Исследование неавтономных уравнений в теории гироскопов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.51

Ю. А. Коняев, Д. В. Михайлов, М. Б. Вакджира

Исследование неавтономных уравнений в теории гироскопов

Изучены малые колебания микромеханического гироскопа [4] с помощью неавтономного варианта метода расщепления [2], при наличии вибрирующего основания имеющие вид: ff -H — -H fti2ffi = 0

2eo0 — еЪ± ft)« + ftïa0 = О = Й/С1 + sinvî^rme a, jfî- обобщенные коор-

динаты, описывающие положение чувствительного элемента относительно основания; - характерная частота собственных колебаний чувствительного элемента; О определяется параметрами гироскопа; V - частота колебаний основания; Èq.

- амплитуда колебаний основания. Также изучены колебания тонкого кольцевого резонатора волнового твердотельного гироскопа, описываемые системой ОДУ четвертого порядка с нормальной матрицей.

Ключевые слова: гироскоп, метод расщепления, метод унитарных преобразований, устойчивость.

Yu. A. Koniaev, D. V. Mikhailov, M. B. Vakjira

Study of Non-Autonomous Equations in the Theory of Gyroscopes

We study small oscillations of a micromechanical gyroscope [4] using non-autonomous version of the splitting method [2] in the presence of the vibrating base are the form: AS

jff + 2sî7/? - e-k] (f Jà-= 0 (jfrjÇf) = Щ (1 + bp SflbTftJJ, Where ft, £ the generalized coordinates describing the position of the sensor relative to the base; 0} — characteristic frequency of the natural oscillations of the

sensing element; (7 —defined parameters of gyroscope; 17 —oscillation frequency to the base; ¿Jq - amplitude oscillations of tlie

base. Also were studied fluctuations of the thin ring resonator gyro wave solid-state described by the system of ODE of the fourth order with normal matrix.

Keywords: gyroscope, a splitting method, a method of unitary transformations, stability.

В работе изучены малые колебания микромеханического гироскопа [4] с помощью неавтономного варианта метода расщепления [2], которые при наличии вибрирующего основания имеют вид:

й + = О

= С (1)

где й, ¡3 - обобщенные координаты, описывающие положение чувствительного элемента относительно основания; 0) - характерная частота собственных колебаний чувствительного элемента; V -

частота колебаний основания; Йд. - амплитуда колебаний основания. Запись (1) в векторной форме будет выглядеть следующим образом:

к- - - (f)):?-; - A(t, ^ (2)

© Коняев Ю. А., Михайлов Д. В., Вакджира М. Б., 2012

¿1 =

0 0 0

-2е 0

0 0 0

0 - 2 &

и структура матрицы А с ) позволяет применить новый асимптотический вариант метода расщепления для неавтономных регулярно возмущенных систем [2]. Теорема 1. Система

1)

с Т-периодической матргщей „4 (£, е) в случае, когда спектр {А^ матрицы А,-, удовлетворяет неравенствам:

может быть с помощью невырожденной при ^ 1) Т-периодической замены

О)

[где ~ Ау — = ..., Лу^,}-, а й^ Т-периодические матрицы] преобразована

в более простую:

ш = QQ,*}z> (Qfoti-AQti + gb^l-ZivAb**),

(4)

где постоянные диагональные матрицы А ^ и Т-периодические Н^ ГГ) МЗТрНЦЫ однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма.

Теорема 2. Если в условиях теоремы 1 вектор (ё) / = 1,11 вспомогательной диагональной матрицы удовлетворяет условиям —((£ = <7 у* 0), тогда

решение системы (4) и эквивалентной ей системы (1) асимптотически устойчиво. (Доказательство теорем 1 и 2 проводится методами, изложенными в работе [2].)

Следуя обобщенной теореме 1, с помощью замены вида (3) система (2) приводится к виду:

¿= (Аа + еЛ^ Ч 0(е3))* = оао*,

где

<*— Ш

0

0 V N = _12

1 Wzi N22t

и структура матрицы £) позволяет получить с учетом теоремы 2 достаточные критерии устойчивости исходной системы (1).

При анализе нелинейной модельной системы, описывающей колебания тонкого кольцевого резонатора волнового твердотельного гироскопа с системой поддерживающих торсионов следует воспользоваться другим конструктивным методом в теории устойчивости - методом унитарных преобразований.

Без учета демпфирования это приводит к системе ОДУ четвертого порядка:

(5)

где компоненты вектора ^ = (^г ??|.р ) I г ??1р Фз ,'РЬ ~~ медленно изменяющиеся пе-

ременные. связанные с формой колебаний; £ - малый параметр; £ - параметр, характеризующий нелинейную упругость материала резонатора; V - безразмерная угловая скорость основания гироскопа; = -Ь Р] -Ь -Ь X = 2(¡2.— ~ ФункЦии, представляющие собой первые интегралы исходной системы.

Так как матрица В является нормальной (В*В-ВВ*, в* - сопряженная матрица) и кососим-

метричной и в силу этого она имеет чисто мнимый спектр [3], то будет доказано, что решение системы (5) при любых начальных условиях будет устойчивым.

Теорема 3. Для квадрата нормы решений системы

х = А{ХУх, (6)

1<£|х|3

имеет место дифференциальное равенство

2 dt

имеем соотношение:

Iff

it

Доказательство.

<Из равенств ± = и Я* = Х*А(£)1 =

Теорема 4. Если матрица системы (6) является тождественно нормаль-

ной = СО? и ее спектр^Л^Т)^ удовлетворяет

^'л,.1. — 1. ■!! Г ^ 0 тогда для квадрата нормы решения системы (1) спра-

ведливы неравенства:

¿Ь5 dt

(причем равенство переходит в равенство)

¿f[g z _

В силу теорем 3 и 4 для системы (6) имеет место тождество -— = 0Г гарантирующее существе-

вование устойчивого решения.

Для определения более детальной структуры решения системы (6) найдем спектр матрицы В

Так как с помощью некоторой унитарной замены Е = U:tT система (6) всегда может быть преобразована к виду z — Ах, где Л — diagi^Ua I I Ь), i(_a &), i(a то общее решение исходной системы (1) будет иметь вид:

+ С2 sin(ft + i}t +■ Са cos (а - b)t + Ч-С4 £iu(a -

где Cj, (J = 1,4) - некоторые постоянные векторы, зависящие от начальных условий.

Заключение

Таким образом, показана эффективность двух новых методов (метода расщепления и метода унитарных преобразований [1, 2,]) при анализе реальных модельных систем в теории гироскопов.

Библиографический список

1. Коняев, Ю. А. Метод унитарных преобразований в теории устойчивости [Текст] / Ю. А. Конев // Издательство ВУЗ Математика. - 2002. - № 2. - С. 41-45.

2. Коняев, Ю. А. О некоторых методах исследования устойчивости [Текст] / Ю. А. Коняев // Математической сборник. - 2001. - Т. 192, № 3, - С. 65-82.

3. Ланкастер, П. Теория матриц [Текст] / П. Ланкастер. - М. : Наука, 1978. - 280 с.

4. Меркурьев, И. В., Подалков, В. В. Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов [Текст] / И. В. Меркурьев, В. В. Подалков. - М. : Физматлит, 2000. - 228 с.