Исследование кристаллов без центра инверсии на основании квантового кинетического уравнения Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭЛЕКТРОНИКА

УДК621.039.05

ИССЛЕДОВАНИЕ КРИСТАЛЛОВ БЕЗ ЦЕНТРА ИНВЕРСИИ НА ОСНОВАНИИ КВАНТОВОГО КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ЧЕРНЫШОВ Н.Н. * 1 2

Описывается полученная по электрическому полю поправка к току, связанная с отсутствием центра инверсии кристалла. Рассматривается случай невырожденного электрического газа. Качественно статический расчет показано моделью асимметричных рассеивателей. Циркулярный фотогальванический эффект в этом расчете отсутствует и поле может считаться действительным. Поскольку решение задачи рассматривается за рамками борнов-ского приближения, основанием является метод квантового кинетического уравнения.

1. Введение

В теории кинетических явлений ток в сильном электрическом поле является нечетной функцией. С учетом анизотропии при разложении тока по полю тензор aijk равен нулю. Целью является разработка методики расчета асимметричных рассеив ателей при отсутствии циркулярного фотогальванического эффекта. Задачи исследования - разработка математической модели переноса заряда и решение квантового кинетического уравнения итерациями по нечетному интегралу столкновений.

2. Явления переноса заряда в электрическом поле

Из теории кристаллографии следует, что тензор нечетного ранга не равен нулю в кристалле без центра

инверсии. Равенство нулю aijk есть следствие предположения о четности вероятности рассеяния электронов. В этом предположении кинетическое уравнение Больцмана имеет вид [1]

-ЄЕit = )fp "£[Л'-(1)

Оно разбивается на уравнения для четной fp и нечетной fp частей функции распределения:

f m

- eE-p- = Ifp+.

dp p

(2)

В низшем порядке fp = 0,fp = Ц(є (p)), где Ц(є (p)) -равновесная функция распределения. Из уравнения

(2) следует, что fp- разлагается по степеням поля.

Если Wp,p не является четной функцией, то в разложе-

РИ, 2013, № 2

нии тока по электрическому полю возможны члены, содержащие четные степени Е. Известно, что в бор-новском приближении вероятность перехода является четной. Для выхода за борновское приближение использовался метод квантового кинетического уравнения. В работе [2] получен нечетный вклад вероятности перехода в низшем порядке теории возмущений. В качестве механизма рассеяния были рассмотрены заряженные примеси с мультипольными моментами. Рассмотрим вероятность перехода для рассеяния электронов на фононах. Для гамильтониана электронфононного взаимодействия в низшем порядке по деформации кристалла получим уравнение

Heph = Z Cq.t(bq,t +b +q,t)aX-q’ (3)

q,t,p v '

где с^ - матричный элемент взаимодействия; t -номер ветви колебаний. Здесь и в дальнейшем используется система единиц с h = 1.

Можно убедиться, что вклад от расчета не меняется при смене знака всех импульсов. Этим свойством обладают все расчеты в гармоническом приближении. Следует учесть поправки более высокого порядка по деформации кристалла. Первыми поправками будем пренебрегать. Во втором порядке гамильтониан взаимодействия электронов с фононами имеет вид [3]

He-ph = ZCqt,q't' (Ь qt + b+qt)(V + b+q't' )a + ap'S p,p'+q+q' • q,q',t,t',p,p'

Матричный элемент ангармонического взаимодействия с^дГ обладает следующими свойствами:

Cqt,q't' = Cq't',qt = C-qt,-q't' - (4)

Ангармоническое взаимодействие электронов с акустическими фононами при q ^ 0 состоит из нелинейного деформационного потенциала ЛijkluijUkl (uij - деформация кристалла) и нелинейного пьезопотенциала. Первый из них приводит к четным по импульсам вкладам в вероятность перехода. Поле в пьезоэлектрике с точностью до членов третьего порядка удовлетворяет уравнению Пуассона:

V i(kpEj + kijkEjEk) = 4nV i(P ijkujk + fijklUjkEl + P ijklm U jk U lm ).

Здесь kij - тензор диэлектрических проницаемостей; kijk - нелинейная поляризуемость; Pijk- пьезотензор; Ци - коэффициенты электрострикции; РрИт - нелинейный пьезотензор.

3. Решение квантового кинетического уравнения

Схема решения квантового кинетического уравнения Больцмана состоит в следующем:

- интеграл столкновений разбивается на части;

- четная часть интеграла считается изотропной;

- считается, что время энергетической релаксации те гораздо больше времени релаксации по импульсу тp;

13

- вывод уравнений для изотропной и нечетной по импульсу электрона частей функции распределения;

- полученные расчеты подставлялись в кинетическое уравнение с учетом анизотропного рассеяния [3].

