Исследование нового трехмерного конечного элемента для моделирования упруго-динамических свойств газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.2

И. А. ТРИБЕЛЬСКИЙ В. В. БОХАН ■

Научно-производственное предприятие «Прогресс», г. Омск

ИССЛЕДОВАНИЕ

НОВОГО ТРЕХМЕРНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ УПРУГО-ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ГАЗА_________________________________________

Рассматривается новый трехмерный конечный элемент для моделирования упругодинамических свойств газа. Получены в явном виде аналитические выражения для расчета элементов матрицы жесткости нового конечного элемента. Проведено экспериментальное исследование распределения амплитуды звукового давления вдоль оси акустического интерферометра. Показана возможность использования изотропного трехмерного конечного элемента для описания упруго-динамических свойств газа, при этом физические константы элемента определены расчетом по полученным зависимостям, что дает возможность задействовать ресурс коммерческих программ, реализующих метод конечных элементов, для решения задач распространения и взаимодействия с преградами упругих волн.

Ключевые слова: метод конечных элементов, матрица жесткости, распространения упругих колебаний в трубке, упруго-динамические свойства газа.

Ранее в [1] был подробно рассмотрен новый осесимметричный конечный элемент (КЭ) для моделирования упруго-динамических свойств газа. Для моделирования поведения газа, занимающего произвольный объем, требуется использование трехмерного КЭ, который моделирует область пространства конечных размеров, давление газа в которой зависит от изменения объема, обусловленного перемещением узлов КЭ.

Рассмотрим вывод матрицы жесткости трехмерного КЭ тетраэдральной формы двумя способами: способом, который предложен в [2], и способом, описанным в [3 — 6]. Последний способ широко используется в программах, таких как ЛпБуБ, ЫаБ^ап, ЛЪадиБ и др., для расчета прочности, устойчивости, отклика на воздействие различных конструкций.

На рис. 1 изображен трехмерный КЭ тетраэдральной формы с узлами г, ], к, т в правосторонней декартовой системе координат Охух.

Рассмотрим вывод выражения матрицы жесткости КЭ способом, описанным в работе [2].

Запишем объем V тетраэдрального КЭ через координаты узлов:

1 Х, У,

1 1 Х У х;

6 1 Хк Ук хк

1 Хт Ут Хт

или

ХУтХЬ + ХкУт21 - ХкУ)Хт +

+ ХтУ)Хк - ХтУкХ) - ХУкХт + Х1УтХк - ХкУтХ, + + ХкУХт - ХтУХк + ХтУкХ, + ХУ^т - Х,УтХ1 +

Рис. 1. Тетраэдральный конечный элемент цкт

+ Х!УтХ1 - Х)УХт + ХтУ,Х1 - ХтУ)Х, - ХУ^К +

+ ХУкх1 - ХУкг1 + ХУ,гк - ХкУ1х1 + ХкУ^1] • (1)

Здесь Х,- У,- Х,- Х- У- X- Хк- Ук- Хк- Хт' Ут' хт ~ декаГ-товы координаты узлов ,, , к, т соответственно.

Изменение объема КЭ запишем через изменения координат его узлов:

лтл -V 5 -V 5 -V 5 -V 5

А V =------5х,. +-----5 yi +----+----------5х, +

-х( 1 су, /г г Эх j j

-V й д^ дV й дV

+ SУj + SZj + — 8Хк + — 8Ук +

дУ

-хк

дУк

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

79

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

80

дУ „ дУ я дУ я дУ я

-^Ъ2к + ^8хш + т—8Уш + ^82ш

д2к дхш дУш д^ш

или в матричном виде

Д^=[£У]{8|.

Здесь [-ОУ] — вектор-строка производных объема КЭ по координатам

[ПУ ] _

дУ дУ дУ дУ дУ

дУ д2г дх, ду, д2,

дУ дУ дУ дУ дУ

дУк д2к ш * д дУш \ ш N д

(2)

{8} — вектор-столбец перемещений по координатам

{8}Т = [8х, 8у, 82г 8х] 8у, 82, 8хк ®

® 8Ук 82 к 8х ш 8уш 82 ш]. Подстановка (1) в (2) дает [БУ]Т _

' - Ук2ш + Уш2к + У,2ш - Уш2, - У,2к + У к2,

хк2ш - хш2к - х,2ш + хш2, + х,2к - хк2,

- хкУш + хшУк + х,Уш - хшУ, - х,Ук + хкУ,

Ук2ш - Уш2к + Уш2, - Уг2ш - У к2, + У,2к

хкУш - хшУк - х,Уш + хшУ, + х,Ук - хкУ, Уш2, - У,2ш - Уш2, + У,2ш - У,-2, + У,2,

с у + х у. + х у - х у.

, ш ш , г ш ш г

\У, + х,У,

У,2к - У к2, - У,2 к + У к2, + У,2, - У у

х,Ук - хкУ, - хіУк + хкУ, + х,У} - х,У,

Далее, преобразуем элементы полученного вектора [ ДУ]Т в виде столбца следующим образом:

(3)

дУ

дх.

