CC BY
23
УДК 622.625-83:681.3.00.57(06)
Ю.П. Сташинов
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ТЯГОВОМ ЭЛЕКТРОПРИВОДЕ РУДНИЧНОГО АККУМУЛЯТОРНОГО ЭЛЕКТРОВОЗА С РЕКУПЕРАТИВНЫМ ТОРМОЖЕНИЕМ
Семинар № 21
Часть 1. Математическая модель привода
Как было показано ранее выполненными исследованиями, для рудничных аккумуляторных электровозов предпочтительна тяговая характеристика, мягкая в области номинальных нагрузок и жесткая - при повышенных и отрицательных нагрузках с автоматическим переходом в режим рекуперативного торможения на самокатных участках пути [1, 2]. Такую характеристику можно получить, используя тяговые двигатели последовательного возбуждения с подпиткой обмоток возбуждения от низковольтного источника через полупроводниковый диод, либо двигатели смешанного возбуждения с шунтированием последовательной обмотки встречно включенным диодом [1]. Подробный анализ статических характеристик указанных вариантов электроприводов был выполнен в работе [3]. Но, учитывая, что на долговечность и эксплуатационную надежность тяговых электроприводов большое влияние оказывает характер переходных процессов, требуется всестороннее исследование неустано-вившихся режимов работы рассматриваемых электроприводов с тем, чтобы выяснить закономерности изменения переменных величин во времени и установить характер и степень влияния отдельных факторов на качественные показатели привода в динамике.
Широкие возможности в этом направлении открывает применение ЭВМ, позволяющих вести исследование переходных процессов в сложных электроприводах с учетом всех основных факторов и нелинейностей. Однако, позволяя приближенно решить любую конкретную задачу численными методами, компьютерное моделирование не допускает анализа проблемы в общей форме. Поэтому представляет интерес приближенное аналитическое решение уравнений динамики путем их линеаризации, для общего случая - ненулевых начальных условий и любых возмущений. Тяговый электропривод при этом целесообразно рассматривать как динамическую систему со многими взаимосвязанными переменными, а уравнения переходных процессов удобно представить в относительных единицах, т.е. привести их к наиболее общему виду, не связанному с масштабами и размерностями. При такой записи существенно сокращается число коэффициентов уравнений, упрощается совместное рассмотрение элементов разной физической природы, облегчается определение общих динамических свойств системы и сравнение вариантов [4].
Рис. 1. Эквивалентная электрическая схема N - двигательного тягового электропривода
Для рассматриваемых N
- двигательных электро-Е2 приводов в общем случае справедлива эквивалентная электрическая схема (рис. 1), и приведенная ниже система нелинейных дифференциальных уравнений [5] ■- при записи их в операторной форме и относитель-
ных единицах:
/я-(рТя + К) + ¡, ■ Я12. + 1Ш- • гв, + Еян, -ю, • Ф. + +рТ5 ■ /Е- + рТф- = Е1., (1)
1Я. ■ К12* + А ■ г, + рТ5 ■ 4, + рТмф, = Е2* , (2)
1Я * ■ гв- + /ш ■ ■ Кш ■ + рТ81е- + рТмФ ■ = -ид.о- , (3)
/Е- -Я'/я- - рТкФ- = />(Ф-), (4)
IЕ- = /я- + А + /0-, (/0■ > 0) (А > 0) (5)
/я- ■ Ф- - Мс-(ю-) = рТтю-, (6)
где /я- , ¡. , /ш- - относительные значения (в долях номинального тока
часового режима 4) токов: якоря электродвигателя, приведенной цепи независимых обмоток возбуждения (приведенной цепи источника подпитки - для электропривода с двигателями последовательного возбуждения) и цепи, шунтирующей в двигателе смешанного возбуждения последовательную обмотку в режиме рекуперации; К12- , гв- , Иш- - относительные величины соответствующих сопротивлений (за базовое значение принято сопротивление Кн=1 Ом); ю- - относительное значение угловой скорости (в долях номинальной
угловой скорости часового режима юн ); Ф- - относительная величина магнитного потока (за базовое значение принят магнитный поток Фн, соответствующий номинальным ампервиткам возбуждения при холостом ходе электродвигателя; Е ян- - относительная величина противо-э. д. с. вращения якоря при номинальных значениях угловой скорости и магнитного потока (за базовое значение напряжения принята величина ин = /н ■ Ин); Я = в ■ 31дп/я;
в - приведенный коэффициент интенсивности реакции якоря; Тя, Тм , Тк , Т3 -расчётные электромагнитные постоянные времени якорной цепи, последовательной обмотки возбуждения, контура вихревых токов и от потоков рассеяния; Тт - расчётная электромеханическая постоянная времени привода.
