Исследование ошибок цветовоспроизведения и построение моделей коррекции цвета цифровых фотографий Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 513.73

С.А.Попов

ИССЛЕДОВАНИЕ ОШИБОК ЦВЕТОВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ КОРРЕКЦИИ ЦВЕТА ЦИФРОВЫХ ФОТОГРАФИЙ

Color reproduction error analysis and color correction procedure for digital images by means of multiresponce regression models is described. Correction function is being build in CIELab space using referent colors. The expressions are presented to calculate the coefficient estimates of the correction function and corrected color coordinate values.

Современные цифровые фотокамеры уже сейчас обеспечивают качество изображений, сравнимое с качеством пленочных фотокамер. Цифровые фотокамеры все шире применяются не только для пейзажной съемки, но и для получения высококачественных репродукций картин, фотоснимков произведений монументальной живописи и других объектов. Одной из главных проблем при этом является обеспечение высококачественного цветовоспроизведения, что практически всегда требует коррекции цвета полученных цифровой камерой или сканированием компьютерных изображений.

Для исследования процессов воспроизведения цвета использовались две высококачественных цифровых фотокамеры: Kodak DC50 и Olympus C-1400L.

Проверка нормальности распределения ошибок наблюдений цветовых координат

Анализ ошибок наблюдений цветовых координат и их ковариационных матриц основывался на эксперименте, который состоял в получении нескольких цифровых фотографий цветовой мишени IT8.7/2, содержащей 288 калиброванных образцов однородного цвета.

Ошибки цветовоспроизведения можно разделить на случайные и систематические. Совокупная ошибка наблюдения цвета пикселя в фотографии может быть представлена тремя составляющими в виде [1]

E = Eq + Е$ + Ej,

где EC — случайная ошибка наблюдения однородного цвета, определяемая значениями наблюдаемых цветовых координат пикселей для одного цвета, с ковариационной матрицей «внутри цвета» VC ; ES — систематическая погрешность наблюдения цветовых координат;

Ej — составляющая ошибки наблюдения цвета, обусловленная эффектом съемки с ковариационной матрицей «между съемками» Vj.

Нормальность распределения ошибок EC и однородность ковариационных матриц — необходимые условия при построении регрессионных моделей коррекции цветовых координат. Общих методов проверки гипотезы о нормальности многомерного распределения по выборочным данным нет, поэтому выполняют проверку нормальности частных распределений цветовых координат. Дискретность значений цветовых координат (они принимают целочисленные значения) не позволяет использовать для проверки гипотезы о нормальности критерии Смирнова или Колмогорова, поэтому фактически единственным подходящим критерием остается критерий Пирсона. Результаты статистических испытаний показали, что при использовании стандартного критерия Пирсона для дискретизованных значений цветовых координат при объемах выборок в диапазоне 50-10000 и среднеквадратическом отклонении (СКО) в диапазоне от 1 до 50 возникает ошибка при расчете уровня значимости в пределах от 500% до 50%, обусловленная тем, что границы стандартных интервалов не кратны 0,5. Округление границ интервалов возможно только при условии, что число интервалов значительно меньше широты выборки, что, как показывают расчеты,

имеет место при СКО более 2,5. Проверка качества критерия Пирсона для проверки гипотезы о нормальности распределения ошибок наблюдений цветовых координат при использовании в качестве числа интервалов широты выборки производилась методом статистических испытаний. Результаты расчетов оценки вероятности отклонения гипотезы от нормальности для наиболее характерных СКО ошибок наблюдения цветовых координат приведены в табл. 1.

Таблица 1

''^\СКО выбор. данных Уровень значимости G,9 1,G 1,2 1,4 1,6 1,8 СКО оценки вероят- ности

0,1 G,1956 G,1G51 G,1G23 G,1GG7 G,1GG5 G,1GGG G,G3

0,05 G,G78G G,G519 G,G516 G,G5G3 G,G5GG G,G5GG G,GG2

0,01 G,G412 G,G118 G,G117 G,G1G5 G,GG99 G,G1GG G,GG1

0,005 G,G134 G,GG52 G,GG51 G,GG5G G,GG5G G,GG5G G,GGG7

Данные табл. 1 показывают, что вероятности, полученные с помощью модифицированного критерия Пирсона, соответствуют теоретическим значениям при СКО выборочных данных не менее 1. Таким образом, предложенный модифицированный критерий Пирсона обеспечивает корректную проверку гипотезы о нормальности ошибок наблюдений цветовых координат для объемов выборок в диапазоне 50-10000 и при величине СКО выборочных данных в диапазоне 1-2,5, что характерно для рассматриваемой ситуации.

