7ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАКОНОВ ФИЛЬТРАЦИИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД, ПРОЯВЛЯЮЩИХ МОНОКЛИННУЮ СИММЕТРИЮ
ФИЛЬТРАЦИОННЫХ СВОЙСТВ
1 2 В.М. Максимов , Н.М. Дмитриев ,
1 - ИПНГ РАН, 2 - РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, e-mail: vmaks@ipng.ru, dmnrgu@gmail.ru
Из экспериментальных данных известно, что диапазон скоростей жидкости, в котором справедлив линейный закон фильтрации - закон Дарси, связывающий векторные поля скорости фильтрации и градиента фильтрационного давления, ограничен сверху и снизу [3, 4]. Верхняя граница применимости закона Дарси обусловлена проявлением инерционных сил при больших скоростях фильтрации, а нижняя - физико-химическими эффектами взаимодействия жидкости с пористой средой и неньютоновскими реологическими свойствами жидкости [5, 6]. Однако до настоящего времени при построении нелинейных законов фильтрации рассматривались, как правило, изотропные пористые среды и лишь в [7] рассматривались законы фильтрации для ортотропных сред. В то же время хорошо известно, что реальные грунты и коллекторы углеводородного сырья обладают анизотропией, которая может обладать любой симметрией фильтрационных свойств [4-6]. Поэтому ниже рассмотрены варианты построения нелинейных законов фильтрации для пористых сред, проявляющих моноклинные фильтрационные свойства, которые также могут встречаться на практике, и их выявление обусловливается проведением комплексных лабораторных исследований, которые описаны ниже.
1. Основные положения и формулы. Макроскопическое описание фильтрационных течений основывается на допущении существования эффективных
векторных полей скорости фильтрации (вектора с компонентами W i ) и градиента фильтрационного давления (вектора с компонентами V tp ) и наличия связи между ними
скалярные параметры, характеризующие геометрию пустотного пространства пористой
среды и, возможно, жидкость, ±а— материальные тензоры, определяющие и задающие симметрию свойств, задающих фильтрационное сопротивление.
В теории фильтрации вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости в недеформируемой пористой среде считается, что свойства жидкости определяются лишь Ци р [2-5], поэтому в дальнейшем будем считать, что симметрия материальных
тензоров Та в равенстве (1.1) определяется и задается симметрией порового пространства.
Предположение о линейности зависимости (1.1) приводит к закону Дарси. Обобщение закона фильтрации в рамках предположения (1.1) на случай нелинейных связей для всех групп точечной симметрии было получено в [8, 9]. В работах дан общий вид векторных потенциалов и функций, совместимых с симметрией кристаллов и групп симметрии текстур. Однако приведенные соотношения задают потенциалы и нелинейные функции векторного аргумента только в декартовой системе координат. Поэтому в [10], используя базисные тензоры, полученные в [11], авторы все связи выписали в общем виде для произвольной системы координат.
Для пористых сред, проявляющих моноклинные фильтрационные свойства (группы симметрии 2, т, и 2:т) общий вид нелинейных законов фильтрации задается формулами [10]:
V гР = V ,р(2 •т) - у 4 п (2 к ^ — у 5 п к Б (2 к кь{2} (1.2)
V ,р = а . — у2с1 — 73В (2к^ у {т} (1.3) ViP = ViP(m • 2: т) — У4ПгкВ(2и{2^}, (1.4)
где Ь, В(2к)у, Пу - базисные тензоры [11], Уг — функции от главных инвариантов,
образованных сверткой базисных тензоров с вектором скорости фильтрации. Соответствующая группа симметрии указана рядом с формулой в фигурных скобках;
выражения Vгр(2 • т) и ^р(т • 2 : т) означают, что в правые части соотношений
для групп симметрии 2 и 2: т входят правые части равенств для групп симметрии 2 • т и т : 2 • т , которые имеют следующий вид:
VгР = — У1М — У2В(2и— У3{т^:т} (1.5)
Vi Р = — У 1Ьг — У 2В (2 и — У 3 МуМу {2т}, (1.6)
где, как и выше, Му - базисный тензор, а Уг- функции от главных инвариантов,
образованных сверткой базисных тензоров с вектором скорости фильтрации.
