CC BY
8
УДК 621.86
ИССЛЕДОВАНИЕ ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ РАСТЯНУТОГО
КОМПОЗИТНОГО СТЕРЖНЯ
С.Л. Заярный, А.А. Логвинов, Г.Ю. Грачев
Рассмотрена имитационная модель растянутого композитного стержня при условии хрупкого разрушения армирующих элементов. Составлены алгоритм и код программы расчета методом статистического моделирования. Рассмотрен случай изменения нагрузки и значений приведенных модулей упругости армирующих элементов согласно нормального закона распределения. Представлены результаты имитационного эксперимента для различных уровней нагрузки изменяющейся по случайному закону.
Ключевые слова: композитный материал, растяжение композитного стержня, статистическое моделирование.
Определение распределения нагрузки между армирующими элементами (АЭ) композитного стержня в общем случае представляет собой сложную, статически неопределимую задачу [1]. Дополнительные уравнения отражают особенности геометрических связей, наложенных на деформируемую систему (уравнения перемещений), и составляются исходя из условия «плоских сечений», согласно которому концы АЭ находящиеся в одной плоскости до приложения нагрузки остаются в ней и в процессе на-гружения. Справедливость этого условия определяется конструкцией композитного стержня, по концам которого установлены жесткие заделки.
Условия равновесия отсеченной части стержня определяются как
n
Nz = IМг; Mx = 0; My = 0, (1)
i=1
n n
где Mx = I Niyi; My = I NiXi; - усилие в i -м АЭ; xi,yi - координаты i -i=1 i=1
го АЭ.
Усилие в i -м АЭ композитного стержня определяется соотношением Ni = E*Afa, где E*, A, ei - приведенный модуль упругости при растяжении, площадь поперечного сечения АЭ и относительная деформация нити. Параметры АЭ, приведенные выше, а также предел текучести материала являются варьируемыми факторами.
Относительные деформации АЭ в общем случае деформирования композитного стержня из геометрических соображений определяются так:
ei = (D0 +gxyi +gyxi )Дъ где Do,gx,gy - осевые и угловые деформации композитного стержня; ¡о -
длина композитного стержня.
Таким образом, система уравнений (1) имеет три неизвестных параметра Do, gx, gy, определение которых и является решением статически
неопределимой задачи для композитного стержня на каждом шаге расчета.
202
jj»
В общем случае параметры Ej, Aj, а также механические характеристики материала являются случайными варьируемыми факторами, изменяющимися в установленных пределах и подчиняющимися определенному закону распределения, а их моделирование обеспечивается с использованием генератора случайных чисел, степень нормальности которого контролируется с использованием критерия Пирсона [2 - 4].
Исследование напряженно-деформированного состояния композитного стержня. Принимаем, что растягивающее усилие является детерминированной величиной и изменятся дискретно по j уровням:
n
Nj = kj Z OekAi, i =1
где sek, Aj - предел текучести материала и площадь поперечного сечения i -го АЭ; kj - коэффициент запаса по нагрузке j -го уровня.
Диаграмма упруго-пластического деформирования АЭ в координатах о, e представлена на рис. 1. На каждом расчетном цикле, соответствующем различной нагрузке, для i -го АЭ проверяется условие Oj > oek, где Oi - напряжения в i -м АЭ. Справедливость этого соотношения определяет приближенную картину напряженно-деформированного состояния АЭ при их деформировании за пределами упругости. При этом нелинейный участок 1 диаграммы о, e аппроксимируется линейным участком 2. Такая аппроксимация с некоторым допущением характеризует упругопла-стическое деформирование (без упрочнения) АЭ. По результатам статистического моделирования строятся гистограммы и определяется изменение напряжений за пределом текучести при упругопластическом деформировании АЭ для различных уровней детерминированной нагрузки.
Расчетная модель, составленная по рассмотренному алгоритму, в виде блок-схемы и код программы на языке Fortran представлены в работе [2]. На рис. 2, а, и б представлены результаты расчетов.
о
Рис. 1. Диаграмма зависимости напряжения от относительного удлинения при упругопластических деформациях АЭ:
7 К/ К/ Л к/ к/
- нелинейный участок; 2 - линеиныи участок
Проведя анализ полученных данных, можно установить, что коэффициент запаса по нагрузке kj с некоторым допущением учитывает сте-
264
пень упрочнение АЭ, kу = —. Получим k у = °
оek
У
оек 240
= 1,1.
Ы=0.9-Ытах=24416Н
а, МП а 330
280 270 260 250 240
|И п п п п п п п п п
1
1 I 1
I > 1 1
I 1
1' 2 1
1' 1 2 2 I \>
1 \> 2 1 1
к * * к к | 2
1' к к 1-' 1' к к \з
5 6 7 8 9 10
а
б
Рис. 2. Распределение количества отказов композитного стержня в зависимости от выборки модулей упругости его АЭ: а - при нагрузке N = 24416Я; б - при нагрузке N = 27129Я; о - уровень напряжений, превышающих предел текучести; V - номер выборки модулей упругости; п - число армирующих элементов, в которых напряжения превысили допустимый предел текучести на соответствующем уровне
204
Определение живучести растянутого композитного стержня.
