CC BY
42
Наука к Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 06. С. 384- 396.
ISSN 1994-0408
Б01: 10.7463/0615.0778617
Представлена в редакцию: Исправлена:
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 621.7-97
Анализ остаточных напряжений в винтовых цилиндрических пружинах при высокой температуре
Сунь Х.1' , Данилов В. Л.1
05.05.2015 03.06.2015
srnrnjustiS 126.com
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
В статье излагаются основы теории ползучести материала винтовой цилиндрической пружины, выведены энергетическое уравнение касательных напряжений и сжимающих сил с помощью анализа трехмерных напряжений пружины при фиксированной степени сжатия. Исследованы скорость ползучести и закон изменения остаточных напряжений в поперечном сечении витка пружин с помощью компьютерного моделирования, расчеты проведены в среде ABAQUS. В работе исследуются процессы релаксации напряженного состояния. Создана конечно -элементная модель для анализа ползучести и релаксации при высокой температуре. Проанализировано изменение остаточных напряжений во времени и изменение длины пружины.
Ключевые слова: цилиндрическая пружина, остаточное напряжение, высокая температура, ползучесть, ABAQUS
Введение
Ползучесть представляет одно из основных свойств материалов, её скорость в значительной степени зависит от температуры. Пружины являются важными деталями многих технических устройств, эксплуатируемых при высоких температурах. Чем больше величина общей деформации пружины, тем выше скорость деформации ползучести в поперечном сечении витка пружины. После освобождения пружины от нагрузки, в поперечном сечении витка возникают внутренние остаточные напряжения, которые влияют на дальнейшую эксплуатацию пружины. В инженерных приложениях исследование остаточных напряжениях пружин при комнатной температуре, как правило касается технологии заневоливания[1,2]. Таким образом, может эффективно избежать разрушения или повреждения пружин из-за высокого напряжения. Но исследование остаточных напряжений пружин в результате ползучести при повышенных температурах в литературе освещены недостаточно. Практически важным является анализ остаточных
напряжений в поперечном сечении винтовых цилиндрических пружин, работаю щих в условиях высоких температур. Величина остаточных напряжений существенным образом влияет на стабильность работы пружин при их эксплуатации в условиях переменных нагрузок. Целью работы являются определение влияния остаточных напряжений на деформирование пружин и прогнозирование изменения упругой характеристики пружины.
1 Теоретические основы
При испытаниях на релаксацию напряжений общая деформация растянутого образца остается постоянной во времени. Общая деформация включает деформацию упругости se
и деформацию ползучести sc:
s0=se+sc= const (1)
или
sc =s0 ~Se = ~a)- (2)
E
Здесь с0 - начальное напряжение; с - текущее напряжение. Беря производную по времени от выражения (1), получим
¿ = --(—). (3)
с ЕК dt. У)
Ползучесть металлов является процессом, обусловленным движением дислокаций
кристаллита, и может быть описана следующим выражением[3]:
dS- = (4)
at
где Ф- параметр кристаллической структуры металла; pm - плотность дислокаций; b -вектор Бюргерса; v - средняя скорость дислокаций.
Известно, что средняя скорость дислокаций зависит от величины напряжения[3]:
v = Bcm. (5)
Здесь B, m - параметры материала. Таким образом, получаем,
dsc
aS = ФРтЬВст. (6)
dt
Рассматривая цилиндрическую пружину растяжения, учитываем только деформации сдвига у и касательные напряжения т в поперечном сечении витка, т. е.
с = л/3т,
1 (7)
S = T3У
В этом случае выражение (3) преобразуется к виду
1 /о\
7'=~аИ' <8>
где О - модуль упругости при сдвиге. Поставив (7), (8) в (6), получим,
1 • ^-(^Г1 ФрпЬБтт (9)
О ш
или
йт
_т = -0)т-1о ФРтЬБйх. (10)
т
Взяв интеграл от обеих частей этого равенства, находим
1
т = {(1 - ш)[-(>/3)т-1 ОФРтЬБг + С . (11)
Формула представляет собой уравнение релаксации касательного напряжения в пружине.
2 Численное исследование релаксации напряжений в винтовой пружине
Рассмотрим эпюру касательных напряжений в поперечном сечении витка пружины,
как это принято в инженерных расчетах. Максимальное касательное напряжение от
крутящего момента и поперечной силы выражается равенством [4]:
8РГ 4Р 8РЛ , й Л
Т =-Г + —7 =-г (1 + —). (12)
тгй3 тгй2 тгй3 2Г
Здесь Р - сила сжатия пружины; Г - диаметр пружины; й - диаметр витка пружины. Связь
сжимающей силы с величиной степени сжатии определяется формулой
Р = (13)
8Г3п
Здесь Л- значение степени сжатии, п - число витков пружины. Поставив (13) в (12), с учетом (11) определяется значение параметра С.
