CC BY
7
Исследование метода частотно-временного анализа сигналов на основе функций поведения и арифметических рядов
Бочарников В. П., Свешников С. В.
Национальный университет обороны Украины имени Ивана Черняховского E-mail: bocharnikovirp&yandex.ru
Введение. В статье рассмотрены результаты исследования метода частотпо-времешюго анализа сигналов па основе использования функций поведения и арифметических рядов (метод BFAS, Behavior Function and Arithmetic Series). Приведены результаты сравнения эффективности применения метода BFAS и метода кратковременного быстрого преобразования Фурье (STFT) па примере нестационарного сигнала в диапазоне ипфразвуковых частот с низкой разрешающей способностью по частоте. Метод BFAS. Для решения задачи анализа нестационарных сигналов мы предложили использовать свойства функций поведения систем, которые представлены в виде распределения меры возможности. Для построения функции поведения нами использован математический базис - адического исчисления. Поведение системы, генерирующей сигнал, имеет локалыго-ипвариаптпые участки, па которых спектр сигнала относительно стабилен. Для выявления этих участков мы использовали подход к идентификации метасистемы па основе анализа изменения показателя неопределенности для функции поведения системы. Моменты изменения функции поведения определяют координаты импульсной функции, которая моделирует исходный сигнал. Координаты импульсов описываются арифметическими рядами, которые используются для оценки частотного спектра исходного сигнала. Мы установили, что импульсы исследуемого сигнала формируются при наличии в его окрестности баланса импульсов от гармонических функций, формирующих даппый сигнал. Мы предложили подход к определению оценок текущих спектров сигнала па основе сформированных уравнений баланса. Использование уравнений баланса в окрестностях импульсов анализируемого сигнала позволяет формировать адаптивную временную локализацию для оценки текущих спектров. Это дало возможность использовать предложенный подход для частотпо-времешюго анализа нестационарных сигналов. Для сглаживания оценок мы использовали нечеткую фильтрацию.
Результаты исследования. Мы провели исследования применения разработанного метода BFAS для анализа нестационарных сигналов и сравнили их с результатами применения метода STFT. В статье мы подробно разобрали результаты исследования для дискретного сигнала ипфразвуковой частоты с низкой разрешающей способностью. Такие сигналы являются наиболее сложными для частотпо-времешюго анализа. Для количественного сравнения результатов оценки спектров мы использовали показатель спектрального угла контрастности, а для сравнения восстановленных по спектрам сигналов коэффициент корреляции. Исследования метода BFAS показали, что точность оценки текущего спектра по косинусу спектрального угла контрастности составляет не ниже 0.9, а коэффициент корреляции восстановленного и истинного сигналов не пиже 0.87.
Выводы. Исследования показали, что предложенный метод BFAS является эффективным для частотпо-времешюго анализа нестационарных сигналов и во многих случаях превосходит по точности использование метода STFT.
Ключевые слова: временной ряд; частотно-временной анализ; р-адические числа; функции поведения систем; мера возможности; нечёткое множество; системный анализ
DOI: 10.20535/RADAP.2019.79.5-15
Введение
Любой пространственно-временной сигнал можно описать совокупностью базисных функций [1]. Это позволяет получить спектр сигнала, который отражает долю содержания данных базисных функций в исходном сигнале. Такое разложение ока-
зывается полезным, например, для синтеза алгоритмов сжатия с минимальными потерями, при решении задач фильтрации сигналов, синтеза оптимальных регуляторов и т.д. Переход к спектру наиболее часто осуществляют с использованием разложения по ортогональным функциям [2]. например, при помощи разложения в ряд Фурье [3]. ряд Уолша [4]
или на основе вейвлет преобразования [5.6]. В работе [7] были подробно рассмотрены преимущества и ограничения существующих подходов к частотно-временному анализу дискретных сигналов и выявили ряд важных моментов.
Наложенная на исходный сигнал «сетка» частотно-временной локализации может не «совпадать» с характеристиками исходной функции сигнала <p(t), что приводит к искажениям частотно-временной оценки сигнала. Именно поэтому в существующих подходах особое внимание уделяют подбору базисных функций и функций оконного представления.
В ряде случаев, как. например, при использовании вейвлет преобразований, временное окно имеет нечеткие границы, что приводит к искажениям частотно-временной оценки сигнала в силу наложения окон. На оценку степени совпадения исходной и базисной функции оказывает влияние выбор в качестве меры сходства интегральной свертки функций. что на практике вносит свои погрешности, связанные с погрешностями численных методов интегрирования. В то же время мера сходства может быть построена иными и более эффективными способами.
Используемая в существующих подходах жесткая «сетка» частотно-временной локализации не адаптивна. Она не учитывает характер поведения нестационарной функции сигнала. На сегодня более эффективной является локализация, которая используется в вейвлет преобразованиях. Однако она также является жесткой, что приводит к необходимости более тщательного подбора базисных функций вейвлетов. Не жесткий подбор базисных функций используется в предложенном Н. Хуангом методе анализа сигналов (Huang-Hilbert Transform) [8]. Однако, как показали исследования, данный подход тоже имеет ряд недостатков [9].
