Корреляционный и простой линейный регрессионный анализ с использованием программной среды r Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.25

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И ПРОСТОЙ ЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНОЙ СРЕДЫ R

© 2018 г.1В. Л. Егошин, 2С. В. Иванов, 3Н. В. Саввина, 3А. Р. Ермолаев, 4С. А. Мамырбекова,

5Л. М. Жамалиева, 3-6А. М. Гржибовский

1Павлодарский филиал Государственного медицинского университета г. Семей, г. Павлодар, Казахстан; 2Первый Санкт-Петербургский государственный медицинский университет им. акад. И. П. Павлова, г. Санкт-Петербург; 3Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, г. Якутск; 4Казахский национальный университет им. аль-Фараби, г. Алматы, Казахстан; 5Западно-Казахстанский государственный медицинский университет им. Марата Оспанова, г. Актобе, Казахстан; 6Северный государственный медицинский университет, г. Архангельск

В статье рассмотрены основные алгоритмы работы в программной среде R, используемые для проведения корреляционного и однофакторного линейного регрессионного анализа. Представлены базисные подходы к интерпретации результатов анализа и оценке статистических регрессионных моделей.

Ключевые слова: корреляционный анализ, однофакторный линейный регрессионный анализ, R

CORRELATION AND SIMPLE REGRESSION ANALYSIS USING R

1V. L. Egoshin, 2S. V. Ivanov, 3N. V. Savvina, 3A. R. Ermolaev, 4S. A. Mamyrbekova, 5L. M. Zhamaliyeva, 3-6А. М. Grjibovski

1Semey State Medical University, Pavlodar Campus, Pavlodar, Kazakhstan; 2Pavlov First St. Petersburg State Medical University, St. Petersburg, Russia; 3North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia; 4Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan; 5West Kazakhstan Marat Ospanov State Medical University, Aktobe, Kazakstan;

6Northern State Medical University, Arkhangelsk, Russia

The article presents basic algorithms of R software using for correlation analysis and simple linear regression. Basic approaches to the interpretation of the results of analysis and evaluation of statistical regression models are presented. Key words: correlation analysis, simple linear regression, R

Библиографическая ссылка:

Егошин В. Л., Иванов С. В., Саввина Н. В., Ермолаев А. Р., Мамырбекова С. А., Жамалиева Л. М., Гржибовский А. М. Корреляционный и простой линейный регрессионный анализ с использованием программной среды R // Экология человека. 2018. № 12. С. 55-64.

Egoshin V. L., Ivanov S. V., Savvina N. V., Ermolaev A. R., Mamyrbekova S. A., Zhamaliyeva L. M., Grjibovski А. М. Correlation and simple regression analysis using R. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2018, 12, pp. 55-64.

В процессе анализа результатов научных исследований для изучения связей между переменными достаточно часто требуется создание статистических моделей. Под моделью может пониматься абстрактное представление реальности в какой-либо форме (математической, физической, символической, графической), предназначенное для представления определенных аспектов этой реальности и позволяющее получить ответы на изучаемые вопросы [3]. Как правило, статистические модели описывают связи между случайными переменными, при этом связи между двумя количественными переменными изучаются методами корреляционного и простого линейного регрессионного анализа. [7, 10].

Для примера проведения анализа в статье были использованы модифицированные данные Архангельского областного регистра родов [4]. Подготовка данных к анализу представлена на рис. 1 (листинг 1). В ходе подготовки данных выбираются переменные и удаляются пропущенные значения. Обработка выбро-

сов в данном случае предполагает их преобразование в категорию «NA» с последующим удалением.

Листинг 1

# импорт из файла

df <- foreign::read.spss(«Simulated_sample.sav", to.data. frame = TRUE)

# выбор переменных в таблице данных df <- df %>%

filter ((Maternal_age > 20 & Maternal_age <= 25) & Gestational_age > 36) %>% select (Maternal_height, Maternal_weight, BIrthweight, Birthlength) %>% drop_na ()

# функция преобразования выбросов в NA Outl_NA <- function(x) {

x [which(x %in% boxplot.stats(x)$out)] <- NA; x }

# boxplot.stats boxplot(x, plot = FALSE)$out

# функция удаления записей с выбросами из таблицы данных

df_out <- function(dat) {

na.omit(data.frame(apply(dat, 2, function(x) Outl_NA(x)))) }

# таблица данных после удаления выбросов

dfs <- df_out(df)

rownames (dfs) <- 1:nrow (dfs)

Рис. 1. Подготовка данных для анализа

В результате проведения подготовки данных количество отобранных записей — 431: женщины в возрасте от 20 до 25 лет включительно, родившие в срок более 36 недель.

Анализ выполнен в программной среде R 3.5.0. Использовались функции базового пакета и пакетов Hmisc и car, для вывода результатов тестов использовались функции пакетов knitr и pander.

Корреляционный анализ

Корреляционный анализ — метод, позволяющий оценить силу и направление связи между переменными. Вопросы применения метода приведены в пособиях по статистике [6, 11]. При проведении корреляционного анализа следует помнить, что корреляция однозначно не подразумевает причинно-следственных связей [5, 15].

При статистической обработке результатов исследования используются следующие методы корреляционного анализа:

— Метод Пирсона (Pearson correlation — r), измеряющий линейную зависимость между двумя переменными (x, y). Это тест параметрической корреляции, поскольку он подразумевает нормальное распределение данных.

