CC BY
9
УДК 004.02 DOI 10.24147/2222-8772.2021.3.39-52
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА БАЗИСА
ГРЁБНЕРА
С.Н. Чуканов1
д-р техн. наук, профессор, ведущий научный сотрудник, e-mail: [email protected]
И.С. Чуканов2 студент, e-mail: [email protected]
1 Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, Омск, Россия 2Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург, Россия
Аннотация. В работе рассматриваются методы оценивания устойчивости с помощью функций Ляпунова, применяемые для нелинейных систем. Для этой цели используются базисы Грёбнера. Предложен метод нахождения критических точек заданной нелинейной системы с функцией Ляпунова. Канонические соотношении нелинейной системы аппроксимируются полиномами компонент векторов состоянии и управления. Рассмотрено согласование сигналов ввода-вывода системы на основе построения базисов Грёбнера.
Ключевые слова: нелинейная система, функция Ляпунова, базис Грёбне-ра.
Введение
Большая часть динамических систем в технике и природе являются нелинейными динамическими системами. Канонические соотношении нелинейной системы можно аппроксимировать полиномами компонент векторов состояния и управления. Проверка устойчивости с помощью метода функций Ляпунова широко применяется к нелинейным системам.
В литературе есть несколько методов, позволяющих определить кандидатов на функции Ляпунова [1]:
• разложение суммы квадратов [2];
• использование базиса Грёбнера (Grobner basis) для выбора параметров [3];
• использование операторов гомотопии для декомпозиции векторного поля состояний системы [4,5];
предположение, что производная функции Ляпунова является отрицательно определённой, а затем получение путём интегрирования и проверка положительной определённости (градиентный метод) [6].
Базисы Грёбнера используются для решения задач теории нелинейных систем. Можно назвать некоторые из приложений базиса Грёбнера: оценивание равновесных состояний нелинейной системы; нахождение критических точек заданной нелинейной системы с функцией Ляпунова; согласование сигналов ввода-вывода системы.
Базисы Грёбнера облегчают решение системы многомерных полиномиальных уравнений так же, как алгоритм исключения Гаусса позволяет решить систему линейных алгебраических уравнений. При лексическом упорядочивании базис Грёбнера имеет треугольную структуру, напоминающую треугольную структуру в методе исключения Гаусса.
Теорию управления динамическими объектами можно разделить на две подгруппы [7]: (1) системы, в которых действует принцип суперпозиции, и можно использовать методы линейного управления; (2) системы, в которых не действует принцип суперпозиции, и необходимо использовать методы нелинейного управления. Для повышения качества работы системы управления динамическим объектом необходимо учитывать нелинейные особенности системы.
1. Базисы Грёбнера
Объектами в теории базисов Грёбнера являются полиномиальные идеалы и алгебраические многообразия [9]. Пусть р1,...,р3 — многомерные полиномы от переменных х1,...,хп, коэффициенты которых лежат в поле к (в дальнейшем будем рассматривать поле действительных чисел Е). Переменные х 1,..., хп счи таются «маркерами места» в полиноме: р1,...,р3 е ...,жп]. Алгебраическое многообразие, определяемое полиномами р1,...,р3 представляет собой совокупность всех решений в Ега) системы уравнений:
Р1 (х1,..., хп) = 0, р3 (Х1, ...,хп) = 0.
(1)
Формально
V(р1,...,р3) := {(а1,...,ап) е Е : Рг{х1, ...,хп) = 0,1 = 1,...,з} .
(2)
Полиномиальный идеал I, который порождается р1,...,р3, представляет собой набор полиномов, полученных объединением этих полиномов путём умножения и сложения с другими полиномами:
I = (р1,...,р3) :=
ь=±
I ¿=1
giPi : д1 е Е[жь...,хп]
}
(3)
Полиномы рг,1 = 1,...,^ образуют основу идеала I. Полезная интерпретация полиномиального идеала I заключается в терминах уравнений (3). Умножая дг на произвольные полиномы д^ е Е[ж1,...,жга] и складывая их, мы получаем
следствие из (1): f = gipi +...+gsps = 0 и f Е I. Следовательно, I = (pi, ... ,ps) идеал содержит все «полиномиальные следствия» уравнений (3).
