CC BY
66
УДК 621.873.3
Н. Н. Панасенко, А. А. Хахов Астраханский государственный технический университет
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ АВТОМОБИЛЬНЫХ КРАНОВ В ТРАНСПОРТНОМ СОСТОЯНИИ
Автомобильный стреловой самоходный кран (АССК) является континуальной системой с непрерывно распределенными параметрами масс и жесткостей и бесконечным числом степеней свободы. Дискретизация конструкции позволяет построить модель исходной системы путем приведения ее к совокупности отдельных элементов с дискретноконтинуальными параметрами масс и жесткостей, связанных между собой в точках - узлах. Перемещения узлов принимаются за обобщенные координаты системы и характеризуют перемещения системы в целом. Полученная таким образом модель имеет конечное число степеней свободы. Математическое моделирование процесса движения АССК требует разработки расчетной динамической модели для математического описания системы, выбора метода реализации на ЭВМ, разработки алгоритма, программы расчета и аналитического исследования на ЭВМ.
Основная цель динамического анализа заключается в определении характера изменения во времени узловых перемещений системы под действием кинематического воздействия опорной поверхности продольного профиля дороги. В расчетной практике задача сводится к анализу временных функций изменения состояния выбранных элементов системы. Математические выражения, функционально описывающие динамические перемещения, называются уравнениями движения системы. В результате решения этих уравнений можно определить искомые функции изменения перемещений во времени.
Матричное дифференциальное линейное уравнение вынужденных колебаний конструкций кранов на основе метода конечных элементов (МКЭ) в общей системе координат ОХХХ п-го порядка как диссипативной системы имеет вид [1]:
[м (V)] {V} + [С (V)] {V} + [ к (V)] {V} = {Р}, (1)
где [М (V)] - матрица масс системы, характеризующая действие сил инерции; [С(V)] - матрица демпфирования, характеризующая рассеивание (диссипацию) энергии; [ К (V)] - матрица жесткости системы, характеризующая действие упругих восстанавливающих сил; {V}, {V}, {V} - векторы обобщенных перемещений, скоростей и ускорений системы соответственно, характеризующие смещения, скорости и ускорения моделируе-
мой системы в общей системе координат; {Р} - вектор внешних нагрузок на систему.
В некоторых случаях уравнение (1) удобно записать в нелинейном
виде:
[М] {V} + [С] {V} + [К] {V} + {Я(У, V)} = {Р} , (2)
где {Я(У, V)} - вектор сил, обусловленный нелинейными характеристиками системы.
Действие на систему любых воздействий учитывается в векторе { Р} . В общем случае все внешние нагрузки разделяются на статические
{Рст}, действующие постоянно и не зависящие от времени, и динамические {Р(/)дин} нагрузки, изменяющиеся во времени:
{Р} = {Рст} + {Р(0дин}. (3)
Рис. 1. Конечно-элементная расчетно-динамическая модель АССК КС-35715
Таким образом, математическая модель АССК (см. (1), (2) и рис. 1) учитывает нелинейные характеристики подвески, грузовых канатов, возмущающее воздействие дороги, макро- и микропрофиль которой описывается случайными функциями.
Для того чтобы упростить вычисления вероятностных характеристик, дорожную поверхность представим двумя случайными функциями [2]: ординатой среднего сечения д(х) и углом наклона поперечного сечения у(х), т. е.
д(х) = 0,5ЬЛ (х)+ <?п (х)]; (4)
Ух)=?лМ±?пМ , (5)
где дл(х), дп(х) - ординаты профиля сечений поверхности дороги под левым и правым колесами относительно некоторого среднего значения соот-
ветственно; В - расстояние между сечениями дороги (колея машины); х -независимая переменная (текущее значение длины пути) (рис. 2).
ционарными, и их характеристики меняются по времени и длине участка дороги. Если рассматриваемый участок дороги по типу покрытия и степени износа однороден и можно пренебречь его изменениями во времени, то функции, определяющие поверхность дороги, считают с некоторым приближением как случайные эргодические с нормальным законом распределения. Тогда оценки характеристик дорожной поверхности вычисляют по одной достаточно длинной реализации.
Наиболее полно в настоящее время изучены статистические характеристики профиля в продольном сечении дорожного полотна, к которым относятся:
- математическое ожидание
Я(х)
Г(х)
У
X
в
Рис. 2. Общий вид крана КС-35715
В общем случае функции д(х) и у(х) в (4) и (5) являются неста-
'р 0
(6)
- дисперсия
р0
- корреляционная функция
Кч (I) = (Ьр - Щ )-1 |до (х)до (х +Щ К при 0 < Щ < Ьр (8)
о
- спектральная плотность
Од (0) = 41 Кч (I )оо8 0Ш при 0 <0<¥ , (9)
0
где Ьр - длина реализации случайной функции (протяженность участка дороги); ар - среднее квадратичное значение ординат профиля дороги;
I - сдвиг независимой переменной х; ^0 (х) - центрированная случайная функция: д0 (х) = ^(х )-тд; (0) - односторонняя спектральная плот-
ность высот неровностей профиля дороги, где 0 = 2р / 1в (1в - длина волны
гармонической составляющей профиля дороги).
