CC BY
49
УДК 519.8
А. А. КОЛОКОЛОВ Н. А. РУБАНОВА И. А. ЦИГЛЕР
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал Омский государственный университет путей сообщения
ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ФОРМИРОВАНИЯ МАЛЫХ ГРУПП НА ОСНОВЕ
ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
В статье рассматриваются задачи формирования малых групп с учетом логических, ресурсных и других ограничений, имеющие приложения в экономике и управлении; строятся и исследуются модели дискретной оптимизации, предлагаются алгоритмы их решения, основанные на процедурах отсечения, методе ветвей и границ; приводятся результаты вычислительных экспериментов д ля разработанных алгоритмов и пакетов прикладных программ.
Ключевые слова: дискретная оптимизация, целочисленное программирование, задачи формирования малых групп, управление персоналом, алгоритмы. Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013—2020 годы, п. 1.5.1.5 «Исследование и решение задач комбинаторной оптимизации с использованием целочисленного программирования».
Важным фактором успешной деятельности современного предприятия является его эффективная кадровая политика, включающая в себя подбор персонала и формирование производственных групп. При создании таких групп часто требуется назначить претендентов на должности таким образом, чтобы не только обеспечить качество и своевременность выполнения работ, но и учесть условия труда, межличностные и иерархические отношения в коллективе и другие требования. При решении задач подобного рода применимы модели и методы дискретной оптимизации, в частности аппарат целочисленного линейного программирования (ЦЛП).
В настоящее время изучение задач управления персоналом идет по нескольким направлениям, среди них разработка и использование моделей ЦЛП, построенных на основе известных задач о назначениях и их обобщениях, применение задач о покрытии, задач оптимального разбиения и размещения, оптимизация на графах, построение теоретико-игровых моделей для анализа процессов формирования и функционирования коллектива.
Указанные постановки и смежные с ними вопросы исследовались в работах многих авторов [1 — 11]. Проблематика рассматриваемых задач включает изучение их структуры и сложности, разработку алгоритмов точного и приближенного решения, анализ этих алгоритмов.
Данная работа посвящена задачам формирования малых производственных групп с учетом логических, ресурсных и других ограничений. Предлагаются алгоритмы их решения, основанные на процедуре последовательного расширения системы отсечений и методе ветвей и границ, приводятся результаты вычислительного эксперимента.
Во многих случаях задача управления персоналом сводится к задаче о назначениях (ЗН), которая может быть сформулирована следующим образом. Пусть некоторое предприятие создает производственную группу при условии наличия на рынке труда определенного множества претендентов, число которых не меньше количества имеющихся работ. Любому из них может быть назначена одна работа, причем каждая работа должна выполняться одним специалистом. Необходимо образовать производственную группу с учетом указанных условий так, чтобы суммарные затраты на все работы были минимальны [4].
Введем следующие обозначения: п — число специалистов, т — число работ; . — нпмер счециалиста, I б Н,Н ч {С,...,с},у — номер рабчты, н б Р,Р ч {С,...,л} . Обозначим затраты на выполнение Н-н срециали-стом у-йработычерез е у, I б Н, н б Р.
Введем булевы переменные Ху, I б Н, у б Р. Будем полагать, что х. =1, если г-йспециалист назначается на у-ю работу, и х.. =0 в противном случае.
Тогда модель, ЦЛП дая этой задачи имеет вид
F(ь) = ЕЕПп ^ min
)е/ jeJ
при условиях
Е bj =1 ,je J'
Е} < 1/ e /,
jeJ
, e{ 0 , 1 },,e /, j 1 J.
(1)
(2)
(3)
(4)
f( ьь)=ее<
2е/ jeJ
при условиях
E ьп =е
) J/
ЕП JU «j
joJ
Ьц^Л^ ¿Mi . ^ ь,ь {0, 1},) e/JjJ ■
Рассмотрим з адачу управления персоналом Р2, отличающуюся от Р1 тем, что в ней вместо несогласованных отношений необходимо учесть напряженные отношения между некоторыми претендентами, а все выполняемые работы связаны между собой. Это означает, что в формируемую группу не должны войти специалисты с напряженными отношениями.
Пусть Т — множество всех пар претендентов, находящихся друг с другом в напряженных отношениях. Тогда математическая модель задачи Р2 будет отличаться от модели Р1 тем, что вместо неравенств (8) в ней будул учитываться егманичения
Здесь целевая ф ун кция (у) п ]з едстввчяет с обой общие затраты предпуивтия п]У1т назначении специалистов на раДтты; рлвенстиа (2)указывают, что на каждую работу аатначеется только одим специалист; неравенстта (1) гочантмруют, что каждый включенный в ги уппу специалист выполняет не более одной работы. Из тел стно, что у Н является полиномиально разтеиимчй [1 ].
