ИССЛЕДОВАНИЕ НЕПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ ТЕРМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ КОНТАКТНОЙ ПСЕВДОСРЕДЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Транспортное машиностроение. 2023. № 6(18). С. 12-20. ISSN 2782-5957 (print) Transport Engineering. 2023. no. 6(18). P. 12-20. ISSN 2782-5957 (print)

Научная статья

Статья в открытом доступе

УДК 621

doi: 10.30987/2782-5957-2023-6-12-20

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ ТЕРМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ КОНТАКТНОЙ

ПСЕВДОСРЕДЫ

Владимир Александрович Дмитриев10, Александр Федорович Денисенко2, Любовь Юрьевна Подкругляк3

1А3 Самарский государственный технический университет, Самара, Россия

1 dmitriev_v_a@mail.ru

2 sammortor@yandex.ru

3 podkruglak@mail.ru

Аннотация

Рассмотрены вопросы анализа тепловой картины шпиндельного узла станка. Разработана методика получения регрессионных моделей в среде MS Excel. Предложена линейная регрессионная модель изменения контактного термического сопротивления без учета взаимодействия факторов в тепловой модели соединений деталей станка. Используя инструмент «Корреляция», выполнена сравнительная оценка значимости и отсев части факторов путем анализа парных коэффициентов линейной

корреляции. С помощью инструмента «Регрессия» на основе метода наименьших квадратов (МНК) выполнена численная оценка параметров предложенных моделей и проверка их качества; доказана гомоскедастичность остатков регрессии; выполнен анализ статистической эквивалентности построенных моделей.

Ключевые слова: корреляция, регрессия, метод наименьших квадратов, гомоскедастичность, линейная регрессионная модель, сопротивление.

Ссылка для цитирования:

Дмитриев В.А. Исследование неполной линейной регрессионной модели термического сопротивления контактной псевдосреды / В. А. Дмитриев, А. Ф. Денисенко, Л. Ю. Подкругляк // Транспортное машиностроение. - 2023. - № 6. - С. 12-20. doi: 10.30987/2782-5957-2023-6-12-20.

Original article Open Access Article

STUDY OF INCOMPLETE LINEAR REGRESSION MODEL OF THERMAL RESISTANCE OF THE COUPLING PSEUDO-MEDIUM

Vladimir Aleksandrovich Dmitriev10, Aleksandr Fedorovich Denisenko2, Lyubov Yuryevna Podkruglyak3

1A3 Samara State Technical University, Samara, Russia

1 dmitriev_v_a@mail.ru

2 sammortor@yandex.ru

3 podkruglak@mail.ru

Abstract

The problems of analyzing the thermal pattern of the spindle assembly of the machine are considered. A technique for obtaining regression models in MS Excel environment is developed. A linear regression model of changing the contact thermal resistance is proposed without taking into account the interaction of factors in the thermal model of the joints of machine

parts. Using the Correlation tool, a comparative assessment of the significance and elimination of some factors are performed by analyzing matching linear correlation coefficients. With the help of the Regression tool based on the least squares method (LSM), a numerical evaluation of the parameters of the proposed models and their quality check are performed; the ho-

12

© Дмитриев В. А., Денисенко А. Ф., Подкругляк Л. Ю., 2023

moscedasticity of the regression residues is proved; the Keywords: correlation, regression, least squares

statistical equivalence of the constructed models is method, homoscedasticity, linear regression model,

analyzed. correlation.

Reference for citing:

Dmitriev VA, Denisenko AF, Podkruglyak LYu. Study of incomplete linear regression model of thermal resistance of the coupling pseudo-medium. Transport Engineering. 2023; 6:12-20. doi: 10.30987/2782-5957-2023-6-12-20.

Введение

Для разработки зависимостей, учитывающих условия формирования контактного термического сопротивления (КТС), необходимо выделить существенные факторы, влияющие на это сопротивление [1, 2].

