CC BY
23
Серия «Математика»
2013. Т. 6, № 1. С. 14-19
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского
государственного
университета
УДК 518.517
Исследование интегро-дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной главной частью. *
М. В. Булатов
Институт динамики систем и теории управления СО РАН До Тиен Тхань, аспирант
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет
Аннотация. В статье рассмотрены системы интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра с тождественно вырожденной матрицей перед производной. Для данных систем, с заданными начальными условиями, сформулированы достаточные условия существования единственного непрерывного-дифференцируемого решения.
Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения; матричные полиномы.
1. Постановка задачи и необходимые определения
Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений вида
А(.)т++ 1 а«...«»* = /(», * ^ [о,1], (1)
0
с начальным условием
х(0) = хо, (2)
где А(*) — (п х п)-матрица, ^ (* ,х(Ь)), а(*,. ,х(.)), /({), х(*) -п— мерные
вектор-функции.
В данной работе предполагается, что
det А(Ь) = 0. (3)
* Работа поддержана грантами РФФИ № 13-01-93002 Вьет-а, № 11-01-00639-а
Элементы A(t), F(t, x(t)),G(t, s, x(s)), f(t) предполагаются достаточно гладкие.
Если интегральное слагаемое в (1) отсутствует, то мы будем иметь дифференциально-алгебраические уравнения.
Под решением задачи (1), (2) будем понимать любую неприрывно-дифференцируемую вектор-функцию, которая обращает (1) в тождество и удовлетворяет начальному условию (2). Задача (1), (2) с условием (3) может иметь множество решений, а может не иметь решения.
В монографии [4] проведено исследование задачи (1), (2) на предмет существования единственного решения. Эти исследования были проведены используя аппарат матричных пучков. В статье [2] сформули-рованны достаточные условия существования единственного решения задачи (1), (2) для линейного случая. Данный результат был получен на основе определенных свойств матричных полиномов.
Перед формулировкой достаточных условий о существовании единственного решения задачи (1) и (2) приведем ряд вспомогательных сведений.
Определение 1. [2, 3] Матричный полином X2A(y) + XB (y) + C(y),
где X — скаляр, y-----k мерный вектор у Є U = {y : ||y|| < p} , имеет
простую структуру в области U, если выполнены условия:
1) rankA(y) = const = l Vy Є U;
2) rank[A(y)lB(y)] = l + m = const Vy Є U;
3) det(X2A(y) + XB(y) + C(y)) = ao(y)X2l+m + ... + a2i+m(y); ao(y) = 0
Vy Є U.
Лемма 1. [2] Если матричный полином X2A(y) + XB(y) + C(y) имеет простую структуру при любом y Є U и элементы матриц A(y), B(y), C(y) принадлежат классу CU, то существует невырожденные для любого y Є U матрицы P (y) и Q(y) с элементами из класса CU такие, что:
P (y)(X2A(y) + XB (y) + C (y))Q(y) = iEi 0 0\ fJi(y) 0 J2(y)\ (Ci(y) C2(y) 0 \
X2 I 0 0 0 1 + X I 0 Em 0 I + (Cs(y) C4(y) 0 I ,
\ 0 0 0J \ 0 0 0 ) \ 0 0 En-m-i)
где Em, Ei, En-m-i — единичные матрицы размерности m, l и n-m-l соответственно. J\(y),J2(y),Ci(y),i = 1, 2, 3, 4 — матрицы подходящей размерности.
Следствие: Матрица P(y)(X2A(y) + XB(y) + C(y)) имеет блочный вид
Шу)\ (Bl(y)\ (Ci(y)\
P(y)(X2A(y)+XB(y)+C(y)) = X2 ( 0 I+X ( B2(y) I + ( C\(y) I (4),
V 0 V 0 \Cs(y)J
где Ai(y),Bi(y),Ci(y)-----(lxn)- матрицы, B2(y),C2(y)----------(mxn) —
матрицы, C3(y)-(n — l — m x n)- матрица, 0 — нулевые блоки
соответсвующих размеров.
Лемма 2. Если матрица блочного вида (4) имеет простую структуру, то
( Ai(y) \
det ( cB2(y) I =0 Vy Є U,c = 0,d = 0.
\dC3(y)J
Доказательство леммы 1 и 2 при q=1 (q — размерность вектора y) приведено в [2]. При q > 2 доказательство проводится аналогично.