Времена релаксации на фононах тph и примесях т1;

т р(е = т ph (T)

X2

X2 + Z

т Р2)(е = т ph (T)

3X2

3X2 + Z

3

3

(5)

где X

£ ,Z = ТРЧТ)

T; тр (T)

т Ph

Р

(T)

nps2

72m32 Л 2T^2

s - ско-

рость звука.

Безразмерный вектор 41 = eE1

3т ph (T )т е (T) 2T

по по-

рядку величины равен изменению энергии электрона в электрическом поле на длине остывания.

Четный по электрическому полю вклад равен [4]

F(X) = Nexp

-j

dX

1 + 4 20(X)

(6)

Функция 0(X)

X

X2 + Z

т ph(T)

Z = —----и константа N опре-

т p(T)

деляются нормировкой

vT32 J dXVXF(X) = 1; J dXTXO(X) = 0. (7)

0 0

Примесный безразмерный тензор X j определяется эффективным октупольным моментом примеси Q1jk . Величина четвертого вклада

ji = vT^n0esj dXX2 {- 0(X^'(X)4 +

0

+ aVi(F' + F)0)0( + X (8)

x(Vx0(X)F') [ [ + X

В предельных случаях получаем 4 << 1, Z << 1 - слабый разогрев, рассеяние на фононах превалирует:

пиро- и сегнетоэлектриках. Тензор X 1jk отличен от нуля в более широком классе кристаллов, в частности, в кубических кристаллах без центра инверсии типа А3В5. В этих кристаллах существуют равные компоненты X123 = X132 = X 213 = X 231 = X 312 = X 321. В них четная часть тока обращается в ноль, если поле направлено по одной из кристаллографических осей [5]. В слабых полях четная по полю часть тока начинается с

квадратичных 41 поправок. При благоприятных условиях в слабом электрическом поле квадратичная поправка может достичь 10-2 от величины омического вклада. В переменном электрическом поле квадратичная поправка к закону Ома определяет стационарный ток, который выражается через амплитуду переменного поля. Интересно, что квадратичная поправка к току не связана с разогревом электронов. Она оказывается конечной в случае отсутствия фононного рассеяния, определяемого релаксацией энергии электронов . Из уравнения для средней энергии электронов получим

(е) = fT(l - ay,4, + 42)■ (9)

4. Вывод

Научная новизна работы заключается в том, что решение квантового кинетического уравнения дает возможность определить сдвиг аргумента функции распределения по импульсам на величину пропорциональную значению электрического поля.

Из-за различия вероятностей рассеяния состояний р и -р сдвиг аргумента функции распределения по импульсам неодинаков для разных групп электронов, что приводит к изменению средней энергии электронов.

Литература: 1. Glass A.M., Linde D. and Auston D.H. Exc1ted state polarization, bulk photovolta1c effect and the photorefractive effect 1n electrically polarized med1a // J. Electr, Mater. 1975. Vol.4, №5. P. 915-943. 2. Doviak J.M., Kothary S. Optical rectification and photon drag 1n p-type GaAs at 10.6m and 1.06m // Proceedmg Intern. Conf. on Phys / Sem1conductors, Stuttgart. 1974. P. 1257-1261. 3. Баскин Э.М., ЭнтинМ.В. Фотогальванический эффект в кристаллах без центра инверсии // ФТТ. 1978. Т.20, №8. С. 24322436. 4. Ивченко Е.Л., Пикус Г.Е. Фотогальванические эффекты в полупроводниках // Проблемы современной физики / Сборник статей к 100-летию со дня рождения А. Ф. Иоффе. Л.: Наука. 1980. С. 275-293. 5. ЛандауЛ.Д., Лиф-шиц Е.М. Квантовая механика // Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989. с.340.

Поступила в редколлегию: 20.05.2013

j1 =

4a'n0es

V3n

[2(1 - ln2)(4y )4 + Y142 +

+1 X(ph + TX®ZlnZ |4j4k

Векторная величина у1 существует только в кристаллах с особенной полярной осью - в частности, во всех

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Панченко А.Ю.

Чернышов Николай Николаевич, канд. техн. наук, старший научный сотрудник кафедры микроэлектроники, электронных приборов и устройств ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика; методы математического анализа; численное моделирование; задачи теории поля, солнечной и ядерной энергетики. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021362. E-ma1l: chernyshov@kture.kharkov.ua.

14

РИ, 2013, № 2