CC BY
53
УДК 534.1
Исследование параметрических колебаний автомобильного колеса
к.т.н. проф. Щербаков В.И.
Университет машиностроения 8(499)-223-05-23, доб. 14-57; sopr@mami.ru
Аннотация. Рассмотрены параметрические колебания автомобильного колеса, вызванные периодически изменяющейся радиальной жесткостью по мере его перекатывания по дороге. Установлено минимальное значение модуляции жесткости, при которой возможно возникновение неустойчивости движения.
Ключевые слова: автомобильное колесо, параметрические колебания, неустойчивость движения.
Экспериментальные исследования жесткостных характеристик автомобильных колес свидетельствуют о том, что радиальная жесткость колеса периодически изменяется по мере его перекатывания по дороге [1]. В результате при движении автомобиля даже по абсолютно ровной дороге могут возникнуть неустойчивые параметрические колебания неподрессорен-ных масс.
Рассмотрим двухмассовую расчетную схему подвески автомобиля, показанную на рисунке 1. Подрессоренная масса M движется поступательно со скоростью V, опираясь через безынерционные элементы подвески с жесткостью cn и коэффициентом вязкого сопротивления bn на колесо с переменной во времени t радиальной жесткостью c(t) = c0 + Ac • cos wt, где с0 - среднее значение радиальной жесткости колеса, Ас - амплитуда изменения радиальной жесткости колеса, W - циклическая частота (рисунок 2). Модуляция жесткости шины колеса ek = Ас / с0. Считаем, что Ас << c0, а коэффициент вязкого сопротивления колеса в радиальном направлении bk постоянный. Массу неподрессорен-ных частей обозначим m.
Рисунок 1. Двухмассовая расчетная схема Рисунок 2. Изменение во времени t подвески автомобиля радиальной жесткости колеса c(t )
Из теории параметрических колебаний известно [2, 3], что основное значение имеет случай, когда частота параметрического возбуждения w = w* вдвое больше среднего значения собственной частоты системы. В рассматриваемой задаче за последнюю следует считать парциальную собственную частоту неподрессоренной массы w0, т.е. для расчета принимаем
w* / w0 » 2, где w0 = *J(cn + Со ) / m . Поэтому задача исследования состояла в определении на плоскости параметров (h, e) (где h = w / w0) границ зоны параметрической неустойчивости, а также в оценке минимальной величины модуляции жесткости emin, при которой
возникнет неустойчивость параметрических колебаний.
Собственная частота колебаний подрессоренной массы, как минимум, на порядок меньше по сравнению с собственной частотой колебаний неподрессоренной массы [4, 5]. Это позволяет пренебречь вертикальными смещениями подрессоренной массы при исследовании параметрических колебаний неподрессоренной массы. Введем обобщенную координату q
для описания вертикальных колебаний массы m и запишем соответствующее уравнение движения:
q + 2п • q + Oq(1 - 8-cos coi) • q = 0
q + 2n • q + <Dq (1 - 8 • cos со t) -q = 0, (1)
где: b = bn + bk - суммарный коэффициент вязкого сопротивления;
c = cn + c(t) - суммарная жесткость вертикальных связей неподрессоренной массы; 2n = b / m; e = Ас / (сп + со) .
Заменой переменной q(t) = ехр(—nt) • x(t) уравнение (1) преобразуется к виду (уравнению Матье):
X + со^(1 - 8- cosco) • X = 0, (2)
2 2 2
где: wn = W2 — n , так как для реальных колебательных систем п << w0, то разницей между wn и w0 будем пренебрегать. Решение уравнения (2) ищем в виде:
x(t) = 1 A(t) eiWot + A* (t) e"iwt, (3)
причем комплексную амплитуду A(t ) можно считать медленно изменяющейся во времени величиной. Её изменение описывает возможную неустойчивость в системе, а также смещение частоты колебаний относительно собственной частоты w0. Знак * обозначает комплексно-сопряженные величины.
После вычисления первой и второй производных от x(t), в которых величинами A(t)
и A* (t) можно пренебречь по сравнению с другими слагаемыми, так как амплитуда A(t)
медленно меняющаяся, и их подстановки в уравнение (2) получим:
2 2
2m0A(t)em°' +e~ita,)A(t)emJ -2i(0oÁ\t)e-m°' +е~ш)А*(0е~ш = 0.