Выбранные в выписанном представлении базисные тензоры определяются равенствами
2 2 2
Цр) =^1е1 +^22е2 + Лзe3, Ц = Ц^Ц) , Ь = ез, О = ^ - 626!,
где е - орты кристаллофизической системы координат, ^аа - параметры
кристаллографической ячейки, произведения векторов и их степени понимаются как диадные, всюду в тексте по повторяющимся латинским индексам подразумевается суммирование, по повторяющимся греческим индексам суммирование не подразумевается.
Выбранные базисные тензоры содержат много параметров, в частности параметры кристаллографической ячейки, которые в теории фильтрации являются не только лишними, но и неопределимыми. Поэтому, воспользовавшись положением, высказанным в [11], выберем иные базисные тензоры:
2 2 2 , Л е1,е2,е1, е^ ез, Ь = е3, О.
Введем обозначения а = е1, с = е2 , тогда нелинейные законы фильтрации (1.2)-(1.6) перепишутся следующим образом:
V= V 1р(2 • т) - /4 [а1с] + с1а] - ¡ъЪ1а]ск^]^к {2} (1.7)
V ,р = - /1а, - /2 с, - /зЪЪ } {т} (1.8)
VгР = VlP(m • 2: т) - /4 (аС + с,а К {2:т} (1.9)
VгР = -/1ага]™] - /2сгс^1 - /3Ъ1Ъ^] {т2т} (1.10)
V гР = - /1ага]™]- - /2 сгс]™]- - /3 Ъг {2т} , (1.11)
где аг, сг, Ъ/ - компоненты ортов е1, е2 и ез соответственно, /г - произвольные функции от главных инвариантов, которые являются линейными комбинациями У/ .
2. Нелинейные законы фильтрации для пористых сред, проявляющих моноклинную симметрию фильтрационных свойств. Соотношения (1.7)—(1.11) задают общий вид нелинейных законов фильтрации для пористых сред, проявляющих моноклинную симметрию фильтрационных свойств. Для того, чтобы получить явный вид
нелинейных законов фильтрации, необходимо задать вид функций fi .
Обычно в теории фильтрации для изотропных пористых сред [1, 2] нелинейный закон фильтрации — формула Форхгеймера — представляется выражением, содержащим скорость фильтрации до второй степени включительно. Ранее, как правило, при проведении промысловых и лабораторных исследований априори считалось, что пористая среда изотропна. Поэтому можно положить, что и для анизотропных сред нелинейный закон фильтрации представляется выражением, содержащим скорость фильтрации до второй степени включительно. Группы симметрии 2 и т не содержат центра симметрии и
имеют отличный от нуля тензор третьего ранга. Поэтому для представления функций fi от инвариантов в законах (1.7) и (1.8) можно рассмотреть разложение в ряд соотношения (11):
VгР = — рПук^^к , (2.1)
где Г и Кгук — тензоры линейных и квадратичных фильтрационных сопротивлений, второго и третьего рангов соответственно. Тензоры симметричны относительно
перестановки индексов: Гу = Гуг и Кук = Кгку = Ккгу = Ккуг = Кугк = Кукг .
Соотношение (2.1) содержит скорость фильтрации до второй степени скорости фильтрации и поэтому, выписав тензоры третьего ранга в равенствах (2.1), простым
сравнением получим представление fi в законах фильтрации (1.7) и (1.8).
Тензор второго ранга Гу для всех групп симметрии моноклинной сингонии определяется формулой
Пу = гаау + Г22сгсу + Г33ЬгЬу + Г12(агСу + ауСг ) , (2.2)
где и гар — инвариантные компоненты тензора фильтрационных сопротивлений.
