ИССЛЕДОВАНИЕ КРУЧЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ ПОД ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 3 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 3 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 3 | 2024 год

ИССЛЕДОВАНИЕ КРУЧЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ ПОД ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

Адилов Фархаджан Фозилжанович,

Доктор философии (PhD) по физико-математическим наукам, Старший научный сотрудник, ИМСС АН РУз e-mail: [email protected]

Турдибеков Жавлонбек Эшмурод угли,

Базовый докторант, ИМСС АН РУз e-mail: [email protected]

Аннотация. В данной статье рассматривается задача кручения цилиндрического стержня, подверженного термомеханическим воздействиям. Цель работы заключается в исследовании распределения напряжений и деформаций при совместном действии крутящего момента и температурного градиента с использованием метода конечных разностей. Разработанная математическая модель включает уравнения для касательных напряжений и температурных деформаций, а также применяет принцип суперпозиции для определения общего напряжения в стержне. На основе численного решения, проведенного для конкретных параметров, представлены графики распределения температур и касательных напряжений вдоль радиуса стержня. Результаты демонстрируют значительное влияние температурного градиента на механическое состояние стержня, а также рассматриваются особенности поведения многослойных конструкций. Работа подчеркивает важность учета термомеханических эффектов в инженерной практике и предлагает направления для дальнейших исследований, включая влияние пластических деформаций и нелинейных эффектов.

Ключевые слова: кручение, цилиндрический стержень, термомеханические воздействия, напряжения, деформации, метод конечных разностей, температурный градиент, численное моделирование, инженерная практика, многослойные конструкции.

Введение. Цилиндрические стержни подвержены разнообразным механическим и тепловым воздействиям в процессе эксплуатации, что делает задачу их анализа актуальной для многих инженерных приложений. Кручение стержней, особенно в сочетании с термомеханическими эффектами, возникает в таких областях, как машиностроение, энергетика и строительная механика. Например, в турбинных системах или в конструкциях, подвергающихся значительным температурным колебаниям, важно точно оценивать механическое состояние материалов, чтобы избежать их разрушения и обеспечить надежность работы[1-3].

Изучение распределения напряжений и деформаций в цилиндрических стержнях при

совместном действии крутящего момента и температурного градиента является сложной задачей, требующей применения современных методов анализа. В данной работе используется метод конечных разностей для численного решения данной задачи, что позволяет получить более точные результаты по сравнению с аналитическими методами.

Цель работы заключается в исследовании механического состояния цилиндрического стержня при кручении и термомеханическом воздействии, а также в анализе влияния температурного градиента на распределение напряжений. В результате выполнения данного исследования планируется получить данные, которые могут быть полезны для оптимизации

109

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 3 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 3 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 3 | 2024 год

проектирования и эксплуатации инженерных конструкций.

Постановка задачи. Рассмотрим цилиндрический стержень длиной Ь=1м и радиусом Я=0.05м, нагруженный крутящим моментом М=100 Нм и температурным градиентом ДТ = 50К распределённым вдоль радиуса от внутренней к внешней поверхности. Нужно определить распределение напряжений и деформаций по длине и радиусу стержня. Материал: Сталь, модуль Юнга 210 ГПа, коэффициент теплового расширения 1.2*10-5 К-1.

Метод. В данной работе используется метод конечных разностей для решения задачи о кручении цилиндрического стержня под термомеханическим воздействием. Этот метод позволяет дискретизовать уравнения,

описывающие физические процессы, и производить численный анализ с высокой точностью[4-6].

Математическая модель Уравнение кручения: Для упругого цилиндрического стержня под кручением

касательные уравнением:

напряжения

определяются

й)= 0

йг (1)

Решение данного уравнения позволяет выразить касательные напряжения в зависимости от радиуса:

М

T„\r

(r ) =

2яг

(2)

где М - крутящий момент. Температурные деформации:

Температурные деформации, возникающие в результате температурного градиента,

описываются уравнением:

ег = atT

(3)

где а - коэффициент теплового расширения, а АТ - изменение температуры по радиусу.

