CC BY
8
ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКА
УДК 621.311
Владимир Дмитриевич Лебедев
ФГБОУВО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина», кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой автоматического управления электроэнергетическими системами, Россия, Иваново, e-mail: vd_lebedev@mail.ru
Наталия Владимировна Кузьмина
ФГБОУВО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина», ассистент кафедры автоматического управления электроэнергетическими системами, Россия, Иваново, e-mail: natalialeb37@mail.ru
Галина Андреевна Филатова
ФГБОУВО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина», кандидат технических наук, доцент кафедры автоматического управления электроэнергетическими системами, Россия, Иваново, e-mail: fgala90@mail.ru
Исследование математических подходов к определению частотно-зависимого внутреннего сопротивления провода воздушной линии электропередачи
Авторское резюме
Состояние вопроса. Математическое моделирование линии электропередачи является важным вопросом для широкого круга задач в электроэнергетике и необходимо при исследовании переходных процессов в электроэнергетических системах. Получение аналитических выражений, позволяющих моделировать ЛЭП в широком частотном диапазоне, включая низкие частоты и постоянный ток, позволяет исследовать функционирование устройств релейной защиты и автоматики в различных режимах и повысить точность устройств определения места повреждения. Актуальным является не только получение аналитических выражений для определения частотных зависимостей сопротивления, но и верификация данных выражений в сравнении с более точными методами, построенными на основе метода конечных элементов.
Материалы и методы. Исследование проведено с применением математического аппарата, построенного на цилиндрических функциях Бесселя. Вывод формул с использованием данных функций базируется на определении постоянных интегрирования на основе граничных условий. Моделирование в целях верификации полученных выражений выполнено в программном комплексе COMSOL Multiphysics, базирующемся на методе конечных элементов.
Результаты. Представлено исследование внутреннего сопротивления проводов ЛЭП на примере провода АС 185/24. Получено аналитическое выражение для определения внутреннего комплексного сопротивления биметаллического провода. Достоверность полученных выражений подтверждена их сходимостью с результатами имитационного моделирования в Comsol и математического моделирования по известным аналитическим выражениям.
© Лебедев В.Д., Кузьмина Н.В., Филатова Г.А., 2022 Вестник ИГЭУ, 2022, вып. 3, с. 24-34.
Выводы. Предложенный подход к определению внутреннего сопротивления провода позволяет получить более точное аналитическое определение параметров воздушной ЛЭП и, соответственно, строить более качественные модели для анализа переходных процессов в ЛЭП и исследовать функционирование устройств релейной защиты и автоматики. Разработанные модели провода в Comsol можно рассматривать как более точные в широком диапазоне частот.
Ключевые слова: параметры воздушных ЛЭП, сопротивление биметаллического провода, частотные зависимости сопротивления ЛЭП, функции Бесселя, имитационное моделирование в COMSOL Multiphysics
Vladimir Dmitrievich Lebedev
Ivanovo State Power Engineering University, Candidate of Engineering Sciences, Associate Professor, Head of Automatic Control of Electrical Power Systems Department, Russia, Ivanovo, e-mail: vd_lebedev@mail.ru
Natalia Vladimirovna Kuzmina
Ivanovo State Power Engineering University, Assistant of Automatic Control of Electrical Power Systems Department, Russia, Ivanovo, e-mail: natalialeb37@mail.ru
Galina Andreevna Filatova
Ivanovo State Power Engineering University, Candidate of Engineering Sciences, Associate Professor of Automatic Control of Electrical Power Systems Department, Russia, Ivanovo, e-mail: fgala@mail.ru
Study of mathematical approaches to determine frequency-dependent impedance of over-head power transmission line
Abstract
Background. Mathematical modeling of a power transmission line (PTL) is an important issue for a wide range of tasks in the electric power industry. Mathematical modeling is necessary when studying the transient processes in electric power systems. Analytical expressions that allow modeling power transmission lines in a wide frequency range, including low frequencies and direct current, make it possible to study the operation of relay protection and automation devices in various modes and improve the accuracy of devices of fault location. It is important not only to obtain analytical expressions to determine the frequency dependences of the resistance, but also to verify these expressions in comparison with more accurate methods based on the finite elements method (FEM).