В сформулинованнев выше задаче мномие факторы не принимнюесе вччмение, поэтомд возникает необходимостт иепевьсовантя дчнгдм постановок. Наприм тр, в О 4, 5] ]3)асс те о трене з адача Р управления петсонолен с учетом нак назыеаемых несогласованный меелетноччных отнкшеаий. Множество таких одношеннн оптеделнется следующим образом. Пусть нпеуналини ^ претендчит на наботнМ), а специалист / — ны тебот. ]2.
Межличднствьи аеношеннем Т(уи]),(2,у2считаются несогласоеднныма, есои раНомы ]1, ] требуют взаимодействия сперитлистов I. 12 приихвыполне-нии, отношения мелоду которыми рассматриваются как напряженные. Множество всех несогласованных межлысннcтныx нтношений обозначим Ш. Представим математичесную модель ЦЛП данной задачи:
+ ьик J1,()1> b) eT > пk e J
(10)
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
Здесь целевая функцчя ]5) н огранимения (6), (7), (9) аналогичны (1) —(4) задачи о назначениях, а неравенства (8) отражают необходимость обеспечения условия согласованности межличностных отношений.
Дополнение ограничений ЗН условием (8) ведет к повышению ее сложности. В [4] доказана МР-трудность задачи Р1 сведением ее к известной МР-трудной задаче о независимом множестве минимального суммарного веса. Для задачи Р1 был разработан и реализован алгоритм, основанный на методе ветвей и границ, проведено экспериментальное исследование, показавшее эффективность его применения [4].
Эта задача я вля ется NP-трудной, так как представляет собой частный случай задачи Pt и именно условие связанности всех работ было использовано при доказательстве сводимости задачи Pi к задаче о независимом множестве минимального суммарного веса [1].
Наряду с задачами Pt и P2 можно рассмотреть близкую к ним задачу P3, в которой при назначении специалистов на работы необходимо учесть напряженные отношения между некоторыми претендентами, но все выполняемые работы не связаны между собой. В этом случае нужно либо назначать претендентов на работы без учета их отношений (т.к. они все равно не будут контактировать при выполнении работ) и тогда задача эквивалентна ЗН, либо требовать, чтобы в группу не входили конфликтующие специалисты (в этом случае задача эквивалентна задаче P2, в которой все работы считаются связанными).
Для решения рассматриваемых задач применимы различные алгоритмы ЦЛП и пакеты программ, например CPLEX. Число ограничений (8) может оказаться достаточно большим, поэтому эти неравенства следует вводить постепенно, как это делается в алгоритмах отсечения. На данной основе была разработана процедура CUT, базирующаяся на использовании отсечений и пакета CPLEX, в которой допускается варьирование числа добавляемых к текущей задаче нарушенных ограничений типа (8) истратегий их сортировки. Опишем алгоритм CUT по шагам.
Шаг 0. Пусть начальная задача ЦЛП представляет собой ЗН (5) —(7), (9) без учета ограничений из (8).
Шаг 1. Находим оптимальное решение текущей задачи. Если оно существует, переходим на шаг 2, иначе — на шаг 4.
Шаг 2. Если для решения, полученного на шаге 1, нарушено хотя бы одно ограничение из (8), то добавляем некоторые из таких ограничений к текущей задаче, идем на шаг 1, иначе — на шаг 3.
Шаг 3. Решение текущей задачи является оптимальным решением задачи (5) — (9).
Шаг 4. Задача P2 не имеет допустимых решений.
Отметим, что на шагах 3, 4 алгоритм завершает работу. На шаге 2 допускается варьирование числа добавляемых к текущей задаче нарушенных ограничений и стратегий их выбора. На шаге 1 для решения указанных задач ЦЛП использовался пакет CPLEX.
Множество стратегий сортировки дополнительных ограничений (8) можно разбить на два класса: распределение неравенств из системы (8) в некотором порядке до запуска алгоритмов решения
ь
(обозначим их BSortl, BSort2) л после каждой итерации алгоритмов (обозначим их ISortl, ISort2). Сначала опишем возможные варианты упортдочивания первого класса. Для каждого ограничения, порождаемого парой (а'1;а2)пЫ , подсчитывазм, сковько раз индекс it встречается в остальных ограничениях системы (8); то же самое находим для индексв i2. В случае сортировки BSortl весом линейного неравенства, соответствующего паре (iB,i2)нЫ , будем считать сумму этих двух чисел, а для BSort2 — максимальное из них. Располагаем все неравенства из (8) в порядке невозрастания весов. Вычисление весов ограничений (8) в случае сортировки ISortl такое же, как и для BSortl, а в случае ISort2 — как для BSort2. Отличие состоит в том, что нахождение указанных весов осуществляется только для неравенств, которые не выполнились после текущей итерации, а веса остальных равны нулю.