т = ^я; т = ро ■ '^с ‘ Фн; т == Т- ; т = ; т = ^ ■ юн
я Кн’ - ин ’ к Кк- ‘; 5 Кн ’ т Мн ’
где ро , - - число пар полюсов и количество витков последовательной об-
мотки возбуждения на пару полюсов; Ик - - относительная величина приведенного сопротивления контура вихревых токов; J , Мн - приведенный к валу двигателя момент инерции движущихся масс привода и номинальный электромагнитный момент двигателя.
В уравнениях (1, 2) дополнительно приняты следующие обозначения:
К1- + гв- + К12- = К- ; К2- + К12- = г- ; Кш- = Кш- + Гв- .
Эквивалентная электрическая схема, приведенная на рис. 1, и уравнения динамики (1...6) справедливы для различных вариантов тяговых электроприводов. Так, при исследовании переходных процессов в электроприводах с двигателями последовательного возбуждения с подпиткой обмоток от низковольтного источника, а также в приводах с двигателями смешанного возбуждения без шунтирования последовательной обмотки встречно включенным диодом достаточно разорвать цепь диода VI (принять равной нулю проводимость дш- = 1/ Иш- = 0). При исследовании переходных процессов в тяговых двигателях последовательного возбуждения без подпитки обмоток возбуждения достаточно разорвать цепь диода V2 (приравнять нулю проводимость д- = 1/ г-).
С учетом сказанного, для дальнейшего анализа принята общая система уравнений динамики (1.6).
Линеаризуем их и запишем в приращениях:
/я- = /я-(о) + А/я-, ¡- = и°) + Д- , /ш- = /ш-(°) + А/ш-, Ф- = Ф-(о) + ДФ-, где /2-(°), Ц°), /ш-(°), Ф-(°),ю-(°) - значения соответствующих переменных непосредственно перед началом рассматриваемого переходного процесса (при t=- 0); Д/2-, АЛ, Д/ш-, ДФ-, Дю- - приращения этих переменных от предначальных значений.
Тогда, пренебрегая членами с произведением приращений, получим следующие приближенные линеаризованные выражения для произведений а. ■ Фи / - ■Ф-:
я
а. ■ Ф- « а.(°) ■ Ф-(°) + а.(°) ■ ДФ-(°) + Ф-(°) ■ Дю-,
/я- ■ Ф- * /я-(°) ■ Ф-(°) + /я-(°) ■ ДФ-(°) + Ф-(°) ■ Д/я- ,
что соответствует разложению рассматриваемых нелинейных зависимостей в ряд Тейлора для функций двух переменных и учету только линейных членов разложения.
Применим кусочно-линейную аппроксимирующего зависимости намагничивающего тока — от магнитного потока Ф-: = Им„ ■ Ф- - ¡г, или в приращениях:
— = —(°) + И- ■ ДФ -, где —(°) = К-Ф-(°) - ¡„ .
Зависимость Мс(ю•), в первом приближении, также можно принять линейной, Мс- = Мс- + ус ■ а., или в приращениях Мс- = Мс-(°) + ус ■ Да. + ДМс-,
ДМс- .. й М ,
где ус =-с- - жёсткость механической характеристики нагрузки Мс<(ю‘);
Дю-
Мс-(0) = Мс- +усю*(0) - предначальное значение момента сопротивления; ДМс- - скачкообразное отклонение момента сопротивления от его предначаль-ного значения, рассматриваемое как одно из возмущающих воздействий при исследовании электромеханических переходных процессов.