Materials and methods. The study has been carried out using a mathematical tools based on cylindrical Bessel functions. To develop formulas, it is necessary to determine the constants of integration based on boundary conditions. To verify the obtained expressions, modeling has been performed in the COMSOL Mul-tiphysics software package, which is based on the FEM.
Results. The article presents a study of the internal resistance of the wires of power transmission line using the example of AC 185/24 wire. An analytical expression has been obtained to determine the internal complex resistance of a bimetallic wire. The reliability of the obtained expressions is confirmed by the convergence of the simulation results in comparison with the results of simulation modeling in Comsol software and mathematical modeling using known analytical expressions.
Conclusions. The proposed approach to determine the internal resistance of a wire makes it possible to get more accurate analytic definition of characteristics of an overhead power transmission line. And thus, to design more qualitative models to analyze transient processes in power transmission lines and investigate the operation of relay protection devices. The wire models developed in Comsol software can be considered as more accurate in a wide range of frequencies.
Key words: characteristics of overhead power transmission lines (PTL), bimetallic wire resistance, frequency dependences of PTL impedance, Bessel functions, simulation in COMSOL Multiphysics
DOI: 10.17588/2072-2672.2022.3.024-034
Введение. Воздушные линии электропередачи (ЛЭП) являются наиболее протяженными и наиболее повреждаемыми элементами (85 % от всех повреждений в электроэнергетических системах ЭЭС [1]).
Математическое моделирование и точное задание удельных параметров ЛЭП в широком частотном диапазоне является важной задачей для широкого круга вопросов, включая моделирование переходных про-
цессов в ЭЭС, исследование функционирования устройств релейной защиты и автоматики (РЗА) и др.
Одним из важнейших средств повышения надежности электроснабжения потребителя является совершенствование алгоритмов определения места повреждения (ОМП). Точность задания параметров и моделей ЛЭП (для программного и формульного ОМП1) в алгоритмах ОМП непосредственно влияет на точность ОМП.
Исследования, проведенные в ИГЭУ, показали, что варьирование удельных параметров ЛЭП в пределах, задаваемых реальными условиями эксплуатации (например, по [2]), увеличивает погрешности параметрического ОМП на 10 % и более. Высокочастотные компоненты, так же как и постоянная (апериодическая) составляющая, присутствуют в токах коротких замыканий на ЛЭП, что обусловливает необходимость применения частотно-зависимых моделей при разработке и исследовании алгоритмов ОМП.
Кроме того, неучет частотной зависимости параметров ЛЭП существенно влияет на погрешность при моделировании переходных процессов при однофазных замыканиях на землю в сетях 6-10 кВ, сопровождающихся многочастотными компонентами электрических величин
Частотно-зависимые модели ЛЭП позволят получить более корректные модели для исследований функционирования устройств РЗА и ОМП на волновом принципе [3].
Сопротивление линии провод-земля 2^1 (Ом/км) в зависимости от частоты в общем случае может быть записано как
ZL (а) = гп(а) + Гз(а) + ]а[Цан(а) + ^нешМ]. (1)
где сумма г„(ю) + гз(а) - активное сопротивление, зависящее от частоты и определяющее потери в самом проводе и земле соответственно; сумма [Цн(ю) + Цнеш(ю)] - индуктивность, зависящая от частоты и определяющая способность накапливать энергию в магнитном поле как в самом проводе, так и в токовой петле провод-земля соответственно.
Основным источником, используемым при расчете удельных продольных параметров ЛЭП, является сформулированная еще в 1926 году ^. Сагеоп'ом методика [4], которая применяется и в настоящее время при определении сопротивлений схемы замещения ЛЭП для расчета токов короткого замыкания2. Для практических инженерных расчетов формула дает приемлемые значения для низких частот и в первую очередь для частоты 50 Гц3. Однако в области высоких частот погрешность метода Сагеоп'а велика [5]. Аналитическая зависимость внешней индуктивности от частоты определяется по [6].
Сталеалюминиевые провода ЛЭП марок АС, АСУ и АСО имеют многопроволочную витую структуру, что увеличивает внутреннее сопротивление провода по сравнению с сопротивлением гладкого алюминиевого цилиндра, которое приближенно учитывается с помощью коэффициента скрутки. Физические эксперименты [7, 8] показали зависимость этого коэффициента от марки провода. Величина коэффициента в диапазоне частот 50-1000 кГц изменяется в пределах 1,4-1,7 для проводов с двумя и более повивами алюминиевых проволок и в пределах 2-4,5 для проводов с одним по-вивом алюминиевых проволок.