В основе метода базиса Грёбнера лежит понятие мономиального упорядочения (моном — это полином, состоящий из одного члена), поскольку он вводит соответствующее расширение понятия главного члена и главного коэффициента, знакомых для одномерных полиномов, на многомерные полиномы. Можно определить множество различных мономиальных порядков. Для конкретности рассмотрим лексикографический или lex порядок [9]. Пусть а, [3 — два п — кортежа целых чисел (а = (а1, ...,ап), @ = (pi,...,pn) Е Nra). n-кортеж а следует за [3 (в lex порядке), что обозначается как а У если в разности векторов а — [3 = (а1 — /31,... ,ап — рп) крайний левый ненулевой элемент положительный. Очевидно, что можно определить п\ различных lex) порядков для полиномов от п переменных. Для полинома f = xfх2х3> + 2x3x4 использование lex
3 3 3 4
порядка х\ У х2 У х3 приводит к тому, что Х3Х2Х3 следует за х\х4, так как мультистепени мономов удовлетворяют (3,1, 3) У (3,0,4). При таком порядке старший (leading) коэффициент и старший (leading) член соответственно равны LC(f) = 1 и LT(f) = х\х2х3. При использовании lex порядка х3 У х2 У х1 старший член LT (f) = 2x3tx4, так как (4,0, 3) У (3,1, 3).
Идеал I не имеет уникального базиса, но для любых двух различных базисов (pi,...,ps) и (gi,...,gm) идеала I, многообразия V(pi,...,ps) и V(gi,...,gm) равны; многообразие зависит только от идеала, порождённого его определяющими уравнениями. Если все полиномы в данном базисе идеала имеют степень ниже, чем степень любого другого полинома в идеале, то этот базис является простейшим. Для идеала I и заданного мономиального порядка обозначим множество главных членов элементов I как LT(I). Идеал, порождённый элементами из LT(I), обозначим (LT(I)). Базис Грёбнера формально определяется как набор полиномов gi,...,gm, для которых (LT(I)) = (LT(gi),...,LT(gm)). При вычислении базисов Грёбнера задаётся мономиальный порядок. Отметим два свойства базисов Грёбнера при заданном мономиальном порядке:
1. Каждый идеал I С R[xi, ...,жп], отличный от тривиального (0), имеет базис Грёбнера.
2. Для идеала I С R[xi, ...,жп], отличного от тривиального (0), базис Грёбнера идеала I может быть вычислен с помощью конечного числа алгебраических операций.
Для заданного множества полиномов Р существует алгоритм, который вычисляет базис Грёбнера для (идеала, порождённого) Р за конечное число шагов [11] . Алгоритм Бухбергера обобщает алгоритмы: исключение Гаусса для системы линейных алгебраических уравнений и алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя множества одномерных полиномов. Этот алгоритм был реализован на компьютерах: в программах символьных вычислений используют базисы Грёбнера для решения систем полиномиальных уравнений [12-14].
2. Нахождение равновесных состояний нелинейной динамической системы
Использование базиса Грёбнера при нахождении решений нелинейной системы полиномиальных уравнений аналогично применению метода Гаусса решения квадратной системы линейных уравнений. Рассмотрим пример приведения нелинейной системы полиномиальных уравнений:
Pi = х\ — х22 = 0,
Р2 = Х2 + х\ = 0, р3 = х3 — 2х\ = 0
к треугольной форме с использованием метода базиса Грёбнера при хх У х2 У х3. В пакете WOLFRAM MATHEMATICA вызов функции GroebnerBasis[{p1,p2,p3}, {х1,х2,х3}, {}] приводит к треугольной форме Гаусса полиномиальных уравнений: х\ — х\ = 0, х2 + х\ = 0, —х3 + 2х\ = 0, что позволяет получить решение этой системы.
Рассмотрим нелинейную систему без входов x(t) = f(x(t));x,f E Rra,t E R, где f (x) = 0 вектор полиномов от x. Равновесные состояния для этой полиномиальной системы получаются как решения нелинейной системы полиномиальных уравнений: f (х) = 0.
Пример 1
Равновесные состояния полиномиальной системы [9]
Х\ = Х\ + Х2 — х^2,
X 2 = X2 + Х2 — Х3, X 3 = —Х\ + х\ + Хз,
могут быть получены как решения системы полиномиальных уравнений
Pi := Х\ + х2 — х2 = 0, р2 := х\ + х2 — х3 = 0, р3 := —Х\ + х"2 + х3 = 0.