Поделим это соотношение на exp(iw0t) и усредним по времени 2p / w . Все слагаемые, содержащие быстро меняющиеся экспоненты, обратятся в нуль, кроме содержащего экспоненту exp[i(w — 2w0)t], т. к. по условию исследования w » 2w0 и этот член не является колебательным. В результате усреднения получим уравнение:
Â(t) + ^A*(t)e!'(a~2(°o)t = 0. (4)
4
Введем обозначение (w0 — w /2) = d и новую переменную a(t) = al(t) + i • a2(t). Для действительных функций ai (t) и a2(t) получим систему связанных уравнений:
0^(0 + 5 +
ю08
г
4
Решение будем искать в виде:
8- —
V 4 ,
-.11
а2(г) = 0;
а^) = 0.
(5)
) = С^', а2^) = С2вх',
где: С1, С2 -
константы;
1 - параметр, определяющий устойчивость параметрических колебаний. Из (5) следует условие существования нетривиального решения:
ае
1
_5+ш0е
5 +
4
4
1
= 0,
или
^1,2 = ±1
4
_52
Для того, чтобы в системе возникла неустойчивость, необходимо будет граница зоны неустойчивости или:
> п . При 1 = п
Г Л 2
' ш 0 е ^
4
Учитывая, что 5 = ш0 _ ш /2, получим:
22 5 = п .
1
п
е = ±4 1 + ~т.
4
шл
На плоскости параметров е) - это гиперболы, симметрично расположенные относительно оси е и имеющие вершины в точках = _2, еш;п = 4п / ш0) и = 2, ет1п = 4п / ш0), что и показано на рисунке 3. Минимальное значение модуляции жесткости, при которой возможно возникновение неустойчивости, достигается при ^ = ±2.
4п
Оно равно ет;п =-.
шА
-3-2-1 0 1 2 3 ^
Рисунок 3. Зоны параметрической неустойчивости
Рассмотрим числовой пример. Если сп = ЗЗкН/м, т = 60кг, Ь = 300Н • с/ м, со = 300кН/ м, Ас = 15кН/ м, ек = 0,05, то частота собственных колебаний системы будет
2
равна:
w
Сп + Со
о
m
1
33 • 103 + 300 -103 _ 745 -1
60
относительный коэффициент потерь примет значение:
b 300 „, 1
n _ — _-_ 2,5 c 1,
2m 2 • 60
а минимальное значение модуляции жесткости, при которой возможно возникновение неустойчивости равно:
4n 4 • 2,5 e ■ _ — _-— _ 0,13.
min -
w0 74,5 Заключение
В результате проведенных исследований получены зависимости, позволяющие оценить границы зоны параметрической неустойчивости автомобильного колеса в области частот вблизи главного параметрического резонанса.
Литература
1. Балабин И.В., Чабунин И.С. Автомобильные и тракторные колёса. - М.: Изд-во МГТУ «МАМИ», 2010. 444 с.
2. Гусев А.С., Карунин А.Л., Крамской Н.А., Стародубцева С.А., Щербаков В.И. Теория колебаний в автомобиле- и тракторостроении. М.: Изд-во МГТУ «МАМИ», 2007. 336 с.
3. Щербаков В.И., Чабунин И.С., Стародубцева С.А. Избранные задачи по динамике механических систем и конструкций. Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Изд-во МГТУ «МАМИ», 2010. 288 с.
4. Щербаков В.И., Чабунин И.С. Аналитическая динамика и теория колебаний в приложении к автомобильным конструкциям. Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Университет машиностроения, 2013. 205 с.
5. Щербаков В.И., Надеждин В.С. Колебания колесной машины при движении по неровной дороге. - М.: Изд-во МГТУ «МАМИ», 2011. 40 с.
Об унификации некоторых терминов и понятий, применяемых в теории трактора, автомобиля, быстроходных колёсных и гусеничных транспортно-тяговых машин
к.т.н. проф. Парфенов А.П., к.т.н. проф. Щетинин Ю.С.
Университет Машиностроения 8(495)223-05-23 (доб.15-27), a.parfen@mail.ru
Аннотация. Предлагаются единые термины, относящиеся к общим понятиям, часто употребляемым в теории автомобиля, трактора, быстроходных колёсных и гусеничных транспортно-тяговых машин.
Ключевые слова: термины, понятия, унификация, автомобиль, трактор, быстроходная транспортная машина.
Необходимость в унификации терминов, применяемых в родственных дисциплинах, стала особенно очевидной, в связи с утверждением стандарта по подготовке специалистов по специальности 190109 «Наземные транспортно - технологические средства» по специализации «Автомобили и тракторы».
Первый шаг в направлении унификации терминов, применяемых в дисциплинах «Конструкция автомобилей и тракторов», «Конструкция быстроходных гусеничных транспортно - тяговых машин» был сделан при публикации учебника «Тракторы. Конструкция», под общей редакцией проф. док. техн. наук Шарипова В.М., подготовленного коллективом преподавателей МГТУ «МАМИ» [1].
