CC BY
12
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2006. № 3. С. 32-35. ЛШК 539 173
© В.В. Прудников, А.Н. Вакилов, Е.Л. Филиканов, 2006
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТЕМПЕРАТУР НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОГО ПОВЕДЕНИЯ НЕУПОРЯДОЧЕННОГО АНТИФЕРРОМАГНЕТИКА СО СЛУЧАЙНЫМИ ПОЛЯМИ*
В.В. Прудников, А.Н. Вакилов, Е.Л. Филиканов
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, кафедра теоретической физики
644077, Омск, пр. Мира, 55а
Получена 22 мая 2006 г.
In this article the results of low-temperature thermodynamic properties study are presented for disordered magnets with structural defects of random magnetic fields type. The investigations of strongly diluted 3D Ising antiferromagnet with spin concentration p = 0,5 and external magnetic field h = 2 are carried out by parallel temperatures method. The results of simulation are evidence of spin-glass ground state for this model.
1. Введение
Исследование критического поведения магнетиков с замороженными дефектами структуры представляет большой теоретический и практический интерес, поскольку большинство реальных магнитных систем содержат замороженные дефекты структуры. Их присутствие существенно влияет на термодинамические характеристики и критическое поведение магнетиков.
До сих пор значительная часть исследований была посвящена спиновым системам со структурным беспорядком типа случайная температура фазового перехода. Результаты исследований критического поведения слабо неупорядоченных систем данного типа показали хорошее согласие теоретических результатов с опытными данными и результатами численного моделирования [1]. В то же время для магнитных систем с беспорядком типа случайное магнитное поле наблюдается противоположная ситуация. Несмотря на исследования, продолжающиеся с 1975 г., когда впервые был описан данный тип беспорядка, к настоящему моменту существует немного надежно установленных фактов о поведении подобных систем. В работах [2; 3] в результате компьютерного моделирования методом Монте-Карло термодинамического поведения неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей впервые было показано, что для слабо неупорядоченных систем
*Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 0402-17524 и 04-02-39000)
со спиновой концентрацией выше порога примесной перколяции реализуется фазовый переход второго рода из парамагнитного в антиферромагнитное состояние. Для сильно неупорядоченных систем со спиновой концентрацией ниже данного порогового значения в системе осуществляется фазовый переход первого рода из парамагнитного в смешанное состояние, характеризующееся сложной доменной структурой из антиферромагнитных и ферромагнитных доменов, разделенных областями спин-стекольной фазы. Было показано, что с понижением спиновых концентраций и увеличением величины внешнего магнитного поля в системе осуществляется сокращение числа и размеров антиферромагнитных доменов и увеличение числа и размеров ферромагнитных доменов при сокращении относительного объема спин-стекольной фазы. В данной области спиновых концентраций эффекты случайных магнитных полей приводят к смене антиферромагнитного основного состояния на спин-стекольное.
В данной статье рассматривается та же, что и в [2; 3], антиферромагнитная модель Изинга с концентрацией спинов р = 0,5, соответствующей области сильного неупорядочения. Задача - получить дополнительное подтверждение существования для подобной системы спин-стекольного основного состояния и сложной доменной структуры путем реализации и применения для ее численного исследования алгоритма метода параллельных температур, разработанного специально для изучения термодинамики спиновых стекол.
Исследование методом параллельных температур.
33
2. Модель
Неупорядоченная двухподрешеточная антиферромагнитная модель Изинга определялась как система спинов с концентрацией р, связанных с N = pL3 узлами кубической решетки с наложенными периодическими граничными условиями. Гамильтониан исследуемой модели имеет вид:
H = Ji У~)piPj<Ticrj + J-2 "."/
/ , 1 hj
, / . 1
(1)
где а"» = ± 1,^ = 1 характеризует антиферромагнитное взаимодействие спинов с ближайшими соседями, ^ = —1/2 характеризует ферромагнитное взаимодействие с соседями, следующими за ближайшими, /г - напряженность однородного магнитного поля. Случайные переменные р^, р^ описываются функцией распределения
(2)
и характеризуют распределенные по узлам решетки замороженные немагнитные атомы примеси (пустые узлы).