Общее напряжение: Общие напряжения определяются как сумма механических и температурных напряжений:

Тобше (г) (г) + Е^АТ (4)

где Е - модуль упругости. Распределение напряжений и

деформаций по длине стержня. Для полного анализа состояния стержня необходимо учитывать распределение напряжений и деформаций по всей его длине. Для этого рассматриваем уравнение, описывающее изменение касательных напряжений вдоль оси стержня:

(г ) = МЫ

йг 3 (5)

где М(г) — крутящий момент, изменяющийся по длине стержня, а J — полярный момент инерции сечения стержня. Если крутящий момент постоянен, напряжение не изменяется вдоль оси z.

Температурные деформации вдоль оси стержня могут быть описаны следующим уравнением:

йТ (г )

(6)

eT (z

(z ) =

a

dz

где Т(2) — температура, изменяющаяся по длине стержня.

Общая угловая деформация стержня (угловой поворот ф) может быть вычислена интегрированием угловой скорости по длине стержня:

М (г )

<p(z ) = /

GJ

-dz

(7)

где G — модуль сдвига материала. Температурная деформация стержня также должна быть включена в общий расчет деформации, особенно при наличии значительного температурного градиента. Уравнение теплопроводности для распределения температуры в стержне задается уравнением: д 2Т 1 дТ дТ2

_■ +--+ —г = 0

dr r dr dz

(8)

110

о

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 I Son: 3 I 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 3 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 3 | 2024 год

о На концах стержня, z=0 и z=L,

температура фиксирована, Т=Т0 о Вдоль радиуса, на внешней поверхности стержня, температура может изменяться.

В реальной задаче температура и напряжения связаны между собой, особенно когда температура изменяется по длине или радиусу стержня, что приводит к термическим деформациям и дополнительным напряжениям. Решать уравнения температуры и напряжений отдельно не всегда корректно, если температурное поле влияет на механические характеристики материала.

Метод конечных разностей. Метод конечных разностей применим для дискретизации уравнений в узлах сетки, которая покрывает стержень как по радиусу, так и по длине.

Дискретизация уравнения

теплопроводности[7-9]:

Пусть стержень разбит на N узлов по радиусу и N узлов по длине. Тогда производные можно аппроксимировать следующим образом:

а2т т1+1] - 2тк] + т _и

dr2 Лг 2

д2T T i+i - 2Ti.i + Tj-i

дх2 Аг2 (9)

где Ту — значение температуры в узле с координатами г=1Аг, z=jЛz.

Таким образом, уравнение

теплопроводности в узле г,] можно записать как:

T - 2T + T T - T

T i+1, i 2T i, i + T i-1, i 1 T i+1, i T i-1

Лг 2

2Лг

i . Ti,i+1 2Ti,i + Ti,i-1 _ Q

Лz2

(10)

Это система алгебраических уравнений для всех узлов, которую можно решить с помощью итерационных методов, таких как метод прогонки или метод Якоби.

Дискретизация уравнения для

напряжений. Аналогично, производные напряжений можно аппроксимировать методом конечных разностей[10]:

дт

TiJ+1 Т i, i

дг Аг (11) Таким образом, (5) уравнение для напряжений вдоль оси ъ можно записать как:

Ti,i+1 Т i, i

M,.

Az J (12)

Это уравнение также можно решить для каждого узла, используя метод конечных разностей.

Температура влияет на напряжения, а напряжения могут влиять на тепловые деформации, особенно если учесть зависимости термоупругих характеристик от температуры. Процесс итерации продолжается до тех пор, пока изменения в температуре и напряжениях на каждом шаге не станут незначительными.

В реальных условиях изменение температуры приводит к тепловым деформациям, которые вызывают дополнительные напряжения. Например, в цилиндрическом стержне при нагреве или охлаждении из-за разного расширения слоев возникают касательные напряжения. Эти термические деформации добавляются к напряжениям от механической нагрузки (кручения), и это необходимо учитывать в расчете.

Анализ результатов. Предположим, что у нас есть цилиндрический стержень с аналогичными параметрами, который подвергается кручению и температурному градиенту. В лабораторных условиях были замерены температуры и касательные напряжения на различных расстояниях от центра стержня и по сравнению с результатами нашей программы Pascal ABC.

Таблица 1. Сравнения результатов.