Современные программные комплексы позволяют построить математические модели, дающие возможность более точно учитывать частотные зависимости. Использование метода конечных элементов (МКЭ), реализованного, например, в программном комплексе Сотэо!, позволяет построить модель с минимумом допущений.
Тем не менее уточненные аналитические выражения, определяющие частотно-зависимые параметры ЛЭП, являются актуальными, например, для представления модели ЛЭП в устройствах программного ОМП, получения аналитических выражений для замера комплексных сопротивлений дистанционной защитой и для расчета
1 СТО 56947007-29.240.55.224 Методические указания по определению мест повреждений ВЛ напряжением 110 кВ и выше // Стандарт организации ПАО «Россети». - М., 2016. - 75 с.
Руководящие указания по релейной защите Вып. 11. Расчеты токов короткого замыкания для релейной защиты и системной автоматики в сетях 110-750 кВ. - М.: Изд-во «Энергия», 1979; РД 15334.0-20.527-98. Руководящие указания по расчету
токов короткого замыкания и выбору электрооборудования.
3 Руководящие указания по релейной защите Вып. 11. Расчеты токов короткого замыкания для релейной защиты и системной автоматики в сетях 110-750 кВ. - М.: Изд-во «Энергия», 1979.
феррорезонансных явлений. Более точное представление линии позволит определить ее текущие удельные параметры и, соответственно, положение точки короткого замыкания. Важность при этом представляют, прежде всего, аналитические выражения для параметров ЛЭП на низких частотах и при постоянном токе, которые не всегда могут быть получены в комплексах моделирования или по известным аналитическим выражениям и методикам.
Ниже представлен вывод аналитических выражений для внутренних сопротивлений провода (активного и индуктивного), и сравнительный анализ полученных выражений с численными расчетами в программе Comsol, а также приведены результаты расчета параметров провода АС-185/24 и сравнение их с результатами расчета в пакете моделирования Comsol и по известным аналитическим формулам.
Параметры исследуемого провода ЛЭП. Параметры исследуемого провода АС-185/24, выполненного по ГОСТ 839-80, сведены в таблице.
Параметры провода
Наименование параметра Ед. изм. Значение
Номинальное сечение мм2 185/24
Алюминиевая часть провода
Число проволок 24
Номинальный диаметр проволок мм 3,15
Стальной сердечник
Число проволок 7
Номинальный диаметр проволок мм 2,1
Отношение сечения алюминиевой части провода к сечению стального сердечника 7,71
Модель для расчета сопротивления провода по методу МКЭ в программе Comsol4 для реального сечения будет иметь вид, представленный на рис. 1.
-0.014 -0.012 -0.01 -0.008 -0.006 -ОЛ04 -0.002
0-002 0.004 0.006 о.оое О.01 0.012 0.014
Рис. 1. Структура реального провода АС-185/24
Для выполнения аналитического расчета импеданса провода с помощью функций Бесселя представим его в виде круглого провода с эквивалентными радиусами стальной (г1) и алюминиевой (г2) жил (рис. 2). Для сравнения такую же модель выполним и в программе Comsol.
4 COMSOL МиШрЬ^БЮБ. АСЮС Мс^и1е иБег'Б Guide. https://doc.comsol.com/5.4/doc/com.comsol.help.acdc/A CDCModuleUsersGuide.pdf
Рис. 2. Модель провода для выполнения аналитических расчетов
Аналитический расчет импеданса провода при токах низкой частоты (при постоянном токе). Данный расчет необходим для последующего сравнения результатов, полученных на основе численных и аналитических выражений в области низких частот.
Используя паспортные данные по материалу провода, найдем активное сопротивление стальной и алюминиевой ^ частей провода по формуле
1
* = —Г- (2)
%г у
где у - удельная проводимость материала; г - эквивалентный радиус (рис. 2).
Для расчета активного и индуктивного сопротивления при токах низкой частоты представим биметаллический провод схемой замещения, показанный на рис. 3.
м
ь
Бе
>ь
А1
Я,
Бе
Я
А1
Рис. 3. Схема замещения провода при токах низкой частоты (поверхностный эффект отсутствует)
Активное сопротивление провода найдено как эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных металлических жил.
