Исследование интегральных оценок Текст научной статьи по специальности «Математика»

Serikova //International journal of engineering sciences & research technology, 3(7): July, 2014, pp. 284 - 288. http: // www.ijesrt.com.

5. Маршалко, Г.Б. Вопросы оценки стойкости нейросетевой системы биометрической аутентификации, РусКрипто-2 013, режим доступа — http://www.ruscrypto.ru

6. Волчихин В.И. Перспективы использования искусственных нейронных сетей с многоуровневыми квантователями в технологии биометрико-нейросетевой аутентификации/ В.И. Волчихин, А.И. Иванов, В.А. Фунтиков, Е.А. Малыгина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. -Пенза: Изд-во ПГУ, 2013. №4(28) С.88 - 99.

7. Малыгина, Е.А. Условие корректной оценки стойкости к атакам подбора преобразователей биометрия-код с нейронами, осуществляющими многоуровневое квантование / Е.А. Малыгина // В сб. тр. научно-технической конференции кластера Пензенских предприятий, обеспечивающих безопасность информационных технологий. - Пенза: Изд-во Пенз. ГУ, Т. 9, 2014. - С. 12-13.

УДК 621.382.029.6 Михайлов В.С.

ФГУП «Центральный научно-исследовательский институт химии и механики им. Д.И. Менделеева» (ФГУП «ЦНИИХМ»), Москва, Россия

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОЦЕНОК

Целью настоящей работы является обобщение наиболее известных правил выбора эффективной оценки, основанной на интегральном подходе.

Методы. Для нахождения эффективной оценки использовались интегральные числовые характеристики точности оценки, а именно - суммарный квадрат смещения (уклонения) ожидаемой реализации некоторого варианта оценки от всех возможных значений оцениваемой характеристики по различным значениям параметра пуассоновского з.р., характеризующего поток отказов совокупности испытуемых изделий.

Результаты и выводы. По результатам испытаний типа МВт интегральные оценки 1-го типа используют в задачах, когда требуется найти эффективную оценку с минимальным смещением, а интегральные оценки 2-го типа - когда требуется найти эффективную оценку с минимальной дисперсией. Идеальным вариантом, в задачах оценивания, является использование несмещенной оценки с минимальной дисперсией, если такая оценка существует. В противном случае следует искать оценки с минимальным смещением (используя функционал 1-го типа), а среди них — с минимальной дисперсией (используя функционал 2-го типа). Такой процесс поиска гарантирует получение оценок с хорошими точностными характеристиками. Поэтому не следует ориентироваться на оценки построенные минимизацией только функционала 2-го типа. Оценка СНДО Т01 оценка Т01 является эффективной интегральной оценкой 1-го типа на классе смещённых оценок, представимых в виде = — + и/(И).

Ключевые слова:

ПУАССОНОВСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ; ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ; ПЛАН ИСПЫТАНИЙ; ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА

Введение

Для построения точечных оценок параметров разработаны различные методы, такие, как метод моментов, метод максимального правдоподобия и метод минимума расстояний [1,2] . На практике не всегда удается построить несмещенную оценку и эффективную на классе несмещенных оценок. В общем случае правила нахождения несмещенных оценок в настоящее время не существует и их определение требует своего рода искусства. В ряде случаев найденные несмещенные эффективные оценки имеют весьма громоздкий вид со сложным алгоритмом вычисления [3] . Они также не всегда являются достаточно эффективными в классе всех смещенных оценок и не всегда имеют значительное преимущество перед простыми, но смещенными оценками, с точки зрения близости к оцениваемому показателю.

Определение цели доклада

Целью настоящей работы является обобщение наиболее известных правил выбора эффективной оценки, основанных на интегральном подходе.

