Исследование переходных процессов в тяговом электроприводе рудничного аккумуляторного электровоза с рекуперативным торможением Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 622.625-83:681.3.00.57(06)

Ю.П. Сташинов

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ТЯГОВОМ ЭЛЕКТРОПРИВОДЕ РУДНИЧНОГО АККУМУЛЯТОРНОГО ЭЛЕКТРОВОЗА С РЕКУПЕРАТИВНЫМ ТОРМОЖЕНИЕМ

(Продолжение. Начало ГИАБ № 2 с. 351)

Семинар № 21

Часть 2. Устойчивость и качество переходных процессов

Обоснована устойчивость электроприводов рудничного аккумуляторного электровоза с рекуперативным торможением, как в тяговом, так и в тормозном режимах. Получены приближенные соотношения и графики для определения прямых показателей качества: макси-

мальной величины тока якоря и времени достижения экстремума при переходе электропривода в режим рекуперативного торможения.

Непременным условие работоспособности любой динамической системы является её устойчивость. Поэтому, прежде чем перейти к анализу качества переходных процессов в рассматриваемых электроприводах, остановимся на вопросах их устойчивости и влияния на устойчивость различных факторов. При этом сохраним обозначения, а также последовательную нумерацию формул, рисунков и библиографических ссылок из первой части статьи.

Согласно первому методу Ляпунова будем судить об устойчивости исходной нелинейной системы по устойчивости линеаризованной системы, описываемой уравнениями (7__11). Для этого удобно воспользо-

ваться алгебраическим критерием Гурвица, который позволяет вести ис-

следование в общем буквенном выражении. В соответствии с этим критерием для устойчивости системы 4-го порядка необходимо и достаточно, чтобы были положительны коэффициенты (20) характеристического полинома ДУ, а также предпоследний диагональный минор определителя Гурвица, составленный из этих коэффициентов:

Д3 — а1а2аз — аоаз — а4а1 > 0 .

Однако получающееся при этом выражение оказывается настолько сложным, что провести его анализ в общем виде практически не представляется возможным. Поэтому воспользуемся методикой, разработанной М. В. Мееровым, и сведем исследование вопроса об устойчивости рассматриваемой системы к исследованию устойчивости двух более простых систем, степень характеристического полинома для которых меньше четырех. Это возможно благодаря тому, что постоянная времени Т5 от потоков рассеяния оказывается значительно меньше остальных постоянных времени и поэтому она может рассматриваться как малый параметр.

Выделим Т5 в характеристическом полиноме, представив его в виде:

Д 5) — Оо(з) + ТД (5), (25)

где

Do(s) = В30s3 + B20s2 + Bws + B00; (26)

Ds (s) = B4ss4 + B3ss3 + B2ss2 + B1ss ;

B30 = TJm (9o-TM+ Tk);

B20 = Tm [R3*(3o*T; + Tk) + P’k (A' + P’k )TM +

+R'T ] + YT (9o*TM+ Tk) ;

Bw = Tm (RR + P'kK.) + R.(9o*TM + T) +; +P'k (W + P'k )T; + R’T ] + C2( So*T; + Tk )

Boo = cR; + P'kc3 + Y(Rs*R, + P'kK■); (27) B4s = So*TJkTm ;

B3s = Tm(go* R;*T + cjk) + rcgo*TJk;

B2s = Tm (C1R;* -Wgo*K■) + ;

+Yc (goR*T + C1Tk) + C2SoTk ;

B1s = Yc (ciR;* - W9o*K*) + 3o*(c2R; - Wc3) •

Допустим, что Ts ^ o • Тогда три корня характеристического уравнения D(s) = o будут стремиться к корням вырожденного уравнения Do( s) = o, а 4-й корень будет стремиться к бесконечности.

Для устойчивости исходной динамической системы при малой величине Ts необходимо, чтобы коэффициенты вырожденного уравнения удовлетворяли условиям устойчивости, а корень, стремящийся к бесконечности, находился в левой полуплоскости.

Получим вспомогательное уравнение для определения корня, уходящего в бесконечность.