Ук 2к

Уш 2ш

1 У,

1 Ук 1 Уш

У,

Уш

У, 2,

Ук 2к

(4)

_______ С У2

2 }кш'

дУ

дУ,

1 ( хк 2к х, 2,

6 1. хш 2ш хш 2ш

х, 1 2,

1 ,

_- 6 хк 1 2к _ -

хш 1 2ш

,кш 1

(5)

дУ

дх.

Ук 2к Уг 2г + Уг 2г

Уш 2ш Уш 2ш Ук 2к

1 У, 1 Ук 1 Уш

2,

2к

1

_ ЧУ2

2 ікш'

дУ _ 1 дУ, 6

хк 2к + хг 2г хг 2г

хш 2ш хш 2ш хк 2к

дУ

д2-

х 1 2І

1 " 6 хк 1 2к 1 _ 2 С ікш'

хш 1 2ш

хк Ук хг У + х і У,

хш Уш хш Уш хк Ук

хг

хк

хш

У, 1

Ук 1

Уш 1

1

_ С*у

2 ікш'

дУ

дх.

У, 2

Уш 2

1 У г 2

1 У, 2

1 Уш 2

Уг

Уш

Уг 2г

У, 2,

________1 СУ2

2 г,ш'

дУ _ 1

дУк 6

х, 2, хг 2г + х і 2 і

хш 2ш х 1 хш 2, 2ш х, 2,

1 6 х, 1 2, _ - 1 Сх2 2 г,ш'

хш 1 2ш

дУ

д2.

х, у, + хг

хш Уш хш

х, Уг 1

х, У, 1

Уш

Уг

Уш

хг Уг

х, у,

хш

1

— Бху 2 г,ш'

дУ

дх„

у, 2, Уг 2 + Уг 2г

Ук 2к Ук 2к У, 2,

1 У г 2г

1 У, 2,

1 Ук 2к

— __ ЯУ2

дУ

дУш

х, 2, + хг 2 хг 2г

хк 2к хк 2к х, 2,

1 2і

1 2

1 2,,

_ - С,

,к

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

к

ш

- хк2ш + хш2к + хг2ш

х ш2г - хі2к + х к2г

хш2, - х,2ш + хш2, + х,2, - х,2г

х,2ш

х,2к + хк2, + х ,2к

хк2, - х,2, + х,2,

+

2

к

2

+

к

к

1

2

2

к

дУ

д2,

+

к Ук

У

шш

х , У,

хк Ук 1

, У,

ш Уш

1

, У,

к Ук

х

Уш 1

(6)

дУ

д2„

— _ _ С*у

2 ,кш'

х, у, х і Уг + хг Уг

хк Ук хк Ук х, у,

хг Уг 1

1

6 х, у, 1 =1 _ 3

хк Ук 1

(15)

Здесь обозначено 5% — проекция грани-треугольника КЭ Д на координатную плоскость Р, где Д = Цкт, ікт, іЦт, іЦк; Р = уг, хг, ху.

Таким образом, частная производная объема КЭ по данной координате данного узла суть проекция грани КЭ тетраэдральной формы (треугольник, содержащий узлы КЭ, кроме данного) на координатную плоскость, которая перпендикулярна оси данной координаты. Тогда выражение можем переписать в виде:

[ОУ] = 3 [- 5

Уг

Цкт

5

Цкт

С'хУ 5 Цкт

С у2

ікт

5х

5

СхУ 5 ікт

С<уг ^хг 5і к 5і к

[К ] = РуП [ОУ ]Т [ОУ ],

у п

(16)

[к] =1РП

9 Уп

[К]

[К]

Цкт, Цкт

Т

[К] Цкт, ікт

[К]ік

-ІЦкщгЦк

[К] ЦктіЦт

[К]а [К]ц

[К]Т

1.* *- J іЦт, іЦк

\Цкт,ікт V ліктікт V J ікт іЦт І. іікт,іЦк (\г7\

ИТ [к]т г, ( )

Цкт іЦт і.л *- J ікт, іЦт І.* *• J іЦт, іЦт

[К]ТЦ [К]Т [К]Т

[К]ікщіЦк

где для удобства записи обозначено

1К] ЦктіЦк

К

[К] іцш іЦк

[К]іЦк, іЦк _

[К]

Цкт , Цкт

[К]

Цкт ,ікт

[К]

Цкт,іЦт

1 т т еуг ^хг 5 Цкт 5 Цкт 5 уг 5 ху Цкт Цкт

С1 хг ^уг 5 Цкт 5 Цкт 5 Цкт 5 Цкт ^хг с1ху 5 Цкт5 Цкт , (18)

5ху 5уг ~ Цкт Цкт С<ху с<хг 5 Цкт 5 Цкт 5ху 5ху Цкт Цкт _

~5уг 5уг Цкт ікт еуг ^хг 5 Цкт 5ікт 5уг 5ху ~ Цкт ікт

С1 хг еуг 5 Цкт 5 ікт 5 Цкт 5ікт ^хг с1 ху 5 Цкт 5 ікт , (19)

5ху 5уг У Цкт ікт С<ху с<хг 5 Цкт 5ікт 5ху 51^ Цкт ікт _

5Уг 5Уг Цкт іЦт еуг ^хг 5 Цкт5іЦт 5уг 5ху " Цкт іЦт

^хг еуг 5 Цкт 5іЦт 5 Цкт5іЦт ^хг с1 ху 5 Цкт5 іЦт , (20)

5 ху 5 уг Цкт іЦт С<ху с<хг 5 Цкт5іЦт 5ху 5ху Цкт іЦт _

[К]

ікт,іЦк

[К]іЦ

[К]

іЦт,іЦк

Всякое изменение объема КЭ вызывает изменение давления газа. Как и ранее, в [1], процесс полагаем политропным.