Можно предположить, что если функция tp(t) ведёт себя не стационарно, то частотно-временная локализация должна быть адаптивна и подстраиваться под поведение исследуемого сигнала. Для обеспечения адаптивности частотно-временной локализации сигнала необходимо обеспечить выявление локально-инвариантных ограничений на поведение системы, которая генерирует сигнал.
В целом, исследования существующих подходов к частотно-временному анализу временных рядов показали, что. несмотря на их хорошую теоретическую и математическую проработку, широкое практическое применение, проблема анализа временных рядов остаётся актуальной. Использование в качестве меры сходства в алгоритмах разложения исходных функций по базисным функциям операций интегральной свертки приводит к естественным искажениям спектров, появлению артефактов в случае наличия сингулярности в исходных функциях, а
также в силу влияния краевых условий для выбранных окон обработки сигнала. Кроме этого остаётся весьма сложным выбор исходных параметров алгоритмов спектрального анализа (выбор функции окна или типа вейвлета). особенно для анализа нестационарных сигналов. Таким образом, разработка новых подходов, которые с одной стороны будут достаточно просты в применении, а с другой стороны до некоторой степени будут учитывать недостатки существующих подходов остаётся актуальной.
1 Постановка задачи исследований
В работе [7] был предложен метод ВГАБ для решения задачи частотно-временного анализа использующий свойства функций поведения систем [10]. представленных в виде распределения меры возможности. Для построения функций поведения использовался математический базис р - адического исчисления [11]. Проведённые исследования показали. что поведение системы, генерирующей сигнал, имеет локально-инвариантные участки, на которых спектр сигнала относительно стабилен. Для выявления этих участков был использован подход к идентификации метасистемы на основе анализа изменения показателя неопределенности для функции поведения системы [12]. Моменты изменения функции поведения позволяют определить координаты импульсной функции, которая моделирует исходный сигнал. При этом для периодических функций (например, гармонических) координаты импульсов подчиняются свойствам арифметических прогрессий. Было установлено, что импульсы исследуемого сигнала формируются при наличии в его окрестности баланса импульсов от гармонических функций, формирующих данный сигнал. В работе [7] был предложен подход к определению оценок текущих спектров сигнала на основе сформированных уравнений баланса. Для сглаживания оценок использовалась нечёткая фильтрация [13]. Использование уравнений баланса в окрестностях импульсов анализируемого сигнала позволило сформировать адаптивную временную локализацию для оценки текущих спектров, что дало возможность использовать предложенный метод для частотно-временного анализа нестационарных сигналов. Проведенный на основе предложенного метода спектральный анализ стационарных [7] и нестационарных [13] сигналов показал работоспособность метода и позволил сделать положительный вывод относительно его использования для анализа сигналов.
Однако для определения эффективности использования и выявления ограничений предложенного метода ВГАБ необходимо провести его сравнительный анализ с известными, широко используемыми методами частотно-временного
анализа в наиболее сложных условиях. Практика показала, что одним из сложных случаев является анализ нестационарных сигналов с низкой разрешающей способностью по частоте при малых выборках наблюдения сигнала. К таким случаям относится анализ нестационарных сигналов на ин-фразвуковых частотах, таких, как сейсмические сигналы, сигналы от внутренних органов человека, ряд сигналов от механизмов и машин и другие. Поэтому, целыо исследования было проведение сравнительного анализа предлагаемого метода и метода кратковременного быстрого преобразования Фурье (ЭТИ?), как одного из наиболее широко применяемых на практике методов, для частотно-временного анализа указанных выше сигналов. Далее будут приведены характерные результаты исследования для одного из таких сигналов. Для достижения цели исследований решались две задачи:
1. Для исследуемого сигнала определялись оценки частотных спектров для выбранных методов и сравнивались на основе метода спектрального угла контрастности по отношению к истинному спектру [19].
2. Осуществлялось восстановление сигнала по полученным оценкам спектра, и сравнивались результаты с истинным сигналом по критерию корреляции [20].
2 Метод частотно-временного анализа сигналов на основе функций поведения и арифметических рядов
В работах [7. 13] был предложен подход к частотно-временному анализу сигналов на основе функций поведения и арифметических рядов. Ниже полученные результаты обобщаются и представляются в виде целостного метода ВГАБ частотно-временного анализа, который предполагает решение задачи в три этапа:
1. Состояние сигнала представляется в виде распределения возможности на множестве коэффициентов канонической формы р — одического числа.
Исходный дискретный сигнал представляется временным рядом. При этом состояние дискретного сигнала описывается в виде р — адического числа [1]:
b(t) = ■ pl),
l=0
р-адического числа, L - количество разрядов, необходимое для представления значения состояния временного ряда b(t) G Zts С N, Zts — множество возможных значений временного ряда. Тогда в текущий момент времени t G W состояние ряда в канонической форме [14] будет иметь вид вектора b(t) = а0, а.1,..., а(1,)..., aL. Каждая координата вектора b(t) считается перемеиной v. G V.которая описывает состояние системы, задающей исходный сигнал. Указанные переменные принимают значения на множестве состояний V. = v.l,..., v(i, L + 1), где v.j = al+1, j = l +1 l = 0, L. Тогда состояние сигнала по времени W = {í} может быть задано распределением меры возможности pt(vij) : W х V. ^ [0,1] в виде:
Vt(vij) = ai+i(t) ■ max ai(t)
\l=0,L J
-i
где а^Ь) — значение 1-го элемента канонической формы р — адического числа.