— Методы Спирмена (Spearman р) и Кендалла (Kendall т) — непараметрические методы, использующие ранговую корреляцию и конкордантные / дискордантные пары, соответственно.

Наиболее часто используется метод Пирсона, но его следует применять только при соблюдении следующих условий [1]:

— обе переменные являются количественными и непрерывными;

— как минимум один из признаков имеет нормальное распределение;

— зависимость между переменными носит линейный характер;

— гомоскедастичность (вариабельность одной переменной не зависит от значений другой переменной);

— независимость переменных;

— парность наблюдений (признак x и признак y относятся к одним и тем же случаям);

— достаточный объем выборки, включающий как минимум 25 наблюдений;

— для адекватной проекции расчетов на генеральную совокупность выборка должна быть репрезентативной.

При выполнении корреляционного анализа в R выполняются следующие действия:

— оценка нормальности распределения переменных: формальные тесты (Шапиро — Уилка, Андерсона — Дарлинга) и графики (квантильная диаграмма, гистограмма или диаграмма плотности);

— точечная диаграмма — для оценки линеиности зависимости и гомоскедастичности;

— определение коэффициента корреляции;

— определение достигнутого уровня значимости (p-value);

— создание корреляционной матрицы и коррело-граммы.

Коэффициент корреляции может иметь значения от — 1 до +1. При этом значение —1 означает полную отрицательную корреляцию, +1 — полную положительную корреляцию, а 0 — отсутствие корреляции. Помимо непосредственного значения коэффициента корреляции необходимо также оценивать доверительный интервал и p-value.

В базовом пакете R для определения коэффициента корреляции используются две функции: cor и cor.test.

Функция cor позволяет вычислить коэффициент корреляции с использованием методов Пирсона, Спирмена или Кендалла. По умолчанию используется метод Пирсона. Формат записи: cor (x, y = NULL, use = "everything", method = c ("pearson", "kendall", "spearman")), где x может быть числовым вектором, матрицей или таблицей данных; числовой вектор y используется в случае, если x — также числовой вектор.

Функция cor.test может быть выполнена для двух числовых векторов, при этом функция возвращает значение статистики, коэффициента корреляции, p-value, доверительный интервал. Может быть выполнена в формате cor.test (x, y) или в формате cor. test (~ x + y, data, method = c ("pearson", "kendall", "spearman"))

Применив функции cor и pairs к матрице или таблице данных, можно получить матрицу значений коэффициента корреляции и графическое представление (скаттерограммы) изучаемых переменных, что позволяет оценить линейность зависимости между переменными и гомоскедастичность (рис. 2 — листинг 2).

Листинг 2

round(cor(dfs),3)

## Maternal_height Maternal_weight BIrthweight Birthlength

## Maternal_height 1.000 0.332 0.233 0.214

## Maternal_weight0.332 1.000 0.114 0.092

## BIrthweight 0.233 0.114 1.000 0.686

## Birthlength 0.214 0.092 0.686 1.000 pairs(dfs)

Рис. 2. Результаты применения функции pairs

Оценка нормальности распределения переменных предполагает выполнение формальных тестов и оценку диаграмм плотности и квантильных диаграмм изучаемых переменных. Алгоритм данного анализа и полученные результаты представлены на рис. 3 (листинг 3).

Листинг 3

# функция

formal_test <- function(dat) {

shw_pvalue <- apply(dat[sapply(dat, is.numeric)], 2,

function(x) shapiro.test(x)$p.value)

ad_pvalue <- apply(dat[sapply(dat, is.numeric)], 2,

function(x) nortest::ad.test(x)$p.value)

cbind(shw_pvalue, ad_pvalue) }

knitr::kable(as.data.frame(formal_test(dfs)), digits = c( 9, 9), caption = 'Результаты выполнения тестов', format = 'pandoc')

Результаты выполнения тестов

shw_pvalue ad_pvalue

Maternal_height Maternal_weight BIrthweight Birthlength

0.007969014 0.000049021 0.797425177 0.000003111

0.002280250 0.000015483 0.851300783 0.000000000

# Диаграммы для переменных BIrthweight и Birthlength g1 <- ggplot(dfs, aes(BIrthweight)) + geom_density() g2 <- ggplot(dfs, aes(sample = BIrthweight)) + stat_qq() + stat_qq_line()

g3 <- ggplot(dfs, aes(Birthlength)) + geom_density() g4 <- ggplot(dfs, aes(sample = Birthlength)) + stat_qq() + stat_qq_line()

gridExtra::grid.arrange(g1, g2, g3, g4, nrow = 2)

# Диаграммы для переменных Maternal_height и Maternal_ weight

g1 <- ggplot(dfs, aes(Maternal_height)) + geom_density() g2 <- ggplot(dfs, aes(sample = Maternal_height)) + stat_qq() + stat_qq_line()

g3 <- ggplot(dfs, aes(Maternal_weight)) + geom_density() g4 <- ggplot(dfs, aes(sample = Maternal_weight)) + stat_qq() + stat_qq_line()

gridExtra::grid.arrange(g1, g2, g3, g4, ncol = 2)

Рис. 3. Результаты анализа нормальности распределения для переменных BIrthweight и Birthlength, Maternal_height и Maternal_weight

Таким образом, результаты тестов на нормальность распределения и соответствующие графики допускают возможность использования метода Пирсона при изучении корреляция между переменными BIrthweight и Birthlength.

