ИССЛЕДОВАНИЕ И СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭВРИСТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ ПРИ РЕШЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ МИНИМАКСНОЙ ЗАДАЧИ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 681.5

ИССЛЕДОВАНИЕ И СРАВНИТЕЛЬНЫМ АНАЛИЗ ЭВРИСТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ ПРИ РЕШЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ МИНИМАКСНОЙ ЗАДАЧИ

Г. С. Домбаян

Донской государственный технический университет (г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация)

Аннотация. Рассматриваются алгоритм Плотникова-Зверева и алгоритм распределения по критерию для получения приближенного решения неоднородной минимаксной задачи теории расписаний при равном количестве независимых устройств и поступающих на них независимых заданий. Проведен вычислительный эксперимент и сравнительный анализ результатов работы алгоритмов. Цель данного исследования — выполнив вычислительный эксперимент на основании двух алгоритмов, провести сравнение результатов для определения оптимальности решения.

Ключевые слова: теория расписаний, неоднородная минимаксная задача, КР-полные задачи, алгоритм Плотникова-Зверева, минимаксный критерий, распределение независимых заданий.

RESEARCH AND COMPARATIVE ANALYSIS OF HEURISTIC ALGORITHMS FOR SOLVING AN INNHOMOGENEOUS MINIMAX PROBLEM

Grigoriy S. Dombayan

Don State Technical University, (Rostov-on-Don, Russian Federation)

Abstract. The paper considers the Plotnikov-Zverev algorithm and the B-criterion distribution algorithm for obtaining an approximate solution of a non-homogeneous minimax scheduling problem with an equal number of independent devices and independent tasks arriving at them. A computational experiment and a comparative analysis of the results of the algorithms were carried out. The study objective is to perform a computational experiment based on two algorithms, to compare the results to determine the optimality of the solution.

Keywords: scheduling theory, heterogeneous minimax problem, NP-complete problems, Plotnikov-Zverev algorithm, minimax criterion, distribution of independent tasks.

Введение. Актуальность исследования методов и алгоритмов решения задач теории расписаний и массового обслуживания обусловлена постоянным развитием систем, обрабатывающих информацию, основанных на многопроцессорной архитектуре. Неоднородная минимаксная задача относится к разряду NP-полных задач теории расписаний [1]. Поскольку найти точное решение для задач большой размерности достаточно трудно, используются эвристические алгоритмы для нахождения приближенного решения [2].

Основная часть. Сформулируем постановку задачи: имеется M независимых заданий Т = [t1,t2,... ,tm], которые необходимо распределить на N параллельно работающих разнородных устройствах Р = [р1,р2, ...,pm], по критерию fr = max fj ^ min, где fi = %teTT(.ti) — время

l<j<nJ J 1 J

завершения работы процессора pj. Количество устройств равно количеству заданий, поступающих на них (N=M). Каждое устройство pj может выполнять только одно задание в определенный момент времени. Известно время выполнения т(ti, Pj) задания ti на любом из устройств pj. Требуется найти такое распределение заданий по устройствам, при котором суммарное время выполнения задач на каждом из устройств было бы минимальным [1].

Алгоритм Плотникова-Зверева. Данный алгоритм для нахождения решения неоднородной минимаксной задачи включает следующие шаги [3]:

Шаг 1: строки матрицы Т упорядочиваются по убыванию сумм всех их элементов.

Шаг 2: в преобразованной матрице Т' в первой строке минимальный элемент принимается за элемент распределения и прибавляется к соответствующему по номеру элементу следующей строки.

Шаг 3: следующая строка учитывает предыдущее решение, из нее выбирается минимальный элемент и прибавляется к соответствующему элементу следующей строки и т. д.

Шаг 4: выполнение алгоритма происходит до тех пор, пока в матрице не будет произведена обработка всех строк.