Для определенности, не нарушая общности рассуждений, будем рассматривать испытания, проводимые по планам типа Шт и Шт, где N - число испытуемых однотипных изделий; т - наработка (одинаковая для каждого изделия); В - характеристика плана, означающая, что работоспособность изделия после каждого отказа в течение срока испытаний восстанавливается; Б - характеристика плана, означающая, что работоспособность изделия после каждого отказа в течение срока испытаний не восстанавливается [4]. При этом будем считать, что наработка до отказа изделий подчиняется экспоненциальному закону распределения вероятностей (далее - з.р.) с параметром Т0, где последний совпадает со средней наработкой до отказа (далее - СНДО). Тогда расчетное значение вероятности безотказной работы (далее - ВБР) одного изделия за заданное время т будет определяться равенством:

Р0(т) = (1)

Заметим, что плану испытаний типа Шт соответствует распределение Пуассона [4] , а плану типа Шт соответствует биномиальное распределение [4].

Для плана испытаний типа Шт достаточной статистикой является число наблюдённых отказов (г) [1 - 4]. Обозначим случайное число отказов через Я, тогда для плана испытаний типа Шт случайная величина Я (далее - с.в.), имеет пуассоновское распределение Ь(г;Д) с параметром ¿ = N^70 [1 -2]. Тогда, по определению, г - реализация с.в. Я. С другой стороны, Я - сумма с.в. Хи каждая из которых есть случайное число отказов одного из N изделий (1<1<^, поставленных на испытания. Х1 имеют пуассоновское распределение с параметром Д/^

, ... .V________. Л*

(2)

-*к=0 _

Для плана типа Шт достаточной статистикой является число наблюдённых отказов (г) и суммарная наработка 5(Р,т,^) [1 - 4], Я - случайное число отказов, ^ - моменты отказов, ¿ = 1,2,..., Я, тогда для плана испытаний типа Шт случайная величина Я (далее - с.в.), имеет биномиальное распределение рК(к) [2, ф. 1.4.55] с параметрами N и р,0<р<1, т.е. с.в. Я, равная числу успехов в серии из N независимых опытов с вероятностью успеха р = 1 — Р0(т), принимает целочисленные значения 0, 1, 2, ..., N с вероятностями:

рм(к) = Сккрк(1-р)я-к (3)

Функция распределения РЕ(г^,р) биномиальной с.в. Я примет вид

Ря(г,Ы,р)=Як=0рн(к) (4)

Функция распределения РЕ(г^,р) вычисляется через неполную бет-функцию 1р(х,у) по формуле [2, ф. 1.4.57] :

Р—(г, И,р) = 1 — ¡р(г + 1, N — г) = ¡1-р(Ы -г,г+1) (5)

Вероятности рК(к) вычисляется через неполную бета-функцию 1р(х,у) по формуле [2, ф. 1.4.58] :

Ры(к)= 1р(к^ — к + 1) — 1р(к + 1^ — к) (6)

Заметим, что оценка Р(Р^)= — является несмещённой и эффективной оценкой параметрар [2, пример 2.4.20]. Оценка Р(Р^)=— так же является и оценкой максимального правдоподобия [2, пример 2.10.7]

Определим кратко наиболее встречающиеся критерии эффективности оценок [1, 2] и их отличия.

В основе этих критериев лежит среднеквадратиче-ский подход сравнения оценок.

Пусть Т0 не является с.в. и принадлежит множеству значений ^eG. Для функции от параметра в(Т0) оценка §0(R) называется эффективной оценкой в классе оценок §0eQ, если для любой другой оценки §(R) из этого класса выполняется неравенство:

E(§0(R) — в(Т0) )2 < E(§(R) — в(Т0) )2

где Е - математическое ожидание соответствующее з.р. числа отказов для параметра r0eG.

Т.е. сравниваются две оценки, одна из которых после их сравнения признаётся эффективнее другой.