2. Строится функция поведения и проводится ■идентификация метасистемы для определения импульсной функции, моделирующей сигнал.
Полное состояние системы V может описываться набором выборочных переменных в к (£) = VI (&&)) € Уг = Бк, где вк(г) — состояние к -й выборочной переменной при параметре Ь € Ш, (£)) состояние переме иной гиг € Уг при значении параметра £к (£) = £ + рк ,рк € Z. Тогда состоянию выборочной переменной я к (£) будет соответствовать функция ) = (щ,з) € [0,1]. Множество
состояний системы будет С = х х ••• х где |М | — мощность множества М всех выборочных переменных. Пусть возможность наблюдения состояния с € С то переменной я к (£) в момент времени £ € Ш будет [с]) € [0,1]. Тогда возможность
наблюдения состояния с € С на интервале времени АШ С Ж будет задаваться функцией:
UW (с)
Е fc=minM^t(Sfc[Ч
UeAw ,| 1 )
max У] min {^t(sk [е])} >
еес ^ k=i,|M | ^ teAW '' 1 )
где р > 1 — натуральное простое число, al G {0,... ,р — 1} 1 G 0,... ,L — уровень иерархии
Функция (с) : С ^ [0,1] является функцией поведения системы [ ] па интервале А^ С Ш. Изменение частотного спектра сигнала происходит при смене поведения системы. Системы с изменяющимся поведением называют метасистемами [10]. В них объединение локальных систем с поведением, заданных на подмножествах А^т С Ш, т € осуществляется на основе процедуры замены [15] ц : Ш ^ Р, где Р — множество всех локальных систем с поведением.
Для полностью упорядоченного параметрического множества Ш идентификация функции д ба-
1
зируется на системных свойствах изменения показателя порождающей нечёткости системы [12] функции поведения:
|С|
и (UW(с)) = £ (fAW(Cj) - Uw(cj+1)) • log2 j,
3=1
где f&W (с) — упорядоченная по убыванию ^Î,ÎaW(cj) > f&W(cj+1) функция поведения с фиктивным элементом /aW(c|c|+i) = 0 1С| — мощность множества С. При этом в точках смены поведения показатель U(fAW(с)) резко возрастает и превышает заданный порог Ди G [0,1], и =
1, Na • Для определения точек смены поведения мы используем алгоритм идентификации метасистем, приведённый в [16].
Для каждого выбранного порога Ди задаётся характеристическая функция
г (и,t)
t = Тп(и) t = Тп(и),
g(t)= Y, Д« • r(u,f). А„е{А}
Далее находится импульсная функция
'1, t = тп; О, t = тп,
га) = {0; 1=Тп;
данной арифметической прогрессии четко определяют фазово-частотные характеристики синусоиды. В частности, период будет Т = 2 • д,к • Дt; круговая частота ш = -к • (йк • ДЪ)-1, а фаза <р = ъ/йк • (0.5 • ¿к — а,\), где Дí — интервал дискретизации сигнала. Импульсные функции с координатами импульсов, удовлетворяющими соотношению арифметической прогрессии, будем называть импульсными синусами, и обозначать вг^(£), Ь € ^щв вг^(Ца^к)•
Было установлено, что на появление импульса г(тп) импульсной функции г(Ь) исследуемого сигнала в точке тп € Ш влияют импульсы функций зг^^), попадающие в окно ЬКп С Ш (подобласть Ь С Ш слева и подобласть К С Ж справа от точки тп), которое может быть определено интервалом [13]:
LRn
- 0.25 • (r„+i - rn_i);
тп +0.25 • (r„+i - Tn_i)] С W.
для множества точек тп(и) € Ш, п(и) = 1, Ыи моментов смены поведения системы и формируется взвешенная функция вида:
Функции импульсных синусов, которые могут определять исходный сигнал, образуют множество базисных функций Ф = зг^), к = 1, К. Для оценки влияния функций из множества Ф на появление результирующих импульсов г(тп) в каждом окне ЬКп мы учитываем их степень влияния Хк(тп) € [0,1]. В работе [7] было показано, что для формирования импульса в координате тп в идеальном случае должно выполняться условие баланса:
к
YXk(Тп) • Лк(тп) = 0,
fc=i
где тп € Ш, п = 1,М координаты локальных максимумов функции д(Ь). Функция г(Ь) моделирует исходный сигнал. Эта функция используется для оценки спектра исследуемого сигнала.
3. Находятся коэффициенты уравнений баланса на основе арифметических рядов и оценивается частотный спектр сигнала.
