Исследование оптимального импульсного управления в модели рекламных расходов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.7 ББК 22.18

© А. В. Баенхаева

Россия, Иркутск, Байкальский государственный университет экономики и права

E-mail: ayunab2000@mail.ru

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ В МОДЕЛИ РЕКЛАМНЫХ РАСХОДОВ

Статья посвящена динамической модели из области маркетинга, в которой оптимизируются расходы на рекламу двух взаимодополняемых товаров. В этой модели исследована задача оптимизации в импульсной постановке. Математической особенностью этой задачи является сочетание импульсного и ограниченного управления. Для нахождения экстремалей задачи использовался принцип максимума для импульсных процессов.

Ключевые слова: оптимальное импульсное управление, принцип максимума, инвестиции в рекламу.

©A.V. Baenkhaeva

Russia, Irkutsk, Baikal State University of Economics and Low E-mail: ayunab2000@mail.ru

THE RESEARCH OF OPTIMAL IMPULSIVE CONTROL IN THE MODEL OF ADVERTISING EXPENDITURE

The article is devoted to dynamical model from marketing area, in which advertising expenditure of two complementary goods are optimized. The problem of optimization in impulsive formulation is studied in this model. A mathematical feature of this problem is combination impulsive and bounded controls. For finding extremals, is used the maximum principle for impulsive process.

Key words: optimal impulsive control, maximum principle, advertising investments.

Введение

Рассмотрим модель, в которой оптимизируются расходы на рекламу двух взаимодополняемых товаров (например, «сотовая связь - услуги сотовой связи (mms, интернет и т.д.)»). Для первого товара потенциальную емкость рынка примем за единицу, а долю рынка проникновения в момент t охарактеризуем показателем x1(t). (Под термином «рынок

проникновения» понимается совокупность покупателей, которые уже осуществляют покупку реализуемых фирмой товаров.) Аналогично долю рынка проникновения в момент t для второго товара обозначим показателем x2(t) . Первый тип товара считается ведущим,

второй ведомым, в том смысле зависимости объема потребления второго товара от объема потребления первого. Возможные стратегии рекламы характеризуются текущими расходами на рекламу товаров - функциями времени v1(t) и v2(t) соответственно. Цель фирмы - максимизация суммарной прибыли от реализации товаров за период времени [0, T ]. С учетом этих предположений модель описывается следующим образом [1]:

x1 = av1 (1 - x1) - bx1, x1 (0) = x10 e (0,1), (1)

x2 = cv2(1 - V x1) - dx*2 , x2(0) = x20 e (0, x10X (2)

T

J = I(Ax1 + Bx2 - v1 - v2)dx ® sup, (3)

0

v1(t) > 0,0 < v2 (t) < R, t e [0, T], (4)

где все параметры положительны, а, b, c, d. Удельные доходы от реализации каждого из товаров обозначены - А и В соответственно. Отрицательные слагаемые в уравнениях динамики отражают процесс сокращения контролируемых секторов вследствие отказа покупателей от приобретения товаров фирмы, миграции или «забывания» об их достоинствах. Текущие расходы на рекламу первого товара неограниченны в том смысле, что возможно

проведение кратковременной агрессивном рекламы, приводящем к резкому увеличению объема продаж в короткие сроки (скачкообразному увеличению). Реклама первого товара неявно способствует рекламе второго товара, поэтому затраты на рекламу второго предполагаются ограниченными параметром Я.

Из-за неограниченности сверху текущих инвестиций у1(ґ) задача (1) - (4) может не

иметь решения с абсолютно непрерывной функцией х1(ї). Поэтому задача исследовалась в расширенной постановке, допускающей разрывные траектории х1 (ї) (функции ограниченной вариации). В статье [1] проведено исследование этой модели в другой постановке, когда обе компоненты управления полуограничены, т.е. допускается агрессивная реклама по обоим товарам.

