Исследование математической модели сети случайного доступа с рекуррентным входящим потоком Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 13, Специальный выпуск 5, 2008

Исследование математической модели сети случайного доступа с рекуррентным входящим потоком

Б. Е. Сейсенбеков LEADER PRO GROUP Ltd, Prague, Czechia e-mail: bolat_s@bk.ru

A. H. Туенбаева

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан

e-mail: tuenbaeva_aiya@mail.ru

A modified method is applied for an asymptotic analysis of Markovian systems aimed at investigation of a mathematical model for a casual access network. It results in a differential equation determining the asymptotic average meaning for a number of messages on a source of repeated calls. The formulas determining the probability distribution of service states are given.

Исследуем математическую модель сети случайного доступа [1]. В [2] рассмотрена математическая модель пакетной радиосети, используемой в системе видеонаблюдения для передачи цифровых данных, с потерей искаженных видеосигналов с рекуррентным входящим потоком. Анализ математической модели сети передачи данных по радиоканалу позволил определить предельные возможности рассматриваемого протокола доступа и получить аналитические выражения, определяющие зависимости для основных количественных характеристик качества функционирования обслуживающей системы, т. е. выразить их через величины, характеризующие входящий поток и обслуживающую систему.

Основным отличием рассматриваемой в данной статье модели от исследованной ранее в [2] является то, что заявки, попавшие в конфликт, не теряются, а переходят в источник повторных вызовов (ИПВ), Итак, построим математическую модель сети случайного доступа в виде системы массового обслуживания (СМО) с оповещением о конфликте, на вход которой поступает рекуррентный поток заявок с функцией распределения A(z), Заявка, заставшая прибор свободным, немедленно начинает обслуживаться. Продолжительность обслуживания случайная, имеет экспоненциальное распределение с параметром Если прибор занят, то обслуживаемая и обратившаяся к прибору заявки вступают в конфликт и переходят в ИПВ. От момента возникновения конфликта на приборе реализуется этап оповещения о конфликте, продолжительность которого имеет экспоненциальное распределение с параметром После завершения этапа оповещения о конфликте прибор вновь становится свободным. Все заявки в ИПВ осуществляют случайную задержку, после которой повторно обращаются к обслуживающему прибору. Время пребывания в ИПВ заявок имеет экспоненциальное раепреде-

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2008.

ление с параметром 7. Определим состояние СМО вектором (k(t),i(t), z(t)), где k(t) — состояние прибора:

{0, прибор свободен,

1, прибор занят,

2, прибор в состоянии конфликта;

i(t) — число заявок в ИПВ; z(t) — длина интервал а от момента t до момента прихода следующего требования во внешнем входящем потоке.

Очевидно, процесс (k(t),i(t), z(t)) изменения состояний СМО во времени является марковским. Распределение вероятностей

Pk(i, z, t) = P(kit) = k, i(t) = i, z(t) < z)

удовлетворяет следующей системе [3]:

dPo(i,z,t) dPo(i,z,t) dPo(i, 0,t) .

- -Z-fP0(l,Z,t)+ll1P1(z,Z,t)+ll2P2^,Z,t),

dt dz dz

dPi(i, z, t) dPi(i, z, t) dPi(i, 0, t)

dt dz dz

+ (i + 1)7Po(i + 1,z,t),

dP2{i,z,t) dP2(i,z,t) dP2{i,0,t)

• 4 TW. ч ч / ч dP0 (i, 0, t)

- + i7)Pi(i, z, t) + A{z) 0Kdz 4

,dP2(i — 1,0,t) - ¿х2Р2(г, z, t) + A(z) 2\ 4

(1)

81 дz дz дz

+ (г _ 1)7р1(г _ 1 )7р(г _ 1>;М).

Решение системы (1) достаточно полно определяет функционирование ма-

тематической модели сети случайного доступа, однако точных аналитических методов решения такой системы не существует. Поэтому для исследования полученной системы предложен модифицированный метод асимптотического анализа марковизируемых систем [4].

