CC BY
73
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 4 8211. Государственная регистрация №042 1200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Исследование напряженно-деформированного состояния пружины при высокой температуре с помощью ABAQUS # 05, май 2014
DOI: 10.7463/0514.0710723 Сунь Х., Данилов В. Л.
УДК 621.7-97
Россия, МГТУ им. Баумана sunnjustiS; 126.com vldaniloviS;mail.ru
1 Введение
Пружины являются важными деталями многих устройств, широко применяются в приборостроении, машиностроении и других отраслях. Пружины работают часто при высоких температурах, например, пружины клапанов двигателей внутреннего сгорания и пружины, работающие в топливных сборках ядерного реактора. В этих случаях необходим анализ релаксации напряженного состояния пружины. Для пружин, находящихся в условиях высокой температуры, релаксация напряжения является одной из основных причин выхода из строя элементов конструкции. При проектировании конструкций необходимо определить релаксацию сжимающей силы в зависимости от времени у пружин, работающих в условиях высокой температуры.
Рассматриваются винтовые цилиндрические пружины, которые работают при температуре 650°С. Начальное состояние упругое, пластичность не учитывается. Проведено сравнение мгновенных напряжений, вычисленных по аналитическим формулам с результатами расчета с помощью ABAQUS в начальный момент времени нагружения. Рассматриваются закономерности изменения во времени напряжений при последующей ползучести в различных точках сечения витка пружины.
2 Теоретический анализ винтовой пружины и расчетный процесс в
ABAQUS
Известно, что в любом поперечном сечении витка пружины диаметром D возникает результирующая внутренняя сила P и момент M=PD/2. Принимаем, что пружина растягивается силой P и скручивается внешним моментом m, а также имеет угол подъема витков а
Раскладывая момент и силу на составляющие относительно осей связанных с поперечным сечением витка пружины, находим[ 1 ]:
PD •
Mt = m cosa--sina,
7 2
pD (1)
M = m sinaH--cosa, (1)
z 2
Q = P cosa, N = P sin a.
Изгибающий момент и крутящий момент, также выражаются через напряжения в полярной системе координат[5]:
2Л r
Му = J [jazz {p^xpdp'ldp
0 0
2л r
= J (p,^)p2sin^dp\dV,
0 0
2 л r
Mz = J [J^rz (Р,Ф)Р2dp\dy.
(2)
(3)
0 0
Рассмотрим винтовую линию пружины, мгновенную угловую скорость о можно написать следующим образом,
^ ^ ^
со = кг + %Ъ (4)
где к - кручение кривой в рассматриваемой точке, % - кривизна кривой в этой же точке. Из теории изгиба и кручения бруса знаем, что при условии малой кривизны соотношения упругости имеют вид[1]
Л 1 1 M
АХ =---= ■ 7
EJ„
Р Р0 — 7 M.
(5)
Ak — k k —
GJ „
Считаем, что диаметр пружины и угол наклона витка пружины а0 изменятся и
примут значения Б и X. Считаем ось винтового бруса нерастяжимой. Подставим с учетом соотношений (1) и (4), выражения принимают вид
2EJ.
GJ^
cos a cos a
0
D
D,
PD . = m cosa--sina,
sin 2a sin 2 a
0
\
0
D
D
PD
m sina н--cosa.
0 y
<
<
Зависимость силы р от угла наклона пружины а определяется следующим соот-ношением[2]:
^ = 4соб2 ао
А
ОЗ( sin а - sin а0) - ЕЗsin а
г соБа0Л V cosа)
т
2 А
cos а0 [ЕЗу cos а (cos а - cos а0) + ОЗр sin а (sin а - бш а0)].
Если реактивных моментов нет и пружина находится только под действием силы Р, то при свободно поворачивающихся торцах можем получить выражения компонент тензора напряжения в следующем виде[8]:
РЯБта ,г 7 + 6у . 2 2 2. <?- =-{[—-г(* + У -г )-
I
16(1 + у)
2 2 2ч 1 + 2У 2п 1
2 ■ --2 у2].