Будем искать импульсное управление (векторную меру, порожденную непрерывной справа функцией ограниченной вариации) в виде йм1 = У1йі + ^ сід(ї - si) , где д(і - ) -

і

дельта функция Дирака, сосредоточенная в момент si;, сі - скачок меры в точке si ; = {э : і = 1, п} - множество, на котором сосредоточена дискретная составляющая меры

(моменты импульса); $ас ={ї: v1 Ф 0} - множество, на котором сосредоточена абсолютно непрерывная составляющая меры (непрерывная сингулярная составляющая, по предположениям, отсутствует); $(у1) = $ас и .

Функция х1(ї) кусочно абсолютно непрерывна на промежутках [0, Т] \ удовлетворяет дифференциальным уравнениям (1) - (2), а в точках е - условиям скачка:

х1( э + ) = х1( э - ) + сг .

Для исследования будем использовать принцип максимума для импульсных процессов. Обозначим через (х1(ї), х2(ї), йЦ(ї), V2(t)) исследуемый процесс.

1. Постановка задачи

Рассмотрим данную модель в более упрощенной постановке, пусть Ь = с = 0 . Некоторая идеальная ситуация, когда доли рынка проникновения после завоевания не сокращаются.

х1 = av1 (1 - х1), х1 (0) = х10 е (0,1),

х2 = сУ2 (1 - х2 / х1 X х2 (0) = х20 е (0, х10 X

(5)

J = | (^х1 + Вх2 - у1 - V2)йх ® Бир,

у1 (г) > 0, 0 < V2 (г) < Я, г е [0, Т ].

Функция Понтрягина Н (х, у, v1, v2) = ау (1 - х1) + су2 (1 - х2 / х1) + Ах1 + Вх2 - v1 - v2.

Обозначим: Н[( х,у) = ау(1 - х1) -1, Н2( х,у) = ау2(1 - х2/ х1) -1 (функции переключения управлений). Условия ПМ состоят в следующем: найдутся у, у2, такие, что вы-

полнятся следующие условия.

а) функции у1(г), у2(1) кусочно-абсолютно непрерывны и удовлетворяют уравнениям: у = у^-^^А - а, у(т+) = 0, у =ус2 - в, у2(Т) = 0;

х1 х1

б) Условия оптимальности импульсного управления ^1:

Г< 0 "ге [0,Т],

Мх,у)] 0 , а 8( ) (6)

[ = 0 га 8(v1);

в) условия оптимальности обычного управления v2:

0

И 2(х,у )

< 0 = 0 > 0

V 2 = °,

V 2 = Я;

(7)

А[ х1( 5 )]■

(8)

г) Условие оптимальности момента импульса 5 е

> 0, 5 = 0

= 0, 5 е (0,Т).

При записи условия (8) учтено, что х2(1) непрерывна и, кроме того, что у(Т) = 0, а это означает, что при 5 = Т импульс невозможен, поскольку ^ < 0 в левой полуокрестности Т. (На заключительном этапе нет стимулов к осуществлению инвестиций.)

Проанализируем условия ПМ.

1. Из условия (8) следует, что импульсов в середине интервала(0, Т) не будет, т.к. скачок [х1 (5)] > 0. Импульс возможен лишь в начале рассматриваемого промежутка времени.

2. Рассмотрим интервал Ау1, на котором VI (^) > 0. На нем \ = 0 (ау1(1 - х1) -1 = 0) и

И =_ аУ2™2 х2

А(1 _ х1) = 0, откуда следует, что v2 < 0, что не может быть. Следова-

тельно, участка Л^ не будет.

3. Рассмотрим интервал ЛV 2,

на котором v2 (і) > 0. На интервале Лг,

Ґ

(су2 (1 _ х2 / х1) _ 1 = 0) и И2 = _сВ = сВ(1 _ х2/ х1)2 х1

1 _ Х2

+ -

сУ2 х2 а^(1 _ х1) =

х2

= 0 , откуда следует, что

V1 =

> 0, но это противоречит пункту 2). Следовательно, участка особо-

х2а(1 _ х1 ) сти по обоим управлениям не будет.

4. Рассуждения удобно вести в обратном времени от Т к і = 0. С учетом условий трансверсальности у1 (Т+) = у2 (Т) = 0 получаем, что И1< 0, И2 < 0, а значит,

(VI; v2) = (0; 0) в некоторой полуокрестности Т.

Обратимся к условиям оптимальности (6) и (7) и рассмотрим возможные сочетания этих функций. Для удобства описания возможное экстремальное управление представлено на рис. 1.

Область значений параметров разбивается на части, соответствующие типам управления, при помощи линий Гі, і = 1,5, которые получаются однозначно как решения

следующих уравнений: Г1: сВТ

V

х

=1; Г2: аАТ(1 _х* ) =1; Г3: х1 = У1(Х2),

и

1 У

удовлетворяют уравнению аАТ (1 _ х1) + а (1 _ х1)

ВТ-

— 1п сВТ

Г4: cqT

V

х

с (1 _ V х) с

1; х2 = у2(х1); Г5: удовлетворяет уравнению сВ(Т _т)

V

х

= 1;

1 У У

1У

V

х

1.

1У

Стрелками указаны направления изменений соответствующих координат системы в зависимости от того с какой области мы начинаем двигаться. Опишем более подробно.

1. Экстремальное управление будет (^Ц; у2 ) = (0; 0) на всем промежутке і є [0; Т], если (х10; х20) є 01 и Г1 и Г2. Параметры задачи таковы, что не выгодно вкладывать деньги

V, = V

2

1

в рекламу, поскольку доли рынка проникновения достаточны и нет смысла их увеличивать.

2. Экстремальное управление будет (^х; у2) = (сё^);0), где величина импульса 1 1 — х

е1:=— 1п-10, если (х10; х20) е ^2 и Г4. В этой области с помощью импульса величи-

a

1 - X,

ны с в «быстром времени» переходим на границу Г2 и остаемся на ней.

3. Аналогично получаем = 0, У2(і) = Я%[0т](і), если (х10;х20)є ^3 иГ3. Другими словами, условия таковы, что нам выгодно до определенного момента Т проводить сдержанную рекламу второго товара (v1 = Я) и не рекламировать первый товар. На рисунке это соответствует тому, что мы двигаемся из области ^3 вертикально вверх в область, отмеченную темным цветом до момента Т и там остаемся.

4. В области ^4 экстремальное управление будет = с^(і), У2(і) = Я%[0т](і ).

Будет наблюдаться следующая эволюция траектории - сначала скачком перемещаемся из начальной точки на границу Г3 (горизонтально), а затем вертикально на границу Г5.

Заключение

Из данного исследования можно сделать вывод, что агрессивная кратковременная реклама ведущего товара может проводиться исключительно в начале рассматриваемого периода [0, T]. Оптимально проводить агрессивную рекламу по первому товару, а затем постепенно рекламировать второй товар, пока доля рынка второго товара не достигнет определенного уровня, затем инвестиции в рекламу можно прекратить. Данные выводы хорошо согласуются с реальными рекламными компаниями.

Литература

1. Dorroh J.R., Ferreira G.A. Multistate, multicontrol problem with unbounded controlls // SIAM. J. Contr. and Optim. - 1994. - V. 32. - No. 5. - Pp. 1322-1331.

2. Дыхта В. А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. - М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2000.- 255 с.

3. Дыхта В.А. Неравенства Ляпунова - Кротова и достаточные условия в оптимальном управлении // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. - М.: ВИНИТИ, 2006. - Т. 110. -С. 76-108.

References

1. Dorroh J.R., Ferreira G.A. Multistate, multicontrol problem with unbounded controls // SIAM. J. Contr. and Optim. - 1994. - V. 32. - No. 5. - P. 1322-1331.

2. Dykhta V.A., Samsonyuk O.N. Optimal impulsive control with applications. - М., Phizmatlit, 2000. - 256

p.

3. Dykhta V.A., Samsonyuk O.N. The inequality of Lyapunov-Krotov and sufficient conditions in optimal control // Itogi nauki i techniki. Sovremennaya matematika i prilojenia. - М., VINITI, 2006. - Vol. 110. - P. 76 - 108.