Нулевая гипотеза при изучении корреляции между переменными предполагает, что коэффициент корреляции равен нулю. Для оценки корреляции между переменными BIrthweight и Birthlength применим метод Пирсона, а для оценки корреляции между переменными Maternal_height и Maternal_weight — методы Спирмена и Кендалла (рис. 4 — листинг 4). Использование функции pander из пакета pander делает представление результатов теста более подходящим для публикации.

Листинг4

options(scipen = -3)

cor.test(~ BIrthweight + Birthlength, dfs, method = 'pearson') ##

## Pearson's product-moment correlation ##

## data: BIrthweight and Birthlength

## t = 19.549, df = 429, p-value < 2.2e-16

## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0

## 95 percent confidence interval:

## 0.6329680 0.7333003

## sample estimates:

## cor

## 0.6863866

pander::pander(cor.test(~ BIrthweight + Birthlength, dfs, method = 'pearson'))

Pearson's product-moment correlation: BIrthweight and Birthlength

Test Alternative

df P value statistic hypothesis cor

19.55

429 2.551e-61

two.sided 0.6864

options(scipen = 999)

pander::pander(cor.test(~ Maternal_height + Maternal_weight, dfs, method = 'spearman'), digits = c(0, 9, 0, 4)) Spearman's rank correlation rho: Maternal_height and Maternal_weight

Test „ , Alternative

statistic

P value

hypothesis

rho

8604559 0.00000000000002935

two.sided 0.3552

* * *

pander::pander(cor.test(~ Maternal_height + Maternal_weight, dfs, method = 'kendall'), digits = c(4, 9, 0, 4)) Kendall's rank correlation tau: Maternal_height and Maternal_ weight

Test Alternative

statistic P value hypothesis tau

7.416 0.0000000000001208 * * * two.sided 0.2491

Рис. 4. Оценка корреляции между переменными BIrthweight и Birthlength и между переменными Maternal_height и Maternal_ weight

В процессе выполнения анализа можно создать комбинированную корреляционную матрицу, которая будет включать не только значения коэффициентов корреляции, но и уровень их статистической значимости. Функция cor позволяет выводить коэффициент корреляции для нескольких переменных, функция cor. test представляет большой набор данных для двух переменных. Функция rcorr из пакета Hmisc позволяет представить данные о коэффициенте корреляции и уровне значимости для нескольких переменных в таблице данных (рис. 5 — листинг 5).

Листинг 5

(cor2 <- Hmisc::rcorr(as.matrix(dfs)))

## Maternal_height Maternal_weight BIrthweight Birthlength ## Maternal_height 1.00 0.33 0.23 0.21 ## Maternal_weight 0.33 1.00 0.11 0.09

## BIrthweight 0.23 0.11 1.00 0.69

## Birthlength 0.21 0.09 0.69 1.00

##

## n= 431 ##

## ## P

## Maternal_height Maternal_weight BIrthweight Birthlength

## Maternal_height 0.0000 0.0000 0.0000

## Maternal_weight 0.0000 0.0176 0.0556

## BIrthweight 0.0000 0.0176 0.0000

## Birthlength 0.0000 0.0556 0.0000

Рис. 5. Создание комбинированной коррелляционной матрицы.

В отличие от приведенного выше примера, использование функции Hmisc::rcorr позволяет представить данные в более удобном для восприятия виде (рис. 6 — листинг 6).

Листинг б

# преобразование листа с элементами r (коэффициент корреляции)

rdfs <- reshape2::melt(cor2$r)

rdfs <- rename(rdfs, cor_coef = value)

# преобразование листа с элементами P (p-value) rdfsp <- reshape2::melt(cor2$P)

rdfsp <- rename(rdfsp, pvalue = value)

# объединение и сортировка по значению коэффициента корреляции

rpf <- na.omit(left_join(rdfs, rdfsp, by = c('Var1',

'Var2'))) %>%

arrange(desc(cor_coef))

# таблице

knitr::kable(rpf, digits = c(4, 9),

caption = 'Комбинированная корреляционная матрица', format = 'pandoc')

Комбинированная корреляционная матрица

Var1 Var2 cor_coef pvalue

Birthlength BIrthweight 0.6864 0.000000000

BIrthweight Birthlength 0.6864 0.000000000

Maternal_weight Maternal_height 0.3321 0.000000000

Maternal_height Maternal_weight 0.3321 0.000000000

BIrthweight Maternal_height 0.2333 0.000000975

Maternal_height BIrthweight 0.2333 0.000000975

Birthlength Maternal_height 0.2140 0.000007428

Maternal_height Birthlength 0.2140 0.000007428

BIrthweight Maternal_weight 0.1143 0.017572783

Maternal_weight BIrthweight 0.1143 0.017572783

Birthlength Maternal_weight 0.0923 0.055558618

Maternal_weight Birthlength 0.0923 0.055558618

Рис. 6. Использование функции Hmisc::rcorr

Корреляционная матрица может быть представлена также в виде «вафельной диаграммы» (рис. 7 — листинг 7).