Матрицу жесткости КЭ [К] получим на основе принципа возможных перемещений, аналогично [1]:

[К]

5уг 5уг ікт іЦк ^уг с1 хг 5ікт5іЦк 5уг 5ісу ікт іЦк

С1 хг с1 у2 5ікт5іЦк 5ікт5іЦк 0і хг с1 ху 5 ікт5 іЦк , (24)

5ху 5уг 5ікт5іЦк ^ху схг 5ікт5іЦк 5ікт5іЦк _

" 5уг 5уг 5іЦт5іЦт С^уг с-хг 5іЦт5іЦт 5уг 5ісу 5іЦт5іЦт

С1 хг ^уг 5іЦт5іЦт 5іЦт5іЦт ^хг ^ху 5іЦт5іЦт , (25)

5ісу 5уг _ іЦт іЦт ^ху ^хг 5іЦт5іЦт 5 ху 5 ху іЦт іЦт

~5уг 5уг 5 іЦт5іЦк С^уг с-хг 5 іЦт 5 іЦк 5уг 51^' 5іЦт5іЦк

С1 хг ^уг 5іЦт5іЦк 5 іЦт 5 іЦк ^хг ^ху 5іЦт5 іЦк , (26)

5ху 5уг іЦт іЦк ^ху ^хг 5 іЦт 5 іЦк іЦт іЦк _

" еугеуг 5іЦк5іЦк С^уг с-хг 5іЦк5іЦк 5у25ху " 5іЦк5 іЦк

С1 хг ^уг 5іЦк5іЦк 5 іЦк5іЦк ^хг ^ху 5 іЦк5іЦк . (27)

5ісу 5уг _5іЦк5 іЦк ^ху ^хг 5іЦк 5іЦк 5

где рд, Уд — начальные значения давления и объема газа в КЭ, обусловленные номинальной нагрузкой; п — показатель политропы.

Выпишем в явном виде зависимость матрицы жесткости от координат узлов, подставляя (1) и (3) в (16):

іЦк,іЦк

Отметим, что матрица (17) является симметричной.

Очевидно, что полученную матрицу жесткости [К] можно в принципе использовать для расчетов с помощью достаточно широкого круга программ, реализующих МКЭ применительно к задачам деформирования твердого тела. Однако далеко не все они позволяют непосредственно ввести значения элементов [ К ]. Зачастую остается лишь возможность непосредственного ввода матрицы упругости [ Б ]. И тем не менее, как показано ниже, есть возможность моделировать газ изотропными КЭ аналогично новому КЭ.

Рассмотрим вывод выражения матрицы жесткости КЭ цкт (рис. 1) способом, описанным в работах [3 — 6]. Описывающие тетраэдральный КЭ выражения достаточно подробно представлены в [3]. Здесь приведем лишь некоторые из них.

Перемещения внутри КЭ представляют линейными полиномами. Так, вдоль оси Ох перемещения и, и, ик, ит узлов КЭ составляют линейную алгебраическую систему

Щ = С п + Сі хі + С 2У і + С зг

и, = С П + %а1х] + С 2 У, + С 2 2Ц

ик =С П + %ихк + % 2 у к + %1 гк , (28)

2т =С2 + Х2хт + С 2Ут + С 3 2ш

где Х0, С , %2, Х3 — постоянные однозначно определяющие перемещения внутри КЭ вдоль оси Ох.

Решая систему (28) методом Крамера (через определители) относительно х0, ХХи, Х 2, Х3 и раскладывая каждое решение по столбцу, содержащему перемещения и, и, ик, ит узлов КЭ, получим:

5 т і? С^уг схг 5Цкт5іЦк 5уг 5ху~ 5 Цкт іЦк С “ = 1 п 6У хЦ уЦ 2ц хі уі 2,

[К]Цкт,іЦк = - 5 Цкт5іЦк 5Цкт5іЦк С1 хг с1 ху 5 Цкт5 іЦк , (21) 2, хк ук гк - 2Ц хк ук гк

5ісу 5уг “ Цкт іЦк 0іху ^хг 5Цкт5іЦк ху _іЦк 5 й 5 6 у п хт ут 2ш хт ут 2ш

і5 ш22 і5 3 ^ С1 уг с1 хг 5ікт5ікт 5 5 хі уі г, хі у,

^^^кт/ікт 0і хг ^уг 5 ікт5ікт ^хг ^хг 5ікт5ікт С1 хг с1 ху 5ікт5ікт , (22) + 2к хЦ уЦ - 2т х, уЦ 2ц