Минимаксный подход. Оценка называется минимаксной §0(R), если для любой другой оценки §(R) неслучайного параметра teG выполняется неравенство [1 - 2 ]:

supEt(§0(R)-e(t))2 <supEt(§(R)-e(t))2 (7)

teG teG

Из минимаксного подхода следует, что всегда найдется вариант, когда минимаксная оценка §0(R) является лучшей только в ближайшем диапазоне t0e[t0 — £, to + £] минимизации самого худшего случая уклонения от оцениваемого параметра 9(t), который составляет небольшую долю рабочего диапазона te[t1, t2]. И, в то же время, уклонения минимаксной оценки §0(R) могут превышать уклонения других оценок §(R) в более обширном рабочем диапазоне значений оцениваемого параметра t0i[tl712]. Хотя уклонения этих оценок §(R) и превышают худший случай минимаксной оценки в ближайшем диапазоне t0e[t0 — £, t0 + г] (^£[^^2]), но зато минимаксная оценка проигрывает (в смысле среднеквадратиче-ского уклонения) в другом более обширном рабочем диапазоне, и в этом смысле теряет свою эффективность.

Байесовский подход. Суть байесовского подхода состоит в том, что неизвестный (оцениваемый) параметр Т0 (или функция от параметра в(Т0)) рассматривается как случайная величина (далее -с.в.) с некоторой плотностью распределения q(t), где t - реализация с.в. Т0 [1, 5] . Плотность q(t) называется априорной, т.е. данной до эксперимента. Байесовский подход предполагает, что неизвестный параметр Т0 был выбран случайным образом из распределения с плотностью q(t).

В соответствии с формулой Байеса плотность апостериорного распределения (после эксперимента) примет вид [1]:

= , (8)

где /(г) = I fw(r)q(t)dt. Само апостериорное распределение параметра в(Т0) будем обозначать через QR. Тогда байесовская оценка, соответствующая априорному распределению Q с плотностью q(t) имеет вид:

ё^К) = Е(в(т0)\к) = I= I(9)

В силу свойств условного математического ожидания байесовская оценка минимизирует средне-квадратическое уклонение Е(§д(И) — в(Т0))2. Или для сравнения байесовской оценки на множестве других оценок 6(Р.) выполняется неравенство:

Е(§а(Щ — 8(Т0))2 < Е(§&) — 8(Т0))2 = 1ЕС(§№ —

в(1))2ц(1)(И (10)

Отметим ещё раз, что для байесовской оценки безусловное среднеквадратическое уклонение (см. формулу (10))

Е(в0(Н) — в(Т0))2 = 1Е1(в(}(К) — в(1))2Ч(1)<11 (11) принимает наименьшее возможное значение. Соотношение (9) показывает, что байесовская оценка минимизирует среднее значение. Недостатком байесовского подхода является обязательное знание плотности априорного з.р. случайного параметра Т0 (см. формулы (8) - (11)) . С одной стороны, эти, заложенные в правило, предварительные знания несут в себе однократные финансовые издержки, а с другой, позволяют минимизировать

объём испытаний [5], что в рамках стабильного производства даёт им конкурентные преимущества.

Отметим полезные связи между минимаксными и байесовскими оценками. Если существует оценка в1 и распределение 0 такие, что при всех ц выполняется неравенство Е(§1(К) — 9(р))2 < I Еи(ёа(И)— в(иУ)2ц(и)йи, то оценка в1 -минимаксная [1] . В действительности, всегда выполняется равенство и, в этом случае, байесовская оценка является минимаксной [1].

Интегральный подход в процессе поиска эффективных оценок

Интегральный подход отработан в основном для плана ИВх [6 - 9] и плана ИБт [10].