Листинг 7

g1 <- ggplot(rdfs, aes(Var1, Var2, fill = cor_coef)) + geom_tile(color = 'grey50') +

geom_text(aes(label = round(cor_coef,3)), color = 'white', size = 3) +

scale_fill_gradient(low = 'lightgrey', high = 'black') + theme_minimal() +

theme(axis.text.x = element_text(angle = 30, hjust = 1)) + labs(x = '', y = '', title = 'Correlation coefficient')

g2 <- ggplot(rdfsp, aes(Var1, Var2, fill = pvalue)) + geom_tile(color = 'grey50') +

scale_fill_gradient(low = 'lightgrey', high = 'black') + geom_text(aes(label = round(pvalue,3)), color = 'white', size = 3) +

theme_minimal() +

theme(axis.text.x = element_text(angle = 30, hjust = 1)) + labs(x = '', y = '', title = 'p-value')

gridExtra::grid.arrange(g1, g2, nrow = 1)

Рис. 7. Создание коррелограмм для коэффициентов корреляции (слева) и уровней значимости (справа)

Используя функции пакета соггр1о^ можно получить много цветных коррелограм, выполненных в различном стиле [9, 14].

Простая линейная регрессия

Регрессионный анализ широко применяется в практике статистического анализа данных [2, 8, 11, 13]. Следует отметить, что если модели корреляционного анализа позволяют изучить силу и направление связи

между переменными, то регрессионный анализ позволяет прогнозировать значения зависимой переменной (переменной отклика) по известным значениям независимой переменной (предиктора). Таким образом, в общем представлении модель простой линейной регрессии предназначена для предсказания значений количественной зависимой переменной по значениям одной количественной независимой переменной.

Цель регрессионного анализа — определить математическую формулу связи между зависимой переменной (Y) и независимой переменной (X), причем данная формула может быть использована для предсказания значения Y при известном значении X. Формула уравнения линейной регрессии следующая:

Y = ßo + ßi ■ X + е,

где ß0 и ß1 — коэффициенты регрессии, определяемые в ходе выполнения анализа, е — ошибка, предположительно имеющая в случае линейной регрессии нормальное распределение со средним значением, равным нулю: е ~ N (0, о2).

В R при построении модели простой линейной регрессии используется следующий формат функции lm: lm(dependent_variable ~ independent_variable, data).

Функция summary возвращает данные о полученной модели линейной регрессии, а функции coef, confint возвращают значения коэффициентов регрессии и доверительные интервалы. Функция anova представляет таблицу, с помощью которой можно оценить значимость модели (рис. 8 — листинг 8).

Листинг 8

fit <- lm(BIrthweight ~ Birthlength, dfs)

# данные о созданной модели

summary(fit) ##

## Call:

## lm(formula = BIrthweight ~ Birthlength, data = dfs) ##

## Residuals:

## Min 1Q Median 3Q Max

## -883.24 -195.65 -15.48 184.35 937.97 ##

## Coefficients:

## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) -3771.833 368.244 -10.24 <0.0000000000000002 ***

## Birthlength 136.553 6.985 19.55 <0.0000000000000002 *** ## ---

## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ##

## Residual standard error: 298 on 429 degrees of freedom ## Multiple R-squared: 0.4711, Adjusted R-squared: 0.4699 ## F-statistic: 382.2 on 1 and 429 DF, p-value: < 0.00000000000000022

pander::pander(summary(fit), digits = c(0,2,3,0,0,0,0,4,4))

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -3772 368 -1О.2 О

Birthlength 137 7 19.5 О

Fitting linear model: BIrthweight ~ Birthlength

Observations Residual Std. Error R2 Adjusted R2

431 298 О.4711 О.4699

# коэффициенты регрессии coef(fit)

## (Intercept) Birthlength ## -3771.833 136.553

# доверительный интервал confint(fit, level = .95)

## 2.5 % 97.5 %

## (Intercept) -4495.6187 -3048.0468 ## Birthlength 122.8235 150.2825

pander::pander(round(cbind(coef(fit), confint(fit))), caption = 'Коэффициенты регрессии и доверительные интервалы') Коэффициенты регрессии и доверительные интервалы

2.5 % 97.5 %

(Intercept) -3772 -4496 -3048

Birthlength 137 123 150

pander::pander(anova(fit), digits = c(0, 0, 0, 0, 0, 6)) Analysis of Variance Table

Df Sum Sq Mean Sq F value pr(>F) Birthlength 1 33940248 33940248 382 0

Residuals 429 38100368 88812 NA NA

Рис. 8. Линейный регрессионный анализ

При проведении линейной регрессии оценивается нулевая гипотеза, предполагающая, что коэффициенты регрессии не отличаются от нуля (показатели Pr(>|t|) в разделе «Коэффициенты» в последней колонке). F-test оценивает нулевую гипотезу о равенстве нулю всех коэффициентов регрессии (показатель p-value в последней строке таблицы), альтернативная гипотеза — хотя бы один коэффициент не равен нулю.

Таким образом, формула уравнения линейной регрессии будет следующая: Масса тела новорожденного (г) = —3 771,8 + 136,6 х длина тела новорожденного (см). Например, новорожденный с длиной тела 52 см будет иметь массу тела 3 329 г, нижняя и верхняя границы 95 % доверительный интервал для данного значения будут равны 1 891 г и 4 767 г соответственно.

Для оценки полученной модели используется ряд показателей.