Временные координаты тп € Ш импульсной функции г(Ь) подчиняются правилу числовой последовательности с переменным шагом
п
Тп = П + ^ ф' ), 3 = 2
где тп € Ш — п-й член ряда, задающий временную координату п-го импульса, — переменный шаг ряда, определяющий интервалы стабильного поведения исследуемого сигнала. В работах [7, 13] было показано, что для периодических сигналов (например, гармонических) координаты импульсов соответствующих импульсных функций подчиняются правилам арифметических прогрессий. То есть координата то-го импульса к-й синусоиды определяется соотношением а^ = а\ + (то-1)-^, где а^ € Ш, ¿к — шаг арифметической прогрессии. Параметры
где
Лк(тп) = (тп) • тп - вк(ЬКп),
!ЗкЫ= Е (-1)т-1 €{-1, 0,1},
а Б к (ЬКп) - частичная сумма знакопеременного числового ряда, полученного из арифметической прогрессии для импульсного синуса вгккоторая определяется как:
Sk (LRn)= ^ (-1)
m_i к
Уравнение баланса в точке тп является однородным линейным уравнением с неизвестными коэффициентами Хк (тп), которые соответствуют нормированным к единице амплитудам синусоидальных функций, формирующих исследуемый сигнал. Величина Л к(тп) есть невязка, обратно пропорциональная вкладу к-го импульсного синуса в результирующий импульс г(тп). Коэффициенты Хк (тп) € [0,1] задают функцию шп(к) : Ф ^ [0,1], где шп(к) = Хк (тп) в окне ЬКп С Ж, которая является аналогом мгновенного спектра сигнала [17]. В работе [7] было показано, что коэффициенты Хк (тп) для всех точек тп могут быть получены при решении задачи
и
{
линейного программирования на основе симплекс метода [18]:
J2k=ixk(тп) • Лк(тп) ^ min □,
;k=1 лК
Хк(тп)
I !2к=1Хк(гп) = 1,Ук,хктп) > 0.
Для получения коэффициентов хк(тп) без решения оптимизационной задачи в работе [8] было предложено использование приближенных формул:
Хк (Тп) =
= ( \Рк(Тп)\- I1 - ], Эк(ЬЕп) = 0,
1 Хк(Тп) =Лк * х(Тп-1), Бк(Шп) = 0, Лк € [0,1].
Л
0, |тп > max (C'm) + 0.5 • dk
uje{i,n-i}LRj
1, |тп < max (a^)+0.5 • dk
к =
J)E{1,»-1}
[0,45; 0.85]
тп < max (a„k) + 0.5 • dk
и.
ie{i,^-i}
LR
$ к', {Sk' (LRn) =0} Л Л к' (Тп)=0
дискретных синусоидальных сигналов /П ,г = 1,4 с
разными амплитудами на интервалах времени = [0; 5] и Ж2 = [5; 10]. Сигнал с такими характеристиками является характерным для сигналов получаемых при медицинских исследованиях внутренних органов человека. Значения амплитудно-частотных характеристик для сигналов Д та интервалах Ж1 и приведены на рис. . Частотная структура сигнала изменяется резко в середине интервала наблюдения.
Снижение погрешностей при оценке спектра uj(k): Ф ^ [0,1] та интервале AW С W обеспечивается за счёт использования нечеткой фильтрации [13]:
ujn(k) = ujn-i(k)+
+ а • {K(k) Л p*(k)] - ün_i(k)} ,
где Л = min ^n(k) _ фильтрующая функция на пространстве состояний в окресности точки тп, вид и параметры которой детально рассмотрены в приведённых выше работах, а G [0,1] — коэффициент усиления фильтра. Функцию ujn(k) используют для частотно-временного анализа и восстановления исследуемого сигнала. Восстановленный сигнал находится как сумма синусоидальных функций, соответствующих импульсным синусам из множества Ф с амплитудами, умноженными на величину ujn(k).
3 Результаты сравнительного анализа методов частотно-временного анализа нестационарного сигнала инфра-звуковой частоты с низкой разрешающей способностью
3.1 Описание исследуемого сигнала
Критерии сравнения результатов. Ниже приведены результаты исследования нестационарного дискретного сигнала pп с интервалом дискретизации At = 0.1 с. Время наблюдения сигнала W = 10
Рис. 1. Амплитудно-частотные характеристики сигналов формирующих истинный сигнал
На рис. 2 приведены графики исследуемого сигнала и его составляющих /П ,г = 1,4.
Для сравнения качества оценки спектра сигнала использовался подход спектрального угла контрастности [19], который рассчитывается по формуле:
Z-^i =1 xi • Vi
vSEi^vST^
где в — спектральный угол контрастности (если в = 0° , то спектры совпадают, а если в = 90°, то спектры полностью не совпадают), cos-1 — обратная функция, xi, yi,i = 1, N — амплитуды спектров
анализатора спектра параллельного действия с прямоугольной АЧХ и полосой пропускания равной /ф = Д fp [ ], где Д fp — разрешающая способность по частоте для сигнала. Для исследования совпадения спектров мы выбрали /ф = 0.2. Для сравнения восстановленных по оценённым спектрам сигналов использовался коэффициент корреляции [20].