Значительное число действующих факторов и различие степени их влияния приводят к выводу, что для их всестороннего учета в тепловой модели в соединении деталей следует расположить псевдослой (псевдосреду), обладающий рядом характеристик [3].

В работе [4] приведены результаты прогнозирования тепловой картины шпиндельных узлов станка, влияющих на точность обработки, в условиях псевдосреды,

состоящей из площадок фактического контакта и полостей, заполненных воздухом или маслом. Определены четыре фактора, оказывающих доминирующее влияние на КТС: толщина псевдосреды, номинальное давление в контакте, предел текучести контактирующего материала и параметр, определяющий расположение зоны фактического контакта [5, 6]. На основе ПФЭ 24с учетом 3-х кратного дублирования опытов получена адекватная регрессионная модель

(аад = 0,0001578, ау2 = 0,0002335, ^расч = 0,678 < ^№05;5;32) = 2,512) изменения температуры ДТ, °К в зоне контакта в виде:

Y = b + bX + bX + Ьхз + + biXX + ЬзХХ +

+

^4*^1*^4 ^ ^23*2*3 ^ ^34*3*4

Следует отметить, что надежно дублировать параметры толщины псевдосреды и предел текучести контактирующего материала вряд ли возможно в силу нерегулярного профиля шероховатости и неизбежного рассеивания значений предела текучести, полученных в результате испытаний образцов на растяжение или взятых из справочных источников. С одной стороны, чем больше статистических данных получено за счет дублирования при определении уравнения регрессии, тем точнее должна быть определена искомая зависимость. Однако само количество статистических данных не может обеспечить получение достоверной зависимости, если в действительности такой зависимости между исследуемыми величинами не существует. Дублирование опытов существенно занижает дисперсии коэффициентов ре-2

грессиистЬг и дисперсии воспроизводимо-

2

сти опытов а , увеличивая дисперсию

+

(1)

адекватности модели регрессии сгад, что существенно влияет на величину расчетного значения F-критерия и в итоге - на вывод об адекватность модели регрессии в целом.

Применение МНК, t-тестов, F-тестов для оценки регрессии оправдано лишь в том случае, когда ошибки (остатки) регрессии 8i имеют нулевое математическое ожидание и одинаковую дисперсию. Свойство одинаковой дисперсии ошибки 8i называется гомоскедастичностью. Если дисперсии ошибки различны для разных наблюдений (разных X), это явление называется гетероскедастичностью. Поэтому необходима статистическая оценка остатков регрессии. Избежать подобной неопределенности эксперимента позволяет использование технологии корреляционного и регрессионного анализа в среде MS Excel или LibreOffice [7, 8].

Методика коррекции математической модели

Средствами надстройки программы «Пакет анализа» с использованием встроенных функций Мастера функций, инструментов «Корреляция» и «Регрессия» на основе метода наименьших квадратов выполним численную оценку параметров линейной регрессионной модели (1) без учета взаимодействий факторов и проверку её качества по плану ПФЭ 24 (рис.1).

регрессии

На рис.1 в табл.1 приведены уровни и интервалы варьирования факторов, а в табл.2 - матрица планирования полного факторного эксперимента ПФЭ 24 в кодированном виде и правило чередования знаков в строках матрицы. В столбце G11:G26 приведены опытные результаты измерений зависимой переменной Ы=Yоп.

A В С D Е F G H 1 J

3 Таблица 1. Уровни и интервалы варьировании факторов

4 Уровни факторов xl=h x2=q хЗ-о х4=1

5 берАним 1 7 175 400 4,15

6 Нижним -1 1 1 150 0

7 0 4 88 275 2,075

8 -- ■ ¿ici Axi 3 87 125 2,075

9 Таблица 2. Матрица ПФЭ 2' (-1), а, Ь. ab, с, ас, bc, abc, d, ad, bd, a bd. cd, aed, bed, г bed

10 № опыта ХО XI Х2 Х4 Yon Yperp (урегр-ф-треф!

11 1 1 •1 •1 0,163 0,222 0,0035 0,0267

12 2 1 1 •1 -1 -1 0,883 0,737 0,0213 0,1233

13 3 1 -1 1 -1 -1 0,028 -0,128 0,0243 0,2638

14 4 1 1 1 -1 -1 0,123 0,387 0,0696 0,0000

1S 5 1 -1 -1 1 -1 0,17 0,335 0,0271 0,0026

16 6 1 1 -1 1 -1 0,933 0,849 0,0070 0,2148

17 7 1 -1 1 1 -1 0,123 -0,015 0,0192 0,1610

18 S 1 1 1 1 -1 0,463 0,499 0,0013 0,0129

19 9 1 -1 -1 -1 1 0,177 0,272 0,0091 0,0129

го 10 1 1 •1 -1 1 0,973 0,787 0,0346 0,1610

21 11 1 •1 1 -1 1 0,06 -0,078 0,0190 0,2148

22 12 1 1 1 -1 1 0,23 0,437 0,0428 0,0026

23 13 1 -1 -1 1 1 0,185 0,385 0,0399 0,0000

24 14 1 1 -1 1 1 1,003 0,899 0,0107 0,2638

25 IS 1 -1 1 1 1 0,122 0,035 0,0076 0,1233

26 16 1 1 1 1 1 0,537 0,549 0,0002 0,0267

27 1 = 6,173 0,3372 1,6103

28 oxi = 1,033 1,033 1,033 1,033 Yp«r. tp 0,3858 5гМ - 0,03066

29 OY = 0,36032 Ст. ОШН&И ЗД = 0,175

30 Таблица 3. Определение значений коэффициентов парной линейной корреляции Г,.

31 xlx2 xlx3 XlX4 х2хЗ х2х4 хЗх4 xly х2у хЗу Х4у

32 0 0 0 0 0 0 0,738 -0,502 0,161 0,072

33 Таблица 5 Таблица 4

34 Определение уравнения линейной регрессии Проверка значимости козф, корреляции

3S Ы 0,025 0,056 -0,175 0,257 0,386 тнабл значение вывод 1кр(0,05; п-2]

36 Sbi=ci 0,0438 0,0438 0,0438 0,0438 0,0438 tfxivl= 4,086 значим

37 r! 0.827 0,175 #Н/Д #Н/Д #Н/Д t(X!Yl = 2,171 значим 2,145

38 Fpac4 13,13 11,00 «н/д «н/д «н/д tnmrt = 0,611

39 SS 1,6103 0,3372 «н/д «н/д #н/д turn = 0,269

40 Таблица 7 Таблица б

41 Yperp » 0, Ï86+0,257X1-0,175X2+0,056X3+0,025X4 Оценка достоверности R: (f расч; k; df)

42 Оценка достоверности коэффициентов уравнения а 1-а Вывод

43 ti = bi/oi 0.573 1,284 3.999 5.878 8,814 0,00036 0,99964 Уравнени 5 достоверно

44 fl-paenp. 0,578 0,226 0,002 0,00011 0,000003

45 1-0 0,422 0,774 0,998 0,9999 0,999997 1

Рис. 1.Численная оценка параметров регрессионной модели с помощью

функции ЛИНЕЙН

Fig. 1. Numerical estimation of the regression model parameters using the LINEAR

С помощью встроенной функции «Корреляция» в табл.3 и табл.4 рис. 1 выполнена сравнительная оценка значимости и отсев части факторов путем анализа парных коэффициентов линейной корреляции Гу,х. Анализ таблиц показал, что факторы Х1-Х4 между собой линейно независимы; наибольшее значимое прямое влияние на изменение температуры ДТ в зоне контакта оказывает фактор Х1 и обратное чуть менее значимое влияние - фактор Х2. Факторы Х3 и Х#существенно меньше связаны с функцией отклика Y.

Оценим значимость коэффициентов корреляции ГхЗу и Гх4у.С этой целью рассмотрим две гипотезы. Основную Н0: Гху =0 и альтернативную Н1: rxy Ф 0. Для проверки нулевой гипотезы рассчитаем соответственно в ячейках H38 и Н39 t-статистику Стьюдента по формуле [9]:

^набл

r2\n

(n - 2)

1 - r2

(2)

где п - число строк матрицы, п = 24 = 16.

Сравним полученное значение с критическим значением ^р(у,о) распределения Стьюдента с помощью встроенной функции СТЬЮДРАСПОБР (V,а) при числе

степеней свободы V = п - 2=14 и уровне значимости а = 0,05:

£кр(0,05;14)=2,145.

Так как t(x3y)=0,611 < 2,145 и t(x4y)= 0,269 < 2,145, то нет оснований отказаться от нулевой гипотезы rxy=0 и поэтому найденные коэффициенты корреляции незначимы.

Определим частные коэффициенты корреляции и тесноту их связи с функцией от-

клика

fyXj

(3)

гуХ1 /* = 0,853; гуХ1 /* = 0,747; г^ 1 ^ = 0,739

теснота связи высокая.

ГуХ /* =-0,743; г* /* =-0,508; Г* /* =-0,503

теснота связи умеренная.

г,«3 / * = 0,238; Гу*3/*2 =0,18б Гу*3/*4 = 0,161

теснота связи низкая.

Гу*4/* = 0Д06; Гу*4/*2 = 0,083; Гу*4/*3 = 0,073

теснота связи низкая.

Низкая теснота связи частных коэффициенты корреляции подтверждает незначимость факторов Х3 и Х4.

Основные результаты и обсуждение

Получим модель регрессии и оценим коэффициенты уравнения множественной линейной регрессии без учета взаимодействия факторов. В среде MS Excel поиск модели регрессии чаще всего осуществляется следующими способами:

- с помощью встроенной функции ЛИНЕЙН;

- с помощью инструмента «Регрессия» из Пакета анализа;

- графическим способом - построением линии тренда на диаграмме с показом уравнения регрессии и расчетного значения коэффициента детерминации R2.

Статистическая функция ЛИНЕЙН (Y; X; константа; статистика) возвращает линейное уравнение регрессии, позволяет

оценить коэффициенты уравнения множественной линейной регрессии в виде

к

У = К + ^ К* и получить данные для

г=1

оценки достоверности. Синтаксис операций требует введения массивов матриц Y, X; выделения диапазона ячеек для вывода результата операции, в котором всегда 5 строк, а число столбцов на единицу больше числа независимых аргументов X; ввода формулы операции и нажатия комбинации клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. В столбце Н11Н26 табл.2 приведены результаты ДТ=Yрегр, полученные по уравнению

Y = 0,386 + 0,257X, - 0,175Х? + 0,056Х + 0,025X

регр ? ? 1'2' 3 ? 4

(4)

В ячейках /27 и J27 соответственно приведены результаты расчета регресси-

онной и остаточной суммы квадратов, которые совпадают с значениями в ячейках

B39 и С39, полученными с помощью статистической функции ЛИНЕЙН. В ячейке В37 приведено расчетное значение коэффициента детерминации R2, которое показывает долю вариации изменения температуры в зоне контакта ДТ=Yрегр, находящейся под воздействием выбранных независимых факторов Xi. Значение R2=0,827 показывает, что примерно 83 % вариации ДТ определяется значениями факторов Xi -Х4 на основании полученной множественной линейной функции регрессии. В качестве меры точности регрессии принимают несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты, определяемую как отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты (ячейка /27 в табл.2) к величине (n-k-1), где к - количество факторов, включенных в модель (ячейка J28). Корень квадратный из этой величины называется стандартной ошибкой оценки регрессии Se = 0,175 (ячейка J29). Аналогичный результат, полученный с помощью статистической функции ЛИНЕЙН, приведен в ячейке C37.

Оценим достоверность самой величины R2 с помощью F распределения, которое определяет а - вероятность того, что зависимость у от х отсутствует. Статистическая функция Excel БРАСП ^расч; к; df) возвращает величину а; следовательно, (1-а) - вероятность того, что такая зависимость существует. Значение числа степе-

ней свободы df = n -(к +1) приведено в ячейке С38. В табл.5 рис. 1 в ячейке B38 приведено расчетное значение F-критерия, а табл.6 рис. 1 в ячейке G43 приведен результат оценки достоверность величины а: близкое к единице значение (1 -а) свидетельствует о достоверности полученного уравнения регрессии.

Оценка достоверности коэффициентов уравнения линейной регрессии, выполненная с помощью распределения Стьюдента и статистической функции Excel СТЬЮДРАСП, показала (табл. 7, рис. 1) , что достоверность коэффициентов Ь3 и Ь4 должна быть поставлена под сомнение. Проверка значимости факторов с использованием частных F -критериев Фишера [10] подтвердила, что факторы Х3 и Х4 не целесообразно включать в модель.

Тогда уравнение множественной регрессии (1) примет вид:

Y = a + ЪхХх + b2X2 + e, (5) где ei - остатки регрессии.

Найдем коэффициенты линейного уравнения регрессии (5) с помощью инструмента «Регрессия» пакета Анализ данных (рис.2). Факторы X1 и X2 выбраны как наиболее тесно связанные с результирующей переменной Y.

На рис. 2 приведены результаты использования инструмента «Регрессия» и получено адекватное уравнение регрессии:

Y = 0,386 + 0,257X - 0,175Х9 + e

регр ? ? 1 ? 2 i

(6)

Сравнивая результаты регрессии по 2-х факторной модели (6) с результатами, полученными с помощью статистической функции ЛИНЕЙН по 4-х факторной модели (4), видим, что коэффициенты bo, а также bm b2 при независимых переменных Xi и Х2полностью совпадают в обоих случаях.

Выполним оценку остатков регрессии (6). В Excel нет встроенных тестов на гетероскедастичность, но можно вручную провести тест Голдфелда-Куандта [11]. Нулевая гипотеза теста - остатки модели гомоскедастичны, альтернативная - остатки гетероскедастичны. Характер графиков

остатков (рис. 2) показывает, что остатки модели примерно одинаковы по модулю и распределены примерно симметрично.

Для численной оценки сначала все наблюдения упорядочим по возрастанию и разделим на три группы: в первой группе имеем П1= б наименьших значений остатков, в третьей группе имеем П2= бнаибольших значений, наблюдениями средней группы пренебрегаем (рис. 3).

Расчетная статистика теста Голдфел-да-Куандта имеет вид:

\n2-к-к)

ESS2 /(n2 - k) ESSj /(n - к)'

(7)

где П!,П2- количество наблюдений в каждой группе; к - количество параметров, оцененных в регрессии; статистика имеет

F-распределение со степенями свободы числителя (n2 - к) и знаменателя (ni - к).

Л А В С D Е F G Н 1

1 Регрессионная статистика Дисперсионный анализ уравнения: Урегр - 0,386 + 0,257X1 - 0,175X2 + е

2 Множественный И 0,892 Параметры df SS MS F Значимость F

3 И-квадрат 0,796 Регрессия 2 1,54971 0,77485 25,323 3,28155Е-05

4 Нормированный Р!-кзадрат 0,764 Остаток 13 0,397777 0,03060

5 Стандартная ошибка 0,175 Итого 15 1,94748

6 Наблюдения 16

7

В Параметры Коэффициенты Стандартная ошибка t-cm am ист ика Р-Значение Нижние 95% Верхние 95%

9 У-пересечение 0,386 0,04373 8,822 7,5408Е-07 0,291337711 0,480287289

10 XI 0,257 0,04373 5,884 5,3756Е-05 0,162837711 0,351787289

11 Х2 -0,175 0,04373 -4,003 0,00150305 -0,269537289 -0,080587711

12

13 ВЫВОД ОСТАТКА

141

15 _

16 _

17 _

18 _

19 _

20 2, [ 22 _ 23 _ 24Т

25 _

26 _ 27 _ 23 _

29 _

30 _

31

Наблюдение

1

11

13

14

15

16

Предсказанное Yon

0,3035625

0,8181875

-0,0465625

0,4680625

0,3035625

0,8181875

-0,0465625 0,4680625

0,3035625

0,8181875

-0,0465625

0,4680625

0,3035625

0,8181875

-0,0465625

0,4680625

Остатки е

-0,1405625

0,0648125

0,0745625

-0,3450625

-0,1335625

0,1148125

0,1695625 -0,0050625

-0,1265625

0,1548125

0,1065625

-0,2380625

-0,1185625

0,1848125

0,1685625

0,0689375

0,019757816

0,00420066

0,005559566

0,119068129

0,017838941

0,01318191

0,028751441 2,56289 Е-05

0,016018066

0,02396691

0,011355566

0,056673754

0,014057066

0,03415566

0,028413316

0,004752379

Графин остатков

Абсолютная ошибка, "К

0,3 0,2 ОД

£

i ° Р

о -0'1 -0,2

"0,3

-0,4

I

.. il h II.

I 6 7 8 I

t

Наблюдения

1 =

0,397777

Рис. 2. Вывод итогов инструмента «Регрессия»

Fig. 2. Output of the results of the Regression tool

Рис. 3. Графики остатков регрессии по двум группам Fig. 3. Graphs of regression residuals for two groups

Используя суммы квадратов остатков (ESS) в оцененных регрессиях (табл. 1), рассчитываем тестовую статистику по формуле (7); при этом в числителе -

наибольшая из двух дисперсий - «сумма квадратов остатков, деленная на степень свободы» (ESSl/(nl - к) или ESS2/(n2 - к). Сравниваем полученное значение Fрасч с

критическим ^кр при выбранном уровне значимости а = 0,05. Если значение ^расч превышает критическое ^кр, то нулевая гипотеза о гомоскедастичности отклоняется и в остатках модели присутствует гете-роскедастичность.

Иначе (Ррасч < Fкр) остатки модели признаются гомоскедастичными. Рассчитаем по формуле (7) ^-статистику: _ 0,2434/(6 - 3)

F(

(«2 -к)

0,1398(6 - 3)

Проверка остатков модели регрессии на гомоскедастичность Checking the residuals of the regression model for homoscedasticity

= 1,741.

Таблица 1 Table 1

Ранжированные остатки первой группы е! e!2 Ранжированные остатки третьей группы е! e!2

-0,3450625 0,119068129 0,1065625 0,011355566

-0,2380625 0,056673754 0,1148125 0,01318191

-0,1405625 0,019757816 0,1548125 0,02396691

-0,1335625 0,017838941 0,1685625 0,028413316

-0,1265625 0,016018066 0,1695625 0,028751441

-0,1185625 0,014057066 0,1848125 0,03415566

ESS2 =0,243413773 ESS1 =0,139824805

С помощью встроенной функции FРАСПОБР (а; П1-к;т-к) имеем ^кр(0,05; 3; 3) = 9,277. Так как ^расч<^кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о го-москедастичности остатков модели регрессии.

Проведем анализ статистической эквивалентности построенных моделей (4) и (6) посредством сравнения их остаточных дисперсий. Для сравнения остаточных дисперсий ^{ячейка Е4,рис.22) и

(ячейка С39, рис. 1) вычисляется статистика:

_ max(0,3977;0,3372) _ 0,3977 _ = min(0,3977;0,3372 = 0,3372 = , '

При а= 0, 05, у1=и-к- 1 = 16-2 - 1=13 и у2=и - к - 1 = 16-4 - 1=11 с помощью встроенной функции FРАСПОБР находим ^кр(0,05;13;11)= 2,761.

Так как расчетное F < Fкр, то обе модели (4) и (6) одинаково адекватно описывают результаты эксперимента, но предпочтение следует отдать более простой модели (6), имеющей меньшее число коэффициентов. В противном случае, если F>Fкр, предпочтение следует отдать модели с меньшей остаточной дисперсией.

Запись математической модели в реальных физических величинах:

Н - 4-10-6 да - 88-106 3-10-6 87-106 (8)

AT = 0,221 + 0,085 • 106 h - 0,002 -10 -6 qa, °К

(9)

Проверим, например, результаты регрессии модели (6) по1-й и 16-й строкам предсказанных значений (рис. 2). После

подстановок натуральных значений факторов с учетом (8) в уравнение (9) и преобразований получим:

АТ1 = 0,221 + 0,085 -1-10-6 -106 - 0,002-1-106 -10-6 = 0,304 ДТ16 = 0,221 + 0,085 - 7 -10-6 -106 - 0,002 -175 -106 -10-6 = 0,466 Указанные значения близки результатам моделирования (ячейки В15 и В30 рис. 2).

Выводы

1. Доминирующее влияние на контактное термическое сопротивление псев-

досреды в тепловой модели соединения деталей станка оказывают два фактора: Х1

- толщина псевдосреды и Х2 - номинальное давление в контакте.

2. С помощью инструмента MS Excel «Регрессия» получено адекватное линейное уравнение множественной регрессии (6) для двух факторов.

3. С помощью теста Голдфелда-Куандта доказана гомоскедастичность остатков регрессии.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Хохлов В.М., Хохлова С.В., Петраков Д.И. Расчет соединений. Брянск, ООО "ВИМАХО", 2007. - 208 с.

2. Меснянкин С.Ю., Викулов А.Г., Викулов Д.Г. Современный взгляд на проблемы теплового контактирования твердых тел/ Успехи физических наук. 2009. Т. 179, № 9. С. 945-970.

3. М.В. Зернин, А.П. Бабин, А.В. Мишин, В.Ю. Бурак. Моделирование контактного взаимодействия с использованием положений механики «контактной псевдосреды»/ Вестник Брянского государственного технического университета. 2007. № 4(16). С. 62-73.

4. Денисенко А.Ф., Подкругляк Л.Ю. Построение регрессионной модели термического сопротивления контактной псевдосреды. / Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2021. т. 23, №3. С. 47-54.

5. Денисенко А.Ф., Подкругляк Л.Ю. Разработка тепловой модели шпиндельной опоры металлорежущего станка/ Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 22, № 3, 2020. С. 49-55.

REFERENCES

1. Khokhlov VM, Khokhlova SV, Petrakov DI. Calculation of joints. Bryansk: VIMAKHO; 2007.

2. Mesnyankin SYu, Vikulov AG, Vikulov DG. Modern view on the problems of thermal contacting of solids. Physics-Uspekhi (Advances in Physical Sciences) 2009;179(9):945-970.

3. Zernin MV, Babin AP, Mishin AV, Burak VYu. Modeling of contact interaction using the provisions of the mechanics of the contact pseudomedium. Bulletin of the Bryansk State Technical University. 2007;4(16):62-73.

4. Denisenko AF, Podkruglyak LYu. Construction of a regression model of thermal resistance of a contact pseudo medium. Izvestia of Samara Scientific Center of the Russian Academy of Sciences. 2021;23(3):47-54.

5. Denisenko AF, Podkruglyak LYu. Development of the heat model of the spindle support metal-cutting machine. Izvestia of Samara Scientific Center of the Russian Academy of Sciences. 2020;22(3):49-55.

4. Анализ статистической эквивалентности построенных линейных моделей (4) и (6) без учета взаимодействия факторов показал, что обе модели одинаково адекватно описывают результаты эксперимента, но предпочтение следует отдать более простой модели (6), имеющей меньшее число коэффициентов.

6. A F Denisenko and L Y Podkruglyak. Heat model of a spindle support of a precesión metal cutting machine/ IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 971 (2020) 022020. doi:10.1088/1757-899X/971/2/022020.

7. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. СПб.: BHV-Санкт-Петербург, 1997. - 384 с.

8. Кеткина О.С. Возможности MS Excel для регрессионного анализа. Электронный текстовый ресурс. - Уральский федеральный университет, 2020. - 43 с. www.study.urfu.ru

9. Закс Л. Статистическое оценивание. Пер. с нем. Под ред. Ю. П. Адлера, В. Г. Горского. - М.: Статистика, 1976. - 598 с.

10. Решение задачи на множественную регрессию в Excel. Электронный текстовый ресурс. - 9с. https ://www.matburo.ru/ex_ec .php?p 1=ecexcel

11. Хайман Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение. В 2-х т. Т.1. М.: Финансы и статистика, 1992. С. 160. - 384с.

6. Denisenko AF, Podkruglyak LYu. Heat model of a spindle support of a precesion metal cutting machine. IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 971. 2020: 022020. doi:10.1088/1757-899X/971/2/022020

7. Kuritsky BYa. Search for optimal solutions using Excel 7.0. St. Petersburg: BHV-St. Petersburg; 1997.

8. Ketkina OS. MS Excel capabilities for regression analysis [Internet]. Ural Federal University; 2020. Available from: www.study.urfu.ru

9. Zaks L. Statistical evaluation. In: Adler YuP, Gorsky VG, editors. Moscow: Statistika; 1976.

10. Solving the multiple regression problem in Excel [Internet]. Available from: https ://www.matburo.ru/ex_ec .php?p 1=ecexcel

11. Hayman DN. Modern microeconomics: analysis and application. Moscow: Finance and Statistics; 1992.

Информация об авторах:

Дмитриев Владимир Александрович - доцент, к.т.н., доцент кафедры «Технология машиностроения, станки и инструменты» СамГТУ, тел. 8-917148-31-18.

Денисенко Александр Федорович - профессор, д.т.н., профессор кафедры «Технология машино-

Dmitriev Vladimir Aleksandrovich - Associate Professor, Candidate of Technical Sciences of the Department of Technology of Mechanical Engineering, Machines and Tools at SamSTU; phone: 8-917-148-31-18 Denisenko Aleksandr Fedorovich - Professor, Doctor of Technical Sciences of the Department of Technolo-

строения, станки и инструменты» СамГТУ, тел. 8927-654-04-35.

Подкругляк Любовь Юрьевна - аспирант, старший преподаватель кафедры «Технология машиностроения, станки и инструменты» СамГТУ, , тел. 8903-335-05-95.

gy of Mechanical Engineering, Machines and Tools at SamSTU; phone: 8-927-654-04-35 Podkruglyak Lyubov Yuryevna - Postgraduate Student, Senior Lecturer of the Department of Technology of Mechanical Engineering, Machines and Tools at SamSTU; phone: 8-903-335-05-95.

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. The authors declare no conflicts of interests.

Статья опубликована в режиме Open Access. Article published in Open Access mode.

Статья поступила в редакцию 14.03.2023; одобрена после рецензирования 10.05.2023; принята к публикации 26.05.2023. Рецензент - Хандожко А.В., доктор технических наук, профессор Брянского государственного технического университета, главный редактор журнала «Транспортное машиностроение».

The article was submitted to the editorial office on 14.03.2023; approved after review on 10.05.2023; accepted for publication on 26.05.2023. The reviewer is Khandozhko A.V., Doctor of Technical Sciences of Bryansk State Technical University, Editor-in-chief of the journal Transport Engineering.