Определение 2. [1] Пучок матриц XA(y) + B(y) удовлетворяет критерию "ранг - степень"в области U (имеет индекс один, имеет простую структуру), если
1) rankA(y) = l = const Vy Є U;
2) det(XA(y) + B(y)) = ao(y)Xl + ... + ai(y), где X — скаляр, a0(y) = 0 Vy Є U.
Определение 3. [1] Матрица, обозначаемся как A-(y) называется полуобратной к матрице А(у),если она удовлетворяет уравнению
A(y)A- (y)A(y) = A(y).
Обозначая V(y) = E — A(y)A- (y), получим
V (y)A(y) = 0. (5)
Справедливо утверждение.
Лемма 3. Если матрицный полином X2A(y) + XB(y) + C(y) имеет простую структуру, то матричный пучок X(A(y)+V(y)B(y))+(B(y) +
V(y)C(y)) удовлетворяет критерию "ранг-степень".
Доказательство. Отметим, что умножение слева и справа матричного пучка на невырожденные матрицы не меняет свойств этого пучка.
Матричный пучок X(A(y) + V(y)B(y)) + (B(y) + V(y)C(y)) перепишем в виде
X(A(y) + V (y)B (y)) + (B (y) + V (y)C (y)) =
P-l(y){P (y)(X(A(y) + V (y)B (y)) + (B (y) + V (y)C (y))Q(y)}Q-l(y),
где P(y) и Q(y) матрицы из леммы 1.
Достаточно просто показать, что матрица P(y)V(y)P-l(y) имеет блочный вид
/0 81(у) 82(У) V
р(у)У(у)Р-1(у) = I 0 Ет О I .
\0 0 Еп-т-1)
С учетом этой формулы и блочного представления матриц Р(у)А(у)Я(у), Р(у)В(у)Я(у) и Р(у)С(у)Я(у) (см. лемму 1) пучок матриц
Р (у)(А(Л(у) + V (у)В(у)) + (В(у) + V (у)С (у))Я(у) =
\{Р (у)Л(у)Я(у) + Р (у^ (у)Р-1 (у)(Р (у)В Ш(у))}+
{Р (у)В{у)Я(у) + Р (у^ (у)Р-1(у)(Р (у)С ШШ
имеет вид
\{Р (у)Л(у)Я(у) + Р Ш (у)Р-1 (у)(Р (у)В (у)Я(у))}+
{Р (у)ВШ(у)+ Р ш (у)Р-\у){Р (у)С (у)Я(у))} =
/ Е1 0 °\ /0 81(у) &2(у') V 0 32 (у)\
А{ I 0 0 0 I + I 0 Ет 0 II 0 Ет 0 I } +
\0 0 0) \0 0 Еп-т-г) V 0 0 0 )
(^(у) 0 Му)\ (0 81(у) в2(у) \ (С1(у) С2(у) 0 \
{| 0 Ет 0 | + | 0 Ет 0 || Сз(у) С4(у) 0 | =
\ 0 0 0 / \0 0 Еп-т-г) \ 0 0 Еп-т-г)
/Е1 81(у) 0\ (J1(У)+ 81(у)сз (У) 81(у)сА (У) 32
А 1 0 Ет 01 + 1 Сз(у) Ет + С4 (у) 0 1 }.
\ 0 0 0/ \ 0 0 Еп-т-г)
Непосредственные вычисления показывают, что данный пучок удовлетворяет критерию «ранг - степнь».
Перед тем, как сформируем на условие существования единственного решения задачи (1), (2), введем обозначения:
в(ь,х) = др^х), = ^р(г,ж), с(г,х) = да{^'х), с = ^с(г,в,ж)-
В терминах матричных пучков в монографии [4] сформулированы достаточные условия существования единственного решения задачи (1), (2). Приведем этот результат
Теорема 1. [1] При х(0) = хо, пусть для задачи (1), (2) выполнены условия:
1) Л(г),В(г,х) е Ст(Т),С(Ь,8,х) е Ст(Т х Т х и),т > 1;
2) тапкЛ(1) = соп81 = т 'И е [0,7],7 > 0;
3) тапкЛ(0) = тапк(Л(0)\/(0) — Ё(0,хо);
4) йег(АЛ + В)\о,жо = ао(0,хо)Ак + ..., ао = 0.
Тогда существует отрезок [0, ^] на котором определенно единственное решение задачи (1), (2)
Ниже мы приведем достаточные условия о существования единственного решения задачи (1),(2) в терминах матричных многочленов. Данный результат является более общим, его можно применять и для систем (1) с сингулярным матричным пучком АЛ + В)\о,ж0.
Теорема 2. Пусть для задачи (1), (2) выполнены условия:
1) Элементы Л(Ь), Ё(Ь, х), С(Ь, 8,х),/(Ь) непрерывно-дифференцируемые в окрестности точки (0,хо);
2) rank(A(0) + V(0)A'(0) + V(0)B(0,x0)) = rank(A(0) + V(0)A;(0) +
V(0)B(0, xo)\f (0) + V(0)f(0) — F(0, xo) — V(0)F'(0, xo) — V(0)G(0,0, xo));
4) Матрица, Р(Ь,х) в лемме 1 не зависит от х, т.е. Р(Ь,х) = Р(Ь). Тогда существует отрезок [0, ^] на котором определено единственное решение задачи (1), (2).
Доказательство этого результата основано на леммах 1, 2 и теореме 1. Прокомментируем условия теоремы.
Первое условие — стандартное условие, накладываемое на определенную гладкость входных данных.
Второе условие — это условие согласованности начальных данных (2) и правой части системы (1). Они вытекают из теоремы Кронекра -Капелли. Данные условия являются и необходимыми (теорема Кроне-кера -Капелли).
Третье условие означает, что в окрестности (0,хо) отсутствуют сингулярные точки. Если это условие нарушено в отдельных точках, то через них может проходить несколько решений. Если это условие нарушено во всей окрестности, то о существовании единственного решения мы ничего сказать не можем. Данное условие не является необходимым. Для иллюстрации приведем несколько примеров.
Рассмотрим систему
Если взять к11(Ь, 8) = к22(Ь, 8) = 1, к21 (Ь, 8) = к12(Ь, 8) = 0, Ь1(Ь, и(Ь)) = 0,а11(Ь) = —Ь2/2, то однородная задача с нулевыми начальными данными имеет множество решений вида и(Ь) = сЬу(Ь) = 0, где с— произвольное число. В этом случае в точке Ь = 0 нарушено третье условие теоремы.
3) В окрестности точки (0,x0)
rankA(t) = l = const, rank(A(t)\B(t,x)) = l + m = const,
матричный полином X2A(t) + XB(t, x) + C(t, x) имеет простую структуру.
Если положить к11 (Ь,8) = к22(Ь,8) = 0, к21(Ь,8) = к12(Ь,8) = 1, Ь1(Ь,и(Ь)) и а11(Ь), /1(Ь) = 0, то такая задача имеет единственное, не зависяшее от начальных данных, решение
и(Ь) = /2 (Ь),У(Ь) = — (а11(Ь)/2 (Ь)+ Ь1(Ь,/2(Ь))).
В этом случае в матричный полином А2Л(Ь)+АВ(Ь, х)+С(Ь, х) не удовлетворяет третьему условию теоремы. В самом деле, степень ёе^А2Л(Ь) + АВ(Ь,х) + С(Ь,х)) = —1 равна нулю при любых функциях Ь1(Ь,и(Ь)) и ац (Ь).
Список литературы
1. Бояринцев Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев. - Новосибирск : Наука, 1980. - 222 с.
Институт динамики систем и теории управления СО РАН
2. Булатов М. В. Об одном семействе вырожденных интегро-дифференциальных уравнений / М. В. Булатов, Е. В. Чистякова // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 2011. - Т. 51, № 9. - С. 1665-1673.
3. Булатов М. В. Применение матричных полиномов к исследованию линейных дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка / М. В. Булатов, Минг-Гонг Ли // Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44, № 10. - С. 1299-1306.
4. Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В. Ф. Чистяков. - Новосибирск : Наука. Сиб. изд. фирма РАН, 1996.
M.V. Bulatov, Do Tien Thanh A class of singular integro-differential equations
Abstract. In this paper the systems of integro-differential equations of Volterra type with identical singular matrix at the derivative are considered. For these systems, with the given initial conditions, conditions of existence of a unique continuously differentiable solution are given.
Keywords: integro-differential equations; matrix polynomials.
Булатов Михаил Валерьянович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ИДСТУ СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, д. 134 (mvbul@icc.ru)
До Тиен Тхань, аспирант, Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, Иркутск, ул. Лермонтова, д. 83 (thanhdotien278@yahoo.com)
Bulatov Mikhail, Chif reseacher, ISDCT SB RAS Irkutsk, Lermontov st. 134 (mvbul@icc.ru)
Do Tien Thanh, Ph.D. student, National Research Irkutsk State Texnical University, Lermontov st. 83 (thanhdotien278@yahoo.com)