Внутреннюю индуктивность биметаллического провода определим исходя из двух видов симметрии: осесимметричности и плоскопараллельности.
Для определения индуктивности используем следующие переменные:
г - текущий радиус, отсчитываемый от центра;
ц - относительная магнитная проницаемость (в данной задаче является ступенчато заданной величиной): ц = 500 при 0 < г < г1 и ц = 1 при г > г1;
ц0 - магнитная постоянная, равная 4л-10"7(Гн/м);
5 - плотность тока, во внутреннем и внешнем цилиндрических проводниках описываемая как
А1
л(Г-2 " <)
5 - /ре 5 -51 " г2 , 51 -ЛГ|
где /Ре и /А| - доли токов во внутренней и внешней частях провода соответственно, которые определим как:
/ре -
/а-■
/Я
А1
ЯА\ + ЯРе
/Я
Ре
ЯА\ + ЯРе
(3)
(4)
Принимая / = 1 А, рассчитаем относительные доли тока в частях провода: /А|- 0.9541 А; /Ре -0.0459 А.
Сопротивления алюминиевой ЯА| и стальной ЯРе частей провода по указанным выше формулам равны:
R = 1.7744е - 4 Ом; ЯРе -0.0037 Ом.
Тогда эквивалентное сопротивление провода постоянному току составит 1,693е - 4 Ом.
Энергия магнитного поля внутри провода, по которой может быть определена индуктивность, представляет сумму энергий в центральной жиле и алюминиевой оболочке:
Щ - Щ
т к
Ре(0ч-г,)
/Ре/А!(г1+г2) '
(5)
где ЩРе(0^}- энергия магнитного поля в стальном сердечнике; энергия
поля в алюминиевой части провода, обусловленная током стального сердечника и собственным током алюминиевой части.
Из известного выражения для внутренней индуктивности однородного цилин-
ЦЦ0
дрического провода Ц -
8л
получим
формулу для энергии стальной части провода:
Щ
ЦЦ0/Р
Ре
Ре(0+Г1)
16Л
(6)
Напряженность магнитного поля в алюминиевой части определим следующим образом:
на\ -
Ре
+ -
/а\(г2 - г2)
2лг (2лг) (г2 - Г2)
(7)
Тогда энергия магнитного поля алюминиевой части может быть определена через интеграл:
щА| - ГЬ^у - ГГ2 2лгбг -
^ О * Г 9
-Цсл|гГ2 НА\ гбг -
(8)
Ц0л|
■"1
Г2 [ /Р^ /А\( Г 2 - Г12)
2лг 2лг(г2 - Г2)
rdr.
После нахождения неопределенного интеграла и нахождения решения для определенного интеграла (после подстановки г2 и г1 как границ интегрирования), учитывая распределение токов в стальной и алюминиевой частях провода, получим следующее выражение для энергии магнитного поля в алюминиевой части провода:
12ц-(3гДА , 2 + г24уА ,2 + 4г/Урз^/пГ2 + 4г/уА, 2/л^ - 4Г12Г22Уа ,2 - 4г/уа ,уР,
- 4.. 2
42 Ре
42
22
М =_^_Г!_
т 16лг/ Уре2 - 32лг/ У ре У А I + 16Я-14 у А ,2 + 32*^^ а , Уре - 32*^^ а , 2 + 16*^ у а ,2
-8-14УреУ А I/П-2 + 4-12-22у А I уре)
+
16 Л-/ уре2 - 32 Л-Дре у а , + 16яг/у А, 2 + 32л-12-22у А, уре - 32л-12-22у А ,2 + 16*^ А, 2 ' Внутренняя индуктивность провода определяется по выражению
и = ■
^2
4 -14/П-2( уре -У А,)2 +У А1 2 (3 -14 + -24)
4 -2
(9)
^Т -12уре2 - ^2-1уреуА, + ^уА,(уре - УА)
8Л(-12уре - -12уа,+ -22уА,)2
(10)
Для сравнения индуктивность круглого однородного немагнитного (алюминиевого) цилиндра по классической формуле равна
и = = 5-Ю-8 Гн. п 8л
(11)
Индуктивность цилиндрической конструкции провода из двух материалов (см. рис. 2), полученная по формуле (10), дает значение Цп = 9,639-10-8 Гн.