Базис Грёбнера для идеала (р\,р2,р3) с использованием lex порядка: х\ У х2 У х3 имеет вид:
:= 4хх — 2x2 — 4x3 + х\ + х6, g2 := —х"2 + х\ — 2х2 + 2х^2, Q3 := Х\ + х2 + Х2 + х\, дА := —х2 — Х2 + Х3.
Алгебраические уравнения gi = 0,i = 1,2, 3,4 имеют те же решения, что и Pj = 0,j = 1,2, 3. Полином д4 зависит только от х3; из алгебраического уравнения д4(х3) = 0 можно определить х3. Если численное значение х3 подставить в д3(х2,х3) = 0, то можно определить х2; из g2(xi,x2,x3) = 0 можно определить
Х\.
В пакете WOLFRAM MATHEMATICA: Сформируем идеал полиномов:
р1 = х1 + х2 — х32; р2 = х12 + х2 — х3; р3 = —х\ + ж22 + ж3.
Определим базис Грёбнера: grbas = GroebnerBasis[{p1,р2,р3}, |ж3, х2, х1}, {}] grbas = {4ж1 — 2х12 — 4ж13 + х14 + х16, —х12 + х14 — 2x2 + 2ж12ж2, —ж1 + х12 + ж2 + х22, —х12 — ж2 + ж3}.
Для нахождения корней х\ определим редуцированный базис Грёбнера:
grbas = GroebnerBasis [{р1,р2,р3} , {ж3, х2, х1} , {ж3, х2}} , grbas = {4ж1 — 2х12 — 4ж13 + х14 + ж16} .
Выполним: Roots[4x1 — 2х12 — 4ж13 + ж14 + х16 == 0,ж1]. Для нахождения корней х2 при известных х\ определим редуцированный базис Грёбнера:
grbas = GroebnerBasis [{р1,р2,р3} , {ж3, х2, х1} , {ж3}] , grbas = {—х1 + х12 + х2 + ж22} .
Выполним: Доо£з[—х1 + ж12 + ж2 + х22 == 0,ж2]. Для нахождения корней х3 при известных х\,х2 выполним: Roots[—x12 — х2 + ж3 == 0,ж3]. Результаты приведены в таблице 1.
Таблица 1. Корни х\,х2, х3
X2 Хз
Solution 1 : ^ = -1, X2 = 0.5 - 1.32г, хз = 0.5 - 1.32г,
Solution 2 : x1 = 0, X2 = 0, хз = 0,
Solution 3 : x1 = 1, Ж2 = 0, Хз = 1,
Solution 4 : ^ = 1.18, ж2 = -0.69, ж3 = 0.70,
Solution 5 : x1 = -0.59 - 1.74г, ж2 = -2.35 + 1.03г, ж3 = -5.04 + 3.09г,
Solution 6 : x1 = -0.59 + 1.74г, x2 = 1.35 - 1.03г, ж3 = -1.35 - 3.09г,
Solution 7 : x1 = -1, ж3 = -0.5 + 1.32г, ж3 = 0.5 + 1.32г,
Solution 8 : ^ = 0, Х2 = -1, Х3 = -1,
Solution 9 : x1 = 1, Х2 = -1, Х3 = 0,
Solution 10 Ж1 = 1.18, Ж2 = -0.31, Ж3 = 1.08,
Solution 11 X1 = -0.59 - 1.74г, х2 = 1.35 - 1.03г, Ж3 = -1.35 + 1.03г,
Solution 12 X1 = -0.59 + 1.74г, Ж2 = -2.35 + 1.03г, Ж3 = -5.04 - 1.03г.
□
3. Применение метода базиса Грёбнера в теории метода функций Ляпунова
3.1. Оценка области притяжения
Множество всех начальных условий динамической системы, которые сходятся к одному и тому же состоянию равновесия, называется областью притяжения этого состояния равновесия [3,10]. Один из способов получения оценки области притяжения — использование функции Ляпунова.
Стандартный результат теории Ляпунова состоит в том, что если х = 0 — точка равновесия для системы с непрерывным временем х = f (х),х Е D с Rra, представляет собой область, содержащую х = 0 и V : D ^ R является такой непрерывно дифференцируемой функцией Ляпунова, что V(0) = 0 и V(х) > 0,V = Vxf(х) < 0,Ух Е D — {0}, тогда точка х = 0 асимптотически устойчивая. Для такой функции Ляпунова рассмотрим множества П = {х Е R : Vxf (х) < 0} и Bd = {х Е R : V(х) ^ d}. Если существует такое значение d > 0, что Bd с П, то множество Bd является оценкой области притяжения.