К данным задачам также применим комбинаторный алгоритм, предложенный в работах [1 — 4], при использовании которого решение исходной задачи сводилось к решению последовательности ЗН (венгерским алгоритмом). В основе предложенного алгоритма лежат процедуры ветвления и построения оценок значений целевой функции для текущих задач.
Нами разработан программный комплекс и проведен вычислительный эксперимент для задачи P2, цель которого заключалась в исследовании предложенных алгоритмов в зависимости от значения входных параметров задачи, а также в сравнении с пакетом CPLEX. В качестве тестовых использовались задачи со случайными исходными данными. Расчеты проводились на компьютере с процессором Intel(R) Core(TM)2 i7-4770 CPU @3.40GHz.
Введем необходимые обозначения. Пусть A1, Аз — некоторые алгоритмы, AT(A1) — среднее время счета в секундах алгоритма А1. Тестовые примеры были получены с помощью процедуры генерации с входными данными: число специалистов — n, работ — m, напряженных межличностных отношений — |Т|, а также нижние и верхние границы затрат е.. на выполнение работ. Задачи при фиксированных значениях указанных параметров образовывали серии. Всего было решено 75 серий задач, каждая из которых содержала по 50 тестовых примеров. В сериях S1—S13 число специалистов и работ было по 50, напряженных отношений — 10; в S14 — S17 число специалистов и работ равнялось 50, количество напряженных отношений изменялось от 50 до 200; в S18 — S20 со 100 специалистами и работами количество напряженных отношений равнялось 100, в S21—S73 число специалистов и работ равнялось 500, количество напряженных отношений изменялось от 100 до 1000; в S74, S75 также рассматривалась квадратная матрица C размерности 1000. Во всех задачах предполагалось, что минимальные размеры затраты е.. на выполнение работ равнялись 1, максимальные — 100.
Введем обозначения для алгоритма CUT и его модификаций с учетом этих стратегий: CUTIS1 — это алгоритм CUT с учетом ISort1; CUTIS2 — это алгоритм CUT с применением ISort2.
Отметим, что использование ISort1, ISort2 привело к тому, что время решения алгоритмом CUT уменьшилось и стало сравнимым со временем решения пакетом CPLEX (примерно 2 секунды) на сериях S1 — S13 (рис. 1).
По результатам вычислений можно сделать вывод о том, что не следует использовать сортиров-
■ -CUTIS1 —-CUTIS2
■ -CPLEX
— сит
Рис. 1. Среднее время решения задач алгоритмами CUT, CUTIS1, CUTIS2 и пакетом CPLEX
Рис. 2. Среднее время решения задач алгоритмом CUT и пакетом CPLEX
ки, когда число дополнительных ограничений невелико.
Расчеты показали, что алгоритм CUT обладал преимуществом по времени счета перед модулем CPLEX на сериях задач S14 — S75 (рис. 2).
Установлено, что CUT находил оптимальное решение задачи P2 быстрее, в случае если число напряженных отношений и пар связанных работ было достаточно велико, а разрыв оптимальных значений целевых функций задач P2 и ЗН являлся небольшим.
Кроме того, проведено тестирование алгоритма CUT на сериях задач S14 — S75. При этом в CUT варьировалось число добавляемых неравенств типа (10) и применялись некоторые стратегии выбора этих ограничений. Алгоритм CUT с использованием сортировок ISort1, ISort2 оказался в отдельных случаях быстрее пакета CPLEX на 25 %.
Результаты вычислительного эксперимента подтверждают целесообразность разработки комбинаторных и гибридных алгоритмов, а также их модификаций для задач формирования малых производственных групп.
В работе рассмотрен ряд новых постановок задач формирования малых групп и соответствующих моделей ЦЛП. Предложены и реализованы точные алгоритмы решения этих задач, на их основе разработан и апробирован программный комплекс. Проведен вычислительный эксперимент, который показал перспективность применения указанных моделей и алгоритмов в системах поддержки принятия решений.
