Научная статья на тему 'Исследование потенциального течения жидкости в пористой среде с учётом закона Дарси и переменного коэффициента диффузии'

Исследование потенциального течения жидкости в пористой среде с учётом закона Дарси и переменного коэффициента диффузии Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
190
37
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ / POTENTIAL FLOW / СТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ / STATIONARY FLOW / ПОРИСТАЯ СРЕДА / POROUS MEDIUM / ДИФФУЗИЯ / DIFFUSION / ЗАКОН ДАРСИ / DARCY LOW

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Рыбаков Юрий Петрович, Свиридова Оксана Дмитриевна, Шикин Георгий Николаевич

Рассмотрено потенциальное течение жидкости в пористой среде с учётом закона Дарси и различных видов коэффициента поперечной диффузии в трубе радиуса a. Течение предполагается стационарным и аксиально симметричным, при этом считается, что сила Дарси является линейной функцией скорости. Установлено, что следствием потенциальности течения является тождество ∂2P∕∂r∂z ≡ ∂2P∕∂z∂r, где ∂P∕∂r и ∂P∕∂z определяются из уравнений Эйлера для двух компонент скорости: vr = ∂Φ∕∂r и vz = ∂Φ∕∂z, где Φ(r,z) — потенциал скорости. Это значит, что система уравнений Эйлера является вполне совместной и вполне интегрируемой и решение задачи сводится к решению уравнения непрерывности. Уравнение непрерывности является линейным дифференциальным уравнением для потенциала Φ(r,z) и допускает решение в разделённых переменных: Φ(r,z) = U(r)W(z). Для U(z) получено уравнение Бесселя нулевого порядка. Его решение зависит от аргумента kr, где постоянная k определяется радиусом трубы a. Для W(z) получено три различных уравнения в зависимости от выбора коэффициента диффузии в уравнении непрерывности. Во всех случаях получено точное решение и установлено, что компонента скорости vz(r,z) экспоненциально убывает при возрастании z.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Рыбаков Юрий Петрович, Свиридова Оксана Дмитриевна, Шикин Георгий Николаевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Investigation of Potential Flow of Fluid in Porous Medium Taking Account of Darcy Law and Variable Diffusion Coefficient

We have considered the potential flow of the fluid in the porous medium taking into account Darcy low and different types of the diffusion coefficient in a tube with radius a. The flow is supposed to be stationary and cylindrically-symmetric and the Darcy force is a linear function of the velocity. We have established that a result of the potential flow is identity ∂2P∕∂r∂z ≡ ∂2P∕∂z∂r, where ∂P∕∂r and vz = ∂Φ∕∂z are defined from Euler equation for two components of the velocity: vr = ∂Φ∕∂r and vz = ∂Φ∕∂z, where Φ(r,z) is velocity potential. It means that Euler equation system is compatible and integrable, and the solution is reduced to the solution of the continuity equation. Continuity equation is linear differential equation for the potential Φ(r,z) and one assumes solution in divided variable: Φ(r,z) = U(r)W(z). For U(z) we have Bessel equation of zero order. This solution depends on the choice of the diffusion coefficient in the continuity equation. In all the occasions we have exact solution and established that component of the velocity vz descreases like exponent with increase of z.

Текст научной работы на тему «Исследование потенциального течения жидкости в пористой среде с учётом закона Дарси и переменного коэффициента диффузии»

УДК 532.5.031

Исследование потенциального течения жидкости в пористой среде с учётом закона Дарси и переменного коэффициента диффузии

Ю. П. Рыбаков, О. Д. Свиридова, Г. Н. Шикин

Кафедра теоретической физики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