3.2 Сравнение частотно-временного анализа нестационарного сигнала на основе кратковременного быстрого преобразования Фурье и на основе использования функций поведения и арифметических рядов.
В качестве исходных данных для исследования метода на основе функций поведения и арифметических рядов были выбраны следующие параметры:
i
cos
2
Рис. 2. Временные ряды исследуемого сигнала и его составляющих
Табл. 1 Характеристики множества базисных функций
к а\ ¿■к Период, с Фаза, град Частота, Гц Круговая частота
1 6 6 1.2 -90.00 0.8333 5.2360
2 6 8 1.6 -45.00 0.6250 3.9270
3 6 11 2.2 -8.18 0.4545 2.8560
4 6 15 3 18.00 0.3333 2.0944
5 6 30 6 54.00 0.1667 1.0472
используются ^адические числа с р = 2. Мощность множества значений сигнала составляет Сагй^ге) = 128, а количество блоков канала наблюдения Ь = 7.
4. Для определения множества выборочных переменных н построения функции поведения системы использовалась маска с параметром сдвига р = 0 для всех переменных системы
( г) € Уг. В алгоритме идентификации метасистемы [16] множество значений порогов отсечения определялось на основе зависимости Ди = Д1 + (и - 1) • где и = 1,11, Д1 = 0.175, 6 = 0.03.
5. В уравнениях баланса использовалось симметричное окно ЬКп с усреднённой величиной отклонения [13]. Формула для расчёта параметров окна представлена выше.
6. Коэффициенты Хк(тп) для к - й функции импульсного синуса из множества базисных
Ф
ближенного подхода.
На основании приведенных исходных данных для исследуемого сигнала была получена система 3. Для представления дискретного сигнала данных в виде матрицы V х Ш размерноети 7 х 100. использовались характеристики восьмибитно- В табл. 2 приведен фрагмент данной матрицы на го аналого-цифрового преобразователя. В нём первой секунде.
1. Для метода БТБТ в качестве окна использовалось прямоугольное окно Дирихле [22]. Разрешающая способность по частоте для быстрого преобразования Фурье напрямую зависит от размера окна Увеличение окна при БТБТ повышает разрешающую способность по частоте. но снижает возможность определения текущего спектра для частотно-временного анализа нестационарного сигнала. Исследования показали, что наиболее рациональным для исследуемого сигнала является выбор размера окна Яж = 32. В этом случае интервал наблюдения сигнала включает три окна.
2. Множество базисных функций у описывались импульсными синусами .$1к(¿\а,\^к), к = 1,5 с характеристиками, представленными в табл. 1, что обеспечивает относительную линейность распределения частот рис. 3.
Рис. 3. Частоты базисных функций из множества у
Табл. 2 Фрагмент матрицы данных для исследуемого временного ряда
г 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
VI 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
«2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
«3 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1 1 1 0 0
Ъь 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1
«6 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
У7 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1
9.2 с (рис. б) на множестве частотных фильтров анализатора спектра.
В результате использования алгоритма идентификации метасистемы [ ] для различных Ди была получена полная двухмерная импульсная функция г(и,1) и соответствующая ей функция д(1), на базе которой была определена импульсная функция исследуемого сигнала г(тп) (рис. ).
(а)
Рис. 4. Импульсная функция исследуемого сигнала
г(тп)
На основании полученной функции г(тп) для заданного множества базисных функций Ф = (¿)}, к = 1, 5 расчитывались коэффициенты хк(тп) уравнения баланса для всех координат импульсов тп,п = 1,М. В табл. и на рис. представлены оценки коэффициентов (тп) (нормированных к единице) полученные после фильтрации с коэффициентом усиления а = 0.55.
(б)
Рис. 6. Сравнение с истинным спектром сигнала оценок спектров, полученных при БТБТ и предложенном методе ВГАБ
I
5 <
ОД 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 Частота, Гц
(а)
Рис. 5. Динамика изменения коэффициентов х^(тп) спектра сигнала
Полученные результаты были сравнены с истинным спектром сигнала и с оценкой спектра по БТГТ с размером окна Nw = 32. На рис. приведены спектры для моментов времени = 1.9 с (рис. а) и ¿2 = 9.2 с (рис. б)
Для количественной оценки совпадения спектров использовался спектральный угол контрастности. На рис. 7 представлены спектры сигналов для моментов времени = 1.9 с (рис. а) и ¿2 =
£ <
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 Частота, Гц
(б)
Рис. 7. Спектры сигналов на множестве частотных фильтров анализатора спектра (частота указана для центров полос пропускания фильтров)
хк ( п)
к тп х 0.1 с
19 30 43 49 56 67 76 85 92
1 0.0000 0.1673 0.0753 0.2172 0.0977 0.0440 0.0198 0.1621 0.0730
2 0.0000 0.1673 0.0753 0.0950 0.2300 0.1035 0.1908 0.2391 0.2953
3 0.5000 0.3366 0.2931 0.3152 0.3595 0.1618 0.1209 0.1566 0.0704
4 0.5000 0.3288 0.5563 0.3726 0.3128 0.4157 0.3659 0.1647 0.0741
5 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2750 0.3026 0.2775 0.4872
На рис. 8 показаны спектральные углы контрастности для приведенных спектров.