Исследуемый объект - винтовая цилиндрическая пружина, работающая при температуре 650 °С [5]. Средний диаметр пружины равен Г = 20мм, диаметр витка пружины с! = 5 мм, угол подъёма витка пружины а = 15°, значение степени сжатии на один виток Л = 0,43мм. На рис. 1 показаны результаты сравнения касательных напряжений по формуле (11) и расчетов в среде Abaqus.
и н-1-1-1-1-1-,-1-,-1-,-1-,
О 1000 2000 3000 4000 5000
Время/{ч)
Рис. 1 Результаты сравнения формулы и Abaqus
Разница между ними не большая, и следовательно уравнение (11) можно применять в прикладных расчетах пружин.
Касательное напряжение, создаваемое крутящим моментом и поперечной силой со временем уменьшается из-за ползучести материала. Скорость уменьшения касательного напряжения в поперечном сечении различна в разных точках сечения, что приводит к нелинейной эпюре напряжений(рис.2(б)). При освобождении пружины от нагрузки, из -за нелинейности распределения касательных напряжений в сечении возникают остаточные напряжения (рис.2(в)), которые являются самоуравновешенными.
1' V у
(а) (б) (в)
Рис. 2 Касательные напряжения в поперечном сечении витка
При снятии нагрузки с конца пружины появиться остаточное напряжение. Распределение напряжения показывается на рис.2(в).
Для исследования изменения напряжений в любой точке сечения при сложной программе нагружения и разгрузки пружины аналогично работам [6,7] было проведено моделирование с помощью вычислительного комплекса ABAQUS. Наибольшая сжимающая сила на пружину Р = 250Н.
Рассматривается следующая программа нагружения: сначала сила действует в течение 0,5 часа, затем сила снимается и пружина остается в свободном состоянии на 10
часов, данный процесс повторяется несколько раз. При этом процессе остаточные напряжения могут стабилизироваться. На рис. 3 показаны касательные напряжения в сечении витка пружины, согласно программе нагружения.
а) г = 0 ч, Р = 250 Н
б) г = 0,5 ч,Р = 250 Н
в) г = 0,5 ч,Р = 0 Н
г) г = 10,5 ч, Р = 0 Н
Рис. 3 Эквивалентные напряжения в сечении витка пружины
Из рисунка заметим, что точка, которая имеет максимальное касательное напряжение, располагается на ближайшем расстоянии от оси с внутренней стороны витка пружины(рис.3 точка А), а в наиболее удалённой точке В напряжение имеет противоположное значение. Напряжения в центральном районе приближается к нулю, что согласуется с приближенным расчетом(рис.3(а)). Похожие результаты имеются в работах [8-10]. Отметим, что в начальный момент нагружения, касательные напряжения вдоль диаметра поперечного сечения проволоки пружины не соответствуют строго линейной зависимости, но для упрощения расчетов в инженерной практике обычно принимают линейное распределение(рис.4(а)). При длительной нагрузке, происходит ползучесть при постоянном крутящем моменте с течением времени распределение становится существенно нелинейным(рис.4(б)). Скорость уменьшения касательного напряжения быстрее в зоне края проволоки, чем в центре. Из-за этого напряжение в центре возрастает, чтобы обеспечить постоянство сжимающей силы(рис.3(в), рис.4(в)). При снятии нагрузки,
из-за неоднородности скорости ползучести, касательные напряжения перераспределяются и появятся остаточные напряжения в поперечном сечении.
На рис.4(в), 3(г) представлены эпюры остаточных напряжений в разные моменты времени. Можно заметить, что вблизи центра возникают повышенные остаточные напряжения. Остаточные напряжения уменьшаются и перераспределяются с увеличением времени релаксации.
а) г = 0 ч, Р = 250 Н
б) г = 0.5 ч, Р = 250 Н
г = 0.5 ч,Р = 0 Н
Диаметр А
г) г = 10.5 ч,Р = 0 Н
Рис. 4 Касательные напряжения по горизонтальному диаметру пружины
На рис.5 показан изменение во времени касательных напряжений в точке А(рис. 2(а)). Сжимающая сила (250Н) прикладывалась к пружине на 0,5ч в моменты 0ч; 10,5ч; 21ч. В начале нагрузки касательные напряжения быстро уменьшаются, а затем незначительно возрастают, оставаясь отрицательными.
Время/(ч)
Рис. 5 Касательное напряжение во внутренней точке A
Иной характер имеет изменение касательного напряжения во внешней точке В(рис. 6). Его значение на этапе разгрузки приближается к нулю.