Следует отметить, что внутренняя индуктивность провода с учетом электропроводности и магнитной проницаемости в этом случае довольно мала.
Проверка формул в программе Comsol. При поданном условном напряжении в 1 В на один метр длины провода полный ток в проводе составил I = 5906,8 Д.
Магнитная энергия в объеме всего провода составила Wm = 1,681556 Дж/м.
Внутренняя индуктивность провода составила
2 - М я
ЦП = ±-Мт = 9,639 -10-8 Гн.
(12)
Результаты расчетов внутренней индуктивности и внутренней энергии провода по аналитическим формулам (5)-(10) и численные расчеты в программе COMSOL дают 100 %-ное совпадение для постоянного тока.
Расчет индуктивности многожильного провода реальной конструкции (рис. 1) в программе COMSOL при поданном напряжении 1 В на один метр длины провода дал следующие результаты:
• магнитная энергия в объеме всего провода составила Wm = 0,7164 Дж/м;
• внутренняя индуктивность провода составила
2 - М я
ЦП = = 4,0891 -10-8 Гн.
(13)
Таким образом, внутренняя индуктивность реального провода (рис. 1) оказалась в 2,4 меньше, чем для идеальной цилиндрической конструкции (рис. 2). Вычислительные эксперименты показывают, что при уменьшении зазоров между проволоками, т.е. с более плотной навивкой и деформацией проволок, которая имеет место при протяжке во время изготовления, внутренняя индуктивность возрастает и стремится к полученной по формуле (10).
Очевидно, следует ожидать, что и в диапазоне рабочих частот будет наблюдаться аналогичное расхождение в расчетных и реальных индуктивностях.
Аналитический расчет импеданса провода с учетом поверхностного эффекта. Решение данной задачи основано на уравнениях электромагнитного поля, записанных в цилиндрической системе координат с учетом продольной и осевой симметрии:
б282 1 б28„
бг2 б2 Н 2
бг2
г бг 1 б2 Н, г
= у ШЦЦо8«
Н
= у ШЦЩ^т
(14)
(15)
бг г
Введением переменной х = г^ - у оцц0у
приведем к канонической форме уравнения Бесселя:
б2 82 1 б2 8„
бх2 42и2
х бх
б2 Н2 1 б2 Н
-8т = 0;
1
бх2
х бх
(1~)Нт = 0.
х
(16)
(17)
Ц
Решение уравнений (16), (17) посредством специальных цилиндрических функций порядка п может быть представлено как линейная комбинация функций Бесселя, зависимости которых представлены на рис. 4 (функции Бесселя первого рода) и рис. 5 (функции Бесселя второго рода или функции Неймана):
у - Лип(х) + БЫп{х), (18)
где ип и Ып - функции Бесселя п-порядка; А и В - независимые постоянные.
Таким же образом линейная комбинация может быть представлена функциями Неймана и Ганкеля, также являющимися решениями уравнения Бесселя [9].
Рис. 4. Функции Бесселя первого рода
Рис. 5. Функции Бесселя второго рода
Анализируя поведение функций, представленных на рис. 4 и 5, важно отметить, что функции Неймана имеют особенность в начале координат, а с учетом того,
что для последующего решения, как будет показано ниже, будут получены довольно сложные формулы, представляющие собой сочетание цилиндрических функций, следует ожидать, что нули и особые точки не позволят получить идеально сходящиеся решения на всем диапазоне переменных (частот).
В работе Слышалова В.К. и группы авторов [10] представлено решение для биметаллического провода, в котором было использовано сочетание функций Бесселя первого рода нулевого и первого порядков, функций Ганкеля первого рода (Бесселя третьего рода):
Z 0 --
к р
2 л Г
2
^(кг2) + Н01)(кг2) С
Н (к/1)
(19)
40(кг2) + Н01)(к1 г2) С
Н (кг,)
к -< -У
юц0
р
где 4 (кг2) - функция Бесселя первого ро-
(1)
да нулевого порядка; Н0 (кг2) - функция Ханкеля первого рода нулевого порядка; 4(кг2), Н'0кг2) - производные от этих
функций; р - удельное сопротивление материала провода; С - специальный коэффициент, учитывающий наличие сердечника и являющийся функцией частоты.