В основе интегрального подхода лежит построение правила выбора эффективной оценки в0(Н), заданного на сумме значений относительных смещений оценки от функции над параметром з.р. в(Т0), а

7 !П, N Е(в(Ю)-вП)

именно: Ь/в(1) =—---. В этом случае, самым разумным является построение критерия выбора эффективной оценки на множестве оценок в(Н,Ы,т), основанном на суммарном квадрате относительных смещений математического ожидания оценок Ев(И,Ы,т) от в(Т0) для всех возможных значений Т0, N и т. Поэтому, в качестве критерия получения эффективной оценки строится функционал (далее -А(ё))

А(ё) = Г )2 т) — в(Т°)УдА (12)

где А = Мт/Т0 - параметр пуассоновского з.р., характеризующий поток отказов [1], Ь2 =

[Ев(Н,Ы,т) — в(Т0)}2.

Воспользовавшись свойствами пуассоновского потока с параметром А [1] найдём

E§(R,N,x) = Y,k=0e(k,N,T)e

-Де

к!

(13)

Эффективная оценка 60(И) должна обладать минимальной величиной функционала А(§а). Такие эффективные оценки будем называть интегральными оценками. Из определения интегральной оценки следует, что её выбор основан на минимизации суммы квадратов относительных усредненных смещений от оцениваемого параметра (или функции от параметра) на всём диапазоне значений, принимаемых этим параметром, и на всём диапазоне значений, которые могут принимать количество испытуемых изделий и время испытаний. Т.о. интегральный подход учитывает все факторы влияющие на выбор эффективной оценки. Интегральный подход наиболее интересен в случае, когда оценки в(И,Ы,т) принадлежат к классу смещенных оценок Ъ2>0. Эффективные оценки, полученные минимизацией функционала (формула (12)), будем называть интегральными эффективными оценками 1-го типа, т.к. имеется второй вариант поиска эффективных оценок, использующих интегральный подход.

Отличие байесовской оценки (вд(Н)) от интегральной оценки 1-го типа выражено равенством [1] :

Е(в0(Ю — в(Т0))2=в(в(}(Ю) + Ь

= о(в(1(Ю) + Е(9(}(Ю) — 9(Т0)

Т.е. байесовская оценка вд(Н) минимизирует среднеквадратическое уклонение за счет минимальной дисперсии, однако, во многих случаях можно найти оценку у которой смещение от параметра (или функции от параметра) меньше. Для задач интегрального оценивания 1-го типа важно не минимальное рассеивание оценок от параметра, а минимальное смещение. Таким образом байесовские оценки и интегральные оценки 1-го типа решают разные задачи, в основе решения которых лежит одна и та же числовая характеристика точности оценки - среднеквадратическое отклонение.

Построение правила нахождения эффективных оценок, использующее интегральный подход отличный от 1-го типа

к

Вторым вариантом поиска эффективных оценок, использующим интегральный подход, является минимизация функционала (далее - В(§)) , основанного на суммировании математических ожиданий квадратов относительных уклонений оценок §(Н^,т) от в(Т0) для всех возможных значений Т0, N и т, а именно:

в(§) = С iw-) Eiê(-R' N'T) - в(т°)Тд& (14>

Jo \в(Т0))

Введём обозначения

NT

Д = — = WT, v = NT, T0 = -,N = 1,

То 0 Д

(15)

где V - характеристика объёма испытаний, а N=1 - не нарушает общности рассуждений.

Из формул (12) и (14) следует, что в общем случае для множества значений переменной у^\у1,у2] минимизация функционалов А(§(Я,Р1)) и В(()(К,у1)), где у1е[у1,у2], даст множество частных эффективных оценок ()(Я,у1). Чтобы найти усредненную эффективную оценку необходимо её поиск осуществлять минимизацией функционала следующего вида (аналогично и для А(§(!{, VI))) :

S(ê(R,v)} = lim^Y/i^i В(§(R, ,

(16)

с- j V2-V-1

где о - шаг суммирования, 1=-

s

число шагов

суммирования. Т.к. величина функционала В(§(Р,1>)) с изменением границ интервала у1иу2 может стремиться как к нулю, так и к бесконечности, то следует ограничиваться рабочим диапазоном объёма испытаний. Реальный объём испытаний может колебаться в пределах от 500 часов до 1000 000 часов, в зависимости от сложности и надёжности испытуемого объекта. Именно этот фиксированный интервал следует рассматривать в качестве эталона при вычислении (минимизации) функционала 5(§(Я,у)).