В результате моделирования статистических свойств данной модели определялись такие термодинамические величины, как полная намагниченность
M
1
(3)
«шахматная» намагниченность Mstg = М\ — М-2 ( Mi, М-2 - намагниченности подрешеток), спин-стекольный параметр порядка
Чс,,р —
1
pL3
Ц (Pi-
(с)
(Pi
HP)
(4)
где индексы а, /3 характеризуют различные реплики неупорядоченной системы, моделируемые одновременно при одной и той же температуре и отличающиеся различными начальными конфигурациями. В выражениях (3), (4) угловые скобки обозначают статистическое усреднение, осуществляемое для каждой примесной конфигурации системы, а квадратные скобки - усреднение по различным примесным конфигурациям.
Данные величины М, М^д, да,/з характеризуют различные типы магнитного упорядочения сильно неупорядоченной системы, которые могут возникать в ней в низкотемпературной фазе. Наряду с данными магнитными термодинамическими величинами, проводилось измерение теплоемкости как тепловой характеристики происходящих фазовых превращений в системе.
3. Метод параллельных температур
Как известно, спин-стекольное состояние характеризуется наличием большого числа метаста-бильных энергетических состояний, разделенных потенциальными барьерами. Число метастабиль-ных состояний экспоненциально растет с увеличением числа спинов, что сильно затрудняет численное моделирование таких систем. В спиновых стеклах существует проблема достижения их равновесных состояний. Причиной тому являются высокие энергетические барьеры, разделяющие локальные минимумы энергии. При достаточно низких температурах система может никогда не покинуть локальный энергетический минимум, даже если соответствующее состояние является глобально неустойчивым. Эта особенность делает невозможным получение физических характеристик для магнетиков, содержащих, как в нашем случае, спин-стекольную фазу, при использовании стандартных алгоритмов Монте-Карло. Возникает необходимость в улучшении или модификации применяемых при моделировании алгоритмов. Одним из алгоритмов, позволивших решить эту проблему, стал алгоритм параллельных температур [4].
Метод параллельных температур является расширением обычного алгоритма Метрополиса. Оптимизация заключается в добавлении к алгоритму Метрополиса второй Марковской цепи по температурному параметру /3 = . Таким
образом, новый закон распределения запишется в виде:
^(М-Ш) ~ exp(-f3aH({a}) +9о
(5)
где да - константа. Каждому /За соответствует свое да. Вероятность изменения динамического параметра /За будет подчиняться закону: ехр (—в), где
8=(13'а-13а)Н({а}) + (д'а-да). (6)
В случае одновременного моделирования копий системы для каждого /За с а = О ..Ж изменение температуры может определяться только ближайшими значениями а, т. е. /З'а = . Вероятность перехода между состояниями, определяемыми соседними температурами, запишется в виде ехр (—А6'), где Ав задается выражением:
Д5 = 6*' - 6* = {ЕГЗа - Ера+1)(13а+1 — ¡3а). (7)
В соответствии с особенностью данного алгоритма, температура системы может в процессе моделирования как уменьшаться (отжиг системы), так и увеличиваться, что позволяет системе преодолевать высокие потенциальные барьеры.
34
В.В. Прудников, А.Н. Вакнлов, Е.Л. Фнлнканов
Основным критерием применения метода параллельных температур является перекрытие функций распределения энергии системы для соседних температур. Поскольку с понижением температуры дисперсия энергии сильно уменьшается, выбор равноотстоящих температур не является оправданным. Существует много методов выбора оптимального набора. В данном исследовании в качестве «затравочного» набора использовался степенной закон выбора точек:
Та =ТоЯа(а = 0..Л0, (8)
где Д =
4. Результаты моделирования
В данном исследовании рассматривалась антиферромагнитная модель Изинга с концентрацией спинов р = 0,5, соответствующей области сильного неупорядочения, и напряженностью магнитного поля /1 = 2. Моделирование проводилось для широкого набора значений линейных размеров кубической решетки Ь = 8,16, 24, 32,40.
Рис. 1. Температурная зависимость теплоемкости С для размеров системы Ь = 8,16, 24, 32, 40
Для определения температуры фазового перехода в системе и интервалов существования различных фазовых состояний было измерено температурное поведение теплоемкости системы (рис. 1) для решеток указанных выше размеров. Видно, что в температурном интервале Т = 4, 5— б, 5 наблюдается аномальное увеличение теплоемкости, указывающее на происходящий в системе фазовый переход. Размерные изменения в поведении теплоемкости указывают на подавление флуктуаций энергии в системе по сравнению с типичными фазовыми переходами второго рода в антиферромагнитное состояние, а излом температурной зависимости С(Т) при = 5,13 для решетки с Ьтах = 40 является характерным для фазового перехода в спиновых стеклах [5].