Поскольку количество пикселей для образца однородного цвета находилось в диапазоне 800-2500 при СКО менее 2, то гипотеза о нормальности проверялась с помощью расчета Р-фактора для критерия Пирсона для всех цветовых ячеек с последующим усреднением. Результаты расчетов эмпирического Р-фактора при проверке гипотезы о нормальности приведены в табл. 2.

Таблица 2

Марка фотокамеры Цветовые координаты модели КОБ R G B

Kodak DC5G Среднее значение Р-фактора критерия Пирсона G,736 G,769 G,726

Стандартное отклонение Р-фактора G,G56 G,G52 G,G68

Olympus C-14GGL Среднее значение Р-фактора критерия Пирсона G,686 G,654 G,697

Стандартное отклонение Р-фактора G,G61 G,G59 G,G62

В соответствии с этими результатами гипотеза о нормальности распределения цветовых координат выполняется на уровне значимости не менее 0,05. Нормальность распределений проверялась и графически.

Расчет ковариационных матриц и их анализ

Анализ ковариационных матриц ошибок наблюдений цветовых координат Ус и ¥} основывался на эксперименте, который состоял в получении нескольких цифровых фотографий цветовой мишени 1Т8.7/2, содержащей п = 288 калиброванных цветовых образцов. Затем по результатам наблюдений цветовых координат пикселей полученных изображений рассчитывались ковариационные матрицы «внутри цвета» и «между съемками», а также оценивалась величина систематической погрешности.

Анализ ковариационных матриц на основе принципов многомерного статистического анализа включал расчет ковариационных матриц «внутри цвета» VCj для каждого образца

цвета цветовой мишени, ] = 1,2,...,п, проверку однородности этих ковариационных матриц, расчет ковариационных матриц «внутри цветовой мишени» STi, i = 1,2,.,N и расчет оценок ковариационной матрицы У1 относительно общего среднего для всех дублирующих

съемок для каждой фотокамеры.

Средневзвешенная ковариационная матрица «внутри цветовой мишени»

1 N

Sт =~й---------- 1)П, (1)

I Wг - Nг=1

г=1

где wi — количество пикселей в изображении цветовой мишени, с числом степеней свобо-

N

ды / = I wi - N, а ковариационная матрица для г-й мишени рассчитывается по формуле

г=1

$тг =^11) Ц ( - ?г)"- ?г ^

Однородность ковариационных матриц «между съемками» проверялась с помощью статистики

Т12 = ‘Т I ^ ^ ^ - У ^ <2)

' 1 ' 1=1

где ковариационная матрица ST рассчитывается по формуле (1).

2

Процентные точки распределения статистики типа Т1 определялись методом статистического моделирования. Матрица межгрупповых сумм квадратов отклонений относительно общего среднего по всем съемкам цветовой мишени определяется в виде

N ( = = \( = =\Т = 1 N —

=1 wi \YІ - У II ¥г - У I с числом степеней свободы / = N -1, где у =—------£ wiYi —

1=1 V Л У i=1

I ^

i=1

= 1 ” —

общее среднее для данной фотокамеры по всем съемкам; У =--------1а^У^ — среднее

I

1 =1

для цветовой мишени; а}- — количество пикселей в изображении образца цвета; У}- —

средние значения цветовых координат образца цвета.

Для проверки значимости фактора съемки используется статистика

Т22 = ^ (У - - У)т. (3)

а} 1=1

с числами степеней свободы /1 = N -1 и /2 =1 Wi - N.

i=1

N

2- / Wi I=1

Статистика типа Т2 приблизительно имеет распределение Фишера. Ковариационная матрица «между съемками»

*■ = ТТЛ1 (У -У1У -У)Т^ <4)

Однородность дисперсий «внутри цвета» проверялась с помощью статистики Т3 :

1 а1 _

Т32 = ((-!!) - У У - У)Т, <5)

где средневзвешенная ковариационная матрица «внутри цвета» SC рассчитывается по формуле

— 1 п

¡а =-----------(6)

Iа, -1 ‘=

1 =1

а ковариационная матрица «внутри у'-го образца цветам) ¡С]- — по формуле

1 ^ I (У1 - У, Т - У 1

1 i=1

Для проверки значимости систематической погрешности воспроизведения цвета рассчитывалась матрица сумм квадратов отклонений вида

Л =! а у у - Уо; - Уо; )Т,

1 =1

где Уа]- — известное значение цветовых координат для _/-го однородного цвета.

