CC BY
12УДК 5: 621: 891 DOI: 10.12737/22012
А.М. Мукутадзе
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПЕРЕДАЧИ ДЕМПФЕРА С ДВУХСЛОЙНЫМ ПОРИСТЫМ КОЛЬЦОМ
Представлено решение задачи о коэффициенте передачи демпфера с двухслойным пористым кольцом и сжимаемой пленкой смазочного материала при его комбинированной подаче, а также учете проницаемости пористых слоев. Особенностью решения является одновременное введение в расчетную модель целого ряда переменных факторов, которые ранее рассматривались отдельно.
Ключевые слова: гидродинамика, конечно-размерный радиальный подшипник, демпфер, двухслойное пористое кольцо, комбинированная подача смазочного материала, нестационарный коэффициент передачи, стационарный коэффициент передачи.
A.M. Mukutadze
INVESTIGATION OF TRANSFER RATIO FOR DAMPFER WITH DOUBLE LAYER POROUS RING
In the paper on the basis of Darcy equations defining a lubricant flow in porous layers and modified Reynolds equation is solved a problem of unsteady flow of viscous incompressible lubricant in the gap of a double-layer porous damper. A case is considered when permeability in porous layers changes according to a normal low, and a combined feed of lubricant is carried out simultaneously in axial and radial directions.
As a result of the solution of the problem specified there is found a field of pressures in porous layers and a lubrication layer, there are also obtained analytical dependences for efforts in an oil film, a module of unbalance transmitted force and also stationary and
Введение
Эксплуатация демпферов в комплекте с подшипниками качения значительно повышает эффективность использования последних, снижая уровень передачи возникающих в результате дисбаланса колебаний на корпус устройства. Наиболее перспективным является применение демпферов со сжимаемой масляной пленкой и двухслойным кольцом из пористого подшипникового композита. В предлагаемом исследовании рассматривается демпфер описанной конструкции конечного размера при одновременном учете проницаемости пористых слоев наружного кольца демпфера и комбинированного способа подачи смазочного материала. Подобный подход к решению поставленной задачи
transitional transfer ratios are determined. It is proved that the combined lubricant feed a damper functions more stably, than at a separate axial and radial its feed.
The obtained specified calculated models allowed determining the efficiency of additional factors account, and also carrying out a comparative analysis of results newly obtained and already available that defined a larger proximity of a new model to real practice.
Key words: hydrodynamics, finite radial bearing, damper, double-layer porous ring, combined lubricant feed, transient transfer ratio, stationary transfer ratio.
востребован практикой, так как включает целый комплекс реально действующих переменных факторов.
В большинстве опубликованных работ, посвященных расчету пористых три-боэлементов, рассматриваются либо подшипники бесконечной длины [1-3], либо подшипники, работающие в стационарном режиме трения [4-9]. В существующих нестационарных расчетных моделях пористых подшипников конечной длины не учитывается не только анизотропия проницаемости пористого слоя, но и влияние источника подачи смазочного материала [10]. В расчетной модели, приведенной в работах, хотя и учитываются анизотропия проницаемости пористого слоя и влияние
подачи смазочного материала в осевом или радиальном направлениях, но не рассматривается комбинированная его подача, пористая втулка считается однослойной. Для повышения несущей способности под-
шипника возникает необходимость комбинированного смазывания в конструкции подшипника с двухслойной пористой втулкой, каждый слой которой имеет свою анизотропию проницаемости.
Постановка и решение задачи
Уравнения движения ротора в направлениях (рис. 1) для нестационарного
движения центра вала могут быть записаны в виде
m
d2 в
dt2
- e
d j
dt
= Fr - [W - KY (Y + 5Y )]sin j-
(1)
m
-KX (X + 5x ) cos j + uw2 cos (j- wt),
Ue j
d j ^ e—+ 2
dt2
dt
d j
v dt
= Ft - [W - KY (Y + 5Y )] cos j +
(2)
+Kx (X + 5x)sin j- uw2 sin (j-wt).