Библиографический список
1. Афанасьева, Л. Д. Исследование и решение одной задачи формирования производственных групп / Л. Д. Афанасьева, А. А. Колоколов // Вестник УГАТУ. - 2013. - № 5. -С. 20-25.
2. Колоколов, А. А. Решение некоторых задач формирования производственных групп с использованием дискретной оптимизации / А. А. Колоколов, Н. А. Рубанова, И. М. Истомина // Проблемы оптимизации сложных систем : материалы Х Междунар. азиатской шк.-семинара. - Алматы, 2014. -Вып. 2. - 433-436.
3. A. A Kolokolov, L. D. Afanasyeva. Research of Production Groups Formation Problem Subject to Logical Restrictions. Journal of Siberian Federal University: Mathematics & Physics, 2013; 6: 145-149.
4. Истомина, И. М. О некоторых алгоритмах решения задач формирования производственных групп с учетом логических ограничений / И. М. Истомина, И. А. Циглер // Проблемы оптимизации и экономические приложения : материалы VI Междунар. конф. - Омск, 2015. - С. 95.
5. Колоколов, А. А. Разработка моделей и алгоритмов для задачи управления персоналом с учетом логических ограничений / А. А. Колоколов, Н. А. Рубанова, И. А. Циглер // Проблемы оптимизации сложных систем : тр. XI Междунар. азиатской шк.-семинара. - Кыргызстан : Чолпон-Ата, 2015. -С. 746-749.
6. Кисельгоф, С. Г. Обобщенные паросочетания при предпочтениях, являющихся простейшими полупорядками: стабильность и оптимальность по Парето / С. Г. Кисельгоф // Автоматика и телемеханика. - 2014. - Т. 6. - С. 103-114.
7. Колоколов, А. А. О решении одной задачи проектирования малых групп с использованием дискретной оптимизации / А. А. Колоколов, И. А. Циглер, А. И. Хоменко // Россия молодая: передовые технологии в промышленность. - Омск, 2015. -№ 3. - C. 56-60.
8. Гэри, М. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи / М. Гэри, Д. Джонсон. - М. : Мир, 1982. - 426 c.
9. Burkard R. E., Dell'Amico M., Martello S. «Assignment problems», Philadelphia: SIAM, 2009.
10. Новиков, Д. А. Математические модели формирования и функционирования команд / Д. А. Новиков. - М. : Физмат-лит, 2008. - 188 с.
11. Колоколов, А. А. Анализ и решение некоторых задач формирования производственных групп / А. А. Колоколов, Л. Д. Афанасьева // Материалы Междунар. конф. «Информационные технологии интеллектуальной поддержки принятия решений» и Российско-немецкого семинара «Модели и алгоритмы прикладной оптимизации». - Уфа : Изд-во УГАТУ, 2013. - С. 190-192.
КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), заведующий лабораторией дискретной оптимизации Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал; заведующий кафедрой прикладной и вычислительной математики Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского.
Адрес для переписки: [email protected] РУБАНОВА Наталья Алексеевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Омского государственного университета путей сообщения.
Адрес для переписки: [email protected] ЦИГЛЕР Игорь Александрович, аспирант лаборатории дискретной оптимизации Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал. Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 20.04.2016 г. © А. А. Колоколов, Н. А. Рубанова, И. А. Циглер
Книжная полка
Олифер, В. Компьютерные сети. Принципы, технологии, протоколы : учеб. / В. Олифер, Н. Олифер. -5-е изд. - СПб. : Питер, 2016 с. - 992 с. - ISBN 978-5-496-01967-5.
Пятое издание одного из лучших российских учебников по сетевым технологиям, переведенного на английский, испанский, португальский и китайский языки, отражает те изменения, которые произошли в области компьютерных сетей за 6 лет, прошедших со времени подготовки предыдущего издания: преодоление локальными и глобальными сетями рубежа скорости в 100 Гбит/c и освоение терабитных скоростей; повышение эффективности и гибкости первичных оптических сетей за счет появления реконфи-гурируемых мультиплексоров ввода-вывода (ROADM) и применения суперканалов DWDM, работающих на основе гибкого частотного плана; развитие техники виртуализации сетевых функций и услуг, приведшей к распространению облачных сервисов; выход на первый план проблем безопасности. Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Информатика и вычислительная техника» и по специальностям «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», «Автоматизированные машины, комплексы, системы и сети», «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем».
Издание предназначено для студентов, аспирантов и технических специалистов, которые хотели бы получить базовые знания о принципах построения компьютерных сетей, понять особенности традиционных и перспективных технологий локальных и глобальных сетей, изучить способы создания крупных составных сетей и управления такими сетями.