При конечном Ts ф o Do(s) ф o и уравнение (25) после деления на Do(s), запишется в виде:

1 + T = o

s Do(s)

Выделим целую часть дроби

(28)

Ds (s) = B

Do(s) B

s + ■

B3s - B

D s B3

+ o( s)

При достаточно большом 5 этим остатком можно пренебречь и уравнение (28) приближенно представить в виде:

ТВ5-5 + Т (В5- - ^фА +1 — 0. (29)

В30 V В30 В30 /

Таким образом, для устойчивости исследуемой системы электропривода при достаточно малых величинах Т3 необходимо и достаточно, чтобы вырожденное (26) и вспомогательное (29) уравнения порознь удовлетворяли условиям устойчивости. На основании алгебраического критерия Гур-вица для этого необходимо, чтобы коэффициенты этих уравнений удовлетворяли неравенствам:

1 + т В35В30 — В45В20 > 0

B2

B2o > o; Bio > o; Boo > o ,

Д = BioB2o BooB3o > o •

(30)

(31)

(32)

Подставляя в первое из этих неравенств развернутые выражения для коэффициентов В20 В30, В35, В45 ,

согласно (27), после преобразований получаем: т

1 + — х

т

Л(Л + в) Я0-ГТ + д1Л'ТТ + (Л' + в )2Тк2

(9o-T;+ Tk )2

> o

(33)

или

1+L.

T„

1 m.+pk) + g+ (*+я )2

2 Л'(Л' + р'к)(gi,Tl + T2)

(SoT + Tk )2

(go*T; + Tk )2

> o.

где o( s) - остаток от деления.

(34)

Неравенство (33) может быть нарушено, как это нетрудно видеть, только когда произведение Л'(Л' + р’к) отрицательно, т.е. когда сомножители

X и X + р’к = 1 - р1 - р2 имеют разные знаки.

В тяговом режиме X = в> 0 , р2 = 0 , X + р'к = 1 - р1 > 0 , т. к. р1 < 0 и, следовательно, XX’ + р'к) > 0 .

В тормозном режиме X = -в < 0 и при X + р’к = 1 - р1 - р2 < 0 произведение Х(Х + р'к) также положительно. Следовательно, остается проверить только случай, когда X < 0 , а 1 - Р1 - Р2 > 0. Но при XX'+ р'к) < 0 второе слагаемое, стоящее в квадратных скобках выражения (34), положительно. Поэтому неравенство (34), а, следовательно, и (33), с запасом можно представить в виде

1 Т

1 +—X(X + Pk) — > 0, откуда получа-

2 Тя

ем следующее ограничение на величину коэффициента реакции яков а 2ак Тя

ря: в = а -в <-------к----- .

я 1 Т"

1 - Р - Р2 Т

Коэффициент в , как правило, не превышает 0,2 [8]. Коэффициент компаундирования тяговых двигателей ак лежит в пределах 0,3-0,7;

Тя

кроме того, 1 - р1 - р2 < 1 ; — > 1 .

Т5

При этом неравенства (33) и (34) обеспечиваются с большим запасом. Таким образом, во всех режимах коэффициенты вспомогательного уравнения (29) удовлетворяют условиям устойчивости.

Рассмотрим теперь неравенства, накладываемые на величину коэффициентов вырожденного уравнения (26).

Т.к. ус > 0 , то неравенство В20 > 0 согласно (27), с некоторым запасом можно записать в виде

К-(д0Т + Тк) + Рк(X + Рк)ТМ + КТ > 0, или даже

К*д0. +р'к(Л' + Рк) > 0. (35)

С учетом обозначений для д0* , Яэ, и р'к последнее неравенство можно представить в виде:

80К1- +(1 - Р) 8Ш-К12- +(1 - Р) 8-гв- + (36) +2рр + (1 - Р1 - Р2)(1 - X) > 0

Для тягового режима, полагая дш* = 0 , имеем:

д*(К. + О + (1 -р)(1 -в ) > 0.

Т. к. р1 < 1 и в < 1 , неравенство выполняется. Следовательно, в тяговом режиме В20 > 0 .

В тормозном режиме неравенство (36) ослабляется с увеличением р2 . Поэтому потребуем его выполнения при р2 = 1. Тогда условие В20 > 0 будет обеспечено с запасом, т. к. в действительности р2 < 1.

Полагая в (36) р2 = 1 , получаем:

80-К1- +(1 - Р1)8Ш-К12- + Р1(1 - в) > 0 .

При р1 < 1 и в < 1 это неравенство также выполняется. Следовательно, и в тормозном режиме

В20 > 0 .

