Исследование непотенциального течения жидкости в пористой среде с учётом нелинейного закона Дарси и переменного коэффициента диффузии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.5

Исследование непотенциального течения жидкости в пористой среде с учётом нелинейного закона Дарси и переменного коэффициента диффузии

Ю. П. Рыбаков, О. Д. Свиридова, Г. Н. Шикин

Кафедра теоретической физики и механики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

В работе исследуется непотенциальное течение несжимаемой жидкости в пористой среде с учётом нелинейного закона Дарси и переменного коэффициента поперечной диффузии. Течение предполагается аксиально симметричным и стационарным, при этом скорость имеет две компоненты: v = (vr, 0,vz). Рассматривается течение, при котором компоненты скорости допускают представление в виде: vz = v0 + £(r,z), |£| ^ v0,vr ^ vo,vo = const. Комбинация уравнений Эйлера приводит к уравнению второго порядка, а уравнение непрерывности к уравнению первого порядка для ^(r, z) и vr (г, z). Полученные уравнения являются линейными дифференциальными уравнениями, решение которых можно искать в разделённых переменных, полагая vr (r,z) = Р(r)Q(z), £ = М(r)N(z). Для М (г) получено уравнение Бесселя нулевого порядка, имеющее решение вида М(г) = -J0(^f\r), X = const. Из связи М(г) и Р(г) получено Р(г): Р(г) = -1М = ^J1(^Xr), а = const. Система уравнений для Q(z) и N(z) сводится к одному уравнению третьего порядка для N(z). Получены точные решения этого уравнения при постоянном коэффициенте диффузии D(z) = D0 = const и при D(z) =

Фое72ch z + Ф1, где Ф0, Ф1, 7, В, А = const. Подробно рассмотрен особый случай, когда постоянные, входящие в уравнение, связанны соотношением: а0 = 2s0v0pg/(l+sov0). В этом случае для функции N(z) получается уравнение второго порядка. Получены точные решения этого уравнения при трёх видах коэффициентов диффузии: D(z) = 0, D(z) = D0, D(z) = D0e-lz, D0 = const, 7 = const.

Установлено, что во всех решениях компонента скорости vz (г, z) экспоненциально убывает с возрастанием z.

Ключевые слова: непотенциальное течение, стационарное течение, пористая среда, диффузия, закон Дарси.

Система уравнений гидродинамики для стационарного течения жидкости в поле тяжести имеет вид

где V — скорость течения жидкости, р — плотность жидкости, Р — давление, д — ускорение силы тяжести, а /о — сила Дарси, имеющая вид [1]:

В (3) а и £о — постоянные коэффициенты, входящие в выражение для силы Дарси. Течение жидкости рассматривается в трубе радиуса г0, предполагается, что плотность жидкости постоянна, р = const, Р и v зависят от радиальной г и продольной z цилиндрических координат и не зависят от угловой координаты

В уравнении (2) вектор плотности потока жидкости j имеет компоненты в цилиндрических координатах [2]:

(1) (2)

fn = -[«0 - So(vVP)]v.

(3)

jr = p(vr - D(z)drvz), jz = pvz.

Статья поступила в редакцию 19 июня 2014 г.

При этом считаем, что в силу аксиальной симметрии течения существуют две компоненты скорости: V = (ьг, 0, ьг).

Запишем в явном виде уравнение Эйлера:

р(ьУР) = -УР + рд - [ао - £о(ьУР)ц].

(5)

Используя тождество

перепишем (5) в виде:

V— = [V, гоЩ + (уЧ)У,

Умножим равенство (7) скалярно на V и получим уравнение

р(ьУ) — = -(ьУР) + р(дь) - а0у2 + е0у2(ьУР).

Из (8) получаем следующее уравнение:

(6)

р(уУ)у = рУ—— р[у, гоЩ = -УР + рд - [а0 - е0(уУР)]и. (7)

(8)

(уУр) (1 - £0^) = р(ду) - а0У2 - р(уУ) 2,

(9)

(уУр ) =

р(ду) - а0У2 - р(уу) —

/(1 - £0У2).

Подставляем (уУР) из (9) в (5) и получаем уравнение

р(ьУ)ь = -УР + рд +

-«0 + £0р(ду) - £0р(уУ) \

1 - £0Ь2

(10)

Запишем уравнение (10) в цилиндрических координатах для компонент ьг и [3]:

! Я , Я \ 9Р * Уг

Р(УГ Ог + Ог )УГ = +

дг (1 - е0у2)

-«0 + £0рдуг - £0Р (ьгдг + дг) —

(11)

р(уг дг + дг )ух =

_дР Vг

- дг + Р9 + (1 - £0^2)

-«0 + £0 рдуг - £0Р (у г дг + дг) —

(12)

Продифференцируем уравнение (11) по х, а уравнение (12) по г и запишем их

д2Р д2Р разность с учётом того, что = :

дгдг дгдг

рдг [(ьгдг + дг)ьг] - рдг [(ьгдг + дг)ьг]

= дЛ V.