8(1 + у) р
+ [(
55 + 60у + 12у2 5 + 2у р^ 2 _ 2
48(1 + у) 48(1 + у) Я
)(*2 + у2 - г0*
(
7 + 4у 1 + 4у р
+
) *У2]Ль
24 24(1 + у) Я р
РЯsinа ,г =--([
1 + 2у 2 2ч , 1 + 2у
I
16(1 + у)
(* + у - г ) +
* I-8(1 + у) р
+ [(-
3 + 2у 1 + 2у р
)(*2 + у2 - г2)*
+ (
^ =
16(1 + у) 16(1 + у) я
7 + 4у 1 + 4у р 3_ 1 .
-+-—)*
24 24(1 + у) я р
РЯБта, .4 + 5у + 2у2 2 Зу + 2у2
I
-{* + [-
4(1 + у)
*
-у
2 + у 2 г 2р_ 1
4(1 + у) 8(1 + у) 4 Яр
г .49 + 67у + З2у + 8у
+ [(-+
48(1 + у)
,3 - 15у - 24у2 - 8у3 2 + у р 2
+ (-^-;-+ ^-7 Э *У
8(1 + у) я
(8)
16(1 + у)
8(1 + у) я'
<
2
, 13 + 13v + 2v 2 + v p. 2 , 1 ,
+ (----—)r x\—},
24(1 + v) 12(1 + v) R p2
PRsina 1 + 2v 1 „ 11 + 8v 1 -2v pw 2 2 2,
т =-{-xy— + [(--+-—)(x + y - r ) y
xy I {8(1 + v) 7 p 48 48(1 + v) R 7 )7
.7 + 4v 1 + 4v p 2 , 1 ,
+ (-+-—)x 7b},
24 24(1 + v) R p2
PR cosa г 3 + v , 2 2 2ч 3 + v 2
T7z =--;—{x + —;(x + 7 - r) +^—Ñx
7 Ip 8(1 + v) 4(1 + v)
, 3 + 2v 2 2 ^ 1 + 2v 2Лp 1
- (-(x + 7 - r )--x )—\ —
4(1 + v) 2(1 + v) R p
Tf 2-v 2 65 + 27v-8v2 13-6v-4v2 p 3
+ [(--tan2 a +---—) x
6 48(1 + v) 24(1 + v) R
, 1 + v 2 9 + 19v + 8v2 9 + 14v + 4v2 p 2
+ (--tan2 a +---—) xv
2 16(1 + v) 8(1 + v) R
, 5 + 2v 2 39 + 37v + 8v2 21 + 20v + 4v2 p 2 1 ,
- (--tan2 a +---—)r 2x\—},
12 48(1 + v) 24(1 + v) R p2
PR cosa г 3 + v 1 + 2v p 1
т =-{ 7 + [-+-—\x7—
zx Ip 4(1 + v) 2(1 + v) R p
ГД + v 2 5 - 9v - 8v2 11 + 18v + 4v2 p 2
+ [(-tan2 a +-+-—) x 2
2 16(1 + v) 8(1 + v) R
^ 19 + 6v - 4v2 6 48(1 + v) 24(1 + v) R'
, 5 + 2v 2 11 + 17v + 8v2 25 + 28v + 4v2 p
+ (--tan2 a +---—)r 2 \ —},
12 48(1 + v) 24(1 + v) R p2
где P - сила сжатия, a- угол подъема витков, R - радиус пружины, r - радиус прутка, vp =
,2 + v 2 23 - 3v - 8v 19 + 6v - 4v2 p 3 + (-tan2 a--+-—)7
коэффициент Пуассона, р =_^_- радиус кривизны, / = £т1- осевой момент инерции сече-
ния прутка, г = лт! - полярный момент инерции.
p 2
В условиях постоянной высокой температуры, известно, что чем больше напряжение, тем выше скорость ползучести. Формула соотношения скорости ползучести и напряжения в ABAQUS имеет следующее выражение:
(ас) "Г+1, (9)
т + 1
где к, т, п - параметры материала ползучести.