Учитывая наличие особенностей функций Бесселя, следует ожидать, что сочетание различных функций Бесселя будет по-разному влиять на погрешность расчетов в широком спектре частот. В связи с этим представим вывод формул внутреннего импеданса провода через альтернативные [10] функции Бесселя и выполним верификацию результатов расчетов по полученным ниже уравнениям, выражениям, представленным в [10], и результатам математического моделирования методом конечных элементов в программе Сотэо1.
Вывод уравнения сопротивления провода Z. В уравнении (18) будем считать, что ип - функция Бесселя первого рода п-порядка; Ып - функция Бесселя второго рода п-порядка (называется функцией Неймана).
X
Для плотности тока - п = 0 (нулевой порядок уравнения), а для напряженности магнитного поля - п = 1 (первый):
5 т=Аи0(х) + ВМ0(х); (20)
Нт=С^(х) + ОЛ/1(х). (21)
Кроме того, используя соотношение
5 =Е у
т т I >
(22)
можно записать уравнение для продольной компоненты напряженности электрического поля:
Ет=- ^(х) + -Л/0(х). (23)
у у
Представленные формулы следует расписать для областей с разными физическими параметрами. В частности, для внутренней области 0 < г < г1 (стальной жилы с параметрами у^, ц^) уравнения (20) и (21) при х = г^ - у юцрец0уре принимают вид:
5т = Л)
й ___
Пт ~ I .
V-У ®ЦреЦ0уре
(24)
(25)
где Д)=5т0 _ постоянная, равная плотности тока на оси провода.
Соответственно,
Ёт=^и0(х).
уре
Для внешней области г1 < г < г2 (алюминиевой оболочки с параметрами уД|, цД|) уравнения (20), (21) и (25) при х = г^ - у юц0уА| запишем с соответствующими индексами у независимых постоянных в виде:
5 т=Л^(х) + В1Л/0(х);
д
И - 1
Нт ~ / . -
V-У ®Ц0У А,
+
а
v- у ®ц0 у А,
dN0(x) бх
Е = Ау1(х)Дл/0(х).
у А,
у А,
(26)
(27)
(28)
^ =
В общем виде внутреннее комплексное сопротивление представлено уравнением
Та, ТА,
2т1Г2Нт{г2)
А
V-У'юЦ0У л
^0 г2л/-/®Ц0Ул!"
(29)
в котором постоянные интегрирования А, и В, совместно с Д, могут быть получены из граничных условий, представленных выражениями
уре у А, Уа,
^-у ЮЦ0Цреуре
А
л/^-/ ®Ц0У А,
^Г1Л/-УЮЦоУд! -
А
V-/®Ц0У А,
(30)
(31)
решая совместно которые получим окончательное выражение для комплексного сопротивления:
V-®Ц0УА, (КэуреУ1У5 - ^1уреУ4У5 - ^^^Эл/Ц^е + К1 Л/УЛГУ3У6Л/Ц^ре )
лК4г2уА|уг2у3л/Цреуре - лК2г2УА^л/Цреуре - лК3г2УА^ре1?1 + лК2г2УА^е^1
2
где переменные определяются функциями Бесселя:
- 40Г2Л/-уаЦсУА\;
- 41Г2Л/-У'аЦ0УА! ;
хз- Г2 л/^^^сйРеуРГ;
Х4 - 40Г1л/-уаЦсУА\;
Х5- 41Г1л/-/ац0цРёуРГ;
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
Сопоставление результатов расчета. Приведем результаты аналитического расчета импеданса провода по формулам (19) и (32) в частотной области от 1 Гц до 1 МГц (рис. 6-9).
МКЭ (Сотзо!) ■ Уравнение 19 —Уравнение 32 --МКЭ для
АС185/24
Х6- 40Г1v -уац0у а\ ;
К1 - Н0Г2л/-у'ац0уА\; К2 - Н1Г2 V-уац0уА\; кз- Н0Г1^ -уа ц0у а\; К4 - Н1Г1л1 -У'аЦ0У А\.
Рис. 6. Зависимость активного сопротивления провода АС 185/24 от частоты
Полученные графики (рис. 6) демонстрируют практически полное совпадение на высоких частотах, однако на низкой частоте (рис. 6) имеется существенное расхождение. Наиболее точную и плавную зависимость демонстрирует кривая по расчетам МКЭ (Соmsol). Неустойчивый тренд в низкочастотной области зависимости активного сопротивления от частоты (рис. 7) по формуле (19) может быть объяснен более высоким порядком формул Бесселя,
используемых в (19), по сравнению с (32). У реального провода благодаря его проволочной структуре активное сопротивление ниже, чем дают аналитические формулы (19) и (32).