Из расчётов видно, что оценка спектра по методу ВГАБ в целом оказывается более точной, чем оценки спектров по методу БТГТ (на начальном этапе 6враб = 14.03% 0$трт = 49.98°, на конечном этапе 0ВРАб = 15.72% 0БТРТ = 18.85°). В целом исследования показали, что оценка спектра по методу ВГАБ на всём интервале наблюдения сигнала удовлетворяет условию еов(6вРаб) > 0.9, что говорит о хорошей точности оценки спектра.
Для оценки качества полученных спектров на всем интервале наблюдения был восстановлен сигнал на основе спектров, полученных по методу БТГТ н ВГАБ, н проведено сравнение восстановленных сигналов с истинным сигналом по критерию коэффициента корреляции [20]. Восстановление сигнала осуществлялось для каждого окна наблюдения, определённого для соответствующего метода, по текущим оценкам спектра в этом окне. На рис. 9 представлены восстановленные по оценочным спектрам сигналы для методов БТГТ и ВГАБ и истинный сигнал.
(а)
(б)
Рис. 8. Спектральные углы контрастности для спектров, полученных на основе методов БТГТ и ВГАБ по отношению к истинному спектру рис. 6 а при Ь1 = 1.9 с, и рис. 6 6 при £ 2 = 9.2 с
Рис. 9. Истинный сигнал и восстановленные по оценочным спектрам сигналы
Рис. 10. Ошибка восстановления сигнала
Коэффициент корреляции истинного сигнала и сигнала, восстановленного по методу ВГАБ. составляет 0.872. что соответствует высокому уровню корреляции. Эта оценка существенно превосходит оценку корреляции для сигнала, восстановленного по методу БТГТ (коэффициент корреляции 0.314). Средняя ошибка по расстоянию Хемминга для метода ВГАБ составляет около 0.15. для метода БТГТ около 0.4. На рис. 10 показаны абсолютные ошибки восстановления сигнала.
Из графика видно, что при использовании метода ВГАБ ошибки восстановления нестационарного сигнала существенно ниже, чем при использовании метода БТИ?.
Выводы
Были выполнены исследования, разработанного метода частотно-временного анализа на основе использования функций поведения и арифметических рядов (метод ВГАБ) на примерах нестационарных сигналов и проведён сравнительный анализ данного метода с методами оконного преобразования Фурье (в частности с методом ЭТИ?). В статье подробно разобраны результаты исследования для дискретного сигнала инфразвуковой частоты с низкой разрешающей способностью. Такие сигналы являются наиболее сложными для частотно-временного анализа. Для количественного сравнения результатов оценки спектров использовался показатель спектрального угла контрастности, а для сравнения восстановленных по спектрам сигналов коэффициент корреляции. Исследования показали, что предложенный метод ВБАБ является эффективным для частотно-временного анализа рассматриваемых сигналов и во многих случаях превосходит по точности подход на основе БТГТ. В частности оценка спектра по методу ВБАБ на различных интервалах измерения сигнала по косинусу спе-
ктрального угла контрастности на 5 25 % точнее, чем по методу STFT. Восстановленный сигнал по полученным спектрам на всем интервале наблюдения сигнала для метода BFAS по коэффициенту корреляции на 20 - 27% точнее, чем при использовании метода STFT. Таким образом, можно сделать вывод, что метод BFAS для частотно-временного анализа нестационарных сигналов даже в условиях низкой разрешающей способности по частоте является эффективным. Он позволяет получить оценки текущих спектров и обеспечить восстановление на их основе сигнала более точно, чем при использовании метода STFT. Проведенные исследования являются одним из первых шагов в анализе эффективности метода BFAS. В дальнейшем необходимо продолжение исследований на конкретных сигналах различных систем, сравнение с другими подходами к частотно-временному анализу сигналов, в частности с вейвлет анализом.
References
[1] Hippenstiel R.D. ("2017) Estimation. Detection Theory, pp. ■217-242. DOl: 10.1201/9781420042047-8
[2] Boashash B. (2016) Time-frequency Signal Analysis and Processing, Academic Press, 1056 p.. DOl: 10.1016/b978-0-12-398499-9.09988-x
[3] Vetterli M., Kovafievic .1. and Goyal V.K. (2014) Foundations of Signal Processing. DOl: 10.1017/cbo9781139839099
[4] Ashraii A. (2017) Walsh Hadamard Transforms: A Review. Advances in Imaging and Electron Physics, pp. 1-55. DOl: 10.1016/bs.aiep.2017.05.002
[51 Percival D.B. and Walden A.T. (2006) Orthonormal Transforms of Time Series. Wavelet Methods for Time Series Analysis, pp. 41-55. DOl: 10.1017/cbo9780511841040.004
[6] Holighaus N.. Koliander G., Prusa Z. and Abreu L.D. (2019) Characterization of Analytic Wavelet Transforms and a New Phaseless Reconstruction Algorithm. IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 67, Iss. 15, pp. 3894-3908. DOl: 10.1109/tsp.2019.2920611
[7] Bocharnikov V.P. ("2018) Chastotno-chasovyi analiz syhnaliv na osnovi funktsii povedinky i aryfmetychnykh riadiv. Chastyna 1. Analiz pidkhodiv ta opvs motodu [Frequency-time analysis of signals based on behavioral functions and arithmetic rows. Part 1. Analysis of approaches and description of the method]. Proceedings of the center of military and strategic studies NUDU named after 1. Chemyakhovsky, no. 3 (64), pp. 98-115.