Для двухмерного или трехмерного напряженного состояния, используем эквивалентные напряжения и деформации
а = -И(а -а )2 + (а -а )2 + (а -а )2 + 6г2 + 6г2 + 6г2]1/2,
е ¡^Г^ х у' V V 2' V2 ХУ XV У2 2Х-I '
^ ^ ^
£ = "Ы(*х' ^ + V + £ ^ + Т^)2 + 3(Гу2')2 + 4(п;)2]1/2.
2
2
2
Закон упругости напряжение выражается следующим образом:
а = 20е„,.
(11)
При интегрировании уравнения ползучести, используется уравнение изменения деформации:
&} = &}-{<1}-{-/П<Г}, (12)
£
е1
р1
£ - £ п - пластическая деформация, п - деформация ползу-
где п - упругая деформация, чести.
После расчета эквивалентного приращения деформации ползучести, её можно пре образовать в виде компонента приращений деформаций:
Де,СГ =
Д£УСГ =
Десг (2ех1 -£у1 -£2')
2(1 + у)
десг (2£у{-£2{ -£х')
е* 2(1 + у)
д£сг =-д£хСГ - д£уСГ
(13)
ху
д£ сг =
у2
д£сг =
£е( 2(1 + у)
Д£СГ 3
£е, 2(1 + у)
Д£СГ 3
ху
£ 2(1 + у)
К
К
Далее по следующим формулам можно вычислить упругие деформации и общие деформации ползучести:
£ )п = (£ )п -Д£хС £ )п = (£хСГ )п-1 +Д£х
(14)
3 Моделирование винтовой пружины
Чтобы узнать закономерность ползучести, появляющейся в пружине было проведено моделирование с помощью ABAQUS. Рассмотрим Рис. 1, используя два жестких рычага, чтобы нагрузить пружину. Зафиксируем один конец участка пружины, сожмем другой конец на определенную величину и поддерживаем это состояние неизменным. Схема разбиения сечения витка пружины на элементы представлена на Рис. 2. Точка В располагается на ближайшем расстоянии от оси с внутренней стороны витка пружины. На нижнем
рычаге ограничим остальные степени свободы кроме кручения вокруг оси x. На верхнем рычаге ограничим степень свободы вокруг оси z и перемещении вдоль оси x, z.
Внешний диаметр пружин равен 25мм и внутренний диаметр - 15мм. Диаметр витка пружин = 5мм, угол подъёма пружины «=15 и а=45 . Основная схема разбиения сечения витки представлена на Рис. 2. Точка B находится в внутреннем диаметре. Материал пружины - нержавеющая сталь 10X18^^ температура 650°С. При этой температуре модуль Юнга равен Е=1.55х 1011 Па, и у = 0.3 . Известно, что параметры ползучести мате-риала[4]: к = 7.24-1016, п = 5.71, т = 0.
Рис. 1 Модель пружины
Рис. 2 Сечение витка пружины
4 Мгновенные напряжения пружины после нагрузки
В результате приложения силы P распределение компонент тензора напряжения в сечении витка оказывается существенно нелинейным. Распределение компонент тензора напряжения по диаметру AOB при различных углах подъема витка представлено на Рис. 3. Распределение напряженний по диаметру COD представлено на Рис. 4
а.
У2
Рис. 3 Сравнение результатов расчетов по аналитическим формулам и по ABAQUS вдоль AOB
а
Диаметр СО01 мм
Т*У
т
т.
■xz yz
Рис. 4 Сравнение результатов расчетов по аналитическим формулам и по ABAQUS вдоль COD
Заметим, что наиболее важное значение при расчетах на прочность имеют компот а т ненты yz, z на линии AOB и xz на линии COD, другие компоненты тензора напряжений
во много раз их меньше. Результаты моделирования этих трех компонентов полностью
согласуются с аналитическими формулами. КомпонентыTyz достигают наибольшего значения в точке B поперечного сечения прутка. Поэтому, точка B является наиболее опасной при любом значении угла подъема.