Обратимся теперь к неравенству В10 > 0 , которое при В20 > 0 , согласно (27) с некоторым запасом можно представить в виде:

К*я; +р’кк*. > 0, (37)

Полученное неравенство, так же, как и последующее В00 > 0 , вытекают из условия положительности коэффициентов характеристического уравнения для механического переходного процесса, когда можно пренебречь постоянными времени Тя, Т , Т, Тк

по сравнению с электромеханической постоянной времени Тт . В этом случае из (27)

о (5) = от (5) = (н3 * н;, + р’кк-) 5 + в00.

Можно показать, что выполнение неравенства (37) соответствует условию SCK = - > 0 . Практически, при

<1Я■

компаундном возбуждении в тяговом режиме и противокомпаундном - в тормозном, это условие всегда будет выполняться.

Проанализируем теперь требование положительности свободного члена характеристического уравнения D0(s).

B00 = C2R’m' + в’кС3 + Ус(R+ P’kK■) > 0 .

При 8KK > 0 и yc > 0 , это неравенство с некоторым запасом можно записать в виде с2Н’м, + р’кс3 > 0 . Нарушение его практически возможно только в тормозном режиме при определенной величине тока якоря. Влияние различных факторов на величину этого тока подробно рассмотрено в работе [3].

Проанализируем теперь неравенство (32). Подставляя в него развернутые выражения для коэффициентов из (27), имеем:

Д = Д0 + Y: Д1 +Y: Д

(38)

устойчивость системы жесткость механической характеристики нагрузки, определяемая коэффициентом ус . Дифференцируя (38) по ус, имеем:

d Д

dYc

= .У c Д1 + Д

(39)

где

д 0 = Т2( я* к, + вккж КАяТ + тк) +

+Рк (X + Рк )Т; + К;*Тя ] + Тт (80*Т; + Тк ) Х

х[<С2Кэ*(80*Т; + Тк) + С2Рк(X + Р’к)Т; +

+С2К';-Тя - (С2К;* + РкСъ)Тя];

Д1 = Тя (80-Т;+ Тк)[ яз.( 80-Т; + Тк) +;

+ Рк (X + вк )Т;+ К;1Я ] ;

Д2 = Тт[Кэ-(80-Т; + Тк ) + Рк (X + Р’к )Т; +

+я;тя ] + с2тя (80-Т; + тк )2 .

Величина последнего диагонального минора определителя Гурвица характеризует, в известном смысле, запас устойчивости системы. Поэтому, прежде всего, выясним, как влияет на

Но при выполнении неравенства (35) Д1 > 0 , Д2 > 0 и, следовательно,

-^Д> 0. Таким образом, уменьшение

^Гс

жесткости механической характеристики нагрузки (увеличение ус) повышает устойчивость электропривода.

Поэтому необходимо обеспечить условие устойчивости при ус = 0 , т.е. потребовать Д0 > 0 . Нетрудно видеть, что нарушение этого неравенства возможно только при р’кс3 > 0 , т.е. когда сомножители Р’ и с3 имеют одинаковые знаки. Но знак коэффициента с3 определяется согласно (16) знаком тока якоря: с3 больше нуля в тяговом режиме и меньше нуля - в тормозном.

Поэтому нарушение устойчивости принципиально возможно в тяговом режиме при Рк = 1 - Р1 - в > 0 и в тормозном - при р’к = 1 - р1 - р2 + в < 0 .

Произведение р’к (X + р’к) оказывается при этом положительным как в тяговом, так и в тормозном режимах.

Учитывая это, неравенство Д0 > 0 с запасом можно представить в виде:

Т2 щ -( 90*гм + Гк)(щ+ РЮ -

-Тт(80’ТМ + Тк )(с2Щм' + Р'кс3)Тя > 0 или, сокращая на Гт(80-Т, + Тк) > 0 , после преобразований:

Щ-я„- + РК > гя

c2 RM* + Ac3

Tm

где T' = — - фактическая (в отличие

R3

от расчетной) электромагнитная постоянная времени якорной цепи.

Можно показать, что выполнение этого неравенства соответствует требованию:

8 = - do > IL

3~ dM>Tj

где 8Э - крутизна механической характеристики привода.

Практически это условие при ком-паундном возбуждении в тяговом режиме и противокомпаундном - в тормозном всегда выполняется.

Таким образом, рассматриваемые электроприводы отвечают всем требованиям устойчивости, как в тяговом, так и в тормозном режимах.

Но, помимо выполнения условий устойчивости, тяговый электропривод должен отвечать определенным требованиям в отношении качества переходных процессов. Наибольшее внимание с этой точки зрения заслуживает процесс перехода на рекуперацию, так как он может сопровождаться значительным забросом тока по сравнению с установившимся значением [9]. Объясняется это наличием низкоомной цепи, шунтирующей последовательную обмотку возбуждения и препятствующей быстрому изменению тока возбуждения, а, следовательно, магнитного потока и противо-ЭДС вращения якоря. Частично демпфирующее действие на магнитный поток оказывают также вихревые токи.

Перейдем к количественной оценке основных показателей качества. Воспользовавшись предельными соотношениями [7] непосредственно по изображению определим установившееся значение для приращения тока якоря при со = со{0) = const.

AI .(*) = dl =---------------R. 'AF1-------------

* ^ b0 R’ • R* +в • K

AF’

AF/.

в,

R. +-в^К, R3. +-^K,

3 R. 3 R„

Слагаемое —-----1, стоящее в зна-

менателе этого выражения, представляет собой эквивалентное сопротивление якорной цепи от действия про-тиво-ЭДС вращения якоря. Величина этого сопротивления возрастает с уменьшением насыщения магнитной цепи, а также увеличением коэффициента компаундирования привода Рк и скорости вращения, входящей в выражение для коэффициента К*. С увеличением указанного сопротивления установившееся отклонение тока якоря уменьшается.

При определении экстремального значения тока якоря в процессе перехода в режим рекуперации воспользуемся тем обстоятельством, что для данного процесса в тормозном режиме цепи якоря и обмотки возбуждения связаны практически только через противо-ЭДС вращения двигателя, т. е. через магнитный поток. А при определении закона изменения магнитного потока с достаточной точностью можно учесть действие вихревых токов и потоков рассеяния соответствующим увеличением постоянной времени обмотки возбуждения [4].

Поэтому подставим в соотношения (20), (24) Т = Тк = 0, а вместо Тц - постоянную времени Тм0, равную сумме

расчетных постоянных времени обмотки возбуждения, вихревых токов и потоков рассеяния. При этом постоянную времени от потоков рассеяния необходимо привести к номинальному магнитному сопротивлению RflH , а

постоянную времени вихревых токов

Рис. 3. Структурная схема для исследования процесса перехода на рекуперацию

- к номинальному сопротивлению двигателя Rн :

Т’М0 = Тм + КТ +—• тк.

д *

^ О

После указанных упрощений коэффициенты полиномов числителя и знаменателя изображения Д1Я,(5) будут равны:

= 0; ё2 = до, • Тмо • Тт -Д/-'.;

4 = (Тт • К- + Гс • до- • Цо )Д/Т-;

= УсКо - • Д/1-;

34 = 0; Зз = до- • Т0о • Тт • Тя ;

а2 = К.-до - • то +в Х + вк то +

+Кц- • Тя ]Тт + Ус • до* • Т0 ^ Тя ;

а1 = Тт(Rэ- • R;- + в • К-) + +Гс[Rэ-до- • то + +в Х + в )То + К - • Тя ] + с2доТ;а;

30 = с2Кц- + в • сз + Гс(К.- Кц- + в • К-)

С целью дальнейшего упрощения полученных выражений разделим числитель и знаменатель изображения Д/Я-(5) на Км-Кэ-Тт и обозначим:

д . • Т' Т

<3о оо = Т • Я = Т ’;

~ Т Оо; К _ ТЯ;

К-

К,

• Тт =■

К

см • сЕ • Ф2(0)

= Тт;

"М '"Е

= Л, ; в К- = в • К-

К ^

к;- • к.- Ко- • К-

= п

где Д/Ят- - максимальное отклонение тока якоря от начального значения в процессе перехода на рекуперацию, которое имело бы место при отсутствии индуктивности в цепи якоря; П - с учетом (40) - отношение эквивалентного сопротивления от дейст-

вия противо-ЭДС вращения якоря к результирующему активному сопротивлению якорной цепи; Т оо , ТЯ ,

Тт - фактические (в отличие от расчетных) постоянные времени.

Затем пренебрежем в выражениях для коэффициентов а0 и а2 относительно малыми составляющими вк • с3

и вк (х + вк )Т'оо, а также примем ус = 0 ,

имея в виду, что угловая скорость двигателя за время протекания рассматриваемого переходного процесса изменяется незначительно.

Наконец, введем безразмерное время, воспользовавшись масштабным преобразованием ^ = т{ •т = Тоо •т ,

т.е. за единицу отсчета времени примем постоянную времени Тоо . В результате выражение для Д/Я,(5) преобразуется к виду:

Д1 я-(5) = ДТт- х

_____________5(5 + 1)__________ , (41)

тя5 3 + (1 + Т) 5 2 + (1 + П + т о ) 5 + т О

Т ’ Т

где Т = Т^-; т = —Оо .