к
Уравнение 19 Уравнение 32 МКЭ для АС185/24 Сопротивление постоянному току
«в
^ (Гц)
Рис. 7. Зависимость активного сопротивления провода АС 185/24 от частоты (область низких частот)
Зависимости реактивного сопротивления провода представлены на рис. 8, 9, где также видим аналогичное совпадение графиков на высоких частотах (рис. 8) для идеализированного сплошного цилиндрического провода. Для реального провода индуктивное сопротивление ниже, так как из-за расщепления провода снижается поверхностный эффект. В области низких частот, также как и для активного сопротивления, расчеты дают существенное различие между результатами, полученными по уравнениям (19), (32) и расчетом МКЭ.
МКЭ (круглый цилиндр) _ Уравнение 19
— Уравнение 32
- МКЭ для АС185/24
Рис. 8. Зависимость внутреннего реактивного сопротивления провода Ас 185/24 от частоты
Полученные графики показывают, насколько расходятся значения параметров провода для реальной многожильной структуры провода. В целом в области высоких частот активное и индуктивное сопротивле-
ния реального провода меньше рассчитанных ранее значений на 5-15 %. В области высоких частот ошибка вычислений по причине расщепления провода по формулам (19) и (32) может быть учтена в виде поправочного коэффициента.
,1с,-5
Рис. 9. Зависимость реактивного сопротивления провода АС 185/24 от частоты (область низких частот)
Картина поля, иллюстрирующая поверхностный эффект при частоте тока 1000 Гц, представлена на рис. 10.
Рис. 10. Картина поля (силовые линии напряженности магнитного поля) с заметно выраженным поверхностным эффектом провода АС 185/24 для частоты 1000 Гц
Сравнивая расчетные выражения (19) и (32), можно отметить, что (32) ведет себя более устойчиво в области низких частот. В мегагерцовом диапазоне, напротив, предпочтительнее использовать выражение (19).
Данное исследование является частью работ, посвященных моделированию ЛЭП и определению ее параметров в широком частотном диапазоне для целей релейной защиты и автоматики, выполненных, в том числе, на волновом принципе.
Выводы.
1. Предложенный подход к определению внутреннего сопротивления провода
позволяет получить более точное аналитическое определение параметров воздушной ЛЭП, что, в свою очередь, позволит строить более качественные модели для анализа переходных процессов в ЛЭП, а также исследования функционирования устройств релейной защиты и автоматики.
2. В целях верификации анализируемых выражений на основе функций Бесселя проведенные вычислительные эксперименты позволили с высокой достоверностью определить точность полученных выражений в широком спектре частот.
3. Численные модели, составленные в программном комплексе Comsol, также были верифицированы на основе анализа асимптотического приближения расчетных кривых сопротивлений в области низких и высоких частот.
4. Полученные величины параметров провода позволяют получить более корректные модели ЛЭП, в том числе на токах высокой и низкой частоты, для широкого круга задач.
5. Сравнение результатов расчета с расчетом в программных комплексах, не использующим МКЭ, может стать предметом дальнейших исследований.
Список литературы
1. Ankamma Rao J, Gebreegziabher Ha-gos. Comparison of Accuracy of various Impedance Based Fault Location Algorithms on Power Transmission Line // International Journal of Science and Research (ISR). - March 2015. - Vol. 4, Issue 3. - Р. 1869-1873.
2. Иванов И.Е. Анализ степени вариации параметров высоковольтных воздушных линий электропередачи // Международный научно-исследовательский журнал. - 2018. - № 12-1(78). -С. 95-100. DOI: 10.23670/IRJ.2018.78.12.016.
3. Модели волновых процессов в воздушных линиях 6-10 КВ для решения задачи определения места однофазного замыкания на землю /
B.К. Слышалов, В.А. Шуин, Ю.А. Киселева, Д.И. Ганджаев // Вестник ИГЭУ. - 2004. - Вып. 6. -
C.47-53.
4. Carson J.R. Wave propagation in overhead wires with ground return // The Bell System Technical Journal. - Oct. 1926. - Vol. 5, No. 4. -Р. 539-554.