Для полиномиальных систем с полиномиальной функцией Ляпунова V можно использовать базис Грёбнера для определения Bd. Можно определить наибольшее Bd нахождением такого d, что Bd с П. Для полиномиальных систем с полиномиальными функциями Ляпунова, V(х) — d и Vxf (х) являются полиномами и границы множеств Bd и П многообразиями Z(V — d) и Z(Vxf(х)) соответственно. В точках соприкосновения Z(V — d) и Z(Vxf(х)) градиенты V и Vxf (х) параллельны [8]. Используя эту информацию, получаем систему п + 2 полиномиальных уравнений от п + 2 переменных (х\,... , хп, d, А), где А — множитель Лагранжа (см. Приложение):
V — d = 0,
Vxf = 0, (4)
V(Vxf) — AW = 0.
В случае вектора множителей Лагранжа А = (Ai,...,Am)T е Rm получим систему из п + т + 1 уравнений от п + т + 1 переменных х\, ...,xn,d,X\,..., \т.
Вычисляя базис Гребнера для указанной системы, где переменная d имеет наименьший ранг в lex порядке, получаем полиномиальное уравнение для d. Наименьшее положительное решение этого уравнения (значение dmin > 0), — наилучшая оценка области притяжения.
Пример 2
Рассмотрим систему второго порядка:
х = f(х) = ^ 2 у —х2 + 2х\х2 J
и выберем функцию Ляпунова V(х) = хт [ ) х = 4^2 + 4х\х2 + 3x2, сле-
/ 8xi + 4x2 \ у 4;Ti + 6^2 у
довательно, Vx = ( 1 + 2 ) . Возьмём производную
+ 6^2
V = Vxf = —8x1 + 12x^2 — 8х1х2 + 8^1 х2 — 6^2. Тот факт, что градиенты параллельны (V( Vxf) — A ■ VV = 0), даёт дополнительные уравнения:
g1 = 8ж1 + 4х2 — A(—16х1 + 12x2 — 8х2 + 16х1х'2), д2 = 4х1 + 6ж2 — А(36ж1ж2 — 8ж1 + 16ж2 х2 — 12х2).
Вычислим базис Грёбнера для четырёх полиномов {V — d,Vx f, g1, д2} при упорядочивании: d х1 < A < х2.
Это редуцирует систему к полиному: 4d4 —147d3+768d2+2048d, что приводит к значениям корней j 0 29.71 —1.92 8.97 } . Наименьшее ненулевое положительное значение d, для которого существует решение системы, d ~ 8.97. В пакете WOLFRAM MATHEMATICA: Vd = 4х12 + 4x1x2 + 3х22 — d; Vxf = —8ж12 — 8x1x2 — 6ж22 + 8х12х22 + 12ж1;г23; д1 = 8ж1 + 4 х2 — I am(—16x1 — 8ж2 + 16ж1ж22 + 12х23); д2 = 4ж1 + 6ж2 — I am(—8x1 — 12ж2 + 16х12х2 + 36х1х22). д rba s = GroebnerBas is[{Vd, Vxf, g1, g2}, {d,x1, lam, x2}, {x1, lam, x2}}, grbas = {2048d + 768d2 — 147d3 + 4d4} ,
Roots[2048d + 768d2 — 147d3 + 4d4 ==0,d] ^ d={0 29.71 —1.92 8.97 } .
□
3.2. Декомпозиция векторного поля динамической системы х = f(x)
Для динамической системы: х = f(x);x е Мга, /(ж) е R,/(0) = 0, сформи-
д
руем векторное поле X = f(x) —. Сформируем соответствующую дифференци-
дх
д
альную форму ш = f(x)dx в дуальном базисе (dxi,-— j = Sij. Построим из
векторного поля X скалярный потенциал применением оператора гомотопии с центром в точке х0 = 0 для формы ш = f(x)dx [4,5]:
Н(ш) = ) I (Z(A^)dx) dA = jfxT/(Ax)dA.
Будем считать ip(x) = Нш(ж) скалярным потенциалом. Пример 3
Рассмотрим пример динамических уравнений:
ОС 1 — Х1 I X 2, 2
X 2 — —^2 — Х1.
