*(г); Б1(г), Б11(г,е):КегА0(г) ® 1шА0(г) ;
/1(г, е)е КегА0(г); (г, е)е 1ш А0(г).
“Расщепим” уравнение (24) на уравнения в подпространствах КегА0(г) и 1ш А*(г); с учетом обозначений (25), перейдем к системе:
йх (г, е)
1 = Б1 (г, е) х1 (г, е) + /1 (г, е), (26)
йг
Р (г, е) = А1 (г, е) х1 (г, е). (27)
Таким образом, от системы (1), (2) переходим к эквивалентной совокупности условий (21), выражения (23) и редуцированной системе первого шага расщепления (26), (27). Матрица А1(г) инъективна. Пусть е
еА1 (г)А11(г,е) < 1 "ге[0,Т], тогда, при е<ш1и(е0,е1,е2),
уравнение (27) эквивалентно системе:
_£(21(г)А11(г,е)х1(г,е) = д1(г)Р1(г,£) , (28)
, (г, е) = (I + еА_(г) А,, (г, е))_ А_ (г) Р (г, е). (29)
таково, что
Функция состояния х1(г,е) единственным образом определяется по формуле (29). Система (26), (27) является полностью наблюдаемой.
Потребуем выполнения условия: (I + еА1 (г)А11(г,е)) Р(г,е)е С
[0,Т ]
(30)
При подстановке выражения (29) в уравнение (26) и условие (28), получаем соотношение “входа - выхода”, которому должны удовлетворять /1(г ,е) - входная и ^1(г,е)- выходная функции редуцированной системы первого шага (26), (27):
й
(I +еАдг)Ап(г,е)) а (г)^1(г,е) =
(31)
- (I + еА_ (г) А11 (г, е))~ А_ (г) Р (г, е) =
= Б1(г,е) (1 + еА1 (г)Ац(г,е)) Р1(г,е) + /1(г,е'),
^(г )(1 + еАп(г ,е)) (I + еА_ (г) Ап(г ,е)) А_ (г) ^(г ,е) = 0
(32)
Система (26), (27) является полностью наблюдаемой. Функция состояния исходной системы (1), (2) единственным образом
“восстанавливается44 по формулам (23), (29) и имеет вид:
х(г ,е) = £
,=0
1
П(1 + еА] (г)Ап(г,е))
.}=0
А_ (г)Р (г, е), с р(г) = Р (г).
(33)
Потребуем выполнения условия:
£
,=0
П(1 + еА] (г)Ап(г,е))
J =о
А_ (г)Р (г,е) е С^]
(34)
При подстановке выражения (33) в уравнение (1) и условие (21) получаем соотношение «входа - выхода», которому должны удовлетворять входная и выходная функции возмущенной системы (1), (2):
й £
йг£
П (l+еА](г) А>1(г ,е))
]=0
А (г) Р (г ,е) =
B(I ,Є)І
i=0
1 _ П(I+єAj(t) Aj'(t ,є))
J=o
A_ (t) Fi (t, є) + f (t, є). (35)
Система (1), (2) является полностью наблюдаемой.
Справедлива
ТЕОРЕМА 1. ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ УСЛОВИЙ (30), (34), ИЗ ПОЛНОЙ НАБЛЮДАЕМОСТИ ПРЕДЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ (3), (4) С ИНЪЕКТИВНОЙ МАТРИЦЕЙ Ах(г), СЛЕДУЕТ ПОЛНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ (1), (2).
В этом случае функция состояния возмущенной системы (1), (2) определяется по формуле (33). Формулы (31), (32), (35), (36) задают соотношения «входа - выхода», которым должны необходимо удовлетворять входная и выходная функции возмущенной системы.
Список литературы
1. Раецкая Е.В. Полная условная управляемость и полная наблюдаемость линейных систем: Дисс. ...канд. физ.-мат. Наук. Воронеж, 2004. 145 с.
2. Zubova S.P. On polynomial solutions of the linear stationary control system/ S.P. Zubova, L.H. Trung, E.V. Raetskaya // Automation and Remote Control. 2008. T. 69. № 11. C. 1852— 1858.
3. Зубова СП. Об инвариантности нестационарной системы наблюдения относительно некоторых возмущений/ СП. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов. 2010. Том 15, вып 6. С. 1678-1679.
4. Драпалюк М.В. Макроэкономическая модель управления тенденциями потребления и накопления в национальном доходе / М.В. Драпалюк, Е.В. Раецкая // Моделирование систем и процессов. Воронеж: ВГЛТА. 2009. № 3-4. С. 20-22.
5. Зубова СП. Полная наблюдаемость нестационарной дифференциальноалгебраической системы / СП. Зубова, Е.В. Раецкая, Фам Туан Кыонг // Вестник Воронежского государственного технического университета. Воронеж, 2010. Том 6. № 8. С. 82-86.
