CC BY
17
Исследование и особенности математической модели ротора
Дарье
Д.В. Беляков
Московский Авиационный Институт (Национальный Исследовательский Университет), г. Москва
Аннотация: В рассматриваемой работе разработана математическая модель ветрогенератора, аналогичного ротору Дарье. Рассмотрен режим быстрого вращения турбины или режим авторотации. С помощью метода осреднения получено значение установившейся угловой скорости ветротурбины на режиме авторотации. В компьютерной системе та^аЬ написан комплекс программ и получены результаты численного счета. Они сравниваются с аналитическими оценками. Проведен параметрический анализ геометрических размеров ветротурбины для получения заданной мощности. Показаны преимущества и недостатки этой конструкции по сравнению с другими типами ветротурбин. В результате этих расчетов можно сделать вывод о том, что ветрогенераторы Дарье будут эффективными только для получения небольшой мощности и при небольших размерах. Устройства больших размеров требуют слишком дорогого обслуживания.
Ключевые слова: Ветротурбина, режим авторотации, устойчивость, геометрические размеры.
Данная статья посвящена исследованию математической модели ветротурбины Дарье. Она обладает преимуществами перед генераторами с горизонтальной осью, такими, как независимость от направления потока ветра, имеет более высокие коэффициенты быстроходности и энергии ветра. Сама конструкции очень проста при изготовлении. Не требуется устройство для запуска. Одним из недостатков рассматриваемой модели являются сильные нагрузки на ось вращения, что приводит к ее выходу из строя. Аналогичная задача с двумя лопастями рассматривалась в работах [1,2] (см. рис.1). Таким образом, будет рассмотрена конструкция ротора Дарье с
и
четырьмя лопастями, которая может быть использована, как перспективный источник использования энергии ветра.
а
Рис. 1. Ротор Дарье с двумя лопастями
Постановка задачи.
Рассмотрим вращение ветротурбины Дарье с вертикальной осью, состоящей из двух ортогональных стержней и четырех пластинок под действием воздушного потока. Каждая пластинка отклонена на угол 8 относительно нормали к стержню (Рис. 2). Аэродинамические силы формируются с помощью квазистатического обтекания пластинки средой. Точки приложения аэродинамических сил называются центрами давления. В рассматриваемой задаче центры давления неподвижны. Модули сил аэродинамического воздействия квадратичным образом зависят от воздушных скоростей центров давления [3,4]. Такая модель на основном рабочем режиме хорошо согласуется с результатами эксперимента.
Аэродинамические силы пластинок, имеют два вида: силы сопротивления направленные против воздушных скоростей
центров давления, УА,Ув,Ус,Уп и подъемные силы РА,РВ,РС,РВ,
направленные по нормали к ним. Здесь а, углы атаки между векторами Ло, КоЛоЛо) и воздушными скоростями УА,УВ,УСЛ, сх, су -безразмерные аэродинамические функции, р - плотность среды, а -
и
значение площади каждой пластинки. Зависимости сх, су определены из продувок в аэродинамической трубе [5].
\SA \=s(a + S)V¡=0.5pcjcx(a + S)V¡,\?A \=p(a + 8)V¡ = 0.5 per сy(a + 8)V¡ | SB \=S(J3 + Ó)V¿ =0.5pacx(j3 + ó)V¿,\PB \= p(j3 + ó)V¿ = 0.5 pacy(j3 + ó)V¿ | Sc \=S(r + ó)V¿=0.5pacx(r + ó)V¿, \PC \= p(y + ó)V¿ =0.5pacy(y + ó)V¿ | SD |= s(rj + S)Vp = 0.5pacx(r] + S)V¿, \PD \= p(n + ó)V¿ =0.5pc7cy(n + ó)V¿
В качестве координат, введем угол e отклонения стержня АВ от оси x.