-«0 + £0рдуг - £0Р (угдг + дг) —

/ (1 - ^2)}

2

2

2

2

2

2

- dr{vz

-ао + £ орд Vz - £qP (vrdr + Vzdz) —

/ (1 - eov2)} .

(13)

Будем рассматривать течение жидкости, при котором компоненты скорости

vr и vz можно представить в виде:

Vz = Vo + £(r, z), |£| < Vo, vr < Vo, Vo = const,

v2 = (Vo + 02 = vl + 2 Vo С учётом (14) функцию (1 — eov2)-1 можно представить в виде:

(14)

(1 - eov2)-1 « (1 - £ovl - 2eovoО-1 = (1 - £ovl)

21

1

2eovp£ 1 - £oV2_

1

(1 - ""D-M1 + ^)

(15)

Подставляем иг и иг из (14) в (13) и получаем уравнение:

д2 а - £ opgvo д

ру0 ^-Q vr +--;-~ vr

д 2 1 - 2 д

р

д2 [а(1 + £о^2) - 2£0pgv0] д

1 - 2 д д

+

(1 - 2)2

д

1 - £ о v2 = 0. (16)

Запишем в явном виде уравнение непрерывности (2) с учётом (4):

1 д. д

Г (Vr -D(z) dfr Vz^j

д

+ — vz = 0. д

(17)

В (17) О(г) — коэффициент поперечной диффузии. Подставляем в (17) уг и уг из (14) и получаем уравнение:

1 д. д

г (vr - D(z)

+= о

(18)

Уравнения (16) и (18) являются линейными дифференциальными уравнениями, допускающими решение в разделённых переменных. Будем искать решение уравнений (16) и (18) в виде:

ьг = Р (г)<2(г), ^ = М (г)М (г). С учётом (19) уравнения (16) и (18) запишутся так:

(19)

pv0P(r)Q''(Z)+ ^ -£Р(r)Q'(z) =

1 - o o2

-Р^М'(r)N'(z)+[ao(1+:oVo) -2*°р9Vo] M'(r)N(z). (20)

1 - o o2

(1 - £ov2)2

1 д 1 д

1 д[rP(r)]Q(z) - D(z)1 — \rM'(r)]N(z) + M(r)N'(z) = 0. д д

2

Уравнения (20)—(21) представляют собой систему двух уравнений на четыре функции Р(г), Q(z), М(г), N(z). Следовательно, существует некоторая свобода их выбора.

Предположим, что

М' (r) = аР (г), а = const. (22)

С учётом (22) уравнение (21) можно представить в виде:

1 д

£ [гМ' (г)]

г дг

а

Уравнение (23) представим в виде:

1 д

[Q(z) - D(z)aN(z)] + М(r)N'(z) = 0. (23)

[ГМ'W]- °N'(Z) = -X. X = const.. (24)

M(r) Q(z) - D(z)aN(z)

Из (24) получаем два уравнения:

г2М''(г) + гМ' (г) + Хг2 М (г) = 0, (25)

XQ(z) - XD(z)aN(z) - aN'(z) = 0. (26)

Уравнение (25) является уравнением Бесселя нулевого порядка и имеет убывающее решение вида

М (г) = -Jo (Vir). (27)

Из (22) находим Р(г):

Р (г) =1М' (r) = —Jx (V\r). (28)

а а

Граничные условия на поверхности трубы г = Го:

vr (го) = 0, Р (го) = 0. (29)

Функция Ji (х) имеет первый нуль при х = 0, второй нуль при х ~ 3,83. Отсюда получаем конкретное значение: V~Xa ~ 3, 83, л/Х = 3, 83/а.

С учётом (22) уравнение (20) запишется так:

AQ" (z) + BQ' (z) = aCN' (z) + aTN (z), (30)

где

A = B = ao - £oVoP9 c = pvo T = «o(l + £o^2) - 2eoVopg

PV0, 1 - £ov0 , 1 - eo^2, (1 - eo^2)2 .