Построим дуальную дифференциальную форму:
Ш = ( —Х\ + х2) ¿Х\ + (—Х2 — х1) ¿х2,
к которой применим оператор гомотопии с х0 = 0 :
<(x) = ИИ*)) = } xTf (\х) d\ = } (Xl х2 )( JXl + f2Xl2 ) d\
0 0 \ ЛХ2 /\ X i J
2{x2 + x2) + 3
— 7Г (xl + X2,) + ~z(XiX2 — X2XX\).
Выберем в качестве скалярной функции Ляпунова функцию:
V(x) = —6 • <(x) = 3(x1 + x2) + 2 (x1x2 — x2x2) ,
V = Vxf = ( 6xi + 2x2 — 4xiX2 6x2 — 2x2 + 4xiX2 ) ( Xl + ^ )
- x2 - xl
= —6x1 — 6x2 — 6x2x1 + 6x^x2.
Найдём решение системы V_d = V(x) — d = 0 в пакете WOLFRAM MATHEMATICA:
V _d = 3x2 + 3x2 + 2x2x1 — 2x2x2 — d,
Vxf = —6x2 — 6x2 — 6x^x1 + 6x"^x2,
g1 = 6x1 + 2x2 — 4x1x2 + I am(—\2x1 — 6x2 + 12x1x2),
g2 = 6x2 + 4x2x1 — 2x2 + I am(—\2x2 — 12x2x1 + 6x2),
grb = GroebnerBasis[{V_d, Vx f, g1, g2} , [d, x1, lam, x2} , {x1, lam, x2}},
grb= [54d — 29d2 + d3} .
Корни полинома 54 d — 29d2 + d3 : d1 = 0, d2 = 2, d3 = 27. Наименьшее ненулевое положительное значение d, для которого существует решение системы, dmin = 2.
3.3. Градиентный метод нахождения функции Ляпунова [6]
Метод состоит в том, чтобы сначала предположить, что V является отрицательно определённой, а затем получить V путём интегрирования. Если V положительно определена, можно определить устойчивость системы. Рассмотрим нелинейную систему
X = f(x);x,f Е Rra, f(0) = 0. (5)
Предполагаемая функция Ляпунова V = V(x); то есть V = Vx • f(x). Пусть Vj = W, где вектор W удовлетворяет условию
Тогда функцию V можно найти как интеграл V = / Ух(1х = / Шт(1х; так как
о о
это интеграл не зависит от пути интегрирования, то
х1 хп
V = J W1( Т1, 0,..., 0)( т\ + ••• + I Шп(х!,...,х п— \ , хп ) (Тп. оо
(7)
Необходимо выбрать такую функцию V, чтобы V, получаемая из (7), была положительно определённой; тогда состояние равновесия х = 0 системы (5) устойчиво.
Рассмотрим метод градиента переменных. С помощью этого метода можно найти функцию Ляпунова, предположив, что W = VXт = Вх, где В = (Ь^) необходимо определить; Ъ^ может быть функцией от х, причём Ъ^(х) = Ъ^г(х). Выбор В = (Ъ^) должен обеспечивать выполнение условия (6) и хтВт/(х) должна быть положительно определённой.
Если /(х) = А(х)х, то V принимает вид V = хтН(х)х, где Н(х) = ВтА(х). Для матрицы Н(х) выбирается условие
{
(кгг < 0) V (кгг ^ 0) , к-гз + = 0; ъ = 1, . . . ,п,
(8)
чтобы гарантировать, что V является отрицательно определённой. Функцию V(х) можно определить интегралом (7) и проверить, является ли она положительно определённой.
Пример 4
Рассмотрим систему
10
х
то есть А(х) = Тогда из Н(х) = Вт ■ А(х)
1
х 1 = — х1, х 2 = — х2 + х\,
Предположим, что W
11 12 21 22
' Ьц 21 —1 0
12 22 х21 —1
и (8) следует:
(22)
1-11 = — Ьц + Ь21х1 < 0, 1122 = — Ь22 < 0, Ъу2 + 121 = — Ь21 — Ьи + Ь22х\
Ь22 > 0, Ьц > 0, Ъ21х\ < Ьц, Ь21 = — Ь12 + Ъ22х\.
Выбирая Ь11 = Ь22 = 1, Ь12 = 5, получим Ь21 = — 5 + х\ и
0.
W
15 —5 + х? 1
(::)-(
х1 + 5х2 —5х1 + х1 + х2
)
Определим функцию V
V = WTf (х)=( Xl + 5Х2 ) ( Xl Л = —х2 - 5х\ + х\-х\ \ -5xi + xl + х2 } \ -х2 + xl I
Выполняя интегрирование, получаем
Х1 Х2
V = f (Ti + 5 * 0)dri + f (—5xi + xf + r2)dr2 =
1 0 0 1 = 2х1 + (-5х1 + х\)х2 + ^х\.