Эта сумма имеет /5 = п -1 число степеней свободы, а Т2-статистика для проверки значимости систематической погрешности воспроизведения цвета имеет вид

1 п _ _ _

Т42 = I а3 у - Уо; )5^о-1(У1 - У, Г (7)

11=1

Вероятности, соответствующие расчетным значениям статистики Т12(2), оказались равными 0,83 и 0,76, что позволяет считать ковариационные матрицы «внутри цветовой мишени» однородными. Это говорит о том, что величина общей случайной погрешности воспроизведения цвета внутри изображения между съемками существенно не изменяется.

Соответствующие вероятности для статистики Т2 (3) составили 0,994 и 0,998, что означает значимость ковариационных матриц «между съемками». Проверка значимости коэффициентов корреляции для матриц (4) показала, что их можно признать незначимыми. Скорректированные ковариационные матрицы для исследуемых цифровых фотокамер приведены в табл. 3.

Таблица 3

Марка фотокамеры Элементы ковариационной матрицы

SR Sg Sb SRG SRB SGB

Kodak DC50 0,980 0,982 1,234 0 0 0

Olympus C-1400L 0,577 0,551 0,502

10З

Вероятности, соответствующие расчетным значениям статистики Т32 (5), оказались равными 0,987 и 0,979, что позволяет считать ковариационные матрицы «внутри цвета» однородными на уровне значимости 5%. Это говорит о том, что ковариационную матрицу случайной погрешности воспроизведения цвета для различных цветов можно приблизительно считать постоянной и, следовательно, в качестве ее можно использовать средневзвешенную ковариационную матрицу «внутри цвета» (6) (см. табл.4).

____________________________________________________________________________Таблица 4

Элементы ковариационной матрицы SC

Марка фотокамеры SR SG SB SRG SRB SGB et d

Kodak DC50 5,953 5,709 б,240 2,292 2,484 2,207 11б,452

Olympus C-1400L 4,045 4,122 3,950 1,2бб 1,37б 1,2б9 43,854

Эти матрицы характеризуют величину случайной ошибки EC наблюдения цвета в образце цвета, а обобщенной мерой точности является определитель ковариационной матрицы, приведенный в последнем столбце этой таблицы. Соответствующие вероятности для

статистики Т42 (7) составили 0,999 и 0,997, что означает наличие существенной систематической погрешности воспроизведения цвета и необходимость цветовой коррекции.

Методика построения модели коррекции цвета

При репродукционной съемке главной задачей является точное воспроизведение цветов оригинала. Даже незначительное изменение условий съемки может приводить к существенному увеличению ошибок Ei наблюдения цвета «между съемками», поэтому коррекция в этом случае выполняется для каждого изображения в отдельности. В такой ситуации используются референтные цвета, имеющиеся в поле фотографии и используемые для выполнения процедуры коррекции.

Исходные компьютерные изображения получаются в цветовой модели RGB, однако анализ ошибок цветовоспроизведения изображений необходимо выполнять в однородном цветовом пространстве CIELab, в котором ошибка наблюдения цвета с цветовыми

координатами L, a, b в виде AEab = VAL2" + Aa2 + ЛЬ2 практически слабо зависит от величин цветовых координат. Для описания систематической погрешности воспроизведения цвета ES соотношение между истинными цветовыми координатами пикселей X и цветовыми координатами пикселей наблюдаемого изображения Y может быть представлено посредством многооткликовой регрессионной модели [2] в виде

Y = F (b, X)+E, (8)

где X = {,x2,...,xm}T — цветовые координаты Lab пикселя истинного изображения; Y = {, y2,..., ym }Т — наблюдаемые цветовые координаты RGB этого пикселя; E = {, e2,..., em }Т — нормально распределенная ошибка наблюдения цветовых координат с нулевым вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей VE; m — количество цветовых координат цветовой модели, используемой для данного изображения (например, для моделей RGB или Lab m = 3), F (b, x )= {f (b, X) f2 (b, X)... ,fm (B, X )}T — вектор предварительно определенных функций, известных с точностью до коэффициентов; B = {, b2, l , b¡ }T — вектор неизвестных коэффициентов модели.

Когда известны оценки коэффициентов В , полученная модель используется для преобразования цветовых координат для всего изображения. Цветовые координаты для скорректированного изображения рассчитываются, например, как X = Р- (В,У) где X = Р— (В, У) — функция, обратная функции У = Р (В, X) .