Для определения Q(z) и N(z) имеем два уравнения (26) и (30). Представим их таким образом:

Q(z) = aD(z)N (z) + ^N' (z), (31)

Л

n гч p

Q" (z) + -Q' (z) = N' (z) + ^ N (Z). (32)

В общем случае система уравнений (31), (32) сводится к одному уравнению третьего порядка для N(z) :

N"' + N" (xD + В) +N' 2XD' + - Xpj +N (\D'' - = 0. (33)

При D(z) = Do = const получаем уравнение с постоянными коэффициентами:

N"' + N" (\Do + В) +N' (—Do - —) + N—- =0. (34)

Решение уравнения (34) ищем в виде

N = No eaz, No = const, а = const. (35)

Подставляем (35) в (34) и получаем уравнение для определения а:

а3 + га2 + Sa + t = 0, (36)

в хв Хс XT

где г = XDo + —, S = —Do - , t = —— .

При переходе к новой переменной а = г]--получаем уравнение для г/:

3

Г]3 + pr] + q = 0, (37)

3 S - 2 2 3 S

где p =-, q =----+ t.

1 3 ,ч 27 3

Простейшее решение уравнения (37) получаем при р = = 0. При этом ц = 0

Г = - ЦХВ0 + 1

а = -\г = -1 ^XDo + В) . (38)

Полученное решение имеет вид:

N = N0 е-3(хПо+%)г. (39)

Получили быстро убывающую с ростом г функцию.

В общем случае в уравнении (33) коэффициент диффузии выбираем в виде:

DM = 7^я к ч—- + i - ХВ -Ч + — I • (40)

где 7 — произвольная постоянная, удовлетворяющая условию: 7 > В/А. При этом

D(0)= 1 и + X - tl - 2е + — ) , 0.

7 (2 -1 )\ Х Х— — —:

В этом случае решение уравнения (33) имеет вид: N = Noe 1Z, No = const.

Рассмотрим специальный случай, когда в (32) Г = 0 и система уравнений (31)-(32) сводится к уравнению второго порядка для N(z). При Г = 0 из (32) имеем:

В пС

Q (z) + —Q(z) = —N (Z). (41)

и

Из (31) имеем:

Q' (z) = aD' (z)N (z) + aD(z)N' (z) + уN''. (42)

X

При подстановке (г) из (42) в (41) получаем уравнение для N (г):

М" + К' (ОДА + + N (V(х)Х + *Щг)Х - =0. (43)

Из условия Г = 0 следует связь между постоянными, входящими в уравнение:

2go vopg (лл,

а0 = л°о . (44)

1 + SqVq

На четыре произвольных параметра ао, £о, Ьо, р одна связь, при этом три параметра свободные. При выполнении (44) имеем:

e0v0pg В е0д \С\ В = -о , "Г = 1-о = а, ~Т = I-о = О. (45)

1 + £oVo А 1 + £0v2 А 1 - £0v2

Запишем уравнение (43) с учётом (45):

N" + (XD(z) + a)N' + (XD'(z) + aXD(z) - b)N = 0. (46)

Рассмотрим частные случаи выбора коэффициента диффузии D(z). 1. D(z) = 0.

Из (43) получаем уравнение:

N" + aN' - bN = 0. (47)

Решение уравнения (47) ищем в виде

N (z) = N0 elz, 7 = const, N0 = const. (48)

Для 7 из (47) получаем уравнение 72 + a7 - b = 0 и его решение:

a a2 a a2

71 = -2 + Vt + b, 72 = -2 vT + b.

Если £ov2 > 1 и b < 0, решение уравнения (47) запишется так:

N(z) = СiellZ + С2e'2Z, С1, С2 = const.

Если 2 < 1 и > 1 , то

N (z) = С , С = const.

Решение — убывающая функция с ростом . 2. D(z) = D0 = const. Из (43) получаем уравнение:

N" + (XD0 + a)N' + (aD0X - b)N = 0. (49)

Решение уравнения (49) ищем в виде (48). Для 7 из (49) получаем уравнение

72 + R17 + R2 = 0, Ri =7Do + a, R2 = aD0X - b,

имеющее решение:

Ri R^ ^ Ri R" -n

7i = —¿т + VT-R2, Ъ = -~2 -У T-R2.

При R2 > 0 N(z) = Cienz+C2, C\,C2 = const. При R2 < 0 N(z) = С, С = const.

Полученное решение — убывающая функция z. 3.