Наиболее простой показатель — коэффициент детерминации R2 (Multiple R-squared в листинге 8). Он показывает, какая доля изменчивости зависимой переменной обусловлена моделью. Скорректированный (adjusted) R2 (Adjusted R-squared в листинге 8) показывает значение доли изменчивости зависимой переменной, скорректированное на количество независимых переменных.

Коэффициенты AIC (Akaike's information criterion) и BIC (Bayesian information criterion) служат для оценки пригодности статистической модели и используются при выборе наиболее предпочтительной модели, если были созданы несколько моделей. Формат данных функций в R следующий: AIC(model), BIC(model).

Показатель MSE (mean squared error) является аналогом дисперсии для остатков в модели линейной регрессии, а показатель RMSE (root mean squared error) — аналогом стандартного отклонения. И тот и

другой показатель также используются при выборе моделей. Формулы их расчета:

Данные показатели могут быть вычислены в R с помощью следующих формул:

MSE <- mean(residuals(linear_model)**2), RMSE <- sqrt(mean(residuals(linear_model)**2)) Показатель MAPE (Mean absolute percentage error) — средняя абсолютная процентная ошибка, которая используется для оценки предсказательных возможностей регрессионной модели и может быть рассчитана по формуле:

(flb^iactual — predict )\

,

actual '

где actual — реальные значения переменной, predict — предсказанные на основании созданной модели значения.

Оценка модели с помощью вышеперечисленных показателей представлена в табл. 1.

Таблица 1

Использование показателей для оценки линейной регрессионной модели

Статистика Оценка

R-Squared Выше — лучше (> 0,70)

Adj R-Squared Выше — лучше

F-statistic Выше — лучше

Std. Error Ближе к нулю — лучше

t-statistic Больше 1,96 для р-уа1ие меньше 0,05

AIC Ниже — лучше

BIC Ниже — лучше

MAPE (Mean absolute percentage error) Ниже — лучше

MSE (Mean squared error) Ниже — лучше

RMSE (Root mean squared error) Ниже — лучше

Для корректного выполнения простого линейного регрессионного анализа должны быть соблюдены следующие условия:

1. Линейность связи между зависимой и независимой переменными.

2. Определенные характеристики остатков:

— нормальность распределения остатков;

— нулевое среднее значение остатков;

— независимость остатков;

— отсутствие аутокорреляции остатков;

— гомоскедастичность остатков, равная дисперсия.

Отсутствие «влияющих» данных.

Следует отметить, что при простой линейной регрессии мультиколинеарность не оценивается.

Для оценки условий выполнения линейного регрессионного анализа используются графические методы (рис. 9 — листинг 9) и тесты.

Листинг 9

par(mfrow = c(2,2)) plot(fit)

Fitted values par(mfrow = c(1,1))

Рис. 9. Результат применения функции plot(fit)

На рис. 9 объединены четыре графика: первый (вверху слева) residuals vs. fitted values — скаттеро-грамма между остатками и подогнанными значениями; второй (вверху справа) — квантильная диаграмма, оценивает нормальность распределения остатков; третий (внизу слева) scale-Location — скаттерограмма между стандартизованными остатками и подогнанными значениями; четвертый график (внизу справа) Cook's distance показывает точки, обладающие большим влиянием на регрессию (leverage points).

Для оценки гомоскедастичности изучаются первый и третий графики (см. рис. 9), при отсутствии гете-роскедастичности отмечается полностью случайное, равное распределение точек и плоская красная линия [12].

Оценка линейности связи между переменными в модели может быть проведена путем построения точечной диаграммы (рис. 10 — листинг 10).

Листинг 10

ggplot(dfs, aes(Birthlength, BIrthweight)) + geom_point() + geom_smooth(method = 'lm', se = FALSE)

Рис. 10. Скаттерограмма, представляющая зависимость между изучаемыми переменными

Графики и тесты, предназначенные для изучения остатков модели, представлены на рис. 11 (листинг 11).

Листинг 11

mean(residuals(fit)) # среднее значение остатков

## [1] -0.0000000000000005680877

sht <- shapiro.test(residuals(fit)); pander::pander(sht)

Shapiro-Wilk normality test: residuals(fit) Test statistic P value

0.9939

0.08054

# визуализация рис.7

ddf <- data.frame(res = residuals(fit))

gl <- ggplot(ddf, aes(res)) + geom_density()

g2 <- ggplot(ddf, aes(sample = res)) + stat_qq() + stat_qq_

line()

gridExtra::grid.arrange(g1, g2, nrow = 1)

1000-

0 2 theoretical

# оценка независимости остатков. runs test - WaldWolfowitz-Test

(dt_runs <- DescTools::RunsTest(residuals(fit))) ##

## Runs Test for Randomness ##

## data: residuals(fit)

## z = 0.0027976, runs = 217, m = 218, n = 213, p-value = 0.9978

## alternative hypothesis: true number ofruns is not equal the expected number ## sample estimates: ## median(x) ## -15.47766

# тест на аутокорреляцию (dw <- durbinWatsonTest(fit))

## lag Autocorrelation D-W Statistic p-value ## 1 -0.01590408 2.031162 0.722 ## Alternative hypothesis: rho != 0

# оценка гомоскедастичности - Breusch-Pagan test (ncvt <- ncvTest(fit))

## Non-constant Variance Score Test ## Variance formula: ~ fitted.values ## Chisquare = 4.967327 Df = 1 p = 0.02583053

Рис. 11. Графики и тесты, предназначенные для изучения остатков модели. Диаграмма плотности остатков представлена слева, квантильная диаграмма остатков — справа

Изучение остатков показало следующие результаты:

— среднее значение остатков равно нулю;

— p-value в тесте Шапиро — Уилка равно 0,081;

— нулевая гипотеза о независимости остатков не может быть отклонена (при выполнение WaldWolfowitz теста p-value = 0,998);

— нулевая гипотеза об отсутствии аутокорреляции остатков (p-value = 0,722 в тесте Дарбина —Уотсона) не может быть отклонена;

— может быть отклонена нулевая гипотеза о гомоскедастичности (p-value = 0,026 в тесте Breusch-Pagan).