В пакете WOLFRAM MATHEMATICA:
V _d = х1 + 2(—5х2 + х\)х2 + х2 — d,
V f = —х2 — 5х4 + х6 — х2
VxJ — ^ i ^ i ш i Jb 2 )
gl = 2х1 + 2(—5 + 3.х21)х2 + 1ат(—2х1 — 20х\ + 6x5), д2 = 2(—5х2 + х\) + 2х2 + I ат(—2х2 ),
grb = GroebnerBasis[{V_d, Vxf, gl, g2} , {d, xl, 1ат, x2} , {xl, 1ат, x2}}. В результате получим полином
{235480000d + 2221000d2 + 382824.84.7d3 — 112046495d4+ +59328l6d5 + ll7990d6 + 656ld7},
корни которого: di = 0.0, с2 = 4.99, d3 = 9.28, d4y5 = — l6.04 ± 32.48i, d6j = —0.09 ± 0.76i. Наименьшее ненулевое положительное значение d, для которого существует решение системы, dmin = 4.99.
4. Преобразования сигналов ввода-вывода нелинейной системы
Рассмотрим дифференциальное кольцо — кольцо, на котором определена операция дифференцирования. Предполагается, что дифференцирование осуществляется по неявной переменной Ь. Дифференциальный идеал — это идеал, замкнутый относительно дифференцирования.
Полиномиальная система в пространстве состояний — это система дифференциальных уравнений
х 1 = ¡г(х,и), ...,хп = ¡П(х,п),у = к(х,и),
где к, ^ е Е[х, и],Уi.
Таким образом, каждая полиномиальная система в форме пространства состояний соответствует дифференциальному идеалу в Е[х,и, у] :
I = [у1, ... ,У - к],
где у = ссг - (х, и), г = 1,... ,п.
Задача преобразования из пространства состояний в форму ввода-вывода: пусть — дифференциальный идеал; найти генератор для дифференциального идеала I П Щи, у].
Пример 5
Предположим, что необходимо найти дифференциальную связь между и и у из описания в пространстве состояний системы:
х 1 = — 2х1 + х"2; х2 = — х1х2 + и; у = х2.
Дифференцируя уравнения системы по t и заменяя i-i на fi, получим:
gi = у — х2; д2 = у — (и — х1х2); дз = У — (U — (х2 — 2х1)х2 — ц(и — х1 х2)).
Заменим у ^ у0,у ^ Ш,у ^ у2,и ^ и0,U ^ и1 в gi, вычислим базис Грёб-нера G для (у0 — х1, у1 — и0 + х1х2, у2 — и1 + (х2 — 2х1 )х2 + х1(и0 — х1х2)) относительно lex порядка и0 — и1 — у0 — у1 — у2 — х1 — х2.
Следовательно, входные сигналы u,U и выходные сигналы у, у,у связаны выражением (—2и — U + 2у + у + уу)у3 + (—3и0 + 3иу — у2)у + и§. В пакете WOLFRAM MATHEMATICA: gl = yü — х1, д2 = у1 — uü + х1 * х2,
д3 = у2 — и1 + (х22 — 2 * х1) * х2 + х1 * (и0 — х1 * х2). g rbas = GroebnerBasis[{g 1, д2, д3} , {и0, и1, yü, у1, у2, х1, х2}, {х1, х2}],
д rba s = (—2и0 — и + 2у 1 + у2 + У0У1) У3 + (—3и^ + 3щу1 — у^) У1 + и0. □
Пример 6
Рассмотрим метод нахождения наблюдаемости компонент вектора состояния системы на основе построения редуцированного базиса Грёбнера. Выберем систему из примера 5. Предположим, что необходимо найти влияние вариации компоненты вектора состояния х1 на выходной сигнал . Дифференцируя уравнения системы по t и заменяя хс^, на fc, получим полиномы д1, д2, д3, аналогичные полиномам примера 5, при отсутствии и, и. Заменим у ^ у0, у ^ у1,у ^ у2 в gi, вычислим базис Грёбнера G для (у0 — х1, у1 +х1х2, у2(х22 — 2х1)х2 — х2х2) относительно lex порядка у0 — у1 — у2 — х1 — х2. В пакете WOLFRAM MATHEMATICA:
91 = У0 — х2,
92 = У1 + х1х2,
93 = У2 + (х2 — 2х1) х2 — х\х2.
Редуцированный базис Грёбнера с исключением х2 д rba s = GroebnerBas is [{д1, д2, д3} , {х1,х2, у0, у1, у2} , {х2}]. Один из полиномов полученного редуцированного базиса Грёбнера хт + У1 = 0 ^ х1у + у = 0, откуда можно найти выражение вариации 8х1
5хyd + у = 0 ^ 8х1 = у-1 у, if у = 0. □
Заключение
В работе рассмотрены методы оценивания устойчивости с помощью функций Ляпунова, применённые для нелинейных систем. Канонические соотношения нелинейной системы аппроксимируются полиномами компонент векторов состояния и управления. Для оценивания устойчивости используются базисы Грёбнера. Предложен метод нахождения критических точек заданной нелинейной системы. Рассмотрено согласование сигналов ввода-вывода системы на основе построения базисов Грёбнера.
Приложение [8, ch. 11]
Введём векторнозначные функции h = (h\,...,hm) и запишем общие задачи нелинейного программирования как минимизирующие f(x) при h(x) = 0,х Е Ü. Ограничения h(x) = 0 называются функциональными ограничениями. Точка х Е Ü, удовлетворяющая всем функциональным ограничениям, называется допустимой. Введём подпространство М = {у : Vh(x*)у = 0} и исследуем, при каких условиях М есть касательная плоскость в точке х*.
Точка х*, удовлетворяющая ограничениям h(x*) = 0, называется регулярной точкой ограничения, если векторы градиента Vh\(x*),..., Vhm(x*) линейно независимы. Если функции h аффинные (h(x) = А • x + b), то регулярность эквивалентна условию rank(A) = т, независимо от x. В регулярной точке x* поверхности S, определяемой выражением h(x) = 0, касательная плоскость равна М = {у : Vh(x*)y = 0} .
Пусть x* — регулярная точка ограничений h(x) = 0 и точка локального экстремума функции с учётом этих ограничений. Тогда для у Е Rra, удовлетворяющих Vh(x*)y = 0, должно выполняться V f (x*)y = 0. Это означает, что Vf (x*) — линейная комбинация градиентов Vh в x*; отношения приводят к необходимости введения вектора множителей Лагранжа А.
Пусть x* — локальная точка экстремума функции с учётом ограничений h(x) = 0. Тогда существует такой вектор множителей Лагранжа А е Rm, что V f (x*) + АТ Vh(x*) = 0.
Необходимые условия первого порядка V f(x*) + АтVh(x*) = 0 вместе с ограничениями h(x*) = 0 дают п + т уравнений с п + т переменными x*,A. Введём лагранжиан l(x,A) = f(x) + АТh(x). Тогда необходимые условия могут быть выражены в форме Vxl(x,X) = 0, V\l(x,X) = 0.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН № I.5.1, проект № 0314-2019-0020.
Литература
1. Krasovsky N.N. Problems of the Theory of Stability of Motion. English translation by
Stanford University Press, 1963. Mir, Moskow. 1959. 211 p.
2. Papachristodoulou A., Prajna S. On the construction of Lyapunov functions using the sum of squares decomposition // Proceedings of the 41st IEEE Conference on Decision and Control. Vol. 3. IEEE. 2002. P. 3482-3487.
3. Forsman K. Construction of Lyapunov functions using Grobner bases // Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control. IEEE. 1991. P. 798-799.
4. Chukanov S.N., Ulyanov D.V. Decomposition of the vector field of control system by constructing a homotopy operator // Probl. Upr. 2012. No. 6. P. 2-6.
5. Edelen D.G.B. Applied Exterior Calculus. N.-Y. : John Wiley & Sons, Inc. 1985. 472 p.
6. Liao X., Wang L., Yu P. Stability of Dynamical Systems. Elsevier, 2007. 706 p.
7. Khalil H.K. Nonlinear systems. Prentice Hall, 2002. 750 p.
8. Luenberger D.G., Ye Y. Linear and nonlinear programming. Springer, 2016. 546 p.
9. Nesic D., Mareels I.M.Y., Glad S.T., Jirstrand M. Software for control system analysis and design: Symbol manipulation // In Encyclopedia of Electrical Engineering J. Webster. Ed. New York : Wiley, 2001. 22 p.