5 Результаты ползучести и релаксации вычисления с помощью ABAQUS
При анализе эффектов ползучести и релаксации угол подъёма витков пружины принят равным ос=\5 . На Рис. 5 показан характер и расположение изолиний эквивалентного напряжений в сечении витка пружины при фиксированном значении степени сжатия. Отметим, что после приложения нагрузки эквивалентное напряжение уменьшается постепенно вдоль оси ВО. Эта закономерность хорошо соответствует линейному закону. Вследствие того, что касательное напряжение создается крутящим моментом и поперечной силой, напряжение в точке В больше чем в точке А. Из-за того, что напряжение быстро уменьшается в окрестности контура сечения витка, а в центре уменьшается медленно, то через 2.5 часа напряжение в окрестности контура имеет меньший градиент.
(a) t=0 ч
(b) t=2.5 ч
(c) t=1000 ч
Рис. 5 Напряжения в сечении витка пружины при фиксированном значении степени сжатия
На Рис. 6 показано напряжения на линии AOB, из рисунка можно легко заметить, что в момент начала нагрузки в точке B напряжение наибольшее и около центра по правой стороне - наименьшее.
Рис. 6 Напряжения на линии AOB Релаксация напряжений в точках А, С, Е иллюстрируется на Рис. 7. В начальный период времени напряжения уменьшаются очень быстро. Через 2.5 часа значения напряжений в этих точках сближаются.
Рис. 7 Напряжения в точках А, ^ E На Рис. 8 показан результат расчета напряжений в сечении витка пружины при постоянной силе. В этом случае закономерность распределения напряжения в поперечном сечении имеет близкие характеристики с условием фиксированного значения степени сжатия.
и©)в®в(0
(а) 1=0 ч (Ъ) 1=6.5 ч (о) 1=1000 ч
Рис. 8 Напряжения в сечении витка пружины при постоянной силе
Но в условиях нагружения постоянной силой, напряжения в центре сечения витка повышаются со временем, а в окрестности контура сечения витка напряжения уменьшаются (Рис. 9).
mm
Points on АО В Рис. 9 Напряжения на линии AOB
Известно, что если пружина находится под действием постоянной силы, то при малом её перемещении величина крутящего момента, действующего в сечении, не изменяется. Это соответствует тому, что напряжения в окрестности контура витка уменьшаются, а напряжения в центре повышаются, чтобы поддерживать величину крутящего момента постоянной. На Рис. 10 представлены соответствующие изменения напряжений во времени в точках диаметра витка.
h
Time
Рис. 10 Напряжения в точке A, C, E
6 Заключение
Конечно-элементная модель расчета релаксации и ползучести винтовой цилиндрической пружины была создана в программе ABAQUS. В целях упрощения расчетов, рассмотрен один полный виток. Проведено сравнение между результатами аналитических формул и расчетов на ABAQUS в начальный момент нагружения, показана адекватность расчетов на ABAQUS. Представлены поля изолиний напряжений в сечении витка пружины для двух случаев: постоянства величины сжатия пружины и постоянства сжимающей силы. В первом случае напряжения уменьшаются постепенно вдоль радиуса BO. В поперечном сечении точка имеет наибольшее напряжение, а точка около центра имеет наименьшее напряжение. Через некоторое временя разница между максимальным напряжением и минимальным напряжением будет уменьшаться. При постоянной силе сжатия пружины напряжения в центре сечения будут повышаться.
Список литературы
1. С. Д. Пономарев. Расчеты на прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1956, С. 710717.
2. Гусев М. П., Данилов В. Л. Релаксационная стойкость винтовой цилиндрической пружины в условиях нейтронного облучения // Наука и образование. 2012. № 04.
3. Ю. И. Бойцов, В. Л. Данилов. Исследование ползучести металлов при растяжении. Издательство МГТУ. 1997. С. 16-17.
4. V. P. Golub, V. I. Krizhanovskii, and A. A. Rusinov. A mixed criterion of delayed creep failure under plane stress // International Applied Mechanics. 2003. Vol. 39, No. 5. P. 64-75.
5. V. Kobelev. Elastic-plastic work-hardening deformation under combined bending and torsion and residual stresses in helical springs // International Journal of Material Forming. 2010. Vol. 3, Suppl 1:869-881.
6. An exact solution of Torsion Problem for an incomplete torus with application to helical springs. Meccanica. 2002. Vol. 37, No. 3. P. 269-282.