5^ 5уг “ ікт ікт ^ху ^хг 5ікт5ікт 5 ху 5 ху ікт ікт _ хт т у 2ш хк ук гк

(29)

хг

Уг

хг

5

5

+

5 ш2 Цу Ш2 С^уг С хг 5 ікт іЦт 5у2 5ху " ікт іЦт С2 = 1 6Уп 1 уЦ гЦ 1 уі г

[ К~\ікт,іЦт ^хг ^уг 5 ікт5іЦт С1 хг с1 хг 5 ікт іЦт ^хг ^ху 5 ікт5іЦт , (23) - 2 1 ук гк + 2, 1 ук гк

5ху 5уг _ ікт іЦт С1 ху с1 хг 5 ікт іЦт 5ху ікт іЦт _ 1 т у гт 1 ут гт

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

1 У, 2і 1 у, 2і

ик 1 Уі *і + ит 1 Уі гі

1 Ут 2т 1 Ук гк

(30)

С 3 =

6К

+ и

6У

1 хІ *і 1 х 2,

и 1 хк 2к - иі 1 хк 2к

1 хт 2т 1 хт 2т

1 х 2г 1 х г

1 хІ - ит 1 хІ 2і

1 Хт 2ш 1 хк 2к

(31)

1 хі Уі 1 х у,

- щ 1 хк Ук + иі 1 хк Ук

1 х т Ут 1 хт Ут

1 х уі 1 хі уі

ик 1 хІ Уі + ит 1 хІ уі

1 хт Ут 1 хк Ук

(32)

6У„

1

2 = У [- + 25^ - 25*Х + 23£ит ], (34)

1

3 = — [- 2'^ + 28ХУтП] - 2Я*ттик + 28Хкиш]. (35)

" 1 а а 0 0 0~

а 1 а 0 0 0

Е (1 -V) а а 1 0 0 0

(1 + п)(1 - 2п) 0 0 0 р 0 0

0 0 0 0 р 0

_ 0 0 0 0 0 Р_

обозначено а V , р 1- 2п

1 - V 2(1 -V)

Отметим, что в (30) — (32) определители, по сути, представляют собой проекции элемента-тетраэдра на координатные плоскости. Используя обозначения в выражениях (4) — (15), перепишем (30) — (32):

ХГ = — [- 25^ + 2^, - 23Гик + 23^], (33)

Е, V

приведенные для газа модуль Юнга и коэффициент Пуассона.

Выражение для матрицы деформаций [В ] (отличие от [3] только лишь в обозначении узлов КЭ) с учетом (36) имеет вид:

5У2 5 Ікт 0 0 5 У2 5 ікт 0 0

0 - хг 5 Ікт 0 0 С-хх 5ікт 0

1 0 0- схУ 5 Ікт 0 0 схУ ікт

3У0 хг - 5 Ікт - 5 У2 5 Ікт 0 С1х2 5 ікт і5 т2 0

0 - <5*х 5 Ікт хг 5 Ікт 0 С'хУ 5ікт О х2 5 ікт

С-У _ 5 Ікт 0- 5 У2 5 Ікт сх ікт 0 СУ2 ікт

5 Уг 5іІт 0 0 су 5іІк 0 0 "

0- хг 5іІт 0 0 С1х2 5іІк 0

0 0 сх 5іІт 0 0 СхУ 5іІк

хг 5 і]т - 5У2 5іІт 0 хг 5іІк СУ2 5іІк 0

0- 5хУ 5іІт хг 5іІт 0 схУ 5іІк Гіх2 5 5

схУ 5 іІт 0 5 У2 5іІт 5хУ 5іІк 0 су2 5іІк .

(39)

Используя (38) и (39), выражение (37) можно переписать в следующем виде:

С помощью (29), (33) — (35) можно выразить перемещения внутри КЭ вдоль оси Ох, в котором коэффициенты при перемещениях и., и, ик, ит узлов КЭ суть функции положения [3]:

[к] =

~[к ]1Д [к]1,2 [ к ]1,3 [к]1,4 ■

1 Е(1 - V) [к ]^2 [к]Х2 [к ]2,3 [к ]2,4

9У0 (1 + v)(1 - 2У) [к ]Т3 [к]Т2,3 [к ]3,3 [к ]3,4

[к]1л [к]т24 [к ]Т,4 [к]4,4 _

N

N

3К

3У,

3У

1 2 хІ Уі 2І

хк Ук 2к - 'кх - 'ктУ -

хт Ут 2т

где для удобства записи обозначено (каждый блок дополнительно разложен на сумму):

хі уі 2 - 2т 5 2т аСУ2 5х2 1X5 Ікт5 Ікт аСУ2 5хУ " 1X5 Ікт5 Ікт

хк Ук 2к + єутх + ст + єхУт2 Ми = аСУ2 5х2 ^5 Ікт5 Ікт х2 х2 5 Ікт5 Ікт а5х2 сху (Х5 Ікт5 Ікт

хт Ут 2т а 5 2т 5 8 асх сху 1X5 Ікт5 Ікт 5 5

хі Уі 2і

хі уі - 5У2х - 5х2у - схУ7 5іІтх 5іітУ 5іІт2

хт Ут 2т

(36)

1 2 хі Уі 2і

хі Уі 2 + Є^х + єх^у +

хк Ук 2к

3К

Матрицу жесткости КЭ ijkm (рис. 1) можно составить, используя [3] (перемещения внутри элемента являются линейными полиномами):

[k] = [B]T[D][B]Уo.