D(z) = D0 e-lz, 7 = const, D0 = const. (50)

При подстановке (50) в (46) получаем следующее уравнение для N (z):

N" + (XDoe-JZ + a)N' + [(aXDo - X7D0)e-^z - b]N = 0. (51)

В уравнении (51) перейдём к новой функции от нового аргумента:

N (z) = *(0, £ = c~lz. (52)

Для Ф из (51) получаем уравнение:

+ (^ - ^i) + ^ Ф (^ i - £) =0. (53)

Введём обозначения:

7-a = s, XDo = h, А. = ti i - a = s. (54)

7 7 72 7

В обозначениях (54) уравнение (53) запишется так:

т„ (s - h£)T/ (hs £ + t)J n

Ф +----^Ф' - -—^—-Ф = 0. (55)

С Г

Уравнение (55) является уравнением вырожденного гипергеометрического типа и с помощью подстановки Ф(£) = ^(0у(0 сводится к канонической форме для

функции у(0 [4]:

Zу''(0 + г(0у'(0 -М0 = 0, (56)

где т(^) — полином первой степени, а = const. Существует 4 типа уравнений (56), соответствующие различным видам ^(Q, т(^), а, которые определяют реальные режимы течения жидкости.

Рассмотрим возможные выборы ^(Q и соответствующие формы уравнения (56).

1. При выборе в виде

<р(О = ^(* +Ш) е*, (57)

где a определяется из (45), h — из (54),

Ia2 4Х а2 4Х 2 1 ,го,

ш =i —2---2-ТТ' ~2--Т-2-ТТ > 0' £oVo > 1, (58)

72 72(еov0 - 72 72(sov2 - 1) получаем убывающую функцию при возрастающем z.

Для y(rf), rj = h£, получаем уравнение:

Vy"(v) + (1 + ш + v)y'(v) - 2a + 1^) y(v) = 0. (59)

Уравнение (59) является канонической формой уравнения вырожденного гипергеометрического типа и имеет решение в виде суммы двух линейно независимых вырожденных гипергеометрических функций [4]:

у(г]) = С\ f(a, 7, -V) + С2е-У(7 -а,7, г]), Сь С2 = const, (60)

3 a 1

где 7 = 1 + Ш1, -а = 3 - — + -ш.

27 2

Кроме решения (60) уравнение (59) имеет частное решение в виде полиномов Ляггера:

лп

уп (п) = Ь—ш (п) = Вп г]e-v — (е^ш+п), Вп = const (61)

с соответствующими собственными значениями

-ап = -п = 3 - ^ + ^ш. (62)

2 7 2

Решение (61) существует только в том случае, когда при \/А = 3, 83/г0 (го — радиус трубы) и фиксированном значении 7 существуют такие 0 и 0, что выполняется равенство (62). Из (62) следует:

п + 3 = ^ | 3a - \ a2--^ | . (63)

2 7 0 02 - 1

В простейшем случае:

a2 = (64)

£0VQ - 1

С учётом (64) из (63) получаем:

2

a = ^7(п + 3). (65)

Из (64) следует:

^2 = ^ + 1 = г2 / А о^ +!• (66) а [§7 (п + 3)]

Учитывая, что а = е0д/ (1 + £0у2) , для е0д/7 получаем выражение:

£°9 ап , ^ 6Л ^ 4/ ^ СЛ (К>7\

— = 7 (1 + £0^ = + 3(п + 3). (67)

Выражаем £ 0д/7 и е0у2 через а, 7 и п. Каждому £0д/7 соответствуют свои £ 0г>2 и п.

2. При выборе в виде

<р(0 = ^(*-ш) (68) получаем убывающую функцию при возрастании г.

Для ( ) получаем уравнение

Vy"(v) + (1 -ш - v)y'(v) - ^ + y(v) = 0. (69)

Уравнение (69) является уравнением вырожденного гипергеометрического типа и имеет решение в виде суммы двух линейно независимых вырожденных гипергеометрических функций:

y(r]) = С1 f(a, 7, V) + С2e-f (7 - а, 7, -v), (70)

3 a 1

где 7 = 1 - ш, -а = 1---I—ш.

7 2

Уравнение (69) полиномиальных решений не имеет. 3. При выборе в виде

<р(0 = ^(*-ш) , (71)

получаем убывающую функцию при возрастании . Для ( ) получаем уравнение

Vy"(v) + (1 - ш + v)y'(v) ^3 - ^ - ^ y(v) = 0. (72)

Уравнение (72) является уравнением вырожденного гипергеометрического типа и имеет решение в виде суммы двух линейно независимых вырожденных гипергеометрических функций:

у(г]) = С1 f(a, 7, г]) + С2 evf (7 -а,7, - г]), С\,С2 = const, (73)

3 a 1

где 7 = 1 -ш, -а = 3 - — + -ш.