я т о т '

Оо т

Полученному выражению (41) соответствует структурная схема, приведенная на рис. 3, в чем нетрудно убедиться путем непосредственного ее преобразования.

Как показали результаты выполненных с использованием формулы

(41) расчётов, время достижения током якоря экстремального значения существенно меньше постоянной времени цепи возбуждения. Поэтому при определении максимального значения тока якоря можно без существенной погрешкости заменить в структурной схеме апериодическое звено, стоящее в цепи обратной связи, интегрирующим звеном с передаточной функ-п

цией V(5) = — , а затем заменить два

5

параллельно соединенных интегрирующих звена одним звеном с передаточной функцией V(5) = п + т = п .

5 5

После указанной замены и преобразования структурной схемы выражение для Д1Я.(5) примет вид:

Мя.(5) = Мят, • -г .

5 Тя + 5 + Г/

Найдем корни характеристического уравнения тя • 52 + 5 + г = 0 :

5і = Т (-1 (1 - 4ГТ) 5і = Т (-1 (1 - 4ГТ )•

(42)

А/»

(43)

Найдем время экстремума для тока якоря. Дифференцируя (43) по т и полагая производную равной нулю,

1п 52

получаем: т3 = ■

откуда, после

ряда преобразований с учетом (42):

(44)

Т = 2Аг^1 - 4пТя

ТЯ V1 - 4ПТЯ

Затем получаем выражение для экстремальной величины тока якоря:

А/я

-• е

1-4^Тя

V1-4 Гтя

(45)

Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, т.е.

1

когда п > — •

ТЯ

Оригинал Д1Я-(г) для этого случая имеет вид:

А/» =

А/я

(46)

где е = --^; V = -^^4птя -1 (47)

2ТЯ 2ТЯ

Для определения времени первого экстремума тока якоря продифференцируем выражение (46) по т , приравняем производную нулю и разрешим полученное уравнение относительно

т.:

1 д V

т = — • аг^ду-. , или с учетом соот-V \е\

При п <----- корни вещественные

4тя

отрицательные и оригинал приращения тока якоря запишется в виде:

Д/,

ношений (47)

Т = 2аге(д^4утя -1

(48)

тя 44гтя -1

Подставляя в (46) т = тэ после ряда преобразований находим

А/Т) 1

А/я

- агєґд^4уТя-1 ^4гтя-1

(49)

Из полученных соотношений (44),

(45), (48), (49) следует, что время экстремума, отнесенное к постоянной времени якорной цепи, и экстремальное отклонение тока якоря в долях от Д1т. являются функциями

5

1

только одного параметра - произведения птя и могут быть определены из графиков, приведенных на рис. 4.

Выводы

1. С использованием схем замещения, разработанных в общем случае для Ы-двигательного электропривода, и применением линейных сигнальных графов получено общее выражение для любой из переменных, определяющих состояние системы в неустановившемся режиме, при произвольных возмущениях и ненулевых начальных условиях.

Рис. 4. Зависимости экстремальной величины тока якоря (кривая 1) и времени экстремума (кривая 2) в процессе перехода на рекуперацию от параметра П

Установлено, что переходные процессы в тяговых двигателях смешанного возбуждения и последовательного с подпиткой обмотки возбуждения описываются структурно одинаковыми дифференциальными уравнениями, отличающимися только величинами параметров.

2. Предлагаемые системы электропривода отвечают всем требованиям устойчивости как в тяговом, так и в тормозном режимих.

3. Прямые показатели качества процесса перехода на рекуперацию -экстремальное отклонение тока якоря и время экстремума являются функцией только одного параметра и определяются непосредственно, без расчета, с помощью построенных для этой цели графиков.

4. Разработанный метод определения показателей качества переходного процесса может быть распространен на широкий класс электроприводов постоянного тока с рекуперативным торможением.

------------ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иоффе АБ^ Тяговые электрические 2. Трахтман Электрическое

машины. -.М.: Госэнергоиздат,1965. торможение электроподвижного состава.

-.М.: Транспорт, 1965. ШИЗ

— Коротко об авторах--------------------------------------------------------

Сташинов Юрий Павлович - кандидат технических наук, профессор кафедры «Электрификация и автоматизация производства» Шахтинского института (филиала) Южно-Российского государственного технического университета (НПИ).

362