Помимо изменения момента сопротивления переходные процессы в общем случае могут также вызываться различными комбинациями следующих возмущающих воздействий:
• изменением напряжения питания якорной цепи двигателей ДЕГ = Ег. - Е1-(°);
• изменением приведённой э д с источника питания цепи параллельных обмоток возбуждения (приведённой э. д. с. источника подпитки для электропривода с двигателями последовательного возбуждения) ДЕ2- = Е2- - Е2-(°);
• изменением сопротивления в якорной цепи двигателей АR- = К - К-(°) ;
• изменением сопротивления в цепи параллельных обмоток возбуждения (цепи источника подпитки) Дг- = г. - г.(°);
• изменением взаимного сопротивления якорной цепи и цепи параллельных обмоток возбуждения ДК12- = К12- - К12-(°) ;
• изменение сопротивления контура, шунтирующего последовательную обмотку возбуждения двигателя ДКш- = Кш- - Кш-(°).
Тогда уравнения (1.6), записанные в приращениях и преобразованные по Карсону, примут следующий вид:
Д/я-(5) ■ (5 ■ Тя + К-) + Д-(5) ■ К12- + Д/ш-(5) ■ гв- + Д/е-(5) ■ 5Т$ + (_)
+ДФ-(5Т- + К-) + Еш- ■ Ф-(°) ■ Дю-(5) = /г(5) , ( )
Д/я-(5) ■ К12- + Д/-(5) ■ Г- + Д/Е-(5) ■ 5Т5 + ДФ-(5) + 5^ = Е2-(5) , (8)
Д/я -(5) ■ Гв - + Д/ш-(5) ■ Кш - + Д/е-(5 ) ■ 5Т3 + ДФ-( 5) ■ 5Т- = />( 5) , (9)
-ДЕ-(5) + Я ' Д/я-(5) + ДФ-(5) ■ (5Тк + К-) = ^4-(5) , (10)
-Ыя-(5) ■Ф-(°) -ДФ-(5) ■ /я-(°) +Дю-(5) ■ (5Тт +Гс) = 45-(5), (11)
где Д/Е-(5) = Д/я-(5) + Д-(5) + Д/ш-(5), К- = Еж- ■Ю-(°). (12)
Возмущающие воздействия, стоящие в правых частях уравнений (7.11) можно представить в виде суммы предначального возмущения, определяемого состоянием системы при t = - 0, и возмущения, возникающего при t =+0.
^1-(5) = ^10-(5) + 5) , ^2-(5) = ^20-(5) + Д/>(5) ,
/>(5) = /з0-(5) + ДРз-(5) , /4-(5) = /40-(5) + Др4-(5) ,
/5-(5) = /50-(5) + Д/5-(5) ,
где /10-( 5) = Е1-(°) - /я-(°) ■ К-(°) - ¿(°) ■ К12-(°) - /ш-(°) ■ Гв - - Ея„ - ■ ю-(°) ■ Ф-(°),
/20-(5) = Ег(°) - /я-(°) ■ К12-(°) - Л(°) ■ Г-(°) , (13)
/з0-( 5) = -идл, - /я-(°) ■ Гв - - /ш-(°) ■ Кш-(°) ,
/40-(5) = /Е-(°) - Я /я-(°) - 1-(°) , /50-(5) = /я-(°) ■ Ф-(°) - Мс-(°) ,
Д/1-(5) = ДЕ1- - /я-(°) ■ ДК- - /-(°) ■ ДК12-,
Д/2-(5) = ДЕ2- - /я-(°) ■ ДК12- - ¿(°) ■ Дг-, (14)
Я10(5) = (о) + Г5^(о) + Т —(о);
10 я Л 5 Л ; сИ
Я20(5) = Язо(5) = Т5 %о) + 7; ^(о);
аі аі
Нетрудно видеть, что для случая, когда при 1= - 0 система находится в равновесии, составляющие (15) возмущений равны нулю. Поэтому при расчёте переходных процессов удобно использовать принцип наложения, согласно которому результирующее движение при t > 0 можно представить в виде суммы движения, которое имело место в системе при отсутствии возмущений (14), и нового движения только от этих возмущений, в предположении, что они выводят систему из состояния равновесия.