Рис. 6 Касательное напряжение во внешней точке B
На рис.7 показано изменение касательных напряжений в точке А под действием постоянной силы в течение 0,5 часа для трёх этапов нагружения. Видно, что величина касательного напряжения падает после первого этапа и затем стабилизируется на последую щих этапах.
а)
б)
в)
Рис. 7 Изменение касательного напряжения во внутренней точке А
Отметим также, что касательное напряжение в точке В увеличивается в момент приложения нагрузки, а затем уменьшается, как показано на рис.8.
а)
б)
в)
Рис. 8 Изменение касательных напряжений во внешней точке В
Также исследовано изменение длины пружины в один полный виток при нагрузке и последующей разгрузке(рис.9). Результаты расчета показывают, что после освобождения пружины её длина восстанавливается в небольшом диапазоне.
в)
Рис. 9 Длина пружины при восстановлении после разгрузки
Заключение
Проведенное исследование позволило определить скорость ползучести и закон изменения остаточных напряжений в поперечном сечении витка пружин при заданной программе нагружения. При нагрузке постоянной силой, касательное напряжение в точке, которая располагается на ближайшем расстоянии от оси пружины с внутренней стороны витка, быстро уменьшается во времени. Касательное напряжение в точке, которая располагается на дальнем расстоянии от оси, вначале увеличивается, а затем уменьшается. В центральной области сечения витка напряжение повышается постепенно, и после разгрузки остаточное напряжение имеет наибольшую величину. Длина пружины после разгрузки восстанавливается в небольшом диапазоне с уменьшением остаточного напряжения. Результаты работы свидетельствуют о возможности использования приближенных формул расчета касательного напряжения в сечении витка пружин, изменяющихся в процессе ползучести и остающихся после разгрузки пружины, формулы могут правильно вычислить значения касательного напряжения в любой момент, что позволяет прогнозировать срок службы пружин.
Список литературы
1. Junghyun Ryu, Sungmin Ahn, Je-sung Koh, Kyu-Jin Cho, Maenghyo Cho. Modified Brin-son model as an equivalent one-dimensional constitutive equation of SMA spring // Proc. SPIE 7981. Sensors and Smart Structures Technologies for Civil, Mechanical, and Aerospace Systems 2011. Paper no. 79813W. DOI: 10.1117/12.881948
2. Reza Mirzaeifar, Reginald DesRoches, Arash Yavari. A combined analytical,numerical,and experimental study of shape-memory-alloy helical springs // International Journal of Solids and Structures. 2011. Vol. 48, no. 3-4. P. 611-624. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2010.10.026
3. Su Deda. Spring (Material) Stress Relaxation and Prevention. Tianjin: Tianjin University press, 2002. P. 421.
4. Del Llano-Vizcaya L., Rubio-Gonzales C., Mesmacqueb G., Banderas-Hernandeza A. Stress relief effect on fatigue and relaxation of compression springs // Materials and Design. 2007. Vol. 28, no. 4. P. 1130-1134. DOI: 10.1016/j.matdes.2006.01.033
5. Golub V.P., Krizhanovskii V.I., Rusinov A.A. A Mixed Criterion of Delayed Creep Failure Under Plane Stress // International Applied Mechanics. 2003. Vol. 39, no. 5. P. 556-565. DOI: 10.1023/A:1025187509053
6. Сунь Х., Данилов В.Л. Исследование напряженно-деформированного состояния пружины при высокой температуре с помощью ABAQUS // Наука и образование. МГТУ им. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 5. С. 217-230. DOI: 10.7463/0514.0710723
7. Гусев М.П., Данилов В.Л. Релаксационная стойкость винтовой цилиндрической пружины в условиях нейтронного облучения // Наука и образование. МГТУ им.
Баумана. Электрон. журн. 2012. № 4. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/402924.html (дата обращения 01.05.2015).
8. Kobelev V. Elastic-plastic work-hardening deformation under combined bending and torsion and residual stresses in helical springs // International Journal of Material Forming. 2010. Vol. 3, suppl. 1. P. 869-881. DOI: 10.1007/s12289-010-0908-8
9. Kobelev V. Elastoplastic stress analysis and residual stresses in cylindrical bar under combined bending and torsion // Journal of Manufacturing Science and Engineering. 2011. Vol. 133, no. 4. P. 1-12. DOI: 10.1115/1.4004496
10. Kobelev V. An exact solution of Torsion Problem for an incomplete torus with application to helical springs // Meccanica. 2002. Vol. 37, no. 3. P. 269-282. DOI: 10.1023/A:1020108922684
Science and Education of the Bauman MSTU,, 2015, no. 06, pp. 384- 396.
