Исследование линейных нестационарных систем Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Математические методы моделирования, управления и анализа данных.

УДК 62.506.1

Е. С. Мангалова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Рассматривается применение гипотезы «замораживания» коэффициентов как один из методов исследования линейных нестационарных систем, а также решение вызванной применением этой гипотезы задачи учета ненулевых начальных условий.

Одним из способов исследования нестационарных систем является применение методов теории стационарных систем. Чтобы применить эти методы, нестационарную систему заменяют стационарной. Это достигается «замораживанием» коэффициентов дифференциальных уравнений динамики - заменой непрерывной нестационарной системы кусочно-стационарной, коэффициенты которой на определенных интервалах времени принимаются постоянными и конечные значения координат системы на предыдущем интервале принимаются за начальные значения последующего интервала [1]. Ни интеграл Дюамеля, ни интегральный оператор Коши не учитывают начальные условия, что делает возможным построение модели в форме интеграла Дюамеля или интегрального оператора Коши только для первого интервала стационарности. К тому же гипотезы о стационарности на определенных интервалах в данном случае будут приниматься только на основе начальных отрезков реакций системы на определенное воздействие, приложенное в разные моменты времени. Поэтому возникает необходимость учета ненулевых начальных условий.

Записывая реакции системы в дискретном виде на некоторое постоянное воздействие, приложенное в моменты времени 0 и ф, и сравнивая их, получаем, что, начиная с момента времени ф, параметры систем идентичны и все различия реакций обусловлены различными начальными условиями (ненулевыми для первой реакции и нулевыми для второй):

ф/ Д-1

х[0, ] - х[ф, ] = X «К, ]Д ,

4=0

,= № г, > Гф, где И[г, г] - импульсная переходная функция.

Выразим одну реакцию через другую:

ф/ Д-1

х[0,г1 ] = X «[*4№4,г1 ]Д + х[ф, г1 ],

4=0

,=№ г, > Гф.

Таким образом, реакцию системы на некоторое воздействие при ненулевых начальных условиях можно представить как сумму реакции на это же воздействие при нулевых начальных условиях и свободных колебаний из положения, заданного начальными условиями.

Тогда с учетом возможности любых начальных условий:

ф/ Д-1 г,/ Д-1

х[0, г1 ] = X «КЖ, г1 ]Д+ X «КЖ, г1 ]Д,

Г=0 4=ф / Д

г , >гф, ,= СГЛ_.

Задача сводится к отысканию управления, переводящего систему в заданное начальными условиями положение, что возможно сделать за число тактов, не меньшее порядка дифференциального уравнения, описывающего систему. При этом знание порядка дифференциального уравнения не является значимым фактором, достаточно предположения о порядке, который заведомо выше истинного.

Нахождение данного управления - это решение системы линейных уравнений:

г, / Д-1

х[0, г1 ] = X «КЖ, г1 ]Д, г1 < гф.

Г=0

Вектор « [т, ] неизвестен, также неизвестна реакция х[0, г , ] до некоторого момента времени, с которого реакция х[0, г, ] определяется заданными начальными условиями.

Так как число неизвестных больше числа уравнений, то решений системы бесконечно много. Рассмотрим два способа доопределения системы.

Первый способ: точное задание траектории перевода системы в заданное положение. В силу вида матрицы Н метод с заданием х[0, г] не работоспособен для систем высоких порядков.

Второй способ: отыскание управления в виде кусочно-постоянной функции. В отличие от первого способа никаких дополнительных требований к траектории перевода не предъявляется, зато требование кусочно-постоянного управления фактически эквивалентно достаточно равномерному распределению управления или, по крайней мере, ограниченности управления (чего не происходит при задании траектории для систем высоких порядков).

Кусочно-постоянное управление, переводящее систему в заданное положение, позволяет с достаточной точностью определять свободные колебания из заданного положения

г , / Д-1

х '[0, г1 ] = X «'[\ Ж, г1 ]Д,

4=0

а следовательно, и реакцию системы на некоторое воздействие при любых начальных условиях.

С учетом ненулевых начальных условий применение гипотезы «замораживания» коэффициентов становится действительно обоснованным. Кроме того,

Решетневские чтения

возможно получать в результате разбиения не отрезки Библиографическая ссылка

переходных характеристик, что является бессмысленным при достаточно быстром изменении коэффици- 1. Многорежимные и нестационарные системы ав-

ентов, а переходные характеристики на всей времен- тематического управления / Б. Н. Петров [и др.] ; под

ной области. ред. акад. Б. Н. Петрова. М. : Машиностроение, 1978.

E. S. Mangalova

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk THE RESEARCH OF LINEAR NON-STATIONARY SYSTEMS

The appliance of «freezing» coefficients hypothesis as a solution method to calculate non-zero initial values' problem which causes the hypothesis appliance is examined.

© Мангалова Е. С., 2010

УДК 519.233.5:621.791.92

О. А. Масанский, А. М. Токмин, П. О. Шалаев Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПАРАМЕТРОВ ИНДУКЦИОННОЙ НАПЛАВКИ

Применение метода регрессионного анализа для определения функциональных зависимостей между параметрами проведения наплавки позволяет рассчитать, какой должна быть скорость наплавки и толщина наплавленного слоя для получения требуемой величины повышения износостойкости материала.

Одним из практических способов повышения эксплуатационных свойств изделий, работающих в условиях ударно-абразивного износа, является наплавка рабочих частей, которые в наибольшей степени подвержены такому воздействию.

В ходе экспериментальных исследований были получены данные, характеризующие комплексную взаимосвязь между следующими параметрами: скоростью наплавки, толщиной наплавленного слоя, величиной повышения износостойкости материала и твердостью материала (см. таблицу).

Для определения функциональных зависимостей между этими величинами использован метод регрессионного анализа.

Зависимость толщины наплавленного слоя от скорости наплавки (т. е. функция у(х)) определялась с помощью нелинейной регрессии. Интерпретирование значений параметров, представленных в таблице, осуществлялось как значения случайных величин х и у, которые имеют некоторое совместное распределение вероятностей (эти значения будем обозначать х, и

у, , = 1...10).

Проанализировав расположение точек (х,, у,) в системе координат, предположим, что зависимость у от х имеет вид

у(х) = £>0 • ,

где Д0 и Д - некоторые регрессионные параметры, которые нам необходимо найти. Найдем их в соответствии с принципами средней квадратической регрессии, т. е. с помощью метода наименьших квадратов.

В качестве статистических оценок параметров Д и Д выбираем такие значения Д0 и Д1 , которые обраща-

ют в минимум выражение ^ (yi - y (xt ))2 . Задачу

ми-

нимизации решаем с помощью пакета Mathcad 12.0 и в результате получаем, что минимум данного выражения достигается при значениях Д = 500,102 и Д =-0,788. Для оценки точности построения регрессии можно найти несмещенную оценку средне-квадратического отклонения с2. Она вычисляется по формуле

_ £ (у, - у (х, ))2 у2 = ^-,

где т - 1 - число неизвестных регрессионных параметров (в нашем случае т - 1 = 2); п - объем выборки (в нашем случае п = 10). Получаем, что

у2 = 7,172 •Ю-3.

Итак, искомая функциональная зависимость у(х) имеет вид

у( х) = 500,102 • е-°,788х.

Проведем аналогичную процедуру, чтобы определить функциональную зависимость между толщиной наплавленного слоя у и величиной повышения износостойкости г. Получим:

2( у) = 47,1141п (у +1,263)-10,415.