Используя полученную систему линеаризованных уравнений (7... 11) получим сигнальный граф рассматриваемых вариантов электроприводов. Предварительно исключим из этой системы уравнений Д1^.(Б) , используя соотношение (12), а также Д®.(5), для чего подставим из (11)
Затем разрешим уравнения (7.10) соответственно относительно Д1Я.(5),
в уравнение (7) и обозначим:
с2 = Еян- •ф2(о) , сз = Еш-Ф-(о) • 4-(о) •
(16)
Д-(5) , Мш-(5) , ДФ-(5) •
В результате получим:
дія-(5) = 3-ю • Я1-(5) + дгг • Д-(5) + діз • Д1Ш■(5) +ді4 • ДФ-(5), Д-(5) = д2о • />(5) + д21 • Дія-(5) + д23 • ДІ0-(5) + 324 • ДФ-(5) , ДІ0-(5) = 3з0 • Яз-(5) + 3з1 • Дія-(5) + Зз2 • Д(5) + Зз4 • ДФ(5) , ДФ-(5) = 340 • Я4-(5) + 341 • Дія-(5) + 342 • Д-(5) + 34з • ДІШ-(5) ,
1
575 + ^12'
где 310 =
; 312 =
31з =-
5 (7я +
5Г75 + ^
; 314
; 32з
(17)
Рис. 2. Обобщённый сигнальный граф тягового электропривода
К*- <0 1
з? + г. ’ 3и г-) зТз + Я ■
5Г + Г ■ зТ
зТз + Я0 * 532 зТз + Яш ■
К* «0 1 1
зТз + Я0 ■ ; 540 ^ > з?! + Я-
1 -X 1
зТк + Яи* ' 542 зТк + Я-
1
зТк + Яи*
524 =
9з1
534 =
541
543 =
Для получения общего решения перенумеруем узлы, формирующие переменные, через а, Д У, 3 закрепив за индексами следующие возможные сочетания, получаемые круговой перестановкой: а = 1, Д = 2, у = 3, 3 = 4; а = 2, Д = 3, у = 4, 3 = 1;
а = 3, Д = 4, у= 1, 3 = 2; а = 4, Д = 1, у= 2, 3 = 3.
Обозначим при этом возмущающие воздействие и переменные, формируемые узлами, соответственно через Р(в) и У^э), где /=а, Д у, 3. Индекс указывает, на какой узел поступает возмущение и соответственно каким узлом формируется данная переменная. Проводимости ветвей графа также обозначим двойными индексами, указывающими узлы входа и выхода данной ветви. В результате получим обобщённый сигнальный граф, приведённый на рис. 2.
Для рассматриваемых переходных процессов:
У =МЯ■ ;
Уз =Д!Ш ■;
У4 = дф ..
(18)
Запишем выражение для величины, формируемой узлом а [6]:
ЕЕ О-д- ъ
у =-^-]--------------,
а д
где О, - проводимость ]-го прямого пути от /-го входного узла к выходному узлу а, равная произведению проводимостей всех ветвей, входящих в ]-й прямой путь; Д - детерминант графа; Д] - значение Д для той части графа, которая не касается /го прямого пути от /-го узла к выходному узлу.
Выражение для Д запишется в следующем виде:
д = (1 — 9рг - 9д — 9Д3 ' 93д — 373 - д3у — 9рг - 9Г3 - 93д — 9Д3 ' 93у - 9д ) —
—9Да[ 9аД (1 — 9 у3 - 93у ) + 9ау - 9 уД + 9 а3 - 9 3Д + 9 ау - 9 у3 - 93Д + 9 а3 - 9 3у - 9 ур\ —
—9уа[9ау (1 — 9Д3 - 93Д) + 9аД - 9 Ду + 9 а3 - 93у + 9аД ' 9Д3 - 93у + 9 а3 - 93Д ' 9Ду \ ~
—93а а9а3(1 — 9Ду - 9уД) + 9аД - 9Д3 + 9ау - 9у3 + 9аД ' 9Ду - 9^3 + ' 9уД ' 9Д3] .
Найдём теперь выражение для числителя формулы (18).
Рис. 3. Преобразованный обобщённый сигнальный
граф тягового электропривода
Разделим числитель и знаменатель выражения для Уа (18) на Да0 и обозначим:
, [ Яа.В (1 Зуд ' Зду ) + Заг ' 3 гВ + Зой ' 3 дВ + 3аг ' 3 г5 ' 3 дВ + Зад ' 35г ' 3 гр ] 3,
Да
ау ¿5 уд
і ад ¿>ду
¿ар ч
Д [ За.у (1 3 рд ' Зр) + За
Да0
"Д [ Зад (1 — 3 Ру ' Зур) + За
Д
3Ру + 3ад ' Здг + 3
ад <5 ду
' Здг + 3ад ' Здв ' ] З<
3рд + 3ау 3 уд + 3 а,р 3 Ру 3 уд + 3 ау 3 у[
= Я а
В результате выражение для Уа запишется в виде:
у = Еа ' 3а0 + Ер ' 3р0 ' 3ар + Еу ‘ 3у0 ' 3ау + Ед ' 3д0 ' 3ад
а ~ 1 *
1 3ра 3ар Зуа 3ау 3 да ЗЯад
Последнему выражению соответствует преобразованный линейный сигнальный граф, представленный на рис. 3.