Уравнения вращения рассматриваемой математической модели будут иметь вид:
je = r{V¡{p{a+S)ma-s{a+S)cosa)+V¡;{p{fí+S)mfi-s{fi+S)cosfi ^
+VC2 (2+J) sin у - s (у+S) cos y)+Vl (2 + S)sin i] - s(] +S) cos 7)
Для определения значений величин VA, V!i,Vr,V/),a, /?,/,// через фазовые переменные V,в, a можно применить кинематические соотношения:
V sin а = -V cos в, V cos а = ra- V sin в
V sin[3 = Vcose, V cos[3 = ra + Vsine
Vc sin а = V sine, Vc cosa = ra- V cose
(2)
VD sin[3 = Vsine, VD cos[3 = ra-Vcose Таким образом, мы получили замкнутую и определенную систему уравнений (1) -(2) описывающую вращение ротора Дарье. В уравнения движения рассматриваемого ветродвигателя входят экспериментальные аэродинамические функции сх, с • При численном интегрировании системы
(1),(2) надо сначала найти углы атаки а, [,у,]. из дополнительных соотношений (2). Аэродинамические функции можно интерполировать с помощью кубических сплайнов. На следующем шаге находим воздушные скорости VA, V/nVr,VL¡ пользуясь соотношениями (2). и далее применять какой-нибудь один из методов для нахождения численного решения системы
М Инженерный вестник Дона, №8 (2023) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n8y2023/8642
(1),(2). Далее применяем метод Рунге-Кутта четвертого порядка, наиболее оптимальный для численного интегрирования (1),(2).
^ р р
в в в
/ 4
V
Рис. 2. Ротор Дарье с четырьмя лопастями Режим авторотации
Рассмотрим работу устройства в режиме быстрого вращения. Величины векторов УАО, УваУсоУь велики по сравнению со скоростью потока Vи углы атаки а, близки к нулю[6,7]. Изменение кинетического момента в (1) при этом очень мало. Будем искать стационарный режим при быстром
и
вращении устройства. т.е:
\VaoV Г,\Гво\П г,\гсо\п к,а->о,/?->о,г->о,17->о
Аэродинамические функции р,5 разложим в ряд, а^0,0,у^0,7^0и оставим только члены первого приближения.
Левые части кинематических соотношений (2) разложим в ряд при
а, /3,у,7 ^ 0.
Далее, сделаем в уравнениях (1) , переход от дополнительных переменных
У,, ув, Уг, уп, а, Д// к основным переменным в, V, со
Проведем осреднение правых частей полученного уравнения по углу в на обороте [8]. Осредненное уравнение имеет стационарное решение ®0:
а0 = —
V г
Су8 3Сх8
4сХ8 (3)
В случае малых значений 8 справедливы соотношения:
Су8 = Су08, Су8 = Сх0, Сх8 = Сх0 + Сх28 , Сх8 = 2Сх28 .
При малых значениях 8 будем иметь:
V
а0 =
У
с' - 3с - 3с 8
су 0 3сх0 3сх 28
(4)
4(Сх0 + Сх28 )
сх0, с'у0, сх2 -некоторые значения аэродинамических функций
Режим (3),(4) называется режимом авторотации. Таким образом:
1. Для различных профилей, величина установившегося значения а0 зависит от геометрических параметров 8, г, скорости среды V и значений экспериментальных функций с'у0, сх0, сх2.
2. Чем меньше значения сх0, сх2, тем больше «0.
3. Чем меньше угол перекоса 8 пластинок, тем выше угловая скорость конструкции.
Пользуясь формулами для расчета мощности N = 0.5 р8У3 воздушного потока,
проходящего через турбину и быстроходности г = ^ ветротурбины и
приведенными выше результатами, можно найти радиус стержня и площадь пластинок для заданной мощности. Например, для рассматриваемой конструкции, чтобы выработать мощность в 1.5 квт, размеры ветроагрегата должны быть: длина стержня г=1.4 м., ширина пластинки - 0.20 м. длина - 1.6 м. при скорости ветра 10 метров в секунду. При росте мощности, размеры конструкции сильно увеличиваются. Таким образом, ветрогенераторы Дарье считаются эффективными для получения небольшой мощности при небольших размерах [9,10].