С учетом неравноточности наблюдений и дублирования экспериментов, когда на одном цветовом образце с заданными цветовыми координатами X выполняется а}- наблюдений и рассчитывается среднее значение наблюдаемых цветовых координат, выражение для расчета оценок коэффициентов может быть представлено в виде [2]

В= В * + р % ¿а;р(х; )УЕ1 [ - [В *, х}.), (9)

] =1

где У} — средние значения цветовых координат однородного цвета образцов изображения; X— априорно известные координаты этих цветов; п — число цветовых образцов;

) [д/1 (в,X)) В д/2 (в,X))В з/т(в,X) |В\

К ’ 1 дВ 1 ’ дВ 1 дВ 1 ]'

Ковариационная матрица оценок коэффициентов для случая дублирования и неравноточных наблюдений имеет вид

-1

VB =

Z aP (XJ )Vep(x} ) . j=1

Ковариационная матрица Уу оценки У по математической модели в виде У = Р (в, X) рассчитывается по формуле

Уу = РТ (X) УВР(Х) .

Задача коррекции цвета представляется обратной задачей прогнозирования, когда для заданного вектора У необходимо определить оценку вектора X. Максимально правдоподобные оценки Х вектора X определяются в виде [2]

Х *+1 = Х *+УХ*О * (уу* )-1д*,

; Л, = г - f (В, х,); а = ШмЬ fMix......................................

v ’ [ dX 1 dX 1 dX 1

где * — номер итерации; Аг- = У -Р(В,Х,) ; О = 1 —’-\Х, ^—-\Х,..., ^—-\Х }-.

Учитывая, что в данном случае УУ = РТУВР, ковариационная матрица Vх оценок

имеет вид

Vx =

o{pTvBp)1 аT

Результаты анализа точности цветовой коррекции

В качестве модели коррекции цвета использовался полный полином третьей степени со всеми взаимодействиями. Перед построением полиномиальной модели применялась процедура линеаризации по школе оттенков серого на основании экспоненциальной модели. На основании построенной модели (8) выполнялась коррекция значений цветовых координат одной из цветовых ячеек мишени по результатам расчета коэффициентов (9) по остальным ячейкам, и эта процедура повторялась для всех ячеек с расчетом средней AE и максимальной AE max ошибок прогнозирования цвета (см. табл.5).

Таблица 5

Вид модели коррекции

Марка фотокамеры Без коррекции Поли без линеа ном ризации Полином с линеаризацией

AE AE max Ae AE max AE AE max

Kodak DC50 4,98 8,72 2,21 4,12 1,15 3,45

Olympus C-1400L 4,13 7,18 2,04 3,82 1,09 3,21

Байесовский метод построения корректирующей модели

Часто задать в изображении 30-60 референтных цветов оказывается весьма затруднительным. Обычно ограничиваются 20-30 цветами. В такой ситуации оценки максимального правдоподобия рассчитать не удается. В этом случае можно применить байесовский метод оценивания коэффициентов. Известно, что эффективность байесовских оценок при небольших размерах выборок может быть выше, чем эффективность оценок максимального правдоподобия.

Если известно априорное распределения коэффициентов В = {¿>1,Ь2,...,Ь1} в виде плотности /В (в), то апостериорная плотность распределения коэффициентов определяется согласно теореме Байеса в виде

/В В? )= ь(г\в)/в(в ) , (Ш) | ь(т\в)/В (В )В

где ь(у\в) — функция правдоподобия.

В случае гауссовых ошибок наблюдений функция правдоподобия имеет вид

— I 1 T I

L(Y|B) = (2n) 2 expj -f(bXj)] V][ -f(bXj).

2 j=1 i-1

Оценки коэффициентов В методом максимума апостериорного распределения (МАР) обеспечивают максимум логарифму апостериорного распределения, т. е.

я< / я< \ а . ,

/в в \У)= тах/в (в\У).

Эта плотность имеет максимум в точке

-1

B* =

¿(ї,р/ M'B1 I-1

It B,,V^'YI М'в”)-1 в 0

, (11)

. 1=1 1 1 1

Для квадратичной функции потерь оптимальной байесовской оценкой коэффициентов В является апостериорное среднее в виде

В=

г ч 1 Вф)/В(в)в

ХВ/г, (в кВ = ---------------------------------------. (12)

1 / Ф)/в (в)в ’

Многомерные интегралы в выражениях (10) и (12) рассчитывались методом статистического моделирования.