На практике шаг суммирования 8 следует выбирать конечной величиной и достаточный для получения оценки усреднения. Заметим, что при вычислениях варьирование шагом суммирования приводит к изменению результата функционала, но не меняет сути вещей - результат сравнения оценок не меняется .

Идеальным вариантом, в задачах оценивания, является использование несмещенной оценки с минимальной дисперсией, если такая оценка существует. В противном случае следует искать оценки с минимальным смещением (используя функционал 1-го типа), а среди них - с минимальной дисперсией (используя функционал 2-го типа) [9 - 10]. Такой процесс поиска гарантирует получение оценок с хорошими точностными характеристиками. Поэтому не следует ориентироваться на оценки построенные минимизацией только функционала 2-го типа.

Получение эффективной оценки СНДО для плана испытаний типа ЫВт

Будем искать эффективные оценки СНДО на классе смещённых оценок представимых в виде = Учитывая, что с.в. Я распределена

в соответствии с пуассоновским з.р., то формула (12) перепишется, с учётом формулы (13), в виде:

А(ё) = /0"{Н=ое-ДД-Дф(к) — 1}2 дД (17)

Решение функционала возможно, если искать эффективную оценку на классе смещенных оценок, представимых в виде в(R,v)=-^^ + vf(R), тогда функционал (17) примет вид

А(в) = /; {^=0 е^^д^+т) — 1}2дд (18)

Остаётся минимизировать функционал А(в) (см. формулу (18)). В [7] доказано, что оценка

N1

Т01 = 2N1, при г = 0 и Т01 =--, при г > 0

г + 1

доставляет минимум функционалу А(§) (см. формулу (18)).

Т.о. оценка Т01 является эффективной интегральной оценкой 1-го типа на классе смещённых оценок, представимых в виде (i(R,v) = vf(R).

Этот класс смещенных оценок является достаточно широким. Например классическая оценка СНДО [4, 11] принадлежит этому классу. Преимуществом

оценки Т01 является возможность получения результата оценки в виде конечной величины на основании безотказных испытаний.

Выбор эффективной оценки ВБР для плана испытаний типа ЫБт

При выборе эффективных оценок особое место занимают оценки заданные неявно.

Построение точечной оценки, заданной в неявном виде

Будем строить точечную оценку, заданную в неявном виде, используя приёмы построения доверительных интервалов. Функция РЕ(г^,р) убывает по р, и, следовательно, для построения одностороннего доверительного интервала Р(рн < Р0) или Р(рв > Р0) можно воспользоваться рекомендациями [2, ф. 2.15.37], а именно:

Р—(г^,рн) = 1 — а = у или Р—(г, N ,рв) = а = 1 — у (19) где у - доверительная вероятность, а - уровень доверия. Решение уравнений (формула (19)) позволяет найти доверительные границы (рнирв). Доверительное оценивание является дополнительным инструментом, который позволяет оценивать вероятность уклонения точечной оценки параметра надежности от его истинного значения [1].

Если полученный интервал (рвирн) свести в точку, то доверительные границы этого интервала совпадут, т.е. рв станет равной рн. Что определит точечную оценку р = рв = рн. Такой результат возможен в единственном случае, когда у = а=1 — у = 0,5, что определяет единственность оценки р.

Воспользуемся формулой (19) и изучим свойства неявно заданной оценки р, получаемой из уравне-

Ii-P(N -r,r + 1) = 0,5

(20)

Построение критерия выбора эффективной оценки для вероятности отказа

Построим критерий выбора эффективной оценки на множестве оценок в(Н^), основанном на суммарном квадрате относительных смещений математического ожидания оценок Ев(Н^) (в нашем случае Р(Р^)= — и р(Иот параметра р для всех возможных значений р, N. Поэтому, в качестве критерия получения эффективной оценки строится функционал (далее - Ь(в(Н, :

Ь(§(Р,Ю) =±Е%=1101[Е§(Р,ю — р}2др (21) В соответствии с формулой (3) математическое ожидание Ев(Н^) имеет вид:

Eê(R,N) = ^pN(k)ê(k,N)

С ростом N величина функционала растёт

до бесконечности, поэтому сумму следует ограничивать объёмом реальных испытаний. Для сложных изделий следует ограничиться N=10. Имея неявно заданную оценку ВБР за время, равное времени испытаний т, р = 1 — р, легко получить оценку СНДО

T = -

Аналогично, для оценки

Р = 1-

-ln(i-p(R,N))

P(R,N) = 1- — оценка СНДО примет вид T0 = ——^ T RN ■

Как следует из [11] неявно заданная оценка сравнима с эффективной оценкой P(R,N)=— по своей эффективности. Кроме того, преимуществом оценки р является возможность получения результата оценки в виде конечной величины на основании безотказных испытаний.

Заключение

По результатам испытаний типа NBt интегральные оценки 1-го типа используют в задачах, когда требуется найти эффективную оценку с минимальным смещением, а интегральные оценки 2-го типа - когда требуется найти эффективную оценку с минимальной дисперсией.

Идеальным вариантом, в задачах оценивания, является использование несмещенной оценки с минимальной дисперсией, если такая оценка существует. В противном случае следует искать оценки с минимальным смещением (используя функционал 1-го типа), а среди них - с минимальной дисперсией

ния

к=0

T

(используя функционал 2-го типа). Такой процесс Оценка СНДО Т01 оценка Т01 является эффективной

поиска гарантирует получение оценок с хорошими интегральной оценкой 1-го типа на классе смещён-

точностными характеристиками. Поэтому не следует ных оценок, представимых в виде в(Н,р)= — + ориентироваться на оценки построенные минимиза- К+1

цией только функционала 2-го типа. )%

ЛИТЕРАТУРА

1. Боровков А.А. Математическая статистика. — Новосибирск: Наука; Издательство Института математики, 1997. — 772 с.

2. Шуленин В.П. Математическая статистика. Часть 1. Параметрическая статистика. — Томск.: Издательство НТЛ, 20125. — 540 с.

3. Воинов В.Г., Никулин М.С. Несмещенные оценки и их применение. — М. : Наука, 1989.

4. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. — М.: Наука, 1965. — 524 с.

5. Савчук В.П. Байесовские методы статистического оценивания: Надежность технических объектов. — М.: Наука, 1989. — 328 с.

6. Михайлов В.С. Нахождение эффективной оценки средней наработки на отказ //Надежность и контроль качества. — 1988. — №9. — С. 6 — 11.

7. Михайлов В.С. Нахождение эффективной оценки средней наработки на отказ //Надежность. — 2016: (4):40-42.

8. Михайлов В.С. Оценка вероятности безотказной работы по результатам испытаний, не давших отказы // Надежность и качество сложных систем. - 2017. - №2 (18). - С.62 - 66.

9. Михайлов В.С. Исследование интегральных оценок // Надежность и качество сложных систем. -2018. - № 2 (22). - С. - .

10. Михайлов В.С. Неявные оценки для плана испытаний типа Шт. // Надежность и качество сложных систем. - 2018. - № 1(21). - С. - .

11. ГОСТ Р 50779.26-2007 Статистические методы. Точечные оценки, доверительные, предикционные и толерантные интервалы для экспоненциального распределения.

УДК 004.94+551.575 Надейкина Л.А.

ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет гражданской авиации», Москва, Россия

МОДЕЛЬ ИСКУССТВЕННОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ И ОБРАЗОВАНИЯ ЗОНЫ ПРОСВЕТА В НИЗКОЙ ОБЛАЧНОСТИ И ТУМАНАХ

Исследованы кинетика искусственной кристаллизации и образование зоны просвета в переохлажденном тумане в приближенной численной модели, включающей кинетические уравнения для спектров размеров капель и кристаллов, уравнения переноса тепла и влаги. Даны предварительные рекомендации по размещению генераторов кристаллов от взлетно-посадочных полос

Ключевые слова:

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБЛАЧНЫЕ КАПЛИ И КРИСТАЛЛЫ, РАДИОЛОКАЦИОННАЯ ОТРАЖАЕМОСТЬ, ВОДНОСТЬ, ЗОНА КРИСТАЛЛИЗАЦИИ, ДАЛЬНОСТЬ ВИДИМОСТИ

Введение.

Погода - это мощнейший фактор, влияющий на полеты самолетов. И она очень изменчива. Это понимают все, кто обеспечивают безопасность полетов. Но если раньше итог полета при плохой погоде зависел только от мастерства пилотов и везения, то сейчас многочисленные приборы помогают сравнительно безопасно взлетать и приземляться даже в экстремальных условиях. Реальную опасность все еще представляют те погодные условия, которые заметно затрудняют взлет и посадку. В частности, к одним из самых опасных относится туман и низкая облачность на взлетно-посадочной полосе. Если аэропорт с низкой интенсивностью движения и самолет оборудован автоматической системой захода на посадку, визуальное ориентирование выполняет лишь вспомогательную роль. Безопаснее в этом случае посадить воздушное судно по приборам. Однако когда в воздухе скапливается слишком много влаги и туман становится густым, видимость порой снижается до нуля. Если дальность видимости меньше положенного минимума (75 м), взлет и посадка на аэродроме запрещаются, даже если самолет оборудован автоматической системой захода на посадку. По причине возникновения затяжного тумана в аэропорту зачастую страдают не только авиаперевозчики, но и сами пассажиры, так как вылет запланированного авиарейса может быть отложен на часы, что в случае конкуренции с другими авиарейсами может привести к серьёзным проблемам.

В квазистационарных переохлажденных туманах и низкой облачности влажность воздуха близка к ее значению при насыщении над водой, что в большом интервале температур соответствует условиям существенного пересыщения надо льдом (рис. 1) [1].

Кристаллические ядра, имеющиеся в атмосфере, растут в этом пересыщении, тем самым понижая парциальное давление пара, которое соответствовало насыщению над водой. Если этот эффект значителен, что может быть при наличии достаточного

(конкурирующего) количества кристаллов в атмосфере, понижение парциального давления пара становится заметным и переохлажденные капли тумана начинают испаряться. Происходит так называемая перегонка пара с капель на кристаллы. В результате размер капель в окружении кристалла уменьшается, вплоть до испарения, а кристаллы при этом растут и осаждаются на землю. Эффективность (время) перегонки зависит, прежде всего, от размера кристалла (от поверхности поглощения молекул пара) и от концентрации кристаллов.

-40 -30 -20 -10 0

Т

Рисунок 1 - Зависимость пересыщения над льдом при насыщении над плоской поверхностью воды от температуры в градусах Цельсия, 1 - абсолютное пересыщение (г/м3), 2 - относительное пересыщение (%)

В реальных туманах у земли кристаллы практически отсутствуют и эффект перегонки пренебрежимо мал. Методика искусственного рассеяния туманов основана на эффекте перегонки пара с капель тумана на искусственно внесенные в туман кристаллы [2].

Проблема исследования искусственной кристаллизации и последующего рассеяния тумана в области, охватывающей сотни метров по вертикали и несколько километров по горизонтали, имеет важное народнохозяйственное значение и первостепенное для оценки эффективности работ по искусственному рассеянию туманов и низкой облачности при раскрытии взлетно-посадочных полос аэропор-