Тензор третьего ранга для группы симметрии 2, удовлетворяющий условиям перестановки индексов, имеет вид
Я/к = Я (] + 8ф] + 81кЪ1)+ +
+ Яз {аа]Ък + агакЪ + акаЪ )+ Я4 (сА + сгскЪ] + сксЪг)
+ Я, (а,] + аМ + аксА + акс]Ъг + а]сгЪк + а]скЪг),
а для группы симметрии т представляется соотношением
Я]к = (^к + %ка] + ^ка/ ) + Я2ага]ак +
+ Я3 (к + %кс] + ] ) + + Я4 (а]ск + агс]ак + сга]ак ) + + Я5 (с]ак + сга]ск + агс]ск ) + ЯбРгс]ск -
Сравнение равенства (1.7), с учетом равенства (1.11), и равенства (2.1) после
подстановки в него равенств (2.2) и (2.3) даст следующее представление функций // в нелинейном законе фильтрации для группы симметрии 2:
/1 = № + 2Р((1 + Я3 )ЪЛ > /2 = ^22 + 2Р(Я1 + Я4 )ЪЛ
2
/3 = Щ3ЪкЩ + Р[Я1М2 + (2Я1 + Я2 ХЪкЩ )2 + Я3 (аЛ )2 + Я4 (сЛ )2 ] (25) /4 = ^12 + Р2Я5ЪкМк, /5 = 2РЯ5 .
Сравнение равенства (1.8) и равенства (2.1) после подстановки в него равенств (2.2)
и (2.4) даст следующее представление функций // в нелинейном законе фильтрации для группы симметрии т:
/1 = М-(К]- + Г12с]М] )+ Р[(2Я1 + Я2 )(]] ^ + ] +
+ Р[3 + Я4 ) + Я } ]
/2 = М((( + )+Р[(2Я1 + Я5 ЪкЧ )] ) + 2(Я3 + Я ( )2 ]+ +р[ + 2Я4 ] )2 ] (26)
/3 = НТи + 2РЯ1а]М] + 2РЯ3скМк •
Группа симметрии 2: т содержит центр симметрии и имеет тензор третьего ранга,
тождественно равный нулю. Поэтому для представления функций fi воспользуемся рассуждениями, проведенными в [7]. Группа симметрии 2:т в качестве базисных
2 2 2
тензоров имеет тензоры ер ^ е3 . Инварианты, образованные ими с вектором скорости
фильтрации, представляются в виде , С^Су^^у, Ьру^^у . Так как в теории
фильтрации для изотропных пористых сред [1, 2] нелинейный закон фильтрации — формула Форхгеймера — представляется выражением, содержащим скорость фильтрации до второй степени включительно, для представления функций от инвариантов в законе (1.10) можно положить
/1 = Цг„ + PRl^¡a~a~щw~,Л = ИТ* + РЯ2д/ССу™^у,
(2.7)
/3=т3+Рк3л1ьгь
уWlWу
Г Я
где ' аа и — экспериментально определяемые константы.
Функции / в законах фильтрации (1.7) и (1.9) аналогичны, поэтому можно
положить, что
/4 = МГ12 + РЯ4ЬуWу . (2.8)
Равенства (1.7)—(1.9), в которых функции /г определяются равенствами (2.5)—
(2.8), задают нелинейные законы фильтрации для пористых сред с моноклинной симметрией фильтрационных свойств.
3. Анализ фильтрационных свойств в нелинейных законах фильтрации для пористых сред с моноклинной симметрией фильтрационных свойств. В рамках линейного закона фильтрации все три группы симметрии с моноклинной симметрией фильтрационных свойств описываются одним законом фильтрации и неразличимы между собой. С увеличением скорости фильтрации и нарушением закона Дарси каждой группе симметрии соответствует свой закон фильтрации. Рассмотрим, в чем состоит различие фильтрационных свойств в уравнениях (1.7)—(1.9) с видом функций, определяемым равенствами (2.5)—(2.8).
В анизотропных сплошных средах физические свойства зависят от направления. Поэтому в кристаллофизике для связей между векторными полями вводится понятие свойства вдоль заданного направления [12], которое для теории фильтрации определяется равенством
V гРП
Г
(п ) =
цм
(3.1)
где
Г (п) — фильтрационное сопротивление в направлении орта п
задающего
направление вектора скорости фильтрации, пг — компоненты орта, М — модуль вектора скорости фильтрации.