Рассмотрено потенциальное течение жидкости в пористой среде с учётом закона Дарси и различных видов коэффициента поперечной диффузии в трубе радиуса а. Течение предполагается стационарным и аксиально симметричным, при этом считается, что сила Дарси является линейной функцией скорости. Установлено, что следствием потенциальности течения является тождество d2P/drdz = д2 P/dzdr, где дР/дг и dP/dz определяются из уравнений Эйлера для двух компонент скорости: vr = дФ/дг и vz = ЭФ/dz, где Ф(г, z) — потенциал скорости. Это значит, что система уравнений Эйлера является вполне совместной и вполне интегрируемой и решение задачи сводится к решению уравнения непрерывности. Уравнение непрерывности является линейным дифференциальным уравнением для потенциала Ф(г, z) и допускает решение в разделённых переменных: Ф(г,г) = U(r)W(z). Для U(z) получено уравнение Бесселя нулевого порядка. Его решение зависит от аргумента кг, где постоянная к определяется радиусом трубы а. Для W(z) получено три различных уравнения в зависимости от выбора коэффициента диффузии в уравнении непрерывности. Во всех случаях получено точное решение и установлено, что компонента скорости vz (г, z) экспоненциально убывает при возрастании Z.

Ключевые слова: потенциальное течение, стационарное течение, пористая среда, диффузия, закон Дарси.

Основная система уравнений гидродинамики для стационарного течения жидкости в поле тяжести имеет вид:

p(vV)v = -VP + pg - fD, (1)

divj = 0, (2)

где v — скорость, p — плотность, P — давление, g — ускорение силы тяжести, а fo — сила Дарси, имеющая вид:

fD = -av. (3)

В (3) а — обратный коэффициент проницаемости Дарси, который считается постоянным: а = 109 Кр-1. Здесь а измеряется в единицах СИ, Кр — в Дарси [1]. В уравнениях (1)—(2) р = const, а Р и v зависят от радиальной r и продольной z цилиндрических координат и не зависят от угловой координаты (р.

В уравнении (2) вектор плотности потока жидкости j имеет следующие компоненты в цилиндрических координатах [2]: jr = p(yr — D(z)drvz), jz = pvz. При этом считаем, что в силу аксиальной симметрии течения существуют две компоненты скорости: v = (vr, 0,vz).

Запишем систему уравнений (1)—(2) [3]:

dvr dvr 1 дР vr+ = —--avr, (4)

Or Oz p Or

dvz dvz 1 dP

vr-г— + Vz^~ = —-г,--avz + g, (5)

or Oz p Oz

Статья поступила в редакцию 27 мая 2013 г.

9Уг + 1 у + ду^ = 1 дщ + п д2уг (6)

дг г г дг г дг дг2

При потенциальном течении V = VФ, V = (уг, 0,уг) = (дФ/дг, 0,дФ/дг), где Ф(г,г) — потенциал скорости. Из (4) и (5) следует равенство:

д ( dvr dvr \ д ( dvz dvz \

+ + avr = — vr-г— + vz—.--+ avz . (7)

az J or \ or Oz )

dz\ r dr

Отметим, что для потенциального течения равенство (7) выполняется тождественно. Поэтому система уравнений Эйлера (4)—(5) является вполне интегрируемой и при заданных скоростях определяет давление Р(r,z). Запишем уравнение (6) для потенциала Ф(г,г):

д2Ф + 1 дФ + д2Ф _ / д3Ф + 1 д2Ф \ дг2 г дг dz2 \dzdr2 г dzdr J

Рассмотрим решение уравнения (8) в разделённых переменных, когда Ф(г, z) = U(r)W(z). Тогда из (8) получаем:

U" 1 u< wzz Wz (U" 1U' \

-и + гй + ИТ = D(z) w\-и + тй), (9)

где U' (г) = dU/dr, Wz = dW/dz.