(37)

+ Р

гиг , С-ХУ С-ХУ

5 Ікт5 Ікт + 5ікт5ікт еуг ^хг 5 Ікт5 }кш суг 5ху 5 Ікт5 Ікт

С'уг с1хг 5 Ікт5 }кш суг суг + с

5 іігт5 іігт ~ 5 ІЬ-т5

Ікт ]кш

Ікт Цкт

хг хУ 5 Ікт5 Ікт

Уг хУ ^ }кт Цкт

> 5хг 5ХУ

5Ікт5ікт Уг Уг хг хг

5Ікт5ікт + 5 Цкт5 Цкт _

[к]1,2 =

Уг Уг 5 }кт 5 ікт

а5хг су2 1X5 ]кт5 ікт

асх су2

^5 ]кт5 ікт

аЄУг 5х2

Ікт 5 ікт хг хг 5 Ікт'5 ікт

пЄху 1X5 Ікт5 ікт

аЄУ* ЄхУ ^5 Ікт5 ікт

1X5 ІктЄ ікт

Єху 'ху

Ікт ікт

Здесь [Б ] — матрица упругости материала, а [ В ] — матрица деформаций.

Газ принимаем изотропным материалом, тогда матрица упругости имеет вид:

-р

хг хг хУ хУ

5 Ікт5 ікт + 5 Ікт5 ікт Уг хг 5 Ікт 5 ікт єуг єісу Ікт ікт

хг Уг 5 Ікт5 ікт суг суг + єісу є

5 ІІт5 Игт ~ 5 ІІт5 .

Ікт ікт

Ікт ікт

хг хУ 5 Ікт5 ікт

1

+

С

2

1

С

С

1

1

+

1

Мк =

1

Г'уг ^ ^т^(кт С1ху ^хг 5 ]кт 5 (кт

[к ь

+ р

^хг ^хг 5 ]кт5ут

хг хг уг 5}кт5&т 5]кт5

г! СП гт уг ук а?уг 5х 1X5 )кт5ут а?уг 5ху КХО )кт5ут

а5хг 5уг 1X5 )кт5ут хг хг 5 }кт5ут а5хг гху КХО )кт5ут

а5ху _и'5 }кт5ут а^ху 5х 5 ]кт5ут у| СП Й С/Т

ху ху ]кт ут хг уг 5 }кт5ут

^уг ^хг 5 ]кт5ут

5уг 5^

^ укт^ут

г'уг г'уг , о ху С‘ху ^ укт^ут “г ^ укт^ут ^хг с1ху 5 ]кт5ут

<г'ху ^уг ^ укт^ут 5ху 5хг 5 укт5(ут ^хг с^г I суг суг 5]кт5ут + 5]кт5ут

[к ]м

-Р

+ 5

С<уг с<хг 5 укт5(ук эуг эзу ^укт^ук

уг уг ^ укт^ук а?уг 5хг КХ5 }кт°ук а5уг 5ху КХ5 }кт5ук

а5х 5уг ^5 }кт5ук хг хг 5 }кт5ук а5хг 5ху КХ5 }кт5ук

*у^ СП й СП 8 а^ху 5хг 5 ]кт 5 ук СП й СП

ху 5ху укт5ук хг уг 5 }кт5ук

г-уг с;уг , с;ху сх 5 укт5(ук ^ 5укт5(ук ^хг с1ху 5]кт5ук

^ху ^уг 5 укт5(ук ^ху^хг 5 укт5 (ук хг хг уг уг

5укт5(ук + 5]кт5ук_

[к]2, 2 =

5уг 5уг 5(кт5(кт

а^уг 5хг и'5(кт5(кт

а^уг 5ху и'5(кт5(кт

+ Р

хг хг ху ху

5(кт5(кт + 5 (кт5 (кт уг хг 5(кт5(кт

5уг 5^

(кт (кт

уг хг

5(кт5(кт 5уг 5уг + 5^ 5х 5(кт5(кт 5 (кт5 (к

хг ху 5(кт5(кт

5уг

(кт (кт 5хг 5ху 5(кт5(кт уг уг хг хг

5(кт5(кт + 5 (кт5 (кт

[к]2, 3 =

5уг 5уг 5(кт5 ут

п5хг 5уг 1X5(кт5ут

а5ху 5уг

У'5(кт15 ут

-Р

хг хг ху ху

5(кт5ут + 5(кт5ут уг хг 5 ( кт5 ( ут

5уг 5^

(кт ( ут

а^уг 5х ^5(кт5ут хг хг 5 (кт 5 (ут

а 5 ху 5хг

КХ5(кт5(ут

хг уг 5 (кт ут

а^уг 5ху КХ5(кт5(ут

а5хг еху и'5(кт5ут

5ху 5^

/кт (ут

уг уг ху

*-' Иггг,'-’ Игг, “Г Игт'-’