[8] Huang N.E. (2005) Hilbert-Huang Transform, and Its Applications, World Scientinc Publishing Company Co. Pte. Ltd.. 311 p.
[9] Wu Z. and Huang N.E. (2009) Ensemble empirical mode decomposition: A noise-assisted data analysis method. Advances in Adaptive Data Analysis, Vol. 01. Iss. 01. pp. 1-41. DOl: 10.1142/si793536909000047
[10] Klir C. (1985) Architecture of Systems Problem Solving. New York. Plenum Press. 539 p.
[11] Schikhof W.H. (1985) Ultrametric Calculus. DOl: 10.1017/cbo9780511623844
[12] Higashi M. and Klir O..I. (1982) Measures of uncertainty and information based on possibility distributions. International .Journal of General Systems, Vol. 9. Iss. 1. pp. 43-58. DOl: 10.1080/03081078208960799
[13] Bocharnikov V. (2019) The Problem Solving Algorithm Time-Frequency Signals Analysis Based on Behavior Functions and Arithmetic Series. Global .Journal of Researches in Engineering: F Electrical and Electronics Engineering, Vol. 19. Issue 1 (Ver. 1.0). pp. 25-39.
[14] Katok S. (2007) p-adic Analysis Compared with Real. Student Mathematical Library. DOl: 10.1090/stml/037
[15] liyttenhove. H..I. (1978)Computer-Aided Systems Modelling: An Assemblage of Methodological Tools for Systems Problem Solving. Ph.D. Dissertation. Binghamton. N.Y.. School of Advanced Technology. SUN Y-Binghamton.
[16] Cornstock F.L. and Uyttenbove H. .1. (1979) Computer-Implemented Grading of Flight Simulator Students. Journal of Aircraft, Vol. 16. Iss. 11. pp. 780-786. DOl: 10.2514/3.58604
[17] Shumway R.H. and Stoiler D.S. (2017) Time Series Analysis and Its Applications. Springer Texts in Statistics. DOl: 10.1007/978-3-319-52452-8
[18] Luenberger D.G. and Ye Y. (2016) Primal Methods. Linear and Nonlinear Programming, pp. 357-396. DOl: 10.1007/978-3-319-18842-3_12
[19] Kruse F.. Lefkoir A.. Boardman .1.. Heidebrecht K.. Shapiro A.. Barloon P. and Goetz A. (1993) The spectral image processing system (SIPS) interactive visualization and analysis of imaging spectrometer data. Remote Sensing of Environment, Vol. 44. Iss. 2-3. pp. 145-163. DOl: 10.1016/0034-4257(93)90013-n
[20] Sharma A. K. (2005) Text Book of Correlations and Regression. DPH mathematics series. New Delhi. Discovery Publishing House. 212 p.
[21] Nefyodov V.I.. Sigov A.S.. Bityukov V.K.. eds. (2006) Metrologiya i radioizm.ereni.ya [Metrology and radio measurements]. Moscow. Higher Sc.. 526 p.
[22] Khanna V.K. Digital Signal Processing. Ram Nagar. New Delhi. S. Chand. 2009. 319p.
Дослщження методу частотно-часового анал!зу сигнал!в на основ! функцш поведшки i арифметичних ряд!в
Бочарнгков В. П., Свсшнгков С. В.
Вступ. У статт! розгляпут! результати досл!джеп-пя методу частотно-часового апал!зу сигпал!в па основ! використаппя фупкцш поведшки i арифметичних ряд!в (метод В FAS, Behavior Function and Arithmetic Series). Наведено результати пор!впяппя ефективпост! застосу-ваппя методу BFAS i методу короткочаспого швидкого перетвореппя Фур'е (STFT) па приклад! пестацюпарпо-го сигналу в д!апазоп! шфразвукових частот з пизькою розд!лыюю здатшетю по частот!.