2 7 2

Кроме того, уравнение (73) имеет частные решения в виде полиномов Ляггера

-п

Уп(п) = (п) = ВпГе-(eVГш+п) (74)

с собственными значениями

-а,п = -п = 3 - ^ - \ш. (75)

2 7 2

Решение (74) существует только в том случае, если при Vx = 3, 83/го и фиксированном значении 7 существуют такие £о и vo, что выполняется равенство (75). Из (75) следует:

п + 3 = + (76)

4 X

В частном случае a2 = —

0

1.

2 7 2 7 0 02 - 1

В частном случае a2 =-2-т выражения e0v0 и е0д/7 совпадают со случаем

0 02 - 1 0

4. При выборе ) в виде

V(0 = ^ (7 +ш) (77)

получаем убывающую функцию при возрастании г.

Для у(^) получаем уравнение

VУ" (г,) + (1 + ш - г])у\г]) + - - ^ у(г]) = 0. (78)

Как и в предыдущих случаях уравнение (78) является уравнением вырожденного гипергеометрического типа и имеет решение:

у(П) = С/(а, 7, г]) + С2г]1-У (а + 2 -7, г]), (79)

- 3а 1 где 7 = 1 + ш, -а = 1 - ----ш.

27 2

Уравнение (78) полиномиальных решений не имеет.

У всех рассмотренных решений иг (г, х) убывает с ростом х по экспоненциальному закону.

Литература

1. Шейдеггер А. Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. — Москва: Институт компьютерных исследований. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008.

2. Течение жидкости в пористой среде и оптимизация параметров фильтров с зернистой загрузкой / Ю. П. Рыбаков, Д. Н. Маслов, Г. Н. Шикин, В. А. Янушкевич // Труды конференции «Инженерные системы». — 2008. — С. 351-354.

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Москва: Наука, 1988.

4. Никифоров А. Ф., Уваров В. В. Специальные функции математической физики. — Москва: Наука, 1978.

UDC 532.5

Investigation of Nonpotential Flow of Fluid in Porous Medium Taking into Account of Nonlinear Darcy Law and Variable

Diffusion Coefficient

Yu.P. Rybakov, O.D. Sviridova, G.N. Shikin

Department of Theoretical Physics and Mechanics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russian Federation, 117198

We have considered the non-potential flow of the incompressible fluid in the porous medium taking into account nonlinear Darcy law and different types of the diffusion coefficient. The flow is supposed to be cylindrically-symmetric and stationary. The velocity has two components: v = (vr, 0, vz). We have considered the flow when vz = v0 + £(r, z), |£| ^ v0, vr ^ vo,vo = const. The combination of the Euler equations reduces to the equation of second order, and continuity equation reduces to an equation of first order for £(r, z) and vr (r, z). These equations are linear differential equations with solutions of the form vr(r,z) = P(r)Q(z), £ = M(r)N(z). For M(r) we have obtained the Bessel equation of zero order with solution in the form M(r) = -J0(^f\r), X = const. From the relation between M(r) and P(r) we have obtained P(r): P(r) = jpM' = ^J1(^Xr), a = const. The system of equations for Q(z) and N(z) is reduced to one equation of the third order for N(z). We have obtained the

exact solution of this equation with fixed diffusion coefficient D(z) = $0e7Zch\J^z + where , $1, 7, B, A = const. A special case when constants in the equation are connected in the relation a0 = 2e0v0pg(1 + s0v0°) is fully considered. In this case for function N(z) we have obtained the equation of second order. Exact solutions of this equation are obtained

with three types of diffusion: D(z) = 0, D(z) = D0, D(z) = D0e-lz, D0 = const, 7 = const. We have established that for all solutions the component of the velocity vz (r,z) decreases exponentially with increasing of z.

Key words and phrases: nonpotential flow, porous medium, Darcy law, diffusion coefficient.

References

1. A. E. Sheydegger, Physics of Fluid Flow in Porous Medium, Institute for Computer Research. NIC "Regular and Chaotic Dynamics", Moscow, 2008, in Russian.

2. Y. P. Rybakov, D. N. Maslov, G. N. Shikin, V. A. Yanushkevich, Fluid Flow in Porous Medium and Optimization of Parameters of Filters with Granular Filling, in: Proceedings "Engineering Systems", 2008, pp. 351-354, in Russian.

3. L. D. Landau, E. M. Liphshyz, Hydrodynamics, Nauka, Moscow, 1988, in Russian.

4. A. F. Nikiforov, V. Uvarov, Special Functions of Mathematical Physics, Nauka, Moscow, 1978, in Russian.