(кт (ут

(кт (ут

хг ху 5 (кт ут

5ху 5 уг /кт (ут 5ху 5хг 5 (кт5(ут хг хг уг уг

5 (кт 5(ут + 5 (кт5 (ут

+ Р

5уг 5уг ^ гкт ук 5 (кт5 ук а 5 т 5 «■у

[к ]2,4 = а5хг 5уг ^ 51кт5ук хг хг 5 (кт5 ук а5х 5ху гкт5 ук

а5ху 5уг У151кт5ук а^ху 5 (кт5 ук 5ху сху (кт ук

хг хг '^гкт'Эук + 5 ху ^ху кт ук хг уг 5 гкт5 ук

уг хг 5(кт5ук

5уг 5^

5(кт5(ук

уг уг ху

5 5 “г 5 ^т5

гкт гцк

гкт гцк

хг ху 5{кт5цк

(41)

[к ]3,3 _

+ Р

хг хг 5 ут 5 ут

5 ху 5 уг 5 (кт5 ук

ху хг (кт5ук

хг 5 (кт 5 хг + 5 уг 5 5ук “|" 5 (кт5 уг (у _

5уг 5^ (ут ут а^у 5х 5 ут5 ут а?уг 5ху ' 5 ут5 ут

а^у 5хг 5ут5 ут хг хг 5 ут 5 ут 5 ут5 ут +

а^у 5ху 5ут5 ут а5х 5х 5 ут5 ут 5Ху 5Ху 5ут5ут _

5 ут у уг хг 5 ут 5 ут

уг хг 5 ут 5 гут

5уг 51^

гут ут

5уг 5уг + 5Ху 5Ху _

ут гут ут гут

хг ху 51}т51}т

(42)

[к ]3, 4 _

-Р

хг хг 5 ут5 цк

уг хг 5 ут5 цк 5у 5ху 5 ут5 ук

(43)

^уг- ^уг- , ^ху ^ху ®

5 ут5 ук 5 ут5 ук хг ху 5ут5ук

ху уг 5ут5ук ху хг 5 ут ук

хг хг уг уг

5ут5ук + 5ут5ук'

[к]4,4 =

уг уг 5 ук 5 ук

1X5 ук 5 ук

у5 ук5 ук

+ Р

хг хг ху ху

5 ук 5 ук + 5 ук 5 ук уг хг 5 ук5 ук

5уг5ху 5 ук 5 ук

а5уг5хг

^'^ук'Эук

хг хг 5 ук 5 ук

а5хг5ху

ук 5 ук

уг хг 5 ук 5 ук

а5уг5ху

^'^ук'Эук

ук 5 ук ^ху^ху 5 ук 5 ук _

уг уг ху ху

ук ук 5 ук 5 ук

хг ху 5 ук5ук

(44)

уг ху 5 ук 5 ук хг ху 5 ук 5 ук уг уг хг хг

5 ук 5 ук + 5 ук 5 ук _

(46)

5 уг 5 ху 5 ут 5 (ут -

хг ху 5 ут 5 (ут , (47)

5 уг 5ут ^уг . ^хг ^хг 5 (ут 5 (ут 5 (ут _

5У 5У ^ ут (ук а5уг 5х ут 5 ук а^уг 5ху ' КХ5(ут5(ук

а5хг 5уг 1X5 (ут15 ук хг хг 5 ут 5 (ук а5х 5ху ут 5 (]к -

а5ху 5уг у^5 (ут15 ук а5ху 5х ут 5 ук ^(ут (}к _

5 ху 5 ук хг уг 5 ут5 (ук

(48)

(49)

Сравнивая выражения (18) — (27) и (40) — (49), выявляем условия равенства матриц жесткости [К] и [к]:

(45)

1 - V

Р = = 0

Роп =

2(1 - V)

Е (1 - V)

(50)

(1 + п)(1 - 2п)

Из первого и второго условий (50) следует п= 1/2, что противоречит третьему условию. Применим в данном случае приближенный подход, полагая, что коэффициент Пуассона V близок по величине к 0,5. Точность решения тем выше, чем ближе к 0,5 принимается величина V. Принимая, например, п = 0,49, из (50) находим:

Е = Р0П

(1 + у)(1 - 2у) (1 -V)

0,058431р0п .

(51)

уг

+

ху

+

+

V

1

а =

+

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

83

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

Рис. 2. Схема акустического интерферометра

Для решения динамической задачи при гармоническом возбуждении без учета трения на ряду матрицей жесткости необходима матрица масс КЭ. Приведем ее в матричном виде без вывода [3, с. 348]:

[т] = {[N]Т ро [Л]ёУ.

V

Здесь р0 = Р0 М — плотность газа; Я = 8,31447 Дж/ ЯТ

(моль^К) — универсальная газовая постоянная; Т — абсолютная температура воздуха; М = 0,0289644 кг/ моль — молярная масса воздуха; интеграл по объему КЭ.

Полученные константы V, Е и р0 можно использовать в программах, реализующих МКЭ, таких как ЛиБуБ, ЫаБ^ап, ЛЬадиБ и др., при моделировании свойств газа изотропными КЭ.

