Упрощение систем полиномиальных уравнений и базисы Грёбнера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Васильев Николай Николаевич

УПРОЩЕНИЕ СИСТЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И БАЗИСЫ ГРЁБНЕРА

От редакции: статья является продолжением статьи «Как компьютер помогает упрощать алгебраические уравнения, или немного о базисах Грёбнера», опубликованной в предыдущем номере журнала. В первую часть статьи не вошли важные более сложные вопросы обсуждаемой темы, которые включены в данную статью. Также в статью вошли примеры автоматизации доказательства геометрических теорем и вывода сложных формул, основанные на теории базисов Грёбнера.

В предыдущей статье мы познакомились с методами упрощения систем полиномиальных уравнений и пришли к понятию базиса Грёбнера полиномиального идеала. Сейчас мы обсудим почему такой базис существует и конечен. Также будет рассказано и о способах его нахождения.

Как и в предыдущей статье, мы стартуем с произвольной системы полиномиальных уравнений

Р1 (ХХ , х2 ,...,Хп) = О

РП1(Х1 ,Х2 ,...,Хп) = 0

Напомним, что набор полиномов

81( Х1 ,Х2 ,...,Хп)

82 ( Х1,Х 2 ,...,Хп )

8т (Х1, Х2 ,..., Хп )

называется базисом Грёбнера идеала J, если старший моном любого полинома из идеала J делится на старший моном одного из полиномов 81. Такой базис называют вполне редуцированным, если ни один из членов любого из полиномов (8;) не делится на стар-

ший член никакого другого полинома 8^. Это означает, что мы не можем уже применить алгоритм редукции к полиномам из такого базиса Грёбнера. Еще раз напомним также, что у нас зафиксировано упорядочение мономов, например лексикографическое, так что мы можем выбрать в любом полиноме его старший член.

Сейчас мы докажем одну замечательную лемму, называемую леммой Диксона, которая лежит в основе доказательства как существования, так и конечности редуцированного базиса Грёбнера произвольного идеала J. Заметим, что старшие члены редуцированного базиса Грёбнера идеала J взаимно не делят друг друга. Лемма Диксона утверждает, что все такие множества одночленов конечны. Теперь дадим точную формулировку.

Лемма Диксона.

Пусть Т = (^, 12, t3, ..., tn) - произвольное бесконечное множество мономов. Тогда в множестве Т существуют два монома t■ и t■ такие, что моном t■ делит моном t■.

1 ■ 1 ■

Мы записываем такое отношение делимости так: t■ I t■ .

Доказательство леммы Диксона будем вести индукцией по количеству переменных. Для мономов от одной переменной, скажем х, утверждение очевидно: для любых двух степеней х" и хт меньшая степень делит большую. Пусть теперь утверждение верно для любых бесконечных множеств от к переменных. Возьмем теперь множество Т = {^, Г2, Г3, ..., ?"} мономов от к + 1 переменных. Допустим, что они попарно друг друга не делят. Рассмотрим первый моном = х1"1 х2"2... хк+1"к+1. Любой другой моном Г из множества Т не делит , следовательно его степень по одной из переменных х1, х2, х3,..., хк, хк+1 строго меньше, чем соответствующая степень в мономе Разобьем множество Т на (к + 1) подмножеств Т, Т, ..., Т,,,. К Т. отнесем те мономы, в

1' 2' 'к +1 I '

которых степень при переменной х. меньше соответствующей степени в мономе Если это правило позволяет отнести моном сразу к нескольким подмножествам Т., то выбираем любое из возможных. Так как наше множество Г бесконечно, то бесконечно одно их множеств Т.. В этом множестве мономов степень при переменной х. строго меньше Множество Т. можно разбить теперь на ". подмножеств. В первом из них степень при переменнолй х. равна 0, во втором 1, а в ".-ом множестве степень при переменной х. равна - 1. Снова одно из этих множеств бесконечно, но во всех мономах этого бесконечного множества степень при переменной х. одна и та же. Они могут отличаться только степенями при других переменных. Сократив на эту степень все мономы, мы получим бесконечное множество мономов от к переменных, попарно не делящих друг друга, что противоречит предположению индукции.