При оценке модели необходимо также определять наличие «влияющих» значений. Одним из способов определения таких значений является использование Cook's distance. Значимыми («влияющими») считаются значения, превышающие величину, равную 4/ (n-k-1), где n — число наблюдений, k — число коэффициентов регрессии. В R можно создать таблицу данных, в которую будут включены только записи с «влияющими» значениями, и представить данные в виде графика (рис. 12 — листинг 12).

Листинг 12

(cutoff <- 4/((nrow(dfs)-length(fit$coefficients)-1))) ## [1] 0.009345794

# (cutoff <- 4 * mean(cooks.distance(fit)))

# создание таблицы данных с "влияющими" записями df_cd <- dfs %>% select(BIrthweight, Birthlength) %>% mutate(n_dfs = rownames(dfs), # столбец с номерами строк таблицы dfs

cook_d = cooks.distance(fit)) %>% # столбец со значениями Cook's D

filter(cook_d > cutoff) %>% # отбор значений, превышающих cutoff

arrange(desc(cook_d)) # сортировка по значению Cook's D в порядке убывания

nrow(df_cd) # число значений, превышающих уровень

cutoff

## [1] 24

pander::pander(slice(df_cd, 1:6)) # первые шесть записей в таблице данных df_cd

BIrthweight Birthlength n_dfs cook_d

3265 58 297 0.08143

3370 58 112 0.06322

3380 58 255 0.06161

3310 57 72 0.03578

3100 56 180 0.02885

3860 50 132 0.02308

(influence_rown <- as.numeric(df_cd$n_dfs)) # номера рядов

"влияющих" значений в таблице dfs

## [1] 297 112 255 72 180 132 225 404 178 184 121 106

165 138 114 382 84

## [18] 43 367 142 224 75 209 214

# Cook's D plot

# identify D values > 4/(n-k-1) plot(fit, which=4, cook.levels=cutoff) abline(h=cutoff, lty=2, col="red")

Cook's distance

Ф -297"

о с га

о о О

-1

100 200 300 400

Obs. number lm(Blrthweight ~ Birthlength)

Рис. 12. Изучение «влияющих» значений

Таким образом, в результате анализа количество «влияющих» значений оказалось равным 24, номера записей в основной таблице dfs: 297, 112, 255, 72, 180, 132, 225, 404, 178, 184, 121, 106, 165, 138, 1 14, 382, 84, 43, 367, 142, 224, 75, 209, 214. Индивидуальное рассмотрение каждого из «влияющих» значений может понадобиться при дальнейших манипуляциях с данными.

Оценка предсказательной точности модели (рисунок 13 — листинг 13) предполагает следующие действия:

— создаются два набора данных (тренировочный и тестовый);

— наборы данных создаются путём разделения имеющейся таблицы данных: 80 % данных составят тренировочный набор и 20 % — тестовый;

— на тренировочном наборе создается модель, на основе которой предсказываются возможные значения для тестового набора данных;

— реальные данные тестового набора далее сравниваются с предсказанными.

Листинг 13

# создание тренировочного и тестового набора данных set.seed(123)

row_index <- sample(1:nrow(dfs), .8 * nrow(dfs)) # определение номеров рядов, составляющих 80% записей train_data <- dfs[row_index, ] # создание тренировочного набора

test_data <- dfs[-row_index, ] # создание тестового набора

# создание модели на данных тренировочного набора model.lm <= lm(BIrthweight ~ Birthlength, train_data)

# получение предсказанных значений для тестового набора

bw_predict <- predict(model.lm, test_data)

# таблица данных с предсказанными и реальными значениями

actual_preds <- data.frame(cbind(actual = test_

data$BIrthweight,

predBW = round(bw_predict)))

# коэффициент корреляции между предсказанными и реальными значениями

(corp <- cor(actual_preds$actual, actual_preds$predBW)) ## [1] 0.7576216

# средняя абсолютная процентная ошибка (MAPE <- mean(abs(actual_preds$actual - actual_ preds$predBW) / actual_preds$actual))

## [1] 0.07151261

Рис. 13. Оценка предсказательной точности модели

В результате анализа коэффициент корреляции между предсказанными и реальными значениями составил 0,758, средняя абсолютная процентная ошибка — 0,072. Полученные данные позволяют сказать, что доля ошибок в данной модели составляет 7,2 %.

Дальнейшая работа с данными может улучшить качество модели (в приведенном ниже примере — удаление «влияющих» значений). Новая модель будет создана после удаления «влияющих» значений из из-

учаемой таблицы данных. Последующая оценка будет проводиться на измененных данных и сравниваться с показателями первой модели (рис. 14 — листинг 14).