Уравнение (9) можно представить в виде

Л" Т ТТ' ^^

W +1 и = -Т-ЩШ = к = const (10)

Из (10) получаем уравнения для U (г) и W (z) :

U" + Т U' + k2U = 0, (11)

г

Wzz + k2D(z)Wz - k2W = 0. (12)

При этом (11) является уравнением Бесселя нулевого порядка и имеет решение вида

U (г) = -UoJo(kr), Uo = const. (13)

<9Ф

Поскольку vr = —-, то из (13) получаем vr = U'(r)W(z) = U0kJ\(kr)W(z). Or

Функция vr (r,z) должна удовлетворять следующим граничным условиям на оси цилиндра (г = 0) и на его границе (г = а) : vr (0, z) = 0, vr(a, z) = 0. Первый нуль функции Ji(kr) соответствует значению г = 0, а второй нуль J\(kr) — значению ка = 3, 83. Ограничившись этими нулями, получаем единственное значение для к : к = 3, 83/а.

Итак, с учётом (13)

Ф(г, z) = -UoJo(kr)W(z). (14)

Поскольку vz = дФ/дг > 0, то из (14) следует, что W(z) > 0, dW/dz < 0. Рассмотрим уравнение (12) при разных видах D(z). 1. D(z) = D0 = const.

Из (12) следует уравнение Убывающее решение уравнения (15) имеет вид

Wzz + k2D0Wz - k2W = 0. (15)

W(z) = Woe-az, Wo = const, a = ( + k2 + (16)

при D0 = 0, a = k, т.е.

W(z) = Woe-kz, 0 < г < то. (17)

Из (17) и (16) следует, что при D0 = 0 W(z) уменьшается быстрее, чем при Do = 0. Окончательно, для потенциала скорости получаем выражение:

Ф(г, z) = -<boJo(kr)e-az, Фо = const. (18)

Из (18) получаем компоненты скорости: vr = Ф0к^(кг)е-аг, vz = Ф0а^е-аг.

2. D(z) = D0e^x, D0 = const, £ = const. Из (12) получаем уравнение

Wzz + k2DoeizWz - k2W = 0. (19)

В уравнении (19) перейдём к новой функции от нового аргумента:

W(г) = Ф(х), х = , < х < то. (20)

Для Ф(х) из (19) получаем уравнение:

ф" + ф' - ^ ф = 0, R2 = ^. (21)

Уравнение (21) является обобщённым уравнением вырожденного гипергеометрического типа и с помощью подстановки Ф(ж) = (р(х)у(х) сводится к канонической форме для функции у(х) [4]:

ху''(х) + Т (х)у'(х) + Ху(х) = 0, (22)

где т(х) — полином первой степени, Л = const.

Существует 4 типа уравнений (22) для различных видов (р(х), т(х) и Л. Из них только один тип определяет возможный реальный режим течения жидкости.

При выборе <р(х) = x-Re-x уравнение (22) приводится к виду:

ху''(х) + (1 - 2R - х)у'(х) + (R - 1)у(х) = 0. (23)

Уравнение (23) имеет общее решение, представляющее собой сумму двух линейно независимых вырожденных гипергеометрических функций:

у(х) = Cif (а, ъ х) + С2Х1—f (а - 7 +1, 2 - Ъх), где 7 = 1 - 2R, а = 1 - R.

Кроме того, уравнение (23) имеет набор частных решений в виде полиномов Лагерра

лп

уп{х) = Lln(x) = BnXle-x— (e-xx-l+n) , I = 2R, Вп = const, (24)

с соответствующим спектром собственных значений Хп = R — 1 = п, R = п + 1, п = 0,1, 2 ..., откуда следует:

к ^ к ^ 3,83

R = - = п +1, Си = --, к = . (25)

4 п +1 а

Отметим, что решение (24) существует только в том случае, когда £ принимает значения (25).

Окончательно решение уравнения (19) запишется таким образом:

ж ж

W(z) = Ъ(х) = £ ^п(х)Уп(х) = £ x-(n+1)e-xLln(x). (26)

п=0 п=0

Из (26) следует, что W(z) — убывающая функция, что обеспечивает Wz < 0. При этом потенциал скоростей имеет вид:

Ф(г,г) = —UoJo(kr)^2 ¥п(х)уп (х),

п=0

где х определяется равенством (20).