Принимаем, что растягивающее усилие И2 является случайной нормально распределенной величиной с математическим ожиданием Ь -го уровня
И2а
И2ь. Здесь Ь =-^—, где п - количество АЭ в композитном стержне.
оек I А
г=1
На каждом расчетном цикле г выбирается случайное среднее значение Иф и для каждого у -го АЭ проверяется условие оу > ку ■ оек.
Условие прочности для АЭ в рассматриваемой модели определяется из условия его хрупкого разрушения [5].
Справедливость (несправедливость) соотношения о у > ку ■ оек устанавливает факт разрушения (не разрушения) у -го АЭ. В случае, если на расчетном цикле г установлено, что о у=к > куОек, то на цикле г +1 расчет
композитного стержня повторяется без изменения параметра Ь для
при условии Еу = 0.
Отказ по условию прочности композитного стержня определяется условием разрушения всех АЭ, а количество циклов расчета определяет его живучесть.
Характерный вид теоретической зависимости разрушения растянутого композитного стержня приведен на рис. 3.
По результатам статистического моделирования определено распределение количества циклов до полного разрушения композитного стержня в зависимости от коэффициента упрочнения материала его АЭ (таблица). При этом реализуется модель классического пучка, согласно которой при разрушении одного элемента нагрузка передается на элементы, которые находятся в одном пучке с отказавшим, и так до момента полного разрушения пучка.
Рис. 3. График зависимости полного разрушения от уровня нагрузки
(теоретический)
205
Изменения живучести G растянутого композитного стержня от величины коэффициента упрочнения ку
ку 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
G, циклы 12 20 23 150 328 570
Исследование влияния эффекта упрочнения армирующих элементов композитного стержня. Учет влияния эффекта упрочнения материала предполагает использование теории пластичности. Решение задач теории пластичности связано с решением системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, что представляет собой чрезвычайно сложную задачу, которая в аналитическом виде решается, как правило, в исключительных случаях. Поэтому решение задачи теории пластичности чаще всего строится с помощью приближенных методов.
Использование коэффициента допускаемой перегрузки. Упрочнение АЭ определяется диаграммой его напряженно-деформированного состояния при растяжении. В случае композитного стержня для учета эффекта упрочнения в первом приближении вводится коэффициент допускаемой перегрузки, определяемый как отношение максимальных напряжений к пределу текучести материала АЭ: к = отах/от. На рис. 4 представлены результаты исследований. На оси абсцисс указаны интервалы количества циклов V, полученных при разрушении стержней, на оси ординат -количество стержней п , отказавших при уровне нагрузки в соответствующих интервалах.
Растягивающая нагрузка на стержне N подчиняется случайному закону и варьируется от N = 0,1 • Итах до N = Итах, где Итах - максимальная величина, которая определяется как Итах = п • оек • Ае, где п -количество АЭ в стержне, А - площадь АЭ. Модуль упругости стержней изменяется по случайному закону, что и определяет случайный характер изменения их прочности.
Из рассмотрения графиков, приведенных на рис. 4, видно, что с увеличением растягивающей нагрузки количество циклов, требуемых для полного разрушения стержня, уменьшается, а с повышением коэффициента допускаемой перегрузки количество безотказных циклов растет.
Полученные зависимости частоты отказов стержней имеют распределение, близкое к нормальному закону, что характерно для наработки на отказ элементов в металлоконструкции. Поэтому можно предположить, что предлагаемая математическая модель является справедливой для расчета статистических характеристик прочности композитных стержней и определения их надежности.
Остаточные напряжения в армирующих элементах композитного стержня. Согласно теореме о разгрузке для определения напряжений и деформаций, остающихся в упругопластической системе после снятия нагрузки, нужно вычесть из действительных напряжений и деформаций,
соответствующих данной нагрузке, величины напряжений и деформаций, вычисленные для той же нагрузки в предположении об упругом деформировании всех ее элементов. Геометрическая интерпретация этой теоремы представлена на рис. 5.
5 1
Рис. 4. Распределение отказов стержней в зависимости от уровня нагрузки: 1, 2, 3 - коэффициент допускаемой перегрузки к = 1,1,
значения растягивающей нагрузки соответственно N = 0,5 • Л"тах, N = 0,6 • Nmax, N = 0,7 • Nmax; 4, 5 - коэффициент допускаемой перегрузки к = 1,3, значения растягивающей нагрузки соответственно
N = 0,6 • ^ах, N = 0,7 • ^ах
Такое поведение упруго-пластической системы, состоящей из АЭ, подобно поведению образца из упрочняющегося упругопластического материала. Отличие заключается в том, что для стержневой системы, содержащей конечное число АЭ, эта диаграмма будет ломаной. При этом моделирование упрочняющегося композитного стержня может быть выполнено набором упругопластических АЭ, вынужденных деформироваться совместно.