Задача 1. Докажите, что лемма Диксона эквивалентна следующему утверждению.

Из любой последовательности мономов Т = {Г1, Г2, Г3, ..., ?"} можно выбрать бесконечную подпоследовательность Г , Г , Г , ..., в которой каждый

"1 "2 "3

член делит последующий.

&см1 сЛлрмий млНом ... фемо&ся...

Теперь, вооружившись этой важной теоремой конечности, мы уже сможем доказать одну из важнейших теорем о полиномиальных идеалах. Она была открыта Гильбертом задолго до появления понятия базиса Грёбнера, но на самом деле оказалась эквивалентна существованию и конечности таких базисов для любых полиномиальных идеалов.

Теорема Гильберта о базисе

Любой полиномиальный идеал порожден конечным набором полиномов }Г=1.

Мы докажем более сильное утверждение, а именно: любой идеал J обладает конечным базисом Грёбнера: Ог = gг, £3, ..., £г}.

Доказательство. Для нашего идеала J рассмотрим бесконечное множество мономов Мо" (/), которое состоит из всех старших членов полиномов идеала ^ В этом множестве обязаны существовать «минимальные» элементы, которые не делятся сами на другие мономы из множества Моя (/). Действительно, возьмем любой моном Г1 е Мо«^). Если он не минимален,

№

Жр

т т

...беасаНегНсе мЛлфесен&а маКома^.

^юбой палиЯомиал-ъЯый идеал порожден коНегЯим Набором полиномов...

то делится на некоторый моном t2, который в свою очередь делится на t3 и т.д. Такая цепочка не может быть бесконечной, поэтому она заканчивается минимальным мономом. Все минимальные мономы друг друга попарно не делят, следовательно по лемме Диксона их число конечно. Пусть это множество jtj, t2, t3, ..., tk j. Каждый из мономов tt есть старший член какого-то полинома из J, скажем gt. Оказывается полиномы jg(. }[=1 и образуют базис Грёбнера идеала J. Действительно, каждый полином из J обладает старшим членом из множества Mon (J), который делится на один из минимальных по делимости мономов t.. Но t. -старшие члены полиномов jg.. }[=1, и мы видим, что эти полиномы в точности удовлетворяют определению базиса Грёбнера.

Теорема доказана.

Отметим, что этот базис не обязан быть вполне редуцированным, но мы можем применить к нему алгоритм редукции и получим вполне редуцированный базис, который, как было даказано в первой части статьи, уже единственен, как только мы зафиксировали упорядочение мономов.

Теперь, наконец-то, мы знаем, что базисы Грёбнера существуют, но вот беда -наше доказательство опять не конструктивно, и никакого алгоритма для его построения мы не указали. Определяющее базисы Грёбнера свойство делимости старших членов полиномов из идеала J на один из старших членов элементов базиса нам не помо-

жет: не можем же мы проверить это свойство для всех элементов идеала ^

Как же все-таки построить базис Грёбнера?

Впервые алгоритм построения базисов Грёбнера был предложен австрийским математиком Б. Бухбергером, который и ввел в математический обиход само это понятие.

Прежде чем говорить об алгоритме построения, мы обсудим более скромную задачу. Пусть нам задан произвольный идеал с помощью какой-либо системы уравнений и набор полиномов, принадлежащих этому идеалу. Как можно проверить, образуют ли они базис Грёбнера этого идеала? Вспомним, что определение базиса требует проверки условия делимости старшего члена любого элемента из идеала на старший член одного из элементов базиса. Так как в идеале бесконечное количество полиномов, то мы в такой формулировке это условие проверить не в состоянии. Давайте попробуем его перевести на алгоритмический язык и немного переформулируем. Тот факт, что старший член любого полинома из идеала J делится на старший член одного из элементов базиса говорит о том, что к любому элементу идеала можно применить алгоритм редукции относительно множества ^, g2, 8з, ..., 8г). Результат также принадлежит идеалу J и к нему также можно применить алгоритм редукции. Этот процесс либо должен заканчиваться нулем, либо продолжаться бесконечно. Но ведь смысл редукции состоит в уменьшении старшего члена редуцируемого полинома. Нетрудно понять, хотя все же этот факт и требует небольшого рассуждения, что процесс уменьшения старшего члена не может быть бесконечным. Это накладывает некоторое условие на упорядочение мономов, но лексикографические порядки ему удовлетворяют. Следовательно, любой полином из идеала J редуцируется к нулю с помощью множества ^, g2, 8з,..., 8г). Идея проверки состоит в том, чтобы явно указать такое конечное множество полиномов, для которых надо проверить это условие, так чтобы их