Считаем рабочую нагрузку W неподвижной и направленной в соответствии со
Наружное кольцо 1
подшипника качения схемой на рис. 2. Нагрузка демпфера вызыва-
(невращающссся) 1 1 J 1 1
ет начальные смещения, определяемые выра-
W
жениями 5x = 0 и 5Y = . Приняв, что
Kx = KY = K, e = e, T = wr • t и X = e cos j,
с
Y = -e sin j, можно представить уравнения (1) и (2) следующим образом:
Рис. 1. Схема демпфера со сжимаемой масляной пленкой и пористой обоймой
e -ej
F
K e
г л 2 w
mC w„ m w„ mC
cos
e j + 2 e j
F
v w r у
/ Л 2
w
j-
f \ w
v w r у
тС ю 2
Величины сил ¥г и находим интегрированием давления в слое смазочного материала по параметрам г и t. С этой целью необходимо предварительно решить уравнения для давлений в пористом кольце и слое жидкого масла, а также согласовать эти решения по границе раздела.
Следует отметить, что рассматриваемый демпфер (рис. 1) представляет собой аналог радиального подшипника с двухслойным пористым кольцом. Поэтому, как
mC
v w r у
sin
j-
f \ w
w r у
(3)
(4)
и в подшипнике, вначале рассматривается нестационарное ламинарное течение жидкого смазочного материала при комбинированной его подаче в осевом и радиальном направлениях. Подшипник с переменной по оси z проницаемостью пористых слоев считается неподвижным, а движение вала известным (рис. 2). Закономерность изменения проницаемости в направлении оси z задается формулой
2
u
u
Рис. 2. Радиальный подшипник конечной длины с пористой обоймой
k ' = kie
Здесь k \ - проницаемости пористых слоев; kt - характерные проницаемости;
j
L
- известная безразмерная функция
v L J
z; L - длина подшипника.
}2 * Л2 *
I = 1,2.
Уравнения, определяющие течения смазочного материала в пористых слоях, согласно представляются в виде [10]
(5)
где у, z - прямоугольные координаты; р. -
гидродинамическое давление в пористых слоях.
_d_ dz
к dP
dz
+ ЭфЭр__ = 0 . = 1 2
Эу2 Эz2 Эz Эz
Давление в смазочном слое (между валом и подшипником) определяется из модифицированного уравнения Рейнольд-са в рамках модели короткого подшипника:
/V лаЛ л* ~ Л
= 6m
w
wb + w 7 - 2wL - 2—
b J L dt
dk ^de
--+ 2 — cos 0
d 9 dt
- 12muo| , (6)
где к = c (1+e cos 9) - толщина смазочного
слоя; с - радиальный зазор; x, y, z - прямоугольные координаты; е - эксцентриситет вала; шь - угловая скорость втулки; oj - угловая скорость вала; ol - угловая скорость нагрузки; и0 - компонента скоро-
u0i =■
А
m
/-Ч * \
dft dy
ш у
сти в направлении у на границе между пористым подшипником и смазочным слоем.
В дальнейшем угловые скорости нагрузки и подшипниковой втулки принимаются равными нулю.
Величина и0 соответствует закону Дарси:
(7)
• /V LJ, i = 1,2 .
y=0
Перейдем к безразмерным переменным по формулам
P* , P =JPC-, Z = ^ , У:
mR w mR2 wJ l H
y
^ kH
F = —r, p
C3 :
p,C2
g mR4
= PHC 2 mR02 w j
PH = .. „2
= pkc 2 mR2 wj
PK = .. „2
(8)
k'. = kk, k = ebz\ b< 0, Pg = aZ + b + Pg (Z2 -1), Pg = const.