3. D(z) =-, D0 = const, £ = const.

V I 1+ ^ 0 s

Из (12) получаем уравнение

Wzz + Wz — k2w = 0. (27)

1 + г v 7

В уравнении (27) перейдём к новой функции от нового аргумента: W(z) = Ф(ж), х = 1 + £z, 1 < х < то. Для Ъ(х) из (27) получаем уравнение:

ф„ + № ^ — | ^ (28)

£ X £2

Уравнение (28) является уравнением Бесселя мнимого аргумента. Его убывающим решением является функция Макдональда

1-а „ ik \ 1..... k2Dn

Ъ(х) = ^ох' ^x^J , v = 2(1 — А), А

Окончательно, потенциал Ф(г, z) запишется так:

Ф(г, z) = — UoJo(kr)х . (29)

Из (29) получаем выражения для компонент скорости

vr = U0J1X^K^, (30)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

vz = UoJo(kr)

А - и -(A+D .. П \ . 1—А К-ЛIХ) + К"+Л Iх;

2 ^2 ' + ж"

2

. (31)

Таким образом, для всех рассмотренных случаев течения жидкости установлено, что продольная компонента скорости ьх экспоненциально убывает с возрастанием X.

к

Литература

1. Шейдеггер А. Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. — М.: Институт компьютерных исследований. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. [Sheydegger A. E. Physics of Fluid Flow in Porous Medium. — Moscow: Institute of Computer Analysis. NIC Regular and Perturbation Dynamics, 2008. — (in russian). ]

2. Рыбаков Ю. П., Шикин Г. Н. Течение в трубе с зернистой загрузкой: пристеночный эффект // XVI Межд. научн. конф «Мат. методы в технике и технологиях». — 2003. — С. 138-139. [Rybakov Yu.P., Shikin G.N. Flow in a Tube with Granular Loading: Near Wall Effect // XVI International Scientific Conference of Mathematical Methods in Technics and Technology. — 2003. — P. 138-139. — (in russian). ]

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988. [Landau L. D., Liphshyz E.M. Hydrodynamics. — Moscow: Nauka, 1988. — (in russian). ]

4. Никифоров А. Ф., Уваров В. В. Специальные функции математической физики. — М.: Наука, 1978. [Nikiforov A.F., Uvarov V. V. Special Functions of Mathematical Physics. — Moscow: Nauka, 1978. — (in russian). ]

UDC 532.5.031

Investigation of Potential Flow of Fluid in Porous Medium Taking Account of Darcy Law and Variable Diffusion

Coefficient

Yu.P. Rybakov, O.D. Sviridova, G.N. Shikin

Department of Theoretical Physics Peoples' Friendship University of Russian 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russia, 117198

We have considered the potential flow of the fluid in the porous medium taking into account Darcy low and different types of the diffusion coefficient in a tube with radius a. The flow is supposed to be stationary and cylindrically-symmetric and the Darcy force is a linear function of the velocity. We have established that a result of the potential flow is identity d2 P/drdz = d2 P/dzdr, where dP/dr and vz = d^/dz are defined from Euler equation for two components of the velocity: vr = d^/dr and vz = d^/dz, where $(r, z) is velocity potential. It means that Euler equation system is compatible and integrable, and the solution is reduced to the solution of the continuity equation. Continuity equation is linear differential equation for the potential $(r, z) and one assumes solution in divided variable: $(r, z) = U(r)W(z). For U(z) we have Bessel equation of zero order. This solution depends on the choice of the diffusion coefficient in the continuity equation. In all the occasions we have exact solution and established that component of the velocity vz descreases like exponent with increase of z.

Key words and phrases: potential flow, stationary flow, porous medium, diffusion, Darcy low.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.