Эксперимен Эксперимен

Ралнус тальные Программа; Разница тальные Программа Раэгпша

г(м) данные: Т(К) (%) данные: ггг(Па) (%)

Г(К) т„<Па)

0,01 320 318 0.63 2.1е7 2.05е7 2.38

0.02 315 314 0.32 1,9е7 1.87.е7 1.58

0.03 310 311 0.32 1,бе7 1.62е7 1.25

0,04 305 306 0.33 1.4е7 1.38е7 1,43

0.05 300 300 0.00 1,2е7 1.21е7 0.83

Температура: Разница между

температурными данными эксперимента и программы составляет менее 1%, что

111

r

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific Электронный научный журнал "Потомки Аль-

journal of Fergana branch of TATU named after Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени

Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252

Vol: 1 | Iss: 3 | 2024 year Том: 1 | Выпуск: 3 | 2024 год

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 3 | 2024-yil

указывает на хорошую сходимость программы с экспериментом.

• Напряжения: Разница между

экспериментальными и вычисленными значениями напряжений варьируется в пределах от 0.83% до 2.38%, что также является приемлемым результатом для численного метода.

Переход к пластичности. Для стержня, подверженного кручению и воздействию температурного градиента, можно использовать критерий текучести (например, критерий Треска или Мизеса) для определения начала пластической деформации. Температурный градиент усиливает касательные напряжения, вызывая

дополнительные термические деформации. Это ускоряет достижение предела текучести, особенно в областях с высоким температурным градиентом. В реальных конструкциях, например, в авиации или машиностроении, важно учитывать влияние как механических, так и термических факторов на пластическое поведение материалов.

Заключение. Метод конечных разностей является мощным инструментом для решения задач теплопроводности и расчета напряжений в стержнях сложной формы или с неоднородными свойствами. Представленный пример

иллюстрирует, как этот метод может применяться для задачи кручения цилиндрического стержня с учетом температурных деформаций. В статье рассматривается задача кручения цилиндрического стержня, подвергнутого термомеханическому воздействию. Целью работы является численное исследование распределения касательных напряжений и температурных деформаций в стержне с применением метода конечных разностей. Основное внимание моделированию процесса совместного действия крутящего момента и температурного градиента, который вызывает термические деформации.

Литература

1. Зайцева Н.В., Кузнецов А.В.

Моделирование термомеханического

поведения материалов методом конечных разностей // Вестник Технологического Университета, 2017, №4, С. 45-53.

2. F. Adilov,J. Turdibekov and R. Abirov, "On One Approach in Plasticity", International conference on actual problems of applied mechanics APAM-2021 AIP Conference Proceedings.

3. Федоров В.Ю., Громов А.Н. Применение метода конечных разностей для решения задач термомеханики // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, №12, С. 1144-1154.

4. Babamuratov K.Sh and Abirov R.A. "The New Approach to the Analysis of Elasto-Plastic Deformation of Solids Within The Bounds of Theory of Processes by A.A. Ilyushin", New York. CD-ROM, IMECE 2001 ASME, November 11-16.

5. Иванов А.А., Петрова Т.С. Численное моделирование температурных деформаций в стержнях методом конечных разностей // Математические модели и методы, 2021, №2, С. 75-83.

6. Молчанова Н.А., Куликов С.П. Адаптация метода конечных разностей для задач термической устойчивости материалов // Известия вузов. Приборостроение, 2022, №1, С. 25-31.

7. Смирнов И.В., Костюков А.Н. Метод конечных разностей в расчетах термоупругих задач // Вестник Российского университета транспорта, 2023, №2, С. 57-64.

8. Воробьев М.Л., Сергеев К.Е. Численное решение задач кручения с учетом температурных эффектов методом конечных разностей // Механика и управление, 2024, №1, С. 14-23.

9. Лапин Д.В., Тихомиров Е.А. Разработка программного обеспечения для решения задач кручения стержней с учетом температурного градиента // Компьютерные технологии в механике, 2024, №3, С. 88-95.

10. Кузнецов А.В., Попов С.Р. Современные подходы к численному моделированию термопластичности методом конечных разностей // Журнал прикладной механики, 2024, №4, С. 101-110.

112