Для получения равновесных магнитных характеристик системы выбирались начальные состояния в парамагнитной фазе. Этот выбор обусловлен тем, что вблизи температуры перехода и
Рис. 2. Температурная зависимость спин-стекольного параметра порядка q для размеров системы Ь = 8,16,24,32,40
Рис. 3. Температурная зависимость «шахматной» М3±д и полной намагниченности М для размеров системы Ь = 8,16,24,32,40
во всей низкотемпературной фазе из-за наличия метастабильных состояний возникает проблема получения равновесных начальных конфигураций. Полученные начальные состояния использовались при реализации метода параллельных температур. В рамках этого метода выбирался первоначальный набор температур по формуле (8). Полученная в ходе моделирования температурная зависимость энергии Е(Т) использовалась для уточнения температур /За по принципу равной вероятности перехода между соседними температурами. Для достижения равновесного состояния системы при каждой температуре на релаксацию отводилось 104 шагов Монте-Карло с отбрасыванием при этом половины начальных конфигураций.
На рис. 2-3 приведены полученные температурные зависимости для «шахматной» М81д и полной М намагниченностей и спин-стекольного параметра порядка д для решеток с Ь = 8 — 40, усредненные по 20 различным примесным конфигурациям. На рисунках видно, что все измеренные величины демонстрируют заметную зависимость от размеров системы. При этом наибольшей зависимостью от Ь характеризуется «шахматная» намагниченность, которая для систем малых размеров задает доминирующее магнитное упорядочение антиферромагнитной приро-
Исследование методом параллельных температур.
35
Рис. 4. Температурная зависимость локальных значений «шахматной» намагниченности М8±д для блоков с размерами 6 = 5,10, 20
т
Рис. 5. Температурная зависимость локальных значений полной намагниченности М для блоков с размерами 6 = 5,10,20
ды, при этом спин-стекольный параметр порядка повторяет температурную зависимость «шахматной» намагниченности. Сильное уменьшение Магд с ростом Ь при заметно меньших изменениях спин-стекольного параметра порядка указывает на преобладание в системе при Ь > 24 спин-стекольного упорядочения и на возникновение в низкотемпературной фазе смешанного фазового состояния из антиферромагнитных и ферромагнитных доменов, окруженных спин-стекольной фазой. При этом полученные результаты указывают, что в пределе Ь^ооиТ^Ов системе реализуется спин-стекольное основное состояние.
Для подтверждения представлений о доменной структуре смешанного фазового состояния сильно неупорядоченного антиферромагнетика со случайными полями нами было осуществлено в рамках статистического метода параллельных температур исследование температурной зависимости локальных значений магнитных характеристик для кубических блоков с размерами Ъ = 5,10,20, на которые разбивалась решетка с максимальным рассмотренным размером Ь = 40. На рис. 4-6 представлены данные зависимости, при этом «жирными» кривыми нанесены зависимости средних М81д{Т), М(Т) и д(Т) для всей решетки с Ь = 40, а кривыми 1 и Г, 2 и 2', 3 и 3' -минимальные и максимальные значения данных
Рис. 6. Температурная зависимость локальных значений спин-стекольного параметра порядка q для блоков с размерами 6 = 5,10, 20
величин для блоков с Ь = 5,10, 20, соответственно. Анализ данных рисунков и полученных данных по всей совокупности блоков показывает, что с понижением температуры размеры типичных антиферромагнитных доменов уменьшаются от 1а ~ 20 до 1а ~ 10, а размеры ферромагнитных доменов - от /у ~ 10 до // с увеличением
объема спин-стекольной фазы, пока при Т = 0 не реализуется спин-стекольное основное состояние.
[1] Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // УФН. 2003. Т. 173. № 2. С. 175-200.
[2] Прудников В.В., Марков О.Н., Осинцев Е.В. Фазовые превращения в неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга //ЖЭТФ. 1999. Т. 116. № 3. С. 953-961.
[3] Прудников В.В., Бородихин В.П. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте-Карло // ЖЭТФ. 2005. Т. 128. № 2. С. 337-343.
[4] Moreno J.J., Katzgraber H.G., Hartmann А.К. Finding Low-Temperature States with Parallel Tempering, Simulated Annealing and Simple Monte-Carlo // Int. J. of Mod. Phys. C. 2003. V. 14. № 3. P. 285.
[5] Доценко В. С. Физика спин-стекольного состояния // УФН. 1993. Т. 163. № 6. С. 1.