редуцируемость к нулю влекла бы за собой редуцируемость к нулю любого элемента идеала. Оказалось, что такое конечное множество полиномов можно построить. Строить его несложно, а вот теорема Бухберге-ра о том, что их редуцируемость к нулю влечет за собой редуцируемость к нулю всех элементов идеала, довольна сложна, и мы ее здесь примем без доказательства. Что же это за полиномы?

Возьмем произвольную пару (gi, gj) элементов из множества ^, g2, gз, ..., gr}. Пусть их старшие члены равны соответственно ti и tj, а коэффициенты при этих

членах равны с. и е.. Мономы t. и t■ могут

1 j 1 ■

иметь общий делитель, который мы обозначаем НОД , t). Образуем теперь из них новый полином, который обозначим Б gj) по формуле

S(i,j) =

еjtjgi - с^. НОД(ti,tj) .

Эти полиномы так и называются Б-полиномами.

Теперь сформулируем замечательную теорему Бухбергера.

Теорема. Пусть задано упорядочение мономов. Конечное множество полиномов , g2, g3, ..., gr} из идеала / тогда и только тогда образует базис Грёбнера этого идеала для этого порядка, если все возможные Б-полиномы ]) редуцируются к нулю относительно множества ^, g2, g3, ..., gr}.

Такое конечное условие уже можно эффективно проверить за конечное число шагов, хотя это очень трудоемкая процедура.

На этой теореме и основан алгоритм построения базиса, который позволяет в принципе любую систему уравнений привести к простейшей канонической форме.

Алгоритм Бухбергера

Пусть идеал задан конечным набором полиномов

Р1 (х1 ,Х2 '...'Хи ) Р2 (Х1, Х 2 ,..., Хп)

Рт (х1 > Х 2'...' Хп)

Сначала мы попробуем просто редуцировать полиномы р. относительно друг друга и получим редуцированное множество в ^2, gз, ."> gk}. Теперь проверим, не является ли оно уже базисом Грёбнера. Если да, то процесс останавливается. Если нет, то какой-то из Б-полиномов /) не редуцируется к нулю. Добавляем теперь его редукцию к множеству в в качестве полинома gk+1 и снова проводим всевозможные редукции. То, что этот процесс не может продолжаться до бесконечности, также может быть выведено из леммы Диксона. В конце концов мы получим искомый базис Грёбнера.

Отметим здесь, что результат процедуры не зависит от того, в каком порядке мы выбираем Б-полиномы и в каком порядке мы проводим возможные редукции. Базис Грёбнера определяется только самим идеалом и выбранным упорядочением мономов.

Однако скорость работы такого алгоритма существенно зависит от этих факторов. Оказалось, что существует много возможностей, для того чтобы ускорить эту процедуру.

Во-первых, оказывается, можно проверять не все возможные Б-полиномы, а только удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям. Такие условия принято называть критериями, и наиболее мощные

"Э&и полиАожм Лак и На^ъ^шЛся

3-помиЯомамм,

^ауис ТребАера определяемся Лоласо самим, идеалам и цнорядагеАмем маАамо>&.

из таких критериев также были придуманы Бухбергером и называются критериями Бух-бергера. При этом приходится доказывать уточнение теоремы Бухбергера, говорящее о том, что редуцируемость только 5-поли-номов, удовлетворяющих критериям, достаточна, для того чтобы множество являлось базисом Грёбнера. Другой возможностью является поиск наилучшей стратегии выбора 5-полиномов на каждом шаге. Все шаги, которые приводят к нулевым редукциям, в принципе лишние, и хотелось бы как-то предсказывать такой результат заранее. За последние 30 лет было придумано множество самых разнообразных стратегий, и поиски в этом направлении все еще продолжаются.