Подставив равенство (2.1) в соотношение (3.1), получим следующее представление нелинейного фильтрационного сопротивления в направлении орта п :
г (п )= ГуПпу + - Я ц
гукпгпупкМ
(3.2)
Для группы симметрии 2 свертка Ягукпгпупк имеет вид:
ЯЦкпгп,пк = 3Я1Ьгпг + Я2 (Ь1П1 )3 + 3Я3 (акЩ )2 Ь-П- +
+
3Я4 (гпг )2 ЬЛ + 6 Я5 )с у" у ^Л )
(3.3)
4 V г и к к 5
для группы симметрии т свертка равна:
Ягукпгпупк = 3Я1агпг + 3Я2 ^г )3 + 3Я3Сгпг +
+ 3Я4 (агпг )2 Скпк + 3Я5 (с,п, )2 аЛ + Я6 (сМ )3 •
(3.4)
4 V г г ' к к 5 V г г ' к к 6
Для группы симметрии 2: т квадратичная составляющая фильтрационного сопротивления определяется напрямую из определения (3.1):
Г
(п )= - (я
ц
аупу
+ Я,
Сп
+ Я3 |Ькпк|3 М +
+ — (Сгпг Хакпк ХЬ/п/ .
ц
(3.5)
3
3
Свертка ГуП1П]', линейная часть фильтрационного сопротивления, для всех групп симметрии одинакова и имеет вид
Гг]ПП] = Г11 ] У + Г22 (с]П] У + 2Г12а]П]сЛ + Г33 (Ъ]П] ^ . (3.6) Анализ выражений (3.3)-(3.5) показывает, что фильтрационные свойства во всех
равенствах проявляют асимметрию, для этих направлений г(п) : г(- п). В равенствах (3.3) и (3.5) асимметрия проявляется вдоль направлений, для которых
агпгскПкЪ] : 0 , при этом в равенстве (3.3) асимметрия фильтрационных свойств
проявляется и в направлении оси Ъ . В равенстве (3.4) асимметрия фильтрационных свойств проявляется вдоль осей X и У.
Сечение указательных поверхностей, задаваемых равенством (3.2) после подстановки в него равенств (3.3), (3.5) и (3.6) в направлениях, для которых
агпгскПкЪ] : 0 , приведено на фиг. 1 для группы симметрии 2, и на фиг. 2 - для
группы симметрии 2: т. Проявление асимметрии нелинейных фильтрационных свойств для группы симметрии 2 в направлении оси Ъ показано на фиг. 3. Нелинейные фильтрационные свойства для группы симметрии т проявляют асимметрию в плоскости ХУ. Сечение указательной поверхности, задаваемое равенством (3.2) после подстановки в него равенств (3.4) и (3.6), плоскостью ХУ приведено на фиг. 4.
Таким образом, для установления моноклинной симметрии фильтрационных свойств пористой среды можно рассмотреть следующую схему лабораторных исследований. После проведения исследований, описанных в [13], на полноразмерном керне и установления факта латеральной анизотропии будут установлены положения
Г
главных осей тензора коэффициентов фильтрационных сопротивлений у в законе Дарси, поэтому в качестве лабораторной системы координат далее выбирается главная,
орты которой направлены вдоль собственных направлений тензора .
Для проведения дальнейших гидродинамических лабораторных исследований из полноразмерного керна диаметром 10-12 см необходимо вырезать пять кернов стандартных размеров диаметром 3 см и длиной 3-5 см. Для моноклинной симметрии
фильтрационных свойств пористых сред оптимальные направления осей симметрии кернов следующие:
«« = (1,0,0), п(2>= (0,1,0), п(3) = (0,0,1), п(4> =
^Л/Эл/Эл/Э Л
чз , 3 , Зу
^ л/2 Л
V2 , 2 у
П (5 ) =
и Н1
,0
Далее можно произвести стандартное определение коэффициентов гц, Г22 и ^Зз в законе Дарси на образцах «(1), «(2), «(з) и измерить значение направленных
фильтрационных сопротивлений на образцах п(4), п(5) . Два последних измерения можно
назвать контрольными, так как эти значения могут быть получены теоретически по первым трем измерениям. Сравнение теоретических и экспериментальных значений позволит доказать тензорную природу коэффициентов фильтрационных сопротивлений в законе Дарси и оценить погрешности измерений.