10. Sidorov N.A., Sidorov D.N., Li Y. Basins of attraction and stability of nonlinear systems equilibrium points. Differential Equations and Dynamical Systems. Springer, 2019. P. 1-10.
11. Buchberger B. Ein algorithmisches Kriterium fur die Losbarkeit eines algebraischen Gleichungssystems // Aequationes Muthematicae. 1970. No. 4. P. 374-383.
12. Awange J., Palancz B., Lewis R.H., Vlgyesi L. Mathematical Geosciences — Hybrid Symbolic-Numeric Methods. Springer International Publishers, 2018. 596 p.
13. Demenkov M. A Matlab tool for regions of attraction estimation via numerical algebraic geometry // In Mechanics — Seventh Polyakhov's Reading. 2015 International Conference. 2015. P. 1-5.
14. Wolfram S. The Mathematica Book. Wolfram Media, Champaign, IL, 2003. 1301 p.
15. Cox D., Little J., O'Shea D. Ideals, Varieties, and Algorithms. Springer, 2013. 646 p.
INVESTIGATION OF NONLINEAR POLYNOMIAL SYSTEMS USING THE GROBNER BASIS METHOD
S.N. Chukanov1
Professor, Dr.Sc. (Technical), Leading Researcher, e-mail: [email protected]
I.S. Chukanov2
Student, e-mail: [email protected]
1Sobolev Institute of Mathematics, Omsk branch, Russia 2Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin,
Ekaterinburg, Russia
Abstract. The paper discusses methods for estimating stability using Lyapunov functions, which are used for nonlinear systems. For this purpose, Grobner bases are used. A method for finding the critical points of a given nonlinear system with a Lyapunov function is proposed. The canonical relations of a nonlinear system are approximated by polynomials of the components of the state and control vectors. The coordination of input-output signals of the system based on the construction of Grobner bases is considered.
Keywords: nonlinear system, Lyapunov function, Grobner basis.
References
1. Krasovsky N.N. Problems of the Theory of Stability of Motion. English translation by Stanford University Press, 1963, Mir, Moskow, 1959, 211 p.
2. Papachristodoulou A. and Prajna S. On the construction of Lyapunov functions using the sum of squares decomposition. Proceedings of the 41st IEEE Conference on Decision and Control, Vol. 3, IEEE, 2002, pp. 3482-3487.
3. Forsman K. Construction of Lyapunov functions using Grobner bases. Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control, IEEE, 1991, pp. 798-799.
4. Chukanov S.N. and Ulyanov D.V. Decomposition of the vector field of control system by constructing a homotopy operator. Probl. Upr., 2012, no. 6, pp. 2-6.
5. Edelen D.G.B. Applied Exterior Calculus. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1985, 472 p.
6. Liao X., Wang L., and Yu P. Stability of Dynamical Systems. Elsevier, 2007, 706 p.
7. Khalil H.K. Nonlinear systems. Prentice Hall, 2002, 750 p.
8. Luenberger D.G. and Ye Y. Linear and nonlinear programming. Springer, 2016, 546 p.
9. Nesic D., Mareels I.M.Y., Glad S.T., and Jirstrand M. Software for control system analysis and design: Symbol manipulation. In Encyclopedia of Electrical Engineering J. Webster. Ed., New York, Wiley, 2001, 22 p.
10. Sidorov N.A., Sidorov D.N., and Li Y. Basins of attraction and stability of nonlinear systems equilibrium points. Differential Equations and Dynamical Systems. Springer, 2019, P. 1-10.
11. Buchberger B. Ein algorithmisches Kriterium fur die Losbarkeit eines algebraischen Gleichungssystems. Aequationes Muthematicae, 1970, no. 4, pp. 374-383.
12. Awange J., Palancz B., Lewis R.H., and Vlgyesi L. Mathematical Geosciences — Hybrid Symbolic-Numeric Methods. Springer International Publishers, 2018, 596 p.
13. Demenkov M. A Matlab tool for regions of attraction estimation via numerical algebraic geometry. In Mechanics — Seventh Polyakhov's Reading, 2015 International Conference, 2015, pp. 1-5.
14. Wolfram S. The Mathematica Book. Wolfram Media, Champaign, IL, 2003, 1301 p.
15. Cox D., Little J., and O'Shea D. Ideals, Varieties, and Algorithms. Springer, 2013, 646 p.
Дата поступления в редакцию: 17.07.2021