Какую же информацию можно извлечь из базиса?

Теперь мы уже не только знаем, что такое базис Грёбнера, но даже представляем себе алгоритм, по которому его получает компьютерная программа. К сожалению, сложность построения базиса Грёб-нера довольно велика, и мы не будем рекомендовать вам решать на практике системы полиномиальных уравнений, приводя систему к виду базиса Грёбнера с карандашом и листочком бумаги. Это можно сделать лишь в самых простейших случаях. К счастью, существуют мощные компьютерные программы, где этот алгоритм реализован,

например MAPLE, MATHEMATIKA, SINGULAR и некоторые другие. Если у вас установлена на компьютере программа MAPLE или MATHEMATIKA, вы можете сделать это на компьютере. Давайте теперь разберемся, какие задачи мы сможем решить, приводя системы уравнений к виду базиса Грёбнера. Оказывается, что, имея перед собой базис Грёбнера, вычисленный для какой-либо системы уравнений, про эту систему и ее решения можно узнать практически все. Мы уже знаем, как определить совместность системы уравнений: базис Грёбнера несовместной системы будет состоять из одной константы 1. То есть наша система окажется эквивалентной одному уравнению 0 = 1.

Если мы интересуемся комплексными решениями, то по базису Грёбнера легко подсчитать количество решений вашей системы. Мы сейчас ограничимся для наглядности случаем двух переменных, но абсолютно также решается этот вопрос и в общем случае.

Возьмем какую-нибудь систему уравнений, например

3x3 y + 5xy6 + 2 = 0

x5 + y5 = 1 Вычислим ее базис Грёбнера. Если мы используем для упорядочения мономов упорядочение по общей степени мономов, то результатом будут три полинома:

x5 + y5

3x3 y + 5xy6 + 2

25yn - 9x 4 y -10x4 - 6 x Посмотрим теперь на их старшие члены. Этими членами будут x5, xy6 и y11. Нарисуем теперь на клетчатой бумаге три точки с целочисленными координатами, соответствующие этим мономам. Это будут точки (5; 0), (1; 6) и (0; 11) (рисунок 1).

Теперь подсчитаем все точки с целыми координатами, находящиеся левее и ниже наших отмеченных точек. Нетрудно подсчитать, что их ровно 35. Это означает, что наша система уравнений имеет ровно 35 комплексных решений. Если бы мы

использовали другой порядок мономов, то мы могли получить другой базис с другими старшими членами, но вот количество целых точек, находящихся левее и ниже точек, изображающих старшие члены базиса, оказалось бы ровно 35.

Если бы нам необходимо было найти все эти 35 решений, то пришлось бы вычислить лексикографический базис Грёбне-ра. Мы уже объясняли, что в таком базисе система, имеющая конечное число решений, будет приведена к треугольному виду. Вычислив на компьютере такой базис, вы сразу почувствуете сложность этой процедуры. Еще бы, результат состоит всего из двух полиномов. Первый из них, как и положено, не зависит от переменной Х. Он равен

- 3125у30 - 1500у13 + 1500у18 - 2700у14 + + 3125у 35 + 1350у19 - 729у15 - 32 + + 243у20 + 1350у9 - 243у5 + 729/°

Как видим, его степень равна ровно 35, и у нас уравнение для у имеет ровно 35 корней.

А вот второе получившееся уравнение способно впечатлить кого угодно (см. рисунок 2).

Тем не менее, как бы страшно оно не выглядело, его структура чрезвычайно проста. Второе уравнение имеет старшим членом 3679446269344147064217 8675290680506672 5649001902683192Х. Остальные члены зависят только от у, и чтобы решить систему надо во второе уравнение подставить 35 корней первого. Каждый раз будет получаться линейное относительно х уравнение, правда с коэффициентом 3679446269344147 06421786752906805066725649001902683192.