* * g g \ / g
Установим закономерности подачи смазочного материала и изменения проницаемости пористых слоев по координате 2 следующим образом:
(9) (10) (11)
Подставляя (7-9) в уравнения (5) и (6), получим
Э2 Р*
дУ2
- + 4 —
н ]2 д2 P*
L J dZ1
др
+ 4PZ-P- = 0,
dZ
д2 P*
12 (% )2
dZ2 (1 + е cos 9)3
1
e I j -2 I sin 0 + e cos 0
3Ф
+-
(1 + e cos 0)3 (H/L)
f дР* ]
I dy ,
У=0
Граничные условия для уравнений (10) и (11):
Р* = Р при У = 0; Р2* = Рг при У = -1;
Р* = Р = Рн при 7 = -1; Р* = Р = РК при 7 = 1;
дР дР H
P* = P2*, k1 dP- = k2 Эр- при У = -H1, 1 21 дУ 2 дУ H
(12)
где Н - толщина двухслойного пористого слоя; Н1 - толщина слоя, прилегающего к смазочному слою.
Решение систем уравнений (10) и (11) будем искать в виде
Р* = Ву4 + В2У3 + В3У2 + В4У + а7 + Ь + Р1 (9,7),
'2* 1 ^3^ 1 4
P2* = ду3 + ^2У2 + ^3У + aZ + b + р(0, Z), P = aZ + b + P1(0,Z), Pg = aZ + b + ^^ (Z2 -1), Pg =
const.
(13)
P. - P"h a P + P.
где a = —--; b = -
" к н
2 ' 2 Подставляем (13) в (10) и (11).
Решая уравнение (11) с учетом граничных условий (12), получим следующее выраже-
ние:
p =
12 (LD)
(1 + e cos 0)3 6ppg
х-
e I j-1] sin 0 + e cos 0
r f H ^
1 +1 H
v 1 H x ,
( z 2 -1)-
-х
6k1 (1 + e cos 0)3
f Z6 Z2 ] 7
- -- + —
130 2 J 15
1 + 3 f H
IH
+ 12pa | -1 + H
H)
f Z5 - Z - Z3 Z
v 20 20 6 6 J
+ 21 H H
Тогда
р - р 12 ( l/d ) P = az + b + Pp = к н z + b + -—3
Fk2pPPg
2
-1+f H1 ]3 Л
IH * j
(1 + e cos 0)
e | j -1 ] sin 0 + e cos 0
( z 2 -1)-
■f Z6
2
130 2 J
+
15
+ 2ba I-1 + H
sf 75
Z5 - Z - Z_ Z 20 20 6 6
k (1 + e cos 0)3
2 f 2
1+3
Hi
IH J
+ 21 H H
2
3
7
В рассматриваемом случае с помощью интегрирования по положительной области распределения давления при неполном заполнении рабочего зазора мас-
F = _ ^ J J! p cos qdqdz ^ J
лом (e = 0, j = 0) вычислим усилия в масляном слое:
2C
-i е,
2C¿
4b sin е, + 4 (L1 e2A - A (2sin е, + ^
(14)
L 1ei+p mR/w L
f = _ ^ _ i i i p sin ededz ^ ° 1
2C 2
-1 е,
2C 2
-4b cos е, + 4 í Lj e2A2 + 2A cos е,
В случае полного заполнения зазора смазочным материалом имеем:
F, = ■
mR03w; L 1 2p
2C 2
|| p cos еd еdz =
mR3w Lp
2C 2
16 (L1 e + 3 Ae
Ft= ■
mR3w 1L 2C 2
1 2p
II p sin еd еdz =
8m^3w 1L3p I j -
d2c 2
(15)
(16)
(17)
где A = -
19ФК2Р p g -1+( H i]
21K1 (H J [1+3 (U+2 (HJ ]
A1 = cos30j + 3cos 0j; A2 = sin 30j - 3 sin 0j - p.
Подставляя полученные аналитические выражения Fr и Ft в уравнения (3) и (4), полу-
чим:
а) при неполном заполнении смазочным материалом зазора
mRo3L
2mC 3w„
4b sin е1 + 4 | L J e2 A1 - A Í2sin е1 +
+
mc
w w
cos j -
( wr J ( J
T
K e
тю.
= 0; (18)
mRo3 L
2mC 3w„
-4b cos е1 + 4 | L | e2A2 + 2A cos е1
u
mc
w w
- sin j - -
( wr J ( wr J
б) в случае полного заполнения зазора смазочным материалом
e - ej ¿
mR03 Lp
2mC Зю,
16 (L1 e + 3 Ae
+ -
u
f
mc
w w
- cos j - -
( wr J ( wr J
T
T
K e
mffl.
= 0; (19)
(20)
8mR03L3 p í j -
ej + 2ej = -
mD 2C3w„
1 J
2J u mc
w w
- sin j - -
( wr J ( wr J
T
(21)
Введем следующие обозначения:
Б-
mR3L
U =
u
ю>
2mwrC ^ mC где Б - параметр демпфера; U -безразмерный дтобалато; -
сoбcтвeннaя чacтoтa рoтoрa; W4 и W -^ботвенная и углoвaя чacтoтa вала.
./V , W = —, W = Wl , Ь = j _ WT V 4 wr wr ' H ^
Уравнения (18), (19), описывающие стационарное движение центра вала, и (20), (21), описывающие его нестационарное движение, приобретают соответственно следующий вид:
1 0
1 0
2
u
2
2
2
а) при неполном заполнении смазоч-
ным материалом зазора
В
4Ь^п91 + 4(^] е24 -А(2«п91 +
В
-4Ь соб 91 + 4 Г ^ \ е2А2 + 2А соб 91
+ и а2 соб р - 02 е = 0;
- и а2 Бт р = 0.
б) в случае полного заполнение зазора смазочным материалом
16Г^] е + 3Ае
е - еф2 = Вр
еф + 2еф =
Уравнения (22), (23), (24) и (25) обсчитывались численным методом, разработанным Гиром. Результаты численного анализа представлены на рис. 3-6. Все
+и а2 соб р - е;
16В£2 р (р+а)-1
1 2 ]
В2
- иа2 мп р.
(22)
(23)
(24)
(25)
приводимые результаты соответствуют нулевым начальным скоростям и конечному возмущению начального положения вала.
Результаты и их обсуждение
Коэффициент передачи определяется как отношение модуля силы, передаваемой на корпус, к модулю центробежной силы дисбаланса, т.е. при абсолютно жесткой опоре коэффициент передачи равен единице. Следует отметить, что при некоторых условиях работы трибосистемы демпфер способен даже усиливать воздействие дисбаланса. В этой связи очень важно определить рабочий режим и проницаемость наружного пористого кольца демпфера, которые приводили бы к ослаблению передаваемого усилия.
Модуль передаваемого усилия Ртр
определим как квадратный корень из суммы квадратов его составляющих:
(Р - Ке)2 + р2
(26)
Для стационарного движения центра вала модуль определяем с помощью формул (14), (15), а для нестационарного - с помощью формул (16), (27).
Поскольку модуль дисбаланса равен мю2, то коэффициент передачи Тг может быть представлен выражением
Т = I тр1
(р - Ке )2 + р
ию ию
Для стационарного и нестационарного движения центра вала коэффициент передачи Тг определяется с помощью формулы (26).
Демпферы описанной конструкции обеспечивают значительное снижение влияния рабочих нагрузок и дисбаланса вала на опорные подшипники качения.
Рис. 3. Зависимость нестационарного коэффициента передачи от параметра Т
(В = 0,15; и = 0,2; а = 1,1; Ц = 0,2;
е(0) = 0,8; е(0) = 0; р (0) = -3; р(0) = 0; Н/£ = 0,
91 = 0; 92 = 2р; К > 1) : К1
1 - ф = 0,001; 2 - Ф = 0,005; 3 - Ф = 0,0045;
4 - Ф = 0,01; 5 - Ф = 0,015
Таким образом, на основе выполненных расчетов установлено, что в исследованной области рассматриваемые демпферы с двухслойным пористым кольцом при комбинированной подаче смазочного материала с учетом проницаемости пористых
Рис. 4. Зависимость эксцентриситета дисбаланса от стационарного
коэффициента передачи (В = 0,05; а = 1,1; а, = 0,5;
9, = 0; 92 = р; К2 > К1
Рн» 2МПа; Рк »1,5 МПа) : 1 - Ф = 0,001; 2 - Ф = 0,005; 3 - Ф = 0,004; 4 - Ф = 0,02; 5 - Ф = 0,01
слоев эффективно ослабляют передаваемые усилия дисбаланса. По результатам численных расчетов построены графики, приведенные на рис. 3-6. Анализ полученных расчетных моделей и графиков позволяет сделать ряд выводов.
Р[ ОД]
0,2 0,3
Рис. 5. Зависимость нестационарного относительного эксцентриситета демпфера от эксцентриситета дисбаланса (В = 0,2; и = 0,3; а = 1,1; а , = 0,5;
е(0) = 0,8; = 0,1;
к
91 = 0; 9 2 = 2р; > 1) :
К1
1 - Ф = 0,001; 2 - Ф = 0,005; 3 - Ф = 0,004; 4 - Ф = 0,01; 5 - Ф = 0,03
Заключение
Полученные результаты могут быть использованы при разработке и эксплуата-
0,2 0,3 0,4 0,5 II
Рис. 6. Зависимость эксцентриситета дисбаланса от нестационарного относительного эксцентриситета демпфера (В = 0,3; и = 0,2; а = 1,1; а , = 0,6;
е(0) = 0,9; р(0) = -2,6; р(0) = 0; Н/ь = 0,1;
к
91 = 0; 92 = 2р; > 1) :
1 2 К1
1 - Ф = 0,001; 2 - Ф = 0,005; 3 - Ф = 0,0055; 4 - Ф = 0,015; 5 - Ф = 0,035
ции радиальных подшипников конечной длины, а также демпферов с двухслойным
пористым кольцом и сжимаемым смазочным слоем, которые обеспечивают значительное снижение влияния рабочего давления вала и его дисбаланса на подшипник. Если отношение проницаемостей пористых слоев больше единицы К2/К1>1, то
подшипник работает более устойчиво, чем при обратном отношении проницаемостей ( К2/К1<1). Комбинированная подача смазочного материала обеспечивает более устойчивую работу подшипника.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках федеральной целевой программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014-2020 годы» (соглашение о предоставлении субсидии № 14.607.21.0040 от 22.07.14, проект ЯЕМЕЕ160714Х0040).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ахвердиев, К.С. Слоистый пористый подшипник бесконечной длины / К. С. Ахвердиев, А.И. Шевченко // Вестник РГУПС. - 2000. - № 1. - С. 19-26.
2. Гидродинамический расчет двухслойного пористого подшипника бесконечной длины с учетом анизотропии проницаемости пористого слоя и сил инерции / К.С. Ахвердиев, М.А. Мукутад-зе, В.С. Новгородова, Т.С. Черкасова // Вестник ДГТУ. - 2013. - № 5/6(74). - С. 36-43.
3. Гидродинамический расчет радиального пористого подшипника бесконечной длины с повышенной несущей способностью с учетом сил инерции / М.А. Мукутадзе, Е.Е. Александрова, А.А. Константинов, А.И. Шевченко // Вестник РГУПС. - 2012. - № 2(46). - С. 194-197.
4. Дерлугян, Ф.П. Обоснование процесса получения композиционных антифрикционных самосмазывающихся материалов с заданными техническими характеристиками методом химического / Ф.П. Дерлугян, И.Н. Щербаков // Инженерный вестник Дона. - 2010. - № 4. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/287.
5. Ахвердиев, К.С. Гидродинамический расчет пористых подшипников с переменной проницаемостью вдоль оси с учетом нелинейных факторов / К.С. Ахвердиев, Л.И. Прянишникова, Ю.И. Пустовойт // Трение и износ. - 1993. - Т. 14. - № 5. - С. 813-821.
6. Ахвердиев К.С. Об одном точном решении задачи о радиальном пористом подшипнике конечной длины / К.С. Ахвердиев, Л.И. Прянишникова // Трение и износ. - 1993. - Т. 12. - № 1. - С. 24-32.
7. Математическая модель течения смазочного материала в зазоре радиального подшипника конечной длины со слоистым пористым вкладышем переменной толщины / К.С. Ахвердиев, В.М. Приходько, А.И. Шевченко, О.Р. Казанчян // Проблемы машиностроения. РАН. - 2000. - № 6. - С. 85-91.