Для придания оценкам корреляционной функции и спектральной
плотности большей наглядности и удобства их использования при иссле-
довании и расчетах, эти характеристики нормируют.
Нормированная корреляционная функция
Рд (I ) = Кд (I) / вч. (10)
Общее аппроксимирующее выражение для Рд (I) имеет вид
П ||
Р(I) = I А,в"“'И оо8Р,7 , (11)
'=1
П
где IА' = 1, “' - коэффициенты, характеризующие степень нерегуляр-
'=1
ности профиля дороги; Рг- - частота скрытой периодичности в профиле дороги.
Коэффициенты А', “', Ь' в (11) являются случайными величинами, их средние значения приведены в табл. 1 [2].
Таблица 1
Значения параметров корреляционных функций профиля поверхности дорог
Тип дороги О* см2 Ах «1, м-1 Рі, м-1 А2 «2, м-1 Р2, м-1
С асфальтобетонным 1,08 1,0 0,15 0 0 0 0
покрытием
С асфальтовым покрытием 1,88 0,85 0,2 0 0,15 0,05 0,2
Булыжная с изношенным 4,33 1,0 0,32 0,64 0 0 0
покрытием
Ровная грунтовая 7,4 1,0 0,4 0,9 0 0 0
Разбитая грунтовая 64,0 0,64 0,11 0 0,36 0,15 0,36
Интегрируя выражение нормированной корреляционной функции (10), получим формулу для определения нормированной спектральной плотности высот неровностей профиля дороги:
г,(е)=X--------Аа'(а2 +Р2 + е2 ) )2 . (12)
•' « е4 + 2(а2 Р2)е2 +(а2 +Р2)2
При этом спектральная плотность мощности (9) примет вид
С, (е) = 4Б,г, (е). (13)
Если спектральная плотность (13) определяется как преобразование Фурье на конечном интервале, то после нормирования ее удобно аппроксимировать зависимостями:
г, (е) = ае~ь; (14)
с, (е)=(е), (15)
которые хорошо согласуются с результатами обработки экспериментальных данных. В табл. 2 приведены средние значения коэффициентов а и Ь для (14) и (15).
Таблица 2
Значения параметров спектральных плотностей профиля поверхности дорог
Тип дороги 0 < е < 4м 1 е > 4м-1
см А ь а ь
С асфальтобетонным покрытием 1,08 1,37 2,14 1,06 2,05
С асфальтовым покрытием 1,88 5,21 2,6 1,24 2,01
Булыжная с изношенным покрытием 4,33 3,58 2,2 2,34 2,05
Ровная грунтовая 7,4 3,33 2,16 2,37 2,03
Разбитая грунтовая 64,0 0,86 2,04 0,86 2,04
Для описания кинематического воздействия опорной поверхности необходимо в характеристиках профиля дороги перейти от функций протяженности к функциям времени. Для процесса изменения ординат профиля и корреляционной функции это достигается заменой переменных х и I на х = и I = ух , а также протяженности участка Ьр на ее временное
отображение Ьр = уТр (V - скорость движения АССК). Величины I, х и Тр
имеют размерность времени и характеризуют: текущее время, временной сдвиг и длительность временной реализации. Спектральную плотность
высот неровностей профиля дороги можно преобразовать с помощью следующего соотношения: ю = 2ру //в = 0у . Тогда получим выражения вида
Оч (0) = уОч (ю). (16)
Следовательно, замена переменных в выражениях корреляционных функции и спектральной плотности приводит к трансформации этих характеристик при постоянстве дисперсии (7).
Для вычисления значений спектральной плотности возмущения по выражению, полученному преобразованием Фурье эмпирической зависимости корреляционной функции профиля дороги, необходимо коэффициенты “', Ь' и 0 в (12) изменить пропорционально у. При другом способе задания спектральной плотности в аппроксимирующем выражении (15) следует показатель степени оставить прежним, аргумент 0 заменить на ю, а коэффициент а - на а , определяемый по формуле
а = ауь-1. (17)
Описанные кинематические воздействия подаются в узлы конечноэлементной модели АССК КС-35715 (см. рис. 1), соответствующие точкам контакта шин шасси автомобиля и опорной поверхности дороги.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Панасенко Н. Н. Динамика и сейсмостойкость подъемно-транспортного оборудования атомных станций: Дис. ... д-ра техн. наук. - Новочеркасск: ВИ НГТУ, 1992. - 475 с.
2. Колебания колесной машины и ее систем / А. А. Полунгян и др.- М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1992. - 110 с.
Получено 17.01.06
STUDY OF AUTOMATED-TYPE CRANE OSCILLATIONS WHILE TRANSPORTING
N. N. Panasenko, A. A. Khahov
The main principles of creating mathematical models of automated derrick self-propelled crane while transporting have been shown. Algorithm of dynamic analysis of automated self-propelled derricks with telescope jibs is described by method of finite elements. There have been presented matrix differential equations of forced oscillation of crane constructions. The example of creating mathematical model for automated-type crane KS-35715 has been given. One of the ways to describe perturbation effect of the road has been considered. There is characterized probabilistic nature of road surface and is given statistic data of longitudinal section of the road. Method of application perturbation kinematical influence of the road contact area onto the model of automated-type crane has been described.