Метод BFAS. Для виршеппя завдаш1я апал!зу пестацюпарпих сигпал!в ми запропопували використо-вувати властивост! фупкцш поведшки систем, як! представлен! у виг ляд! розпод!лу м!ри можливост!. Для побудови фупкцп поведшки памп використапий матема-тичшш базис р-адичпого числеппя. Повед!пка системи геперуючо! сигнал, мае локалыю-!пвар!аптш д!ляпки. па яких спектр сигналу в!дпоспо стаб!лышй. Для вияв-леппя цих д!ляпок ми використовували п!дх!д до !депти-ф!кац!1 метасистем па основ! апал!зу 3m!ihi иоказпика пе-визпачеиост! для фупкц!! повед!пкп системи. Момепти змши фупкцп повед!ики визпачають коордипати !мпуль-ciioi фуикц!!. яка моделюе вих!дшш сигнал. Коордешати !миульс!в описуються арифметич1шми рядами, як! вико-ристовуються для оц!пки частотного спектра вих!дпого сигналу. Ми встаиовили. що !мпульси досл!джувапого сигналу формуються при паявпост! в його околрщ! балансу !мпульс!в в!д гармошйних фупкц!й. як! формують даиий сигнал. Ми запропопували п!дх!д до визпачмшя оц!пок поточпих спектр!в сигналу па основ! сформо-вапих р!впяпь балансу. Впкорнсташ1я р!впяпь балансу в околрщях !мпульс!в апал!зовапого сигналу дозволяв формувати адаитршпу часову локал!зац!ю для оцшки иоточних спектр!в. Це дало можлнв!сть внкорпстовува-ти запропоповапий п!дх!д для частотно-часового апал!зу пестац!опар1шх сигпал!в. Для згладжуваппя оцшок ми використовували печ!тку ф!льтрац!ю.
Результати дослщження. Ми провели досл!джеп-пя застосувашш розроблепого методу BFAS для апал!зу пестац!опар1шх сигпал!в ! пор!впяли i'x з результатами застосувашш методу STFT. У статт! ми детально роз!-брали результати досл!джепия для дискретного сигналу шфразвуково! частоти з пизькою розд!лыюю здатш-стю. Так! сигпали е пайб!льш складпими для частотпо-часового апал!зу. Для к!льк!спого пор!впя1шя резуль-тат!в оцшки спектр!в ми використовували показпик спектрального кута коптрастпост!. а для пор!впя1шя в!дповлепих за спектрами сигпал!в - коеф!ц!епт кореля-ц!1. Досл!джешш методу BFAS показали, що точшеть оц!пки поточного спектра по косинусу спектрального кута коптрастпост! складае по пижче 0.9, а коеф!ц!епт кореляцп в!дповлепого та !стишгого сигпал!в по пижче 0.87.
Висновки. Досл!джешш показали, що запропоповапий метод BFAS е ефективпим для частотпо-часового апал!зу пестац!опарпих сигпал!в ! в багатьох випадках перевершуе за точп!стю використашш методу STFT.
Ключовг слова: часовий ряд; частотно-часовий ана-л!з; метод STFT; р-адичш числа; фуикци поведшки систем; Mipa можливоста; неч1тк! множит; системний аиал!з; ¡деитифшащя; арифметичш ряди; частотш сие-ктри
Research of the method the time-frequency signal analysis based on the behavior functions and arithmetic
Bocharnikov V. P., Sveshnikov S. V.
Introduction. The study results of the method of time-frequency signal analysis are shown in the article. The study of the method was carried out based on the behavior functions and arithmetic series (BFAS method). Also, the article presents the comparison results of the BFAS method and the short-term Fourier transform method (STFT). The non-stationary signal in the infrasonic frequency range with low frequency resolution was used for comparison.
BFAS method. We've proposed to use the properties of the systems behavior functions, which are represented as the distribution of the possibility measure to solve the problem of non-stationary signals analyzing. We've used the mathematical basis of the p-adic calculus to construct the behavior function. The behavior of a system that generates a signal has locally invariant areas in which the signal spectrum is relatively stable. To identify these areas, we've used a method for identifying the metasystem. It is based on the changes analysis in the uncertainty index of system behavior function. The change moments in the behavior function are determine the coordinates of the impulse function that models the original signal. The coordinates of the pulses are described by arithmetic series, which are used
to estimate the frequency spectrum of the original signal. The pulses of the signal under study are formed when there is a balance of pulses in signal vicinity. The balance is caused by the harmonic functions that form this signal. Based on the formed balance equations, we have proposed an approach to determining the estimates of the current signal spectra. The use of balance equations in the vicinity of the pulses of the analyzed signal allows to form adaptive temporal localization that allows to estimate current spectra. This made it possible to use the proposed approach for time-frequency analysis of non-stationary signals. To smooth the estimates, we've used fuzzy filtering.
The results of the study. We have conducted a studies of the BFAS method usage for the analysis of non-stationary signals and compared the obtained results with the results of using the STFT method. In the article, we analyzed in detail the results of a discrete low-resolution infrasonic signal study. Such signals are the most difficult for time-frequency analysis. We've used the spectral contrast angle to quantitatively compare the results of spectra estimation and to compare reconstructed signals we've used the correlation coefficient. Studies of the BFAS method showed that the estimation accuracy of the current spectrum using the cosine of the contrast spectral angle is not lower than 0.9, and the correlation coefficient of the reconstructed and true signals is not lower than 0.87.
Conclusions. Studies have shown that the BFAS method is effective for time-frequency analysis of non-stationary signals and in many cases exceeds in accuracy the use of the STFT method.
Key words: time series; time-frequency analysis; method STFT; p-adic numbers; system behavior functions; measure of possibility; fuzzy set; system analysis; identification; arithmetic series; frequency spectra