Последующее лабораторное исследование на всех пяти образцах производится на скоростях фильтрации, при которых происходит нарушение закона Дарси. Измерения проводятся как в положительном, так и в отрицательном направлении оси симметрии керна. Тогда, если эффект асимметрии фильтрационных свойств наблюдается на образцах
«(3) и «(4), то пористая среда обладает моноклинной симметрией фильтрационных
свойств, соответствующей группе симметрии 2. Если эффект асимметрии
фильтрационных свойств наблюдается на образцах п\ ), п\2 и п( ), пористая среда обладает моноклинной симметрией фильтрационных свойств, соответствующей группе симметрии т. Если эффект асимметрии фильтрационных свойств наблюдается только на
образце п\ ), пористая среда обладает моноклинной симметрией фильтрационных
свойств, соответствующей группе симметрии 2:т или ортотропной симметрии, соответствующей группе симметрии 2:2. Если пористая среда обладает эффектом
(з)
асимметрии фильтрационных свойств только на образце « , пористая среда не обладает моноклинной симметрией фильтрационных свойств, а является ортотропной [7] и проявляет фильтрационные свойства с симметрией группы 2-т. И наконец, если ни на одном образце не наблюдается эффект асимметрии, то пористая среда обладает фильтрационными свойствами с симметрией группы т-2:т.
Заключение. В инвариантном тензорном виде выписаны нелинейные законы фильтрации для всех групп симметрии с моноклинными фильтрационными свойствами. Анализ фильтрационных свойств показал, что пористые среды с моноклинной симметрией фильтрационных свойств в нелинейных законах фильтрации проявляют асимметрию.
Проведен анализ фильтрационных свойств для всех трех групп моноклинной симметрии и показано, как с помощью лабораторных исследований можно установить моноклинную симметрию и различить группы моноклинной симметрии между собой.
Данные обобщения нелинейных законов фильтрации на анизотропные пористые среды имеют важное прикладное значение, так как реальные пористые коллекторы углеводородного сырья обладают, как правило, анизотропией фильтрационных свойств. В частности, учет анизотропии и асимметрии фильтрационных свойств на практике важен для оптимальной расстановки скважин и выбора направления проводки горизонтальных скважин.
Работа выполнена в рамках Программы Президиума РАН № 27.
ЛИТЕРАТУРА
1. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Каневская Р.Д., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. М.; Ижевск: Ин-т компьют. исслед. 2005. 496 с.
2. Scheidegger A.E. The Physics of Flow Though Porous Media. Toronto: Univ. Toronto Press, 1974. 353 p.
3. Barenblatt G.I., Entov V.M., Ryzhik V.M. Theory of Fluids' Flow Though Natural Rocks. Dortrecht etc.: Kluwer, 1990. 400 p.
4. Nikolaevskij V.N. Mechanics of Porous and Fractured Media. Singapore: World Scientific, 1990. 492 p.
5. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. 288 с.
6. Хейфец Л.И., Неймарк А.В. Многофазные процессы в пористых средах. М.: Химия, 1982. 320 с.
7. Дмитриев Н.М., Мурадов А.А., Семенов А.А. Нелинейные законы фильтрации для ортотропных пористых сред // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 5. С. 83-89.
8. Сиротин Ю.И. Тензорные функции полярного и аксиального вектора, совместимые с симметрией текстур // ПММ. 1964. Т. 28. № 4. С. 653-693.
9. Плешаков В.Ф., Сиротин Ю.И. Анизотропные векторные функции векторного аргумента // ПММ. 1966. Т. 30. № 2. С. 243-251.
10. Дмитриев Н.М., Максимов В.М. Нелинейные законы фильтрации для анизотропных пористых сред // ПММ. 2001.Т. 65. №. 6. С. 963-970.
11. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // ПММ. 1963. Т. 27. № 3. С. 393-417.
12. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1975.
680 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Фиг. 1. Сечение поверхности фильтрационных свойств плоскостью, проходящей через ось Ъ, и биссектрисой плоскости ХУ для группы симметрии 2
Фиг. 3. Сечение поверхности фильтрационных свойств плоскостью ХЪ для группы симметрии 2
Фиг. 2. Сечение поверхности фильтрационных свойств плоскостью, проходящей через ось Ъ, и биссектрисой плоскости ХУ для группы симметрии 2:m
Фиг. 4. Сечение поверхности фильтрационных свойств плоскостью ХЪ для группы симметрии m