В новых обозначениях

7 = £, ¿£ = Т, %£ = X, —Рк(ъ, Z, = 7Гк(х, Z, Т, £)

£

система (1) примет вид

дп0(х, z,r,e) dn0(x,z,r,e) дп0(х, 0,г,е)

дт dz dz

+^2^2(x,z,T,e),

дп\(х, z,T,e) dn1(x,z,T,e) дп\(х, 0,т,е)

— хп0(х, z, т, e) + ^1п1(х, z, т, e) +

— + х)п1(х, z, т, e) +

дт dz dz , х

.. дпо(х, 0,т,e) . . . . \2)

+A(z)-—--b (х + £)7Г0(х + £, Z,T, £),

дп2(х, z^,e) дп2(х^,т^) дп2(х, 0,т,e)

--fl2^2{X, Z,T,£) +

дт dz dz

, А, \дП2(х-£,0,Г,£) , А, Лдп1(х — 2e, 0,т^) / \ / ,

+A(z) A q + A(z)----h [X - £)7ri(x ~ £, Z, T, £).

dz

öz öz

öni (x, z, т) öni(x, 0, т)

öz öz

ön2(x, z, т) Ö7T2(x, 0, r)

В системе (2) перейдем к пределу при е — 0, полагая

liimrk(x, z,r,e) = 7Tk(x, z,t), к = 0,2. £—>0

В результате получим систему линейных алгебраических уравнений <9тг0(х, z,r) <9тго(х,0,т)

— Х7Г0{Х, Z, Т) + ßi7Ti{X, Z, Т) + Z, Т) = 0,

\дп0(ж, 0,т)

— [X + ßi)7ri{X, Z, т) + Х7Г0(Х, z, т) + A(z)--- = 0,

О о ~ ^27Г2(х, Z, т) + Х-кЛх, Z, т) +

dz dz

[dz dz J

Решение nk(x, z,t) этой системы будем искать в виде

nk(x,z,T) = Rk(z)ir(x,r), k = 0,2. (3)

Функция nk (x, z, т) имеет смысл асимптотической плотности распределения величины нормированного числа ге заявок в ИПВ, а Rk(z) — распределения вероятностей состояний прибора. Для функций Rk (z) имеет место система уравнений

R0(z) - R0(0) - xRo(z) + ^iRi(z) + ^R2(z) = 0,

R'(z) - Rl(0) - (x + ^i)Ri(z) + xR0(z) + A(z)R0(0) = 0, (4)

R2(z) - R2(0) - ^(z) + xRi(z) + A(z) {R'(0) + R(0)} = 0.

Обозначив

R(z) = R0(z)+ Ri(z) + R2(z), R'(0) = R0(0) + Ri(0) + R (0),

в системе (4) просуммировав все уравнения, получим

R'(z) - R'(0) + {R0(0) + Ri(0) + R2(0)} A(z) = 0.

Откуда

z

R(z) = R'(0) /(1 - A(y))dy. (5)

0

При z —> ж обозначим

lim Rk (z) = Rk. (6)

z—o

2

Rk = 1

k=0

z

ВД = - /(1 - (7)

a J

0

oo

Здесь а = J (1 - A(y))dy — среднее значение длины интервала между моментами на-0

ступления событий входящего рекуррентного потока. Не нарушая общности, можно

положить а = 1. Используя (7), одно из уравнений системы (4) можно исключить и переписать систему в виде

Я[^) = (2х + /^Я^) + хП2^) + (

П>2^) = -хЯ'^) + + ш,

где

ш = Я'(0) + {Я'(0) + Я2(0) -1}Л^) - хЯ^), Ш = Я2(0) - {Я'(0) + Я2(0)}л

Выразим решение Я\^), Я2^) системы (8) через Я[(0), Я'2(0). Для этого запишем характеристическое уравнение для однородной системы в виде

а2 - (2х + /' + /2)а + х2 + 2х/2 + = 0.

Дискриминант уравнения имеет вид

> 0, > /2, + 4х < ¡12,

(2х + + /2)2 - 4(2х + /1)/2 - 4х2 = ^ =0, = /2,/' + 4х = ¡2,

< 0, < /2 < + 4х.

Пусть характеристические числа а\ = а2, тогда функции Я\^) и Я2определяются как

Я'^) = С^У^е*12 + С2^)У(2)еа2*, ,

Я2^) = Сг^)У2{1)еа12 + С2^)У2(2)еа22. 1 }

Здесь величины У'(к) и У2(к) являются решениями однородных систем линейных алгебраических уравнений

(2х + - ак)У(к) + хУ(к) = 0,

2

к)

2

следовательно, можно полагать

-хУ'(к) + (¡2 - ак)У^к) = 0,

У'(к) = /2 - ак, У(к) = х. (11)

Функции С\^) и С2^) определяются системой

С'^У^ еа12 + С2^)У(2) еа22 = С' ^)У2(1)еа12 + С2Ш22) еа22 = ¡2^).