DOI: 10.7463/0615.0778617
Received: Revised:
05.05.2015 03.06.2015
Science^Education
of the Bauman MSTU
ISSN 1994-0408 <£> Bauman Moscow State Technical Unversity
Analysis of the Residual Stresses in Helical Cylindrical Springs at High Temperature
H. Sun1' , V.L. Danilov1
suimjustig 126.com
1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: cylindrical spring, residual stress, high temperature, creep, ABAQUS
Creep is one of the basic properties of materials, its speed significantly depends on the temperature. Helical cylindrical springs are widely used in the elements of heating systems. This results in necessity of taking into account the effect of temperature on the stress-strain state of the spring. The object of research is a helical cylindrical spring used at high temperatures. Under this condition the spring state stability should be ensured. The paper studies relaxation of stress state and generation of residual stresses. Calculations are carried out in ABAQUS environment. The purpose of this work is to discuss the law of relaxation and residual stress in the spring.
This paper describes the basic creep theories of helical cylindrical spring material. The calculation formulas of shear stress relaxation for a fixed compression ratio are obtained. Distribution and character of stress contour lines in the cross section of spring are presented. The stress relaxation - time relationships are discussed. The approximate formula for calculating relaxation shear stresses in the cross section of helical springs is obtained.
The paper investigates creep ratio and law of residual stress variation in the cross-section of spring at 650 °C. Computer simulation in ABAQUS environment was used. Research presents a finite element model of the spring creep in the cross-section.
The paper conducts analysis of the stress changes for the creep under constant load. Under constant load stresses are quickly decreased in the around area of cross-section and are increased in the centre, i.e. the maximum and minimum stresses come close with time. Research work shows the possibility for using the approximate formula to calculate the relaxation shear stress in the cross section of spring and can provide a theoretical basis for predicting the service life of spring at high temperatures.
In research relaxation processes of stress state are studied. Finite element model is created for analyzing creep and relaxation at high temperature. The change law of residual stress and the length of spring are analyzed with time.
References
11. Junghyun Ryu, Sungmin Ahn, Je-sung Koh, Kyu-Jin Cho, Maenghyo Cho. Modified Brin-son model as an equivalent one-dimensional constitutive equation of SMA spring. Proc. SPIE 7981. Sensors and Smart Structures Technologies for Civil, Mechanical, and Aerospace Systems 2011, paper no. 79813W. DOI: 10.1117/12.881948
12. Reza Mirzaeifar, Reginald DesRoches, Arash Yavari. A combined analytical,numerical,and experimental study of shape-memory-alloy helical springs. International Journal of Solids and Structures, 2011, vol. 48, no. 3-4, pp. 611-624. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2010.10.026
13. Su Deda. Spring (Material) Stress Relaxation and Prevention. Tianjin, Tianjin University press, 2002, p. 421.
14. Del Llano-Vizcaya L., Rubio-Gonzales C., Mesmacqueb G., Banderas-Hernândeza A. Stress relief effect on fatigue and relaxation of compression springs. Materials and Design, 2007, vol. 28, no. 4, pp. 1130-1134. DOI: 10.1016/j.matdes.2006.01.033
15. Golub V.P., Krizhanovskii V.I., Rusinov A.A. A Mixed Criterion of Delayed Creep Failure Under Plane Stress. International Applied Mechanics, 2003, vol. 39, no. 5, pp. 556-565. DOI: 10.1023/A:1025187509053
16. Sun H., Danilov V.L. The study on stress-strain state of the spring at high temperature using ABAQUS. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the BaumanMSTU, 2014, no. 5, pp. 217-230. DOI: 10.7463/0514.0710723 (in Russian).
17. Gusev M.P., Danilov V.L. Relaxation resistance of coiled spring under the conditions of neutron irradiation. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2012, no. 4. Available at:
http://technomag.bmstu.ru/doc/402924.html , accessed 01.05.2015. (in Russian).
18. Kobelev V. Elastic-plastic work-hardening deformation under combined bending and torsion and residual stresses in helical springs. International Journal of Material Forming, 2010. vol. 3, suppl. 1, pp. 869-881. DOI: 10.1007/s12289-010-0908-8
19. Kobelev V. Elastoplastic stress analysis and residual stresses in cylindrical bar under combined bending and torsion. Journal of Manufacturing Science and Engineering, 2011, vol. 133, no. 4, pp. 1-12. DOI: 10.1115/1.4004496
20. Kobelev V. An exact solution of Torsion Problem for an incomplete torus with application to helical springs. Meccanica, 2002, vol. 37, no. 3, pp. 269-282. DOI: 10.1023/A:1020108922684