Мы не будем вам советовать проделать эти вычисления вручную.

А теперь мы покажем, как, используя базисы Грёбнера, можно решать геометрические задачи.

Вывод формул

Давайте попытаемся вывести какую-нибудь формулу, связывающую элементы произвольного треугольника. Попробуем

У

Рисунок 1.

решить такую задачу: выразить площадь треугольника через его высоты. Для этого вспомним известные нам простые формулы.

Б = 1 йаа, Б = 1 йьь, Б = 1 йес 2 а 2 2 е

Б = 4р(р - а)(р - ь)(р - с)

Добавим сюда выражение для полупериметра

2 р = а + Ь + с

Мы получили некоторую систему уравнений, которую можно записать в полиномиальном виде, заменив уравнение для Б:

Б2 = р(р - а)(р - Ь)(р - с)

Вычислим теперь ее базис Грёбнера, так чтобы младшими переменными оказались йа,йь,йс и Б.

Одно из уравнений базиса окажется равным

йь4 На4 Б 4 - 2йс2йь2 На4 Б 4 + Нс4 На4 Б 4 -

- 2йе 2йь4 йа 2Б 4 - 2йе4 кь2К 2Б 4 +

+ йе 4 йь 4 Б 4 + йе 4 йь 4 йа 4 Б 2

Сократив это выражение на Б2, получим искомую формулу

б2 =_йХй4_.

+ 2йс2й4йа2 + 24 й2йа - - й4йс4 -

Отметим, что мы получили эту формулу, просто исключив ненужные нам переменные в процессе вычисления базиса Грёбнера.

367944626934414706421786752906805066725649001902683192х+ + 18457980566150441031462963228820288042681185600000000у -

- 47837339917872061932616501235049260719631537494080000у4-

- 118712726168784893290817869962801533422583175713100000у5+ + 147501629324964297637742277964863157069051533000000000у6+ + 1275135882509770980129837504202984282987393930318855773у3 + + 1229683990717206105320707714803729209935798136039062500У11 -

- 269343291583705586318257804164122695886801275312500000у23-

- 166301932700896032793673366018805736163685607794000000у22 -

- 4135308554342488744352194362153885239229577187255248410у7-

- 22952927869128406871708699571670698771803704758000000у2 +

+ 4487854652923127253798502669551307298022131269078404660у12 + + 844001030260078151986165474439309771378307173910571875у18 + + 398353088960145386420408225544718072524272337932512023у13 + + 182719982776844078976199729992086481854393307096843750у17 + + 1081861437351186556980018870990146143899741918300000000у21 -

- 2484345038018692705179854575596784401429132733139062500у16 -

- 4702481231361680238976760985922930898258708009560546875у33 + + 3345026001464375609256495663185167297621749829968750000у34 + + 4873108756630221837208275582749794993216954108380346875у28 -

- 849753916321623563212375904740109582867471773419000000у27 -

- 78503888530272387662844650601705298978729671423339000у10 + + 442782993481488693174303058594062778367541941280690000у9-

- 2365809859512150586426932483455319705848717586480139671у8-

- 1540264934212267797350840701562791284535597977346875000/° -

- 146677551849086128571927280373559283657927096562212000у15 + + 490855617136502275342311985946370608767935318750000000у32 -

- 620760132844567649224573672911791543437079734368600000/4 -

- 413674278735592212672733708367552685085795781250000000у31 + + 405650345243059054968091345572820108627511896650000000у26 + + 459248975474513131525729909338312334671747165440625000y3° + + 1417544508950925268306336664932085108385489821353125000у25 + + 771923525758534325799397671230741103204321948531250000у29 -

- 3943318746679694151635746319537033237761775129312500000у24 + + 125281609162656749532499753632397100689756958622120000/9 -

- 19121961277149639001581974898205471805982052725888000.

Рисунок 2.

Рассмотрим теперь следующую задачу. Пусть на плоскости заданы своими уравнениями три окружности. Как по координатам их центров и их радиусам определить, имеют ли они общую точку. Сделаем одно упрощение: поместим центр первой окружности в начало координат, а ее радиус положим равным 1.