Листинг 14

# удаление влиящих значений из таблицы данных dfs_1 <- dfs[-influence_rown, ]

# построение модели на измененных данных fit1 <- lm(BIrthweight ~ Birthlength, dfs_1)

# оценка модели

summary(fit1) ##

## Call:

## lm(formula = BIrthweight ~ Birthlength, data = dfs_1) ##

## Residuals:

## Min 1Q Median 3Q Max

## -611.27 -179.16 -19.16 175.55 714.49 ##

## Coefficients:

## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) -4586.635 347.186 -13.21 <0.0000000000000002 ***

## Birthlength 152.116 6.591 23.08 <0.0000000000000002 *** ## ---

## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ##

## Residual standard error: 257.8 on 405 degrees of freedom ## Multiple R-squared: 0.5681, Adjusted R-squared: 0.567 ## F-statistic: 532.6 on 1 and 405 DF, p-value: < 0.00000000000000022

pander::pander(round(cbind(coef(fit1), confint(fit1))), caption = 'Коэффициенты регрессии и доверительные интервалы')

Коэффициенты регрессии и доверительные интервалы

2.5 % 97.5 %

(Intercept) -4587 -5269 -3904

Birthlength 152 139 165

Рис. 14. Создание модели без «влияющих» значений

Далее проведем сравнение моделей, повторную оценку гомоскедастичности и прогностических возможностей модели. Сравним модели между собой, используя функцию Anova из пакета car, сравним коэффициенты AIC и BIC, показатели MSE и RMSE, повторно оценим гомоскедастичность остатков. Оценим прогностическую ценность новой модели (рис. 15 — листинг 15).

Листинг 15

Anova(fit, fit1, test = 'F')

## Anova Table (Type II tests) ##

## Response: BIrthweight ## Sum Sq Df F value Pr(>F)

## Birthlength 33940248 1 510.66 < 0.00000000000000022

***

## Residuals 26917957 405 ## ---

## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 AIC(fit)

## [1] 6138.054

AIC(fit1) ## [1] 5678.509

BIC (fit)

## [1] 6150.252

BIC(fit1)

## [1] 5690.535

(MSE <- mean(residuals(fit)**2)) ## [1] 88399.93

(MSE1 <- mean(residuals(fit1)**2)) ## [1] 66137.49

(RMSE <- sqrt(mean(residuals(fit)**2))) ## [1] 297.3212

(RMSE1 <- sqrt(mean(residuals(fit1)**2))) ## [1] 257.1721 par(mfrow = c(1,2))

plot (fit, which = 1); plot(fit1, which = 1)

par(mfrow = c(1,1))

# Breusch-Pagan test (ncvt <- ncvTest(fitl))

## Non-constant Variance Score Test ## Variance formula: ~ fitted.values ## Chisquare = 0.02454897 Df = 1 p = 0.8754962

# оценка прогностической ценности новой модели set.seed(123)

row_index <- sample(1:nrow(dfs_1), .8 * nrow(dfs_1)) train_data <- dfs_1[row_index, ] test_data <- dfs_1[-row_index, ]

model.lm <- lm(BIrthweight ~ Birthlength, train_data) bw_predict <- predict(model.lm, test_data)

actual_preds <- data.frame(cbind(actual = test_

data$BIrthweight,

predBW = round(bw_predict)))

# коэффициент корреляции между предсказанными и реальными значениями

(corp1 <- cor(actual_preds$actual, actual_preds$predBW)) ## [1] 0.7989563

# средняя абсолютная процентная ошибка (MAPE1 <- mean(abs(actual_preds$actual - actual_ preds$predBW) / actual_preds$actual))

## [1] 0.05490008

Рис. 15. Сравнение модели с «влияющими» значениями с моделью без «влияющих» значений

Результаты выполнения функции Anova указывают на значимые различия между моделями. Сравнение показателей AIC, BIC, MSE, RMSE указывает на повышение качества модели (изучаемые показатели уменьшились):

AIC: было — 6138, стало — 5679;

BIC: было — 6150, стало — 5691;

MSE: было - 88400, стало - 66137;

RMSE: было - 297, стало - 257.

В измененной модели не может быть отклонена нулевая гипотеза о гомоскедастичности (p-value = 0,875 в тесте Breusch-Pagan). В измененной модели коэффициент корреляции между предсказанными и реальными значениями составил 0,799, средняя абсолютная процентная ошибка - 0,055, в первоначальной модели коэффициент корреляции между предсказанными и реальными значениями был равен 0,758, средняя абсолютная процентная ошибка - 0,072.

Полученные данные позволяют сказать, что доля ошибок при использовании измененной модели снизилась до 5,5 %.

Таким образом измененная линейная регрессионная модель имеет следующую формулу: Масса тела новорожденного (г) = -4 586,6 + 152,1 х длина тела новорожденного (см).

Соответственно новорожденный с длиной тела 52 см в среднем имеет массу тела 3 323 г, нижняя и верхняя границы 95 % доверительного интервала будут равны 1967 г и 4680 г соответственно.

В следующей работе мы рассмотрим анализ качественных данных в программной среде R.

Список литературы

1. Гржибовский А. М. Корреляционный анализ // Экология человека. 2008. № 9. С. 50-60.

