Исследование гидродинамики шаровых засыпок Текст научной статьи по специальности «Физика»

V.

Г

л

УДК 620.179.14

И.В. Серюкова, А.А. Курилюк

ИССЛЕДОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ ШАРОВЫХ ЗАСЫПОК

В статье рассмотрено изучение регулярных упаковок шаровых засыпок при помощи современной методики трассерной визуализации, получение мгновенных полей скоростей в недосягаемых для других методик точках. В работе сделан обзор существующих технологий изучения гидродинамических объектов и отмечена уникальность рассматриваемой методики.

Шаровые засыпки широко используются в современной промышленности в различных технологических процессах. Например, для отвода тепла от тепловыделяющих элементов энергетических установок, в ракетных двигателях для тепловой зашиты стенок камеры сгорания. Так же в установках по опреснению соленой морской воды, в холодильной технике в качестве конденсаторов хладагентов. Незаменимо их применение в химической и пищевой промышленности, в процессах фильтрации, конденсации и т.п. Поведение жидкости в области контакта шаров влияет на скорость отвода конденсата, качество фильтрации, а также определяет эффективность работы теплообменников. Поэтому изучение пленочных течений в пористых средах имеет большое значение.

Цель данной работы - исследовать структуру течения жидкости в окрестностях боковых точек контакта элементов шаровой засыпки. Задача заключается в построении поля скорости жидкости в исследуемой области. Для ее решения используется PIV-метод (Particle Image Velocimetry), который позволяет измерить мгновенное поле скорости. Принцип метода состоит в регистрации смещений, распределенных в потоке частиц-трассеров за данный промежуток времени и вычисление на этой основе значений скорости. Проблему сложности визуализации решает оптический метод, основанный на применении стеклянных шаров засыпки в качестве элементов объектива. Достоинство используемой методики в том, что она дает возможность исследовать поток в столь трудно доступной области.

Измерение скоростей в потоке внутри шаровой засыпки стандартными методами весьма проблематично. Контактные методы, основанные на измерении параметров, зависящих от скорости, в частности, пневмометрический (напор жидкости), термоанемометрический (теплоотдача от тонкой нити), электродиф-фузионный (сопротивление электролита) не применимы т.к. они позволяют измерить только локальные скорости. К тому же датчики, внедряемые в поток, имеют размеры сравнимые с размерами исследуемой области и могут сильно его возмущать.

Для решения поставленной задачи используется Р1У-метод, позволяющий получать мгновенные поля скорости, не возмущая поток.

Рассмотрим основные принципы метода Р1У на примере схемы, приведенной на рис. 1.

Основа двумерной реализации метода заключается в измерении смещения помещенных в поток частиц-трассеров за известный интервал времени. Результатом измерения является мгновенное двухкомпонентное поле скорости в измерительной плоскости. Размер, плотность и объемная концентрация частиц подбираются таким образом, чтобы эффекты, связанные с влиянием второй фазы на поток, были минимальными, так же как и влияние сил плавучести. Кроме того, оптическая прозрачность среды оставалась на приемлемом уровне. В потоках жидкости (воды) используются, как правило, твердые частицы с плотностью, близкой к плотности среды, реже - мелкие газовые пузыри. В газовых потоках в качестве трассеров часто используют мелкие капли различных жидкостей (размером менее 1 мкм), распыляемые специальными устройствами - генераторами аэрозолей. Частицы в измерительной плоскости потока должны быть освещены минимум дважды. В качестве источника освещения могут использоваться импульсные лазеры.

Введение

1. Описание принципов метода PIV

Лазер

&

трасеры

оптика

световой

нож

камера

Рис. 1. Схема метода

Обычно используют два импульсных лазера, работающих на одной оптической оси. Это позволяет получать малую временную задержку между импульсами. Иногда используются непрерывные лазеры, сканирующие поток при помощи вращающихся зеркал или призм. Пучок света от лазера с помощью оптики преобразуется в световое поле ("нож”) толщиной от долей миллиметра до нескольких миллиметров. Временная задержка между вспышками источника света подбирается