5. Кутумов Ю.Д., Лебедев В.Д. Математическое моделирование линий электропередачи сверхвысокого напряжения для разработки устройств релейной защиты на волновом принципе // Вестник ИГЭУ. - 2020. - Вып. 2. -С.40-50.
6. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т. 2. Учебник для вузов. - Л.: Энергоиздат, 1981. - 416 с.
7. Морозов Ю.А., Владимирова Г.И.
Определение активных сопротивлений многопроволочных скрученных проводов на высоких частотах // Электротехника. - 1963. - № 12. -С. 60-61.
8. Кузнецов И.Ф., Каган В.Г., Малаян К.Р.
Методы измерений электрических параметров многопроволочных проводов воздушной линии в диапазоне высоких частот // Электричество. -1968. - № 1. - С. 1-4.
9. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1973. - 832 с.
10. Слышалов В.К., Ганджаев Д.И., Шуин В.А. Расчет комплексного сопротивления проводов воздушной линии электропередачи. // Электроэнергетика: материалы конф. - Иваново, 2007. - С. 50-53.
References
1. Ankamma, Rao J, Gebreegziabher, Ha-gos. Comparison of Accuracy of various Impedance Based Fault Location Algorithms on Power Transmission Line. International Journal of Science and Research (ISR), March 2015, vol. 4, issue 3, pp. 1869-1873.
2. Ivanov, I.E. Analiz stepeni variatsii par-ametrov vysokovol'tnykh vozdushnykh liniy el-ektroperedachi [Analysis of variation degree of the parameters of high-voltage overhead power lines]. Mezhdunarodnyy nauchno-issledovatel'skiy zhur-nal, 2018, no. 12-1(78), pp. 95-100. DOI: 10.23670/IRJ.2018.78.12.016.
3. Slyshalov, V.K., Shuin, V.A., Kiseleva, Yu.A., Gandzhaev, D.I. Modeli volnovykh protsessov v vozdushnykh liniyakh 6-10 KV dlya resheniya zadachi opredeleniya mesta odnofaznogo zamykaniya na zemlyu [Models of wave processes in 6-10 kV overhead lines to determine location of
single-phase earth fault]. Vestnik IGEU, 2004, issue 6, pp. 47-53.
4. Carson, J.R. Wave propagation in overhead wires with ground return. The Bell System Technical Journal, Oct. 1926, vol. 5, no. 4, pp. 539-554.
5. Kutumov, Yu.D., Lebedev, V.D. Ma-tematicheskoe modelirovanie liniy elektroperedachi sverkhvysokogo napryazheniya dlya razrabotki ustroystv releynoy zashchity na volnovom printsipe [Mathematical modeling of ultra-high voltage transmission lines to develop relay protection devices based on wave principle]. Vestnik IGEU, 2020, issue 2, pp. 40-50.
6. Neyman, L.R., Demirchyan, K.S. Teoret-icheskie osnovy elektrotekhniki. T. 2 [Theoretical foundations of electrical engineering. Vol. 2]. Leningrad: Energoizdat, 1981. 416 p.
7. Morozov, Yu.A., Vladimirova, G.I. Opre-delenie aktivnykh soprotivleniy mnogoprovo-lochnykh skruchennykh provodov na vysokikh chastotakh [Determination of active resistance of multi-wire twisted wires at high frequencies]. Elektrotekhnika,1963, no. 12, pp. 60-61.
8. Kuznetsov, I.F., Kagan, V.G., Malayan, K.R. Metody izmereniy elektricheskikh parametrov mnogoprovolochnykh provodov vozdushnoy linii v diapazone vysokikh chastot [Methods to measure electrical parameters of multi-wires of overhead line in high frequency range]. Elektrichestvo, 1968, no. 1, pp. 1-4.
9. Korn, G.A., Korn, T.M. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhener-ov [Handbook on mathematics for scientists and engineers]. Moscow: Nauka, 1973. 832 p.
10. Slyshalov, V.K., Gandzhaev, D.I., Shuin, V.A. Raschet kompleksnogo soprotivleniya provodov vozdushnoy linii elektroperedachi [Calculation of complex resistance of wires of overhead power line]. Materialy konferentsii «Elektroener-getika» [Conference proceedings "Power industry"]. Ivanovo, 2007, pp. 50-53.