Отсюда

2

<ЭД = —— [ е-^У \ш - } Лу,

а2 - а' х

о

2

= —^ [ е~а2У- Ш } Лу, а2 - а' х

о

поэтому из (10) и (11) получаем

z

Ri(z) = ^ie- / e~aiy Ш - f^^fM dy+

(12)

... 721

а2 — J у х

о

z

[ е"- - Ш}<1у,

а2 — а ] \ х ]

о

z

= —е"1* [ е-^У \ш - \ ¿у+

«2 — «1 ] У X ]

о

z

+—[ е-™~ Му)\с1у. «2 — «1 ] У X ]

о

Так как существуют пределы (6) и характеристические числа > 0, выполняются следующие равенства:

о

сю

e-a24^^f2(y)-f1(y)}dy = 0

x

которые в силу (9) запишем в виде

(xai + xafa(ai) + (^2 — a2)a2a(ai)} R1(0) +

+ (xafa(a1) + (^2 — a2)a1(a1a(a1) — 1)} R(0) = x2(1 — a1)a(a1), ^

{xa2 + xa2«(a2) + (^2 — a1)«2a(a2)} R1(0) + + {xa^o^) + (^2 — a^^^a^) — 1)} R(0) = x2(1 — «2)0(^2),

где a(a) = J e A(y)dy.

о

Полученная неоднородная система (13) линейных алгебраических уравнений однозначно определяет зависимость величин R (0) и R2(0) от x. Выполнив предельный переход z — то в равенствах (12), запишем

¡i2 (Д2(0) — (1 + ж)Д/1(0) — 2} — х — ---,

x2 + 2x^2 + ^1^2

(1 + x)x — 2xR'1(0) + (^1 + x)R2(0) [ V

Íl2 — ---.

x2 + 2x^2 + ^1^2

Суммируя уравнения системы (2) и полагая z — то, получим

dn(x, т, е) д f . . . . dn1(x, 0,т, е) дп2(x, 0,т, е)1 . .

£--- = S XTTi (Х,Т,£) ~ Х7Г0(х,Т,£) + 2----1---- } + 0{£),

дт dx [ dz dz J

где п (x, т, е) = n0(x, т, е) + n1(x, т, е) + n2(x, т, е).

Поделив это равенство на £ и учитывая, что при £ — 0 пк(х,т,£) — пк(х,т), получаем уравнение в частных производных, совпадающее с вырожденным уравнением Фоккера — Планка, относительно п(х,т):

дп(х,т) д Г . дп'(х, 0,т) дп2(х, 0,т)

-—<^ж7г1(ж,г)-ж7г0(ж,г)+ 2—и ' ' ; + 21 ' ' ;

дт дх \ ' ' dz dz

или, учитывая (3),

= ~ М*, г) [х(Пг - До) + 2д;(0) + К'2{0)]} .

Отсюда

х'(т) = x{2Ri + Я2] + 2R1(0) + R'2(0) - x,

где Ri и R2 определены в (14), a R'^ü) и R'2(0) — в (13),

Таким образом, имеем обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции х = х(т),

В результате исследования получено дифференциальное уравнение, определяющее асимптотическое среднее значение числа заявок в источнике повторных вызовов, приведены формулы, определяющие распределение вероятностей состояний прибора. Знание распределения вероятностей обеспечивает наиболее полное, в вероятностном смысле, описание функционирования модели, тем самым знание распределения состояний исследуемой сети дает возможность прогнозировать и контролировать случайные процессы, протекающие в сетях.

Список литературы

[1] Туенваева А.Н. Компьютерные сети случайного доступа. Астана: Изд-во ЕНУ, 2006. 105 с.

[2] Назаров A.A., Туенваева А.Н. Исследование математической модели системы видеонаблюдения с потерей искаженных видеосигналов при рекуррентном входящем потоке // Вест. Том. гос. ун-та. 2006. № 19. С. 156-157.

[3] Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: Учеб. пособие. Томск: Изд-во НТЛ, 2005. 228 с.

[4] Назаров A.A., Моисеева С.П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2006. 112 с.

Поступила в редакцию 28 марта 2008 г.