Подставляя в полученное соотношение развернутые выражения для проводимостей ветвей сигнального графа (17), после преобразования получаем:
I Яа, (^)Р,
У а ( 5) =
)
(19)
(20)
О(з) О(з)
Характеристический многочлен, стоящий в знаменателе этого выражения имеет вид:
Я(5) = 5 + З35 + &25 + + З0 ,
где а4 = З0.ТяТаТкТт ; аз = Тт[ТЯ(З0Т + Тк) + Та(3^Я’м,Тя + )] + у^.Т^Т, ;
З2 = Тт [Лэ*( З0ТМ + Тк ) + рк (Л + рк )ТЦ + К'м-Тя + Т5 (<01 Л'м* - Я'З0-К-)] +
+гс [Тя(З0Т + Тк) + Т5(З0-К-Тя + с1Тк)] + З0-с2Т5Тк;
З = Тт(Я,Л, + рК.) + Я.(З0Т + Тк) + рЛ + р)ТМ + Я'Тя + Т{о,Я, - аКЛЗ0.К,)] +
+30-Т5(02Л„■ - аяЛо3);
З0 = 02 Л■ + рк03 + 7о ( Лэ*Л'м■ + ркК*) ;
30* = 3* + зш■; Л - Р1Л12*- Р2гв■ = Л1* +(1 - рд Л12* +(1 - Р2)гв■;
ря = 1 - р1 - р2 - Л ; р1 = 3* Л12* ; р2 = Зш*Гв‘ ;
01 = 1 + 3*(- 2Л12*) + З0*[Л* - 2гя* - 3*(Г,* - Л12*)2] .
Числитель выражения (19) в общем случае также представляет собой многочлен 4-й степени относительно 5:
А(5) = ¿а + ^2а52 + ^ + ¿0а ,
причем д4а ф 0 только для а = 2; 3 и при условии, что не равны нулю д,
и дш
В частности при а = 1 (для приращения тока якоря):
А(5) = Р11(5)71* + ^12(3)Е2* + Р13(5)Е3* + )^4* >
где
ДЛ5) = (Тт5 + ){доТГк52 + [до*(Гм + Я,Т) + Тк]5 + Я,);
Д2(5) = -д,{Тт5 + ус)[К1ТаТк52 + 5(КТ + КЯТ, + ад) + К, + Я12-Я;*] - д*С3;
Ои(5) = -дш,(Тт5 + ус)[КТТк52 + 5(КТ + К1 Я;,Т, + К, + г>Тх) + К, + г>Я;,] - дс,; (21)
Д4( 5) = (Тт5 + Ус )[5 (в'Т + ЛТ» + до■ К*Т ) + К*] - С3( д0*Т55 +1;
К, = 1 - дш,(гв, - Я12*); К = 1 - д■(Я12* - О .
Для электрических переходных процессов, разделив числитель и знаменатель выражения (19) на Тт и полагая Тт ^ да (практически
Тт >> Тя, Тк, Т,, Т,), получаем:
Д 5) = Ь353 + Ь252 + Ь15 + Ь0, (22)
где Ь3 = д0*ТяТ5Тк; Ь2 = Тя(д0*Т, + Тк) + Т5(%■ Я,Тя + с1Тк);
Ь1 = Яэ*(д0*Т, + Тк) + Р'к(Л' + Рк)ТМ + , + (с1Я, - ^Я0*К*)Т5 ; Ь0 = Яэ-Я, + Р'кК■;
Ри(5) = д0*ТТк52 + [д(Г(Т, + Я'Т) + Тк]5 + Я,*;
Д2( 5) = - д,[К1Т5Тк52 + 5 (К1Т, + КлЯ,!в + Я12Т) + К, + ;
^13( 5) = - д„[ К'ТТк52 + 5 (К1Т, + К1 Я’Т + гТ) + К, + ^ ■ Я,,)];
Д4(5) = -5(Р'к + ^')Тм + д0,К,Т5) - К, •
Имея общее выражение (19) для изображения переменной, формируемой узлом а, найдем исходный оригинал Уа(^) , воспользовавшись теоремой разложения Хевисайда. Для упрощения записи будем в дальнейшем опускать индекс а у коэффициентов ¿1а, ё2а и т. д. В общем случае при отсутствии кратных корней характеристического уравнения имеем [7]:
) = УаН + ^Акв5к‘, (23)
к=1
где 5к(к = 1, 2...п)- корни характеристического уравнения 0(5)=0;
уИ = У = РМ = ¿0; Ак =________________________^_.