Для подтверждения возможности моделирования свойств газа проведено экспериментальное исследование распределения амплитуды звукового давления вдоль оси акустического интерферометра (АИ) и проведен расчет давления в АИ с помощью описанного КЭ в программе ЛпБуБ.

Акустический интерферометр представляет собой бетонную трубу квадратного сечения 800x800 мм с жесткими стенками толщиной 160 мм. АИ амортизирован с помощью пневмоамортизаторов АПРКу подушечного типа с резинокордной оболочкой Н-103. По торцам труба закрыта массивными стенками. На одном из концов трубы размещен излучатель звука электродинамического типа. Расстояние от излучателя до поверхности противоположного конца составляет 32,46 м. Звуковое давление внутри трубы измеряют с помощью измерительного микрофона, который перемещают вдоль оси трубы с возможностью определения положения микрофона посредством лазерного дальномера.

Схема АИ приведена на рис. 2.

Диапазон частот измерения звукового давления составляет 5 — 200 Гц. В рамках этого диапазона в трубе могут распространяться только плоские волны. При подаче сигнала на излучатель в результате интерференции образуется звуковое поле стоячих волн.

Сигнал на излучатель подаются с генератора через усилитель. Сигнал с микрофона поступает на вход анализатора спектра.

Измерения выполнены при возбуждении чистым тоном на частотах 5, 6.5, 8, 10, 12.5, 16, 20, 25, 31.5, 40, 50, 63, 80, 100, 125, 160, 200 Гц. Звуковое давление измерено как спектральная составляющая узкополос-

ного спектра соответствующей частоты. Положение микрофона меняли с шагом составляющим ~118 мм. Измерения заняли пять календарных дней. Атмосферное давление и температура внутри АИ изменялись, но фиксировались: наибольшее изменение температуры 1 °С, атмосферного давления 7 мм рт. ст.

На рис. 3 — 7 приведены экспериментальные графики распределения амплитуды звукового давления вдоль АИ при частотах возбуждения 5, 10, 20, 40 и 100 Гц.

Покажем далее путем решения задачи распространения звукового возмущения (динамическая задача при гармоническом возмущении) в АИ с помощью описанного КЭ, что ввод параметров обеспечивает приемлемую точность расчетов.

На рис. 8 показана конечно-элементная модель АИ в программе АпБуБ. Геометрические размеры модели соответствуют номинальным размерам внутреннего объема АИ. Модель содержит 7 314 узлов, 29 623 элемента. Перемещение узлов на боковых продольных поверхностях модели, а также на одной из двух торцевых поверхностей, ограничено только по нормали к соответствующим поверхностям. Узлы на противоположной относительно упомянутой выше торцевой поверхности модели смещаются по гармоническому закону вдоль продольной оси модели. Такое граничное условие соответствует поршню в трубке.

Поскольку изменение атмосферного давления и температура внутри АИ незначительно, то расчет проведен для одного набора параметров: температура 18 °С, атмосферное давление 760 мм рт. ст. Значение коэффициента Пуассона принято 0,49.

Так как измерить амплитуду колебаний излучателя достаточно трудно, то встает вопрос настройки расчетной модели на эксперимент. Эта задача решена путем выбора значения амплитуды гармонических перемещений узлов торцевой поверхности АИ, при котором расчетные значения амплитуды давления соответствуют экспериментальным.

Результаты расчетов представлены на рис. 4 — 8.

Как видим, результаты расчета с достаточной точностью соответствуют экспериментальным данным. При этом коэффициент Пуассона V можно принимать в пределах от 0,49 до 0,4999. Проведенные расчеты при различных значениях V на разных частотах показывают, что результаты практически не изменяются с изменением V в указанных пределах.

Таким образом, в статье:

1. Получены в явном виде аналитические выражения для расчета элементов матрицы жесткости но-

Рис. 3. Распределение амплитуды звукового давления вдоль АИ при возбуждении на частоте 5 Гц

Рис. 4. Распределение амплитуды звукового давления вдоль АИ при возбуждении на частоте 10 Гц

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

Рис. 5. Распределение амплитуды звукового давления вдоль АИ при возбуждении на частоте 20 Гц

Рис. 6. Распределение амплитуды звукового давления вдоль АИ при возбуждении на частоте 40 Гц

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Расстояние от излучателя АИ, м

□ эксперимент (17.02.2012 г., 19°С, 763 мм рт. ст.) + эксперимент (18.02.2012 г., 18°С, 759 мм рт. ст.)

д эксперимент (20.02.2012 г., 18°С, 756 мм рт. ст.) х эксперимент (21.02.2012 г., 18°С, 758 мм рт. ст.)

о эксперимент (22.02.2012 г., 18°С, 762 мм рт. ст.) ---расчёт МКЭ в Ашув (18°С, 760 мм рт. ст., у=0,49)

Рис. 7. Распределение амплитуды звукового давления вдоль АИ при возбуждении на частоте 100 Гц

Рис. 8. Конечно-элементная модель акустического интерферометра (показана 1/8 часть)

вого трехмерного конечного элемента, описывающего упруго-динамические свойства газа.