Выпишем теперь уравнения трех окружностей.

х2 + у2 - 1 = 0

(х - х1)2 + (у - У1)2 - Г12 = 0 .

(х - х2)2 + (У - У2)2 - Г22 = 0

Попробуем определить, при каких условиях эта система не имеет даже комплексных решений.

Вместо того, чтобы решать эти уравнения, мы найдем базис Грёбнера этой

Р = У12У24 - 2У2Х22У1Х12 - 2Х12Х22Г22 + 2У2У1Г12 - 2Х1Х23У12 - 2У2Х22У13 -

- 2у2 2у1 2г2 + 2Х12Х2 2у2 - 2Х12г2 2 + 4Х1222 + Х12 - 2х1г2 2Х2г12 - 2Х2Х1 у^у2 -

3 2 2 3 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2

- 2У1У2 + 2Х1Х2 Г1 - 2У2 Х2Х1 + Х2 У1 - 2Х1Х2 + Х2 У1 + 2Х2У1 Х1Г2 + У1 Г2 + 2У1 Х2 у2 -

2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 4 2 4

- 2Х2 Г2 У1 + 2У2 Х2 Х1Г1 - 2Х2 У1 Г1 + 2У2 У1 Г2 + 2У2 У1Х1 Г2 + У2 Х1 + У2 У1 + У2 Г1 +

+ 2У2 Х12У12 + 2У1Г12у2 - 2у2Х12Г12 - 2У2У12Г12 + Х12У24 - 2У13у2 + 2х2 Х12уЦ + 2Х2Х13Г22 + 2 о 23 ,-,222, 24 ,-,222, 2, 2, 2 4 о 22

+ У1 - 2У1Х1 У2 - 2Х1 У2 Г2 + Х2 Х1 - 2Х2 Х1 Г1 + Х2 + У2 + Х2 Г1 - 2у2 У1Г1 Г2 -

- 2Х2Х1У2 - 2У2Х12У1 - 2У2У1Х2 + 2У2У1Г12 - 2У2У3 + 8х2Х1У1У2 - 2Х2Х1 + 2Х2Х1Г22 + + 2У2 У1Г22 - 2У1У2 - 2Х2 Х1 У2 + 2Х2 Х1Г12 - 2Х2 Х13 + 4У2 У2 - 2У2 Г22 + х* ^ - 2г12 Х2 -

- 2г1 у2 - 2Х1 Х2 + Х1 Х2

Рисунок 3.

системы, расположив переменные лексикографически в следующем порядке (х1 , х2 , г1 , г2, Х, у).

Базис Грёбнера этой системы, содержит один полином, не содержащий переменных х и у.

Вспомним, что если в принципе возможно исключить переменные из системы уравнений, то лексикографический базис Грёбнера будет содержать уравнение с исключенными переменными.

Этот полином имеет вид (см. рисунок 3).

Р = 0 служит необходимым условием разрешимости уравнений.

Формула не выглядит простой, но ведь мы ее получили, не решая уравнений!

Если бы мы положили переменные х1 = х2 и у1 = у2, то, очевидно, что наша геометрическая задача имела бы решение только в том случае, если г1 = г2. А что бы сказал нам базис Грёбнера?

Заменим в системе уравнений переменные х2 и у2 на х1 и у1.

Снова вычислим базис. Он теперь

22

содержит полином г1 - г2 . Конечно, его равенство нулю есть необходимое условие наличия общей точки.

Заключение

Мы познакомились с очень мощным средством упрощения систем полиномиальных уравнений - теорией базисов Грёбне-ра. На сегодня это самый сильный алгоритмический метод решения и исследования систем полиномиальных уравнений. Он позволяет полностью исследовать множество решений системы и в случае, если система имеет конечное число решений, - найти эти решения. Умело применяя это средство, можно исключать переменные из систем, выводить новые формулы и решать множество других, самых разнообразных задач.

© Наши авторы, 2005. Оиг аи1Ьог5; 2005.

Васильев Николай Николаевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова.