CC BY
67
УДК 81.29.14
К. Е. Д е м и х о в, Н. К. Никулин, А. В. Д р о н о в, Т. В. Д р о н о в а
ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОТКАЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОЛЕКУЛЯРНОГО ВАКУУМНОГО НАСОСА
Рассмотрено течение газа в канале с подвижными стенками в условиях высокого вакуума. Аналогичные каналы используются в таких насосах, как молекулярный вакуумный насос, молекулярно-вязкостный вакуумный насос, комбинированные вакуумные насосы и т.д. Приведена методика расчета вероятности прохождения канала частицей методом Монте-Карло с учетом времени движения частицы в канале. Показано влияние геометрии и динамики на основные параметры молекулярного вакуумного насоса — максимальную быстроту действия насоса Smax и максимальное отношение давлений рн/рвх (kmax и Tmax).
E-mail: nkn@bmstu.ru
Ключевые слова: молекулярно-вязкостный вакуумный насос, метод
Монте-Карло, расчет, характеристика, течение, давление, скорость,
канал, модель.
Цель настоящей работы — исследование молекулярной проточной части молекулярного и молекулярно-вязкостного вакуумных насосов (МВН, МВВН) на максимальные значения быстроты действия и отношение давлений.
Молекулярные вакуумные насосы в основном работают в областях молекулярного режима течения газов и обеспечивают значительное отношение давлений при сравнительно небольшой быстроте действия. При молекулярно-вязкостном режиме течения эффективность насоса уменьшается незначительно, а при достижении давления нагнетания рн = 103 Па — резко снижается.
На рис. 1 показаны конструктивные схемы расчета каналов МВН и МВВН.
Поскольку в рабочей области МВН и МВВН наблюдается молекулярный режим течения газа, при котором столкновениями между молекулами можно пренебречь, т.е. движение молекул зависит только от взаимодействия с поверхностями, ограничивающими траектории, и реальный газ достаточно точно описывается моделью идеального газа, то для расчета откачных характеристик МВН и МВВН применяются методы статистического моделирования.
Как показывает практика расчетов, наиболее универсальным методом расчета вероятности прохождения частицей заданного канала является метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), который состоит в моделировании случайных величин и функций для
в
Рис. 1. Схемы расчета каналов:
а и б — нарезка выполнена на статоре и роторе МВН; в — МВВН; 1 — ротор; 2 — статор; l — длина канала; y — угол наклона канала к торцу входного сечения; а — ширина канала; h — высота статора; hl — высота ротора; А — öy
вычисления вакуумных характеристик. Движение отдельных молекул рассматриваемого разреженного газа носит случайный характер, столкновения между частицами отсутствуют, и поэтому алгоритм расчета строится таким образом, что частицы запускаются в систему по очереди, и каждая последующая запускается только после того, как закончила свой полет предыдущая. В отличие от известных расчетов МВН, в настоящей работе используется метод одновременного испускания частиц, которое моделируется временем пребывания в канале частицы Д£вр. Таким образом, можно проследить траектории движения достаточно большого числа молекул и получить наглядную картину движения разреженного газа, вычислить средние значения и локальные параметры состояния этого газа.
Моделирование случайной величины ведется датчиком случайных чисел из программного обеспечения. В результате вычислений определяется вероятность прохождения частицей выходного сечения рассматриваемого канала, т.е. коэффициент Клаузинга.
При построении математической модели делаются следующие допущения [1]: газ — идеальный; режим течения — молекулярный; распределение тепловых скоростей движения молекул газа описывается уравнением Максвелла; отражение частиц газа от поверхностей подчиняется диффузному закону; поглощение газа на поверхности отсутствует; процесс рассматривается при постоянной температуре; коэффициент аккомодации равен единице; натекания извне и выделения газа отсутствуют.
Алгоритм расчета (рис. 2) строится следующим образом: трехмерная система координат связывается с поверхностью входа в канал, в
Рис.2. Структурная схема расчета вероятности прохождения частицы через заданный канал методом Монте-Карло
центре этой поверхности располагается начало координат, причем ось Z направлена вдоль канала, ось У — по нормали к подвижной поверхности, задаются геометрические параметры системы а, К, Ькан; некоторые значения точек старта частицы х0, у0, ¿0 и направляющие косинусы движения частицы I, т, п задаются датчиком случайных чи-
сел. Затем вычисляются расстояния от точки старта частицы до всех поверхностей канала 51,52,...,5n и минимальное расстояние от той же точки до какой-либо поверхности £min. Зная это расстояние, определяем точку столкновения с поверхностью. Таким образом, индицируем саму поверхность. Далее аналогичным образом прослеживается движение молекулы по всему каналу. По координате z определяют, в какую сторону вышла частица из канала. Если z < 0 — частица не прошла канал, т.е. вернулась в откачиваемый объем. Если z > Ькан — частица прошла канал, т.е. перешла на сторону нагнетания. По времени нахождения частицы в полете t также определятся число "пропавших" частиц (ограничение времени пребывания частица в канале задается величиной to), которые входят в расчет при определении вероятности прохождения частицы заданного канала. Структурная схема расчета приведена на рис. 2.
В настоящей работе исследование проведено на примере прямоугольного сечения канала проточной части. Расчет выполнен при следующих данных: газ — азот при температуре 293 K; длина, ширина и высота канала, а также угол наклона канала относительно торца y и отношение U/Vn — переменные величины.
Рассматриваются три варианта исполнения нарезки: нарезка выполнена на статорной и роторной частях насоса МВН (рис.1, а, б), а также зеркально на роторной и статорной частях насоса МВВН (рис. 1, б).
Таким образом, при расчетах учитывалось изменение скорости частицы только при попадании ее на роторную поверхность.
Расчет проводился для 300 тыс. частиц при расчете в прямом направлении и для 10 млн частиц — в обратном направлении, что дает достаточную точность. Учет обратного потока позволяет вычислить зависимость вероятности прохождения частицой канала kmax и Tmax от отношения h/a, L/h, U/Vn, y.
Математическая модель.
1. Разыгрывание точек старта частицы с поверхности входа в канал молекулярного вакуумного насоса:
где а и к — безразмерные ширина и высота канала; £ — случайная величина.
2. Расчет скорости движения частицы по уравнению Максвелла:
Xo = ; Уо = К; zo = 0,
где v — текущее значение тепловой скорости движения частицы, м/с; М — молекулярная масса; R = 8314 — универсальная газовая постоянная, Дж/(кмоль-К); Т — температура газа, K.
3. Расчет направляющих косинусов при старте с плоской поверхности.
3.1. Разыгрывание углов 9 и ф:
9 = arcsin ;
ф =
3.2. Направляющие косинусы [2]
l = sin 9 cos ф;
m = sin 9 sin ф; n = cos 9.
4. Определение расстояния от точки старта до поверхностей канала и минимального значения этого расстояния (выбор поверхности столкновения) [2]:
í = _ Ax о + Byo + Czo + D Al + Bm + Cn ' где A, B, C, D — из уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
5. Расчет координат точек столкновения частицы с поверхностью:
x = + x0; y = mí + yo; z = ní + z0.
6. Расчет времени полета частицы по формуле
= í
v
В данном случае рассматривается время нахождения частицы в канале и в случае, если частица находится в канале более длительное время, чем t0, она считается "пропавшей".
7. Проверка по z нахождения частицы в канале: если z < 0, то частица вернулась в откачиваемый объем; если z > Ькан, то частица пролетела канал; если 0 < z < Ькан, то частица находится в канале. В последнем случае пункты 2-6 повторяются, если считается, что в каждом последующем случае поверхностью старта будет поверхность столкновения. Расчет ведется до тех пор, пока четко не будет определено, пролетела частица канал или вернулась обратно в откачиваемый объем.
8. Расчет kmax и Tmax канала ведется с учетом "пропавших" частиц.
В данном расчете исследовалось влияние на kmax и rmax отношений высоты к ширине канала h/a, длины к высоте L/h, отношение окружной скорости к вероятной скорости движения частицы U/K, что соответствует [1]
Smax 36,4kmaxF
T
M
и максимальному отношению давлении
- Рн.
Tmax 5
Рвх
где F — суммарная площадь сечения канала, м2; рвх — давление на входе в насос, Па; рн — давление на нагнетании, Па.
На рис. 3-6 приведены указанные зависимости. Для сравнения приведены откачные характеристики МВН и МВВН для сечения канала 2x4 мм.
Разработанный алгоритм и программа расчета позволяют исследовать влияние динамических и геометрических параметров насосов на их откачные характеристики.
Ошибка математической модели при использовании метода Монте-Карло [1] может быть оценена по уравнению
А ^ Зд/(1 - p)p/N, следовательно, относительная ошибка
5 -А/p ^ З^(1 - p)/(pN).
Последнее уравнение позволяет определить требуемое число испытаний для обеспечения заданной точности расчета
N « 9(1 - p)/(p52).
Рис. 3. Зависимости £тах (а) и ттах (б) от отношения высоты и ширины канала Н/а:
окружная скорость и = 300 м/с; длина канала I = 40 мм; угол наклона канала к торцу входного сечения 7 = 25°; сечение прямоугольное
Рис.4. Зависимости £max (а) и тmax (б) от отношения и/Ун:
длина канала I = 40 мм; угол наклона канала к торцу входного сечения 7 = 25°; прямоугольное сечение (а = 4 мм, к = 2 мм)
Рис. 5. Зависимости £тах (а) и ттах (б) от отношения £кан /^кан:
окружная скорость и = 300 м/с; угол наклона канала к торцу входного сечения
7 = 25°
При расчетах погрешность вычислений допускается в пределах 10%, т.е. 5 = 0,1.
Тогда для обеспечения данной погрешности необходимое число испытаний будет равно
N « 9-
1 - 10
-4
10 000 000.
10-4 • (0,1)2
Разработанная математическая модель и программы расчета МВН и МВВН позволяют исследовать влияние динамических и геометрических параметров насосов на откачные характеристики, что необходимо при их разработке.
В результате расчетов выявили, что длина канала практически не влияет на быстроту действия насоса и приводит к увеличению мак-
Рис. 6. Зависимости (а) и тmax (б) от угла 7 наклона канала к торцу входа:
окружная скорость и = 300 м/с; длина канала I = 40 мм; прямоугольное сечение (а = 4 мм, Н = 2 мм)
симального отношения давлений. Кроме того, уменьшение высоты канала по отношению к его ширине приводит к увеличению £тах. С увеличением окружной скорости канала или с увеличением массы откачиваемого газа возрастают ктах и ттах. Оптимальное отношение высоты канала к его ширине составляет 0,5.
Применяя математическую модель для геометрических и динамических параметров проточной части МВН, определяют максимальную вероятность ктах прохождения частицей канала и максимальное отношение давлений ттах. По найденным значениям ктах и ттах определяют основные параметры откачной характеристики МВН — £тах и ттах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демихов К. Е., Панфилов Ю. В., Никулин Н. К. Вакуумная техника: Справочник. - М.: Машиностроение, 2009. - 590 с.
2. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1977. - 832 с.
Статья поступила в редакцию 15.06.2011