2. Показана возможность использования изотропного трехмерного конечного элемента для описания упруго-динамических свойств газа, при этом физические константы элемента определены расчетом по полученным зависимостям, что позволяет задействовать ресурс программ типа АпБуБ и др. для решения трехмерных задач распространения и взаимодействия с преградами упругих волн.

3. Решена задача распространения звукового возмущения в АИ с использованием изотропного трехмерного конечного элемента с расчетными значениями физических констант. Для оценки возможности моделирования свойств газа проведено экспериментальное исследование распределения амплитуды звукового давления вдоль оси акустического

интерферометра. Результаты численного расчета хорошо соответствуют экспериментальным данным.

Библиографический список

1. Трибельский, И. А. Исследование нового осесимметричного конечного элемента для моделирования упруго-динамических свойств газа / И. А. Трибельский, В. В. Бохан // Омский научный вестник. — 2012. — № 1(107). — С. 150—158.

2. Расчетно-экспериментальные методы проектирования сложных резинокордных конструкций : моногр. / И. А. Трибельский [и др.]. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. — 240 с.

3. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич : пер. с англ. — М. : Мир, 1975. — 544 с.

4. Норри, Д. де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз : пер. с англ. — М. : Мир, 1981. - 304 с.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

5. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд : пер. с англ. — М. : Мир, 1979. — 392 с.

6. Секулович, М. Метод конечных элементов / М. Секуло-вич : пер. с серб. Ю. Н. Зуева ; под ред. В. Ш. Барбакадзе. — М. : Стройиздат, 1993. — 664 с.

ТРИБЕЛЬСКИЙ Иосиф Александрович, доктор технических наук, заместитель генерального директора по научной работе — главный конструктор по РТИ

Научно-производственного предприятия (НПП) «Прогресс».

БОХАН Владимир Викторович, младший научный сотрудник НПП «Прогресс», аспирант кафедры «Транспорт и хранение нефти и газа, стандартизация и сертификация» Омского государственного технического университета.

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 06.08.2012 г.

© И. А. Трибельский, В. В. Бохан

УДК 534 2 И. А. ТРИБЕЛЬСКИЙ

В. В. БОХАН А. В. ЗУБАРЕВ С. В. ПОПКОВ

Научно-производственное предприятие «Прогресс», г. Омск

Центральный научно-исследовательский институт им. академика А. Н. Крылова, г. Санкт-Петербург

МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ЗВУКОИЗОЛЯЦИИ ПАНЕЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ

АКУСТИЧЕСКОГО ИНТЕРФЕРОМЕТРА

В статье теоретически обоснован и предложен метод измерения звукоизоляции панелей с использованием акустического интерферометра, базирующийся на прямом измерении параметров акустических волн по обеим сторонам исследуемой панели по всей длине интерферометра. Проведено экспериментальное исследование звукоизоляции панели, выполненной в виде стального листа по предложенному методу. Разработана математическая, конечно-элементная модель акустического интерферометра («математический интерферометр»), описывающая динамические процессы, проходящие в интерферометре с панелью, включая резонансные явления в панели и в самом интерферометре.

Ключевые слова: акустический интерферометр, звукоизоляция, метод конечных элементов.

Существует метод измерения звукоизоляции образцов материала при нормальном падении звуковых волн с помощью импедансных труб производства фирмы «Брюль и Къер» [1, 2]. Выпускаются импе-дансные трубы для измерения звукоизоляции образцов материала диаметром до 100 мм в широком диапазоне частот. Серийно выпускаемые импедансные трубы не позволяют проводить измерения звукоизоляции панелей реальных размеров (например, 800x800 мм). Недостатком метода измерений с помощью импедансных труб является также то, что метод требует дорогостоящего приборного обеспечения, а также математических расчетов в соответствии с принятой приближенной математической моделью четырехполюсника.

Предложенный в данной статье метод измерения звукоизоляции основан на прямом измерении параметров плоских акустических волн по длине акустического интерферометра с обеих сторон панели, помещенной посередине трубы интерферометра. Метод обладает простотой и наглядностью.

Исследования проводились на акустическом интерферометре (рис. 1), представляющем собой бетонную трубу квадратного сечения с внутренними размерами 800x800 мм и стенками толщиной 160 мм. По торцам труба закрыта массивными стенками. На одном из концов трубы размещен низкочастотный излучатель звука электродинамического типа с диффузором диаметром 400 мм. Для исключения низкочастотных помех акустический интерферометр (АИ) амортизирован с помощью пневматических резинокордных амортизаторов (АПРКу) с резинокордной оболочкой модели Н-103. Расстояние от излучателя до поверхности противоположного конца трубы составляет 1 = 32,46 м. На расстоянии Ь3 = 15,511 м от излучателя установлен исследуемый образец. В данной работе исследована заделанная по контуру стальная квадратная пластина со стороной 730 мм и толщиной 3 мм.

Сигнал «чистый тон» на излучатель подается с генератора анализатора спектра 3560-С-Х08 («Брюль и Къер») через усилитель 2716-С («Брюль и Къер»).