Алгоритм распределения по критерию В. Метод основывается на учете специфического свойства матрицы. Это свойство определяет стратегию распределения согласно следующей теореме: «Если в каждой 1-й строке матрицы приращения для всех) от 1 до N-1 и строки матрицы расположены так, что сх > с2 > ■■■ > ст, то оптимальное распределение будет составлено из элементов главной диагонали».

Приращение определяется по следующей формуле:

T(tiPy+l) T(tiPy)

= const

Показатель s подбирается из условия:

5 >

lg 2

При использовании минимаксного критерия в качестве а берется ближайшее к максимальному г (ир) значение [4].

Шаг 1: для каждой строки матрицы весов определяются приращения т( £.р.+1) — т(*;р)' и

строки переставляются по порядку убывания приращения.

Шаг 2: преобразованная матрица разбивается на четыре квадратных подматрицы размером

N М ,т N+1 М+1 N-1 М-1 ,т

— X — для четных N и размером-X-и-X-для нечетных N.

2 2 2 2 2 2

Шаг 3: с двумя матрицами, главные диагонали которых совпадают с главной диагональю исходной матрицы, выполняют шаг 1. Процесс последовательной декомпозиции подматриц заканчивается при размерах 2х2 или 3х3.

Результаты экспериментальных исследований. В рамках вычислительного эксперимента сравнивалась эффективность работы алгоритма Плотникова-Зверева и алгоритма распределения по критерию В. Оценкой служит среднее значение минимаксного критерия, полученного в ходе 50 экспериментов для различных матриц К=М.

Результаты эксперимента для 50 случайно сгенерированных матриц размерностью 8х8, 12х12, 16х16 и 24х24 в диапазоне от 10 до 20, от 10 до 30 и от 10 до 50 представлены в таблицах 1-3.

Как видно по итогам эксперимента, для нахождения приближенного решения неоднородной минимаксной задачи преимуществом обладает алгоритм Плотникова-Зверева.

ч =

Таблица 1

Результаты вычислительного эксперимента на матрицах N=M с загрузкой 10.. .20

Алгоритм 8х8 12х12 16х16 24х24

Плотникова-Зверева 14.64 14.98 15.12 15.36

Распределение по критерию В 25.28 27.68 26.18 28.32

Таблица 2

Результаты вычислительного эксперимента на матрицах N=M с загрузкой 10.30

Алгоритм 8х8 12х12 16х16 24х24

Плотникова-Зверева 20.16 20.7 19.5 20

Распределение по критерию В 32.58 34.74 34.82 36.78

Таблица 3

Результаты вычислительного эксперимента на матрицах N=M с загрузкой 10.50

Алгоритм 8х8 12х12 16х16 24х24

Плотникова-Зверева 28.46 26.06 25.52 25.06

Распределение по критерию В 44.4 53.36 47.24 51.96

Заключение. По результатам эксперимента можно сделать вывод, что алгоритм Плотникова-Зверева приводит к более оптимальному решению неоднородной минимаксной задачи при равном количестве устройств и задач, поступающих на эти устройства. Это подтверждается средним значением минимаксного критерия, вычисляемым в результате работы алгоритмов.

Библиографический список

1. Струченков, В. И. Дискретная оптимизация. Модели, методы, алгоритмы решения прикладных задач // В. И. Струченков. — Москва : СОЛОН-пресс, 2020. — 192 с.

2. Алгоритмы: построение и анализ / Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн. — Москва : Вильямс, 2013. — С. 59 .

3. Плотников, В. Н. Методы быстрого распределения алгоритмов в вычислительных системах / В. Н. Плотников, В. Ю. Зверев // Техническая кибернетика. — 1974. — № 3. — С. 78.

4. Саати, Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложение / Т. Л. Саати. — Москва : Либроком, 2010. — С. 105-108.

Об авторе:

Домбаян Григорий Сергеевич, аспирант Донского государственного технического университета (344003, РФ, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1), nuken 96@mail.ru

About the Author:

Grigoriy S. Dombayan, postgraduate student, Don State Technical University (1 Gagarin Square, Rostov-on-Don, 344000, RF), nuken 96@mail.ru