Заключение
1. Создана математическая модель ветротурбины Дарье с четырьмя лопастями.
2. Показано, что в широком диапазоне параметров существует базовый режим работы ветрогенератора
3. С помощью управления углом отклонения пластинок мы можем менять скорость вращения турбины.
4. Проведена оценка геометрических размеров устройства и мощности.
Литература
1. Беляков Д. В. Разработка и особенности математической модели ветротурбины Дарье. // Международный журнал открытых информационных технологий. 2015. №3. URL: injoit.org/index.php/j1/article/view/226
2. Беляков Д. В. Исследование движения осесимметричного тела в квазистатической среде. // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2016 г. №2. URL: sitito .cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/82
3. Боголюбов Н. Н. Митропольский Ю. А Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний Москва: Гостехиздат, 1955. 408 с.
4. Урывская Т. Ю. Устойчивость линейных систем с положительно определенной матрицей // Инженерный вестник Дона, 2017. №4. URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n4y2017/4464
5. Табачников В.Г. Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки // Труды ЦАГИ. Москва: Наука, 1974. С. 154.
6. Пшихопов В.Х., Кульченко А.Е., Чуфистов В.М. Моделирование полета одновинтового вертолета под управлением позиционно-траекторного регулятора // Инженерный вестник Дона. 2013. №2. URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1650
7. Локшин Б.Я., Привалов В.А., Самсонов В.А. Модельная задача о флаттере // Введение в задачу о движении точки и тела в сопротивляющейся среде. Москва: Издательство Московского университета. 1992. С. 38.
8. Журавлев В.Ф. Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний Москва: Наука, 1988. 531 С.
9. Vittecoq P. A., Laneville A. V. The Aerodynamic Forses for a Darrieus Rotor with Straight Blades: Wind Tunnel Measurement. // Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 1983. №15. pp. 406412.
10. Parashivoiu I. Aerodynamics Loads and and performance of the Darrieus Rotor // Journal of Energy. 1982. №6. pp. 315-321
References
1. Belyakov D. V. Mezhdunarodnyj zhurnal otkrytyh informacionnyh tekhnologij. 2015. №3. URL:injoit.org/index.php/j1/article/view/226
2. Belyakov D. V. Sovremennye informacionnye tekhnologii i IT obrazovanie. 2016. №2. URL: sitito .cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/82
3. Bogolyubov N. N. Mitropol'skij YU. A. Asimptoticheskie metody v teorii nelinejnyh kolebanij [Asymptotic methtods in the theory of nonlinear oscillations]. Moskva: Gostekhizdat, 1955. P.408.
4. Ury'vskaya T. Yu. Inzhenernyj vestnik Dona. №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2017/4464
5. Tabachnikov V.G. Stacionarny'e xarakteristiki kryTev na malyx skorostyax vo vsem diapazone uglov ataki [Stationary characteristics of wings at low speeds over the entire range of angles of attack]. Trudy' CzAGI. Moskva: Nauka, 1974. P. 154.
6. Pshixopov V.X., Kul'chenko A.E., Chufistov V.M. Inzhenernyj vestnik Dona. 2013. №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1650
7. Lokshin B.Ya. , Privalov V.A., Samsonov V.A. Model'naya zadacha o flattere [model problem about flutter]. Vvedenie v zadachu o dvizhenii
tochki i tela v coprotivlyayushhejsya srede. Moskva: Izdatefstvo Moskovskogo universiteta, 1992. P. 38.
8. ZHuravlev V.F. Klimov D.M. Prikladnye metody v teorii kolebanij [Applied methods in the theory of oscillations]. Moskva: Nauka, 1988. P. 531.
9. Vittecoq P. A., Laneville A. V. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics. 1983. №15. pp. 406-412.
10. Parashivoiu I. Journal of Energy. 1982. №6. pp. 315-321.
