Исследование неустойчивости рэлеятейлора в задачах механики многофазных и стратифицированных сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1280-1282

УДК 532.61;532.517;532.529

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ РЭЛЕЯ - ТЕЙЛОРА В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ МНОГОФАЗНЫХ И СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕД

© 2011 г. С.Н. Яковенко

Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, Новосибирск

Новосибирский госуниверситет

yakovenk@itam.nsc.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора (НРТ) на поверхности раздела двух несмешивающихся текучих сред исследовано при численном моделировании уравнений Навье-Стокса и объемной фракции. Сравнение результатов расчета с данными измерений для поверхности раздела вода-воздух показывает, что применение модифицированной континуальной модели силы поверхностного натяжения дает правильное поведение как для линейно-устойчивого, так и для нелинейного этапов эволюции НРТ. Кроме того, НРТ в однофазном устойчиво стратифицированном течении над препятствием (где происходит обрушение внутренних волн) сопоставляется со случаем двух текучих сред.

Ключевые слова: неустойчивость Рэлея-Тейлора, прямое численное моделирование, объемная фракция, континуальная модель силы поверхностного натяжения, течение двух жидкостей, устойчивая стратификация, обрушение внутренних волн.

Основные результаты эволюции неустойчивости Рэлея-Тейлора

При разрешении поверхности раздела (ПР) несмешивающихся сред использована «неразрывная» модель силы поверхностного натяжения (СББ), в которой плавное изменение сглаженной функции объемной фракции поперек ПР происходит за счет свертки исходной функции со сглаживающей функцией ядра. Развитый алгоритм тестируется для задачи НРТ [1]. Результаты показывают (рис. 1), что среднее значение у амплитуд ПР на правой и левой сторонах расчетной области сначала растет по экспоненте, что соответствует линейной устойчивости с постоянной скоростью роста п = = а?(1пу^)/&. Значение п увеличивается с ростом числа Рейнольдса, тогда как безразмерная скорость п* = п(у/^2)13 имеет немонотонное поведение в полном согласии с теоретическими оценками [3] (лучше, чем получено в расчетах [4] с той же схемой адвекции, с4тт, в основных уравнениях). Как и вязкость, поверхностное натяжение оказывает демпфирующий эффект [1] в соответствии с данными теории и экспериментов. Применение развитых методов для реальных сред (вода-воздух) приводит к хорошему воспроизведению не только в области линейной устойчивости, но и в нелинейной области с насыщением скорости роста НРТ (рис. 2). Если

перепад плотности сред невелик, на вертикальных участках ПР в нелинейной стадии наблюдается неустойчивость Кельвина - Гельмгольца, приводящая к появлению характерных грибообразных структур (см. рис. 1, > 5). При большом пере-

паде плотностей такие эффекты отсутствуют и более тяжелая среда глубоко проникает в более легкую, образуя высокие колонны (см. рис. 2, 1/1г >3), как и в [6, 7]. Неучет эффекта поверхностного натяжения приводит к завышению скорости роста и ложному искажению ПР, затем к ее фрагментации; метод вихревой пелены [7] - к занижению скорости, а развитая версия СББ-модели кор -ректно описывает рост НРТ в пределах разброса данных опыта (рис. 2, справа).

При моделировании обрушения внутренних волн в устойчиво стратифицированном потоке [2], набегающем с постоянной скоростью на двумерное препятствие (холм), в некоторых локализованных областях также возникают неустойчивые слои с резкими перепадами (положительными градиентами) плотности. При больших числах Рейнольса или Шмидта в этих слоях отчетливо видны грибоподобные структуры, свидетельствующие о нелинейной стадии развития НРТ в зоне опрокидывания внутренних волн (рис. 3). Эти конвективные структуры аналогичны наблюдаемым для двухфазной среды (см. рис. 1) и приводят к формированию хорошо перемешанной квазистационарной области

Рис. 1. Эволюция НРТ в двухслойной системе несмешивающихся сред (без учета поверхностного натяжения) при Яет = ^)тЬъп/у = 400, п1 = р^, П2 = р2^, р1 = 2, р2 = 1, а = (р1 - р2)/(р1 + р^) = 0.333, Ь = 0.02, g = 1 [1]. Слева - изолинии объемной фракции более тяжелой среды с р1 = 2 при ///г = 3.2; 4.8; 6.4; 8.0; їг = (Ь/g)m. Справа - безразмерная скорость роста в зависимости от числа Рейнольдса в сравнении с данными теории и других расчетов

Рис. 2. НРТ в системе вода-воздух в условиях опытов [6] при а = 0.998. Слева направо: изолинии объемной фракции воды, вычисленные с учетом поверхностного натяжения при 1/1г = 1.6; 2.4; 3.2; 4.0; без учета, при Лг = 4.0. Справа - относительная величина средних амплитуд ПР в линейной теории, эксперименте и расчетах. Неучет поверхностного натяжения приводит к искажению ПР и ее фрагментации

при Г = t(0.25ga/L)m > 1.94 (г/гг > 3.88)

Рис. 3. Изолинии плотности (в поперечном сечении, вдоль размаха двумерного препятствия) в стратифицированном течении с обрушением внутренних волн [2]. Слева - грибоподобные конвективные структуры при нелинейной стадии НРТ Справа - полностью перемешанная среда в квазистационарной области развитой турбулентности

развитой турбулентности, в которой вертикальные градиенты плотности (осредненной по координате y) становятся малыми.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 09-05-00004-а) и Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН (№« 23 за 2009 г).

Список литературы

1. Яковенко С.Н., Чан К.С. // Теплофизика и аэромеханика. 2011. Т. 18. (принято к печати)

2. Yakovenko S.N., Thomas T.G., Castro I.P. //

Advances in Turbulence XII. Berlin: Springer, 2009. P 457-460.

3. Chandrasekar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Clarendon Press, 1961.

4. Kelecy F.J., Pletcher R.H. // J. Comp. Phys. 1997. Vol. 138. P 939-980.

5. Taylor G.I. // Proc. R. Soc. Lond. A. 1950. Vol. 201. P. 192-196.

6. Lewis D.J. // Proc. R. Soc. Lond. A. 1950. Vol. 202. P. 81-96.

7. Pullin D.I. // J. Fluid Mech. 1982. Vol. 119. P. 507-532.

STUDIES OF RAYLEIGH—TAYLOR INSTABILITY IN PROBLEMS OF MULTI-PHASE AND STRATIFIED FLUID MECHANICS

S.N. Yakovenko

Development of Rayleigh-Taylor instability (RTI) on the interface between two immiscible fluids is studied by numerical simulations of Navier-Stokes and volume-fraction equations. Comparisons of the computation results with the measurement data for the water-air interface show that implementation of the modified continuous surface force model yields correct behavior for both linear-stability and non-linear RTI evolution stages. Moreover, RTI in the single-phase stably stratified flow above an obstacle (where the internal wave breaking occurs) is compared with the two-fluid case.

Keywords: Rayleigh-Taylor instability, direct numerical simulation, volume fraction, continuum surface force model, two-fluid flow, stable stratification, internal wave breaking.