8. Zadorozhnaya, E.A. Solving a thermohydrodynam-ic lubrication problem for complex-loaded sliding bearings with allowance for rheological behavior of lubricating fluid / E.A. Zadorozhnaya // Journal of Machinery Manufacture and Realiability. - 2015. -№ 44(1). - Р. 46-56.
9. Rozhdestvensky, Y. A simulation of the thermal state of heavily loaded tribo-units and its evaluation / Y. Rozhdestvensky, E. Zadorozhnaya // Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. - 2014. - № 7(4). - Р. 51-64.
10. Кузано, К. Исследование коэффициента передачи упругой опоры качения в демпфере со сдавливаемой пленкой и пористой обоймой / К. Кузано, П.Е. Фанк // Проблемы трения и смазочного материала. - 1974. - № 1. - С. 54.
1. Akhverdiev, K.S. Laminated porous infinite bearing / K.S. Akhverdiev, A.I. Shevchenko // Bulletin of RSUC. - 2000. - № 1. - pp. 19-26.
2. Hydrodynamic computation of double-layer porous infinite bearing with account of permeability anisot-ropy of porous layer and inertia / K.S. Akhverdiev, M.A. Mukutadze, V.S. Novgorodova, T.S. Cher-kasova // Bulletin of DSTU. - 2013. - № 5/6(74). -pp. 36-43.
3. Hydrodynamic computation of radial porous infinite bearing with higher load-carrying capacity with account of inertia / M.A. Mukutadze, E.E. Alexan-
drova, A.A. Konstantinov, A.M. Shevchenko // Bulletin of RSUC. - 2012. - № 2(46). - pp. 194-197.
4. Derlugyan, F.P. Substantiation of manufacturing composite antifriction self-lubricated materials with specified performance attributes through chemical method / F.P. Derlugyan, I.N. Shcherbakov // Engineering Bulletin of the Don. - 2010. - № 4. - Access mode: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/287.
5. Akhverdiev, K.S. Hydrodynamic computation of porous bearings with variable permeability along axis with account of nonlinear factors / K.S. Akhverdiev, L.I. Pryanishnikova, Yu.I. Pustovoit //
Friction & Wear. - 1993. - Vol. 14. - № 5. - pp. 813-821.
6. Akhverdiev, K.S. On one precise solution of problem of radial porous finite bearing / K.S. Akhverdiev, L.I. Pryanishnikova // Friction & Wear. - 1993. - Vol. 12. - № 1. - pp. 24-32.
7. Simulator of lubricant flow in gap of radial finite bearing with laminated porous wedge of variable thickness / K.S. Akhverdiev, V.M. Prikhodko, A.I. Shevchenko, O.R. Kazanchyan // Mechanical Engineering Problems. RAS. - 2000. - № 6. - pp. 8591.
8. Zadorozhnaya, E.A. Solving a thermohydrodynam-ic lubrication problem for complex-loaded sliding bearings with allowance for rheological behavior of
lubricating fluid / E.A. Zadorozhnaya // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. - 2015. -№ 44(1). - Р. 46-56.
9. Rozhdestvensky, Y. A simulation of the thermal state of heavily loaded tribo-units and its evaluation / Y. Rozhdestvensky, E. Zadorozhnaya // Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. - 2014. - № 7(4). - Р. 51-64.
10. Cusano, C. Investigation of transfer ratio of resilient rolling bearing in damper with squeezed film and porous wage / C. Cusano, P.E. Fank // Problems of Friction and Lubricant. - 1974. - № 1. -pp. 54.
Статья поступила в редколлегию 23.06.2016.
Рецензент: д.т.н., профессор Южного федерального университета Снопов А.И.
Сведения об авторах:
Мукутадзе Александр Мурманович, аспирант кафедры «Высшая математика» Ростовского государственного университета путей сообщения (РГУПС), е-тай: mykyt@yandex.ru.
Mukutadze Alexander Murmanovich, Post graduate student of the Dep. "Higher Mathematics", Rostov State University of Communications (RSUC), e-mail: mykyt@yandex.ru