аст А 5) Ь0 ’ к Л ( )
0 ап5к П (5к - 5<
1=0 1 фк
В случае, когда характеристическое уравнение имеет пару комплексных сопряженных корней 5пп-1 = е ± V , решение (23) запишется в виде:
Уа(^) = Уа(да) + ]>] Аке5к‘ + Вее сов№ + у),
к=1
где В ==-----------
Я2 оа 5„) + оа( 5
П (є- 5, )2 + м2
/ = агоіз
Іт оа(5;
йе О а ( 5^
п п-2 м
■- — -I агоїз---------------------
2 І=0 є - 5,
І=0
ИеОа(5п) = <і4[(є2 - м2)2 - 2е2м2] + азє(Є - 3м2) + <і2(є2 - м2) + а1є + ао;
ІтОа(5п) = 4<і4єм(є2 - м2) + а3м(3є2 - м2) + 2д2єм + ам .
Полученные соотношения дают возможность построить во временной области изменения всех координат, определяющих состояние исследуемой системы электропривода при любых возмущениях и ненулевых начальных условиях.
При исследовании электрических переходных процессов в рассматриваемых электроприводах наибольший интерес представляет характер изменения во времени тока якоря. При этом основными и наиболее существенными возмущающими воздействиями являются коммутационные переключения в якорных цепях тяговых двигателей, т.е. можно принять ДР2* = ДР3* = ДР4* = 0 .
Учитывая также возможность использования принципа наложения, можно рассматривать переходные процессы при нулевых предначальных условиях, полагая Р = Р = Р = Р = 0
1 10* 1 20* 1 30* 1 40* ^ •
В этом случае выражения для коэффициентов (20) многочлена О1( 5) принимают вид:
а3 = З0ТТТ ДР1*; а2 = {Тт [ з0Т + я,т,) + Т ] + ГсзТТк )ДР' (24)
а = {тл, + їс[З0Т + ят) + Тк])ДР1; а0 = 7ся,др’ .
Полученные результаты используются во второй части статьи при анализе устойчивости и качества переходных процессов рассматриваемых электроприводов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Духопельников В. Д., Сташинов Ю.П. Совершенствование тяговых характеристик рудничных электровозов// Г орная электромеханика и автоматика. - Харьков. 1966, № 6. - С. 124-129.
2. Сташинов Ю.П. Адаптивный привод шахтных электровозов. Горный информационно-аналитический бюллетень, № 10, 2004. - С. 294-296.
3. Сташинов Ю.П. Исследование статических характеристик электроприводов рудничных аккумуляторных электровозов с рекуперативным торможением// Исследования в области горной электромеханики. Т. 262. - Новочеркасск. 1972. - С. 3 - 21.
4. Борцов Ю.А., Суворов Г.В. Методы исследования динамики сложных систем электропривода. - М.: Энергия, 1966.
5. Сташинов Ю.П., Сташинова Л.Ф. Уравнения динамики и схемы замещения электроприводов рудничных аккумуляторных электровозов с рекуперативным торможением// Исследования в области горной электромеханики. Т. 306. - Новочеркасск. 1975. - С. 9 - 16.
6. Мэзон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы. - М.: ИИЁ, 1963.
7. Левинштейн М. Л. Операционное исчисление и его приложения к задачам электротехники. - М.: Энергия, 1964.
— Коротко об авторах--------------------------------------------------------
Сташинов Юрий Павлович - кандидат технических наук, профессор кафедры «Электрификация и автоматизация производства» Шахтинского института (филиала) Южно-Российского государственного технического университета (НПИ).