7. М. П. Гусев, В. Л. Данилов. Релаксация пружин головной части тепловыделяющей сборки // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Машиностроение". 2012. С.139-147.
8. С. В. Серенсен, С. Д. Пономарев. Динамика и прочность пружин. Издательство Академии Наук СССР. 1950. С. 58-60.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THH BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. N»0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
The study on stress-strain state of the spring at high temperature using ABAQUS # 05, May 2014
DOI: 10.7463/0514.0710723 H. Sun, V.L. Danilov
Bauman Moscow State Technical University, 105005, Moscow, Russian Federation
sunnj u st fS] 126.com vldanilovi5;mail ru
Cylindrical helical springs are widely used in the elements of thermal energy devices. It is necessary to guarantee the stability of the stress state of spring in high temperature. Relaxation phenomenon of stress is studied in this paper. Calculations are carried out in the environment of ABAQUS. The verification is taken out using analytical calculations.
This paper describes the distribution and character of stress contour lines on the cross section of spring under the condition of instantaneous load, explicates the relaxation law with time. Research object is cylindrical helical spring, that working at high temperature. The purpose of this work is to get the stress relaxation law of spring, and to guarantee the long-term strength.
This article presents the basic theory of helical spring. Establishes spring mathematical model of creep under the loads of compression and torsion. The stress formulas of each component in the cross section of spring are given. The calculation process of relaxation is analyzed in the program ABAQUS.
In this paper compare the analytical formulas of spring stress with the simulation results, which are created by program ABAQUS.
Finite element model for stress creep analysis in the cross section is created, material of spring - stainless steel 10X18N9T, springs are used at the temperature 650°C.
At the beginning, stress-stain of spring is in the elastic state. Analyzes the change law of creep stress under the condition of constant load and a fixed compression.
When analyzing under the condition of a fixed compression, the stresses are quickly decreased in most area in the cross section of spring, and the point of minimum shear stress gradually moves to the direction of outer diameter, because of this, stresses in a small area near the center increase slowly at first then decrease gradually with time. When analyzing under the condition of constant load, the stresses are quickly decreased in the around area and in creased in
center, which indicated the maximum and minimum stresses get closed with time. Research work can provide a theoretical basis for the design of the spring at high temperatures.
Publications with keywords: creep, relaxation, helical spring, ABAQUS Publications with words: creep, relaxation, helical spring, ABAQUS
References
1. S. D. Ponomarev. Raschety na prochnost' v mashinostroenii [Strength calculations in mechanical engineering]. M.: Mashgiz, 1956, S. 710-717.
2. Gusev M. P., Danilov V. L. Relaksacionnaja stojkost' vintovoj cilindricheskoj pruzhiny v us-lovijah nejtronnogo obluchenija [Relaxation resistance of helical spring under the condition of neutron irradiation] // Nauka i obrazovanie. 2012. № 04.
3. JU. I. Bojcov, V. L. Danilov. Issledovanie polzuchesti metallov pri rastjazhenii [Creep study of metal in tension]. Izdatel'stvo MGTU. 1997. S. 16-17.
4. V. P. Golub, V. I. Krizhanovskii, and A. A. Rusinov. A mixed criterion of delayed creep failure under plane stress // International Applied Mechanics. 2003. Vol. 39, No. 5. P. 64-75.
5. V. Kobelev. Elastic-plastic work-hardening deformation under combined bending and torsion and residual stresses in helical springs // International Journal of Material Forming. 2010. Vol. 3, Suppl 1:869-881.
6. An exact solution of Torsion Problem for an incomplete torus with application to helical springs. Meccanica. 2002. Vol. 37, No. 3. P. 269-282.
7. M. P. Gusev, V. L. Danilov. Relaksacija pruzhin golovnoj chasti teplovydeljajushhej sborki [Springs relaxation in the head of fuel assembly] // Vestnik MGTU im. N.JE. Baumana. Ser. "Mashinostroenie". 2012. S.139-147.
8. S. V. Serensen, S. D. Ponomarev. Dinamika i prochnost' pruzhin [Dynamics and strength of spring]. Izdatel'stvo Akademii Nauk SSSR. 1950. S. 58-60.