2. Гржибовский А. М. Однофакторный линейный регрессионный анализ // Экология человека. 2008. № 10. С. 55-64.

3. Когаловский М. Р. и др. Глоссарий по информационному обществу / под ред. Ю. Е. Хохлова. М.: Институт развития информационного общества, 2009. 162 с.

4. Усынина А. А., Одланд И. О., Пылаева Ж. А., Пастбина И. М., Гржибовский А. М. Регистр родов Архангельской области как важный информационный ресурс для науки и практического здравоохранения // Экология человека. 2017. № 2. С. 58-64.

5. Aldrich J. Correlation Genuine and Spurious in Pearson and Yule // Statistical Science. 1995. Vol. 10 (4). P 364-376.

6. Bowers D. Medical Statistics from Scratch. Chichester, England: John Wiley & Sons Ltd, 2008.

7. Crawley M. J. The R Book. 2nd ed. Wiley, 2013.

8. Faraway J. J. Linear Models with R. NewYork: Chapman & Hall/CRC, 2005.

9. Hut I. 2017. Correlation Tests, Correlation Matrix, and Corresponding Visualization Methods in R. URL: https:// rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/240657_5157ff98e82 04c358b2118fa69162e18.html (дата обращения 10.09.2018).

10. Kabacoff R. I. R in Action. Data analysis and graphics with R: 2nd ed. ShelterIsland, NY: Manning Publications, 2015.

11. Logan M. Biostatistical Design and Analysis Using R: A Practical Guide. Wiley-Blackwell, 2010.

12. Prabhakaran S. 2017. How to Detect Heteroscedasticity and Rectify It? URL: https://datascienceplus.com/how-to-detect-heteroscedasticity-and-rectify-it/ (дата обращения 10.09.2018).

13. STAT501, PennState. 2018. Regression Analysis. URL: https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat501/ (дата обращения 10.09.2018).

14. STHDA. 2016. Correlation Analyses in R. URL: http:// www.sthda.com/english/wiki/correlation-analyses-in-r. (дата обращения 10.09.2018).

15. Tufte E. R. The Cognitive Style of Powerpoint: Pitching Out Corrupts Within. Cheshire, Connecticut: Graphics Press, 2006.

References

1. Grjibovski A. M. Correlation analysis. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2008, 9, pp. 50-60. [In Russian]

2. Grjibovski A. M. Simple linear regression analysis. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2008, 10, pp. 5564. [In Russian]

3. Kogalovskiy M. R. i dr. Glossariy po informatsionnomu obshchestvu [Glossary of the Information Society]. Moscow, Institute of the Information Society, 2009, 162 p.

4. Usynina A. A., Odland Jon 0yvind, Pylaeva Zh. A., Pastbina I. M., Grjibovski A. M. Arkhangelsk County Birth Registry as an Inportant Source of Information for Research and Healthcare. Ekologiya cheloveka [Human Ecology]. 2017, 2, pp. 58-64. [In Russian]

5. Aldrich J. Correlation Genuine and Spurious in Pearson and Yule. Statistical Science. 1995, 10 (4), pp. 364-376.

6. Bowers D. Medical Statistics from Scratch. Chichester, England, John Wiley & Sons Ltd, 2008.

7. Crawley M. J. The R Book. 2nd ed. Wiley, 2013.

8. Faraway J. J. Linear Models with R. N Y, Chapman & Hall/CRC, 2005.

9. Hut I. 2017. Correlation Tests, Correlation Matrix, and Corresponding Visualization Methods in R. Available

from: https://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/240 657_5157ff98e8204c358b2118fa69162e 18.html (accessed: 10.09.2018).

10. Kabacoff R. I. R in Action. Data analysis and graphics with R. 2nd ed. ShelterIsland, N Y, Manning Publications, 2015.

11. Logan M. Biostatistical Design and Analysis Using R: A Practical Guide. Wiley-Blackwell, 2010.

12. Prabhakaran S. 2017. How to Detect Heteroscedasticity and Rectify It? Available from: https://datascienceplus.com/ how-to-detect-heteroscedasticity-and-rectify-it/ (accessed: 10.09.2018).

13. STAT501, PennState. 2018. Regression Analysis. Available from: https://newonlinecourses.science.psu.edu/ stat501/ (accessed: 10.09.2018).

14. STHDA. 2016. Correlation Analyses in R. Available from: http://www.sthda.com/english/wiki/correlation-analyses-in-r (accessed: 10.09.2018).

15. Tufte E. R. The Cognitive Style of Powerpoint: Pitching Out Corrupts Within. Cheshire, Connecticut, Graphics Press, 2006.

Контактная информация:

Гржибовский Андрей Мечиславович - доктор медицины, заведующий ЦНИЛ Северного государственного медицинского университета, г. Архангельск; профессор Северо-Восточного федерального университета, г. Якутск; визитинг-профессор Казахского национального университета им. Аль-Фараби, г. Алматы, Казахстан и Западно-Казахстанского государственного медицинского университета им. Марата Оспанова, г. Актобе, Казахстан; почетный доктор Международного казахско-турецкого университета, г. Туркестан (Казахстан); почетный профессор Государственного медицинского университета г. Семей (Казахстан)

Адрес: 163000 г. Архангельск, Троицкий пр., д. 51

E-mail: Andrej.Grjibovski@gmail.com