Применение установленного правила позволяет определить распределение остаточных напряжений между АЭ композитного стержня после разгрузки.
Статистическая прочность армирующих элементов композитного стержня. Ее влияние обусловлено учетом силового взаимодействия матрицы композитного стержня с его АЭ. При этом предполагается, что АЭ содержат различные дефекты (поверхностные, внутренние), случайным образом распределенные по их длине. Если бы АЭ не были связаны матрицей, в композите реализовалась бы модель «слабейшего звена» и обрыв АЭ приводил бы к его утрате в качестве несущего элемента композитного стержня. Однако в случае взаимодействия АЭ с матрицей, на некотором расстоянии вдоль АЭ от места обрыва, называемом эффективной длиной Ье, напряжение в «разорванном» АЭ выравнивается практически до
207
среднего значения неразорванных АЭ. Таким образом АЭ вне этого участка ведет себя как неразорванный. При этом, около места разрыва АЭ нагрузка перераспределяется на соседние АЭ, так как маловероятно попадание в одно поперечное композитного стержня нескольких дефектов одновременно.
Рис. 5. Диаграмма упругопластических деформаций при разгрузке
стержня
Продольную прочность однонаправленного композита определяют по линейному правилу смесей, где ос = го у у у + от (1 - у у), о у, от -
прочности АЭ и матрицы, определенные в экспериментах на достаточно длинных образцах; у у - объемная доля АЭ; г - коэффициент реализации
прочности АЭ.
Рассмотренный механизм разрушения АЭ, учитывающий их взаимодействия с матрицей композитного стержня, указывает на возможность оценивания прочности композитного стержня по прочности пучка АЭ эффективной длины. При этом предлагаемая имитационная модель позволяет установить степень влияния среднего значения и дисперсии статистической прочности АЭ на показатели несущей способность композитного стержня. Так, согласно результатам экспериментальных исследований, однородная прочность АЭ по длине не всегда является предпочтительной [6].
Представленные исследования имитационной модели растянутого композитного стержня позволяют сделать вывод о возможности ее использования в качестве математической модели для различных механизмов разрушения композитного стержня при значительном количестве варьируемых параметров.
Список литературы
1. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов / пер. с япон. М.: Мир, 1982. 232 с.
2. Имитационная модель для определения живучести растянутого композитного стержня / С. Л. Заярный, Д.Г. Мокин, В. А. Раевский, П.В. Витчук // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. Вып. 7. С. 49 - 57.
3. Анцев В.Ю., Толоконников А.С., Горынин А. Д. Статистическая модель эксплуатационных воздействий на пролетное строение мостового крана // Механизация строительства. 2016. Т. 77. № 8. С. 13 - 16.
4. Горынин А.Д., Анцев В.Ю., Толоконников А.С. Методика анализа риска отказа мостового крана на базе статистического моделирования нестационарного нагружения // Материалы Международной научно-технической конференции «Интерстроймех-2015» / отв. редактор Р. Л. Са-хапов. Казань: Изд-во Казан. гос. архитект.-строит. ун-та, 2015. С. 62-67.
5. Селиванов В.В. Механика разрушения деформируемого тела; прикладная механика сплошных сред: учебник для втузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 420 с.
6. Полилов А.Н. Экспериментальная механика композитов: учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. 375 с.
Заярный Сергей Леонидович, канд. техн. наук, [email protected], Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет),
Логвинов Александр Андреевич, студент, [email protected], Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет),
Грачев Георгий Юрьевич, студент, goshangrachev@gmail. com, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)
INVESTIGATION OF THE IMITATION MODEL OF THE STROKED COMPOSITE ROD
S.L. Zajarnyj, A.А. Logvinov, G.J. Grachev
The simulation model of a stretched composite rod under the condition of brittle fracture of reinforcing elements is considered. The algorithm and the code of calculation program by the method of statistical modeling are made. The case of variation of load and values of reduced elastic modules of reinforcing elements according to the normal distribution law is considered. The results of a simulation expert Advisor for different levels of load varying according to a random law are presented.
Key words: composite material, tension rod, statistical process-mechanical modeling.
Zajarnyj Sergej Leonidovich, candidate of technical sciences, texnakon@yandex. ru, Russia, Kaluga, Moscow Bauman State Technical University (Kaluga Branch),
Logvinov Aleksandr Andreevich, student, Paradoksme@yandex. ru, Russia, Kaluga, Moscow Bauman State Technical University (Kaluga Branch),
Grachev Georgij Jur'evich, student, goshangrachev@gmail. com, Russia, Kaluga, Moscow Bauman State Technical University (Kaluga Branch)