Результаты сравнения точности коррекции

Фотографии цветовой мишени ЛвБЛ 1Т8.7/2 были использованы для получения априорного распределения коэффициентов корректирующей модели. Для этого было выполнено по 50 снимков одной и той же цветовой мишени двумя цифровыми фотокамерами. По полученным данным строилась трехоткликовая модель в виде полного полинома третьей

nm

степени, и распределение полученных оценок коэффициентов модели (60 коэффициентов) аппроксимировалось трехмерным нормальным распределением со средним значением В и ковариационной матрицей УВ.

Полученные величины векторов оценок коэффициентов и их ковариационные матрицы были использованы в качестве характеристик априорных распределений коэффициентов моделей, на основании которых рассчитывались оценки коэффициентов МАР (11) и байесовские оценки минимального риска (12). Эти оценки затем были использованы для выполнения процедуры коррекции изображений и расчета ошибки цветовоспроизведения для различных количеств образцов цветов. Цветовые образцы, по которым строилась модель коррекции, выбирались случайным образом из цветовой мишени, а расчеты для заданного количества цветовых образцов выполнялись несколько раз с последующим усреднени-

ем и расчетом средних AE и максимальных AEmax значений ошибок цветовоспроизведения для фотокамер Kodak DC50 и Olympus C-1400L (см. табл. 6 и 7 соответственно). _______________________________________________________________________________Таблица 6

Кол-во образцов цветов Метод максимального правдоподобия Метод максимальной апостериорной вероятности Метод минимального риска

AE AE max AE AE max AE AE max

288 2,21 4,12 2,31 4,18 2,32 4,20

120 2,23 4,16 2,32 4,19 2,34 4,21

100 2,28 4,18 2,39 4,28 2,36 4,29

80 3,06 5,29 2,72 4,31 2,73 4,30

60 3,98 6,68 3,07 4,55 3,08 4,57

40 6,52 9,54 3,37 4,82 3,31 4,83

30 - - 3,84 5,26 3,73 5,14

25 - - 4,33 5,97 4,21 5,61

20 - - 5,04 6,83 4,58 6,01

16 - - 5,60 8,01 4,95 7,46

12 - - 7,31 9,80 5,57 9,22

10 - - 8,12 12,27 6,19 10,04

8 - - 12,25 20,73 9,88 14,72

Таблица 7

Кол-во образцов цветов Метод максимального правдоподобия Метод максимальной апостериорной вероятности Метод минимального риска

AE AE max AE AE max AE AE max

288 2,04 3,82 2,10 3,87 2,09 3,87

120 2,09 3,82 2,16 3,89 2,16 3,87

100 2,15 3,88 2,21 3,95 2,22 3,89

80 2,66 4,15 2,42 4,11 2,43 4,10

60 3,58 4,98 2,87 4,25 2,85 4,27

40 5,42 7,84 3,12 4,52 3,06 4,53

30 - - 3,44 5,06 3,32 4,83

25 - - 3,83 5,47 3,51 5,21

20 - - 4,34 5,93 4,18 5,71

16 - - 5,12 7,81 4,78 7,21

12 - - 6,31 9,49 5,26 8,74

10 - - 7,41 10,15 5,79 7,84

8 - - 9,25 14,73 6,88 10,72

Выводы

Использование процедуры коррекции позволило снизить ошибку цветовоспроизведения цифровых изображений на 4-5 единиц АЕаЬ до величин около 1 (см. табл. 5). Такие величины ошибки считаются практически незаметными. Табл. 6 и 7 показывают, что метод максимального правдоподобия дает очень хорошие результаты при количестве цветовых образцов до 100-120 практически без увеличения ошибки прогнозирования, а затем эта ошибка резко возрастает. В то же время байесовский метод дает более точные оценки цвета и при малом числе цветовых образцов. При этом использование оценок минимального риска обеспечивает более высокую точность цветовоспроизведения при количестве цветовых образцов в пределах 12-40, при этом средняя ошибка АЕ лежит в пределах 3-6 единиц (различие заметно, но приемлемо), а максимальное значение этой ошибки не превосходит 10 единиц, когда ошибка становится неприемлемой.

1. Попов С. А. // Измерительная техника. 2002. № 8. С.28-34.

2. Popov S.A. and Emelyanov G.M. // Pattern Recognition and Image Analysis. 2002.Vol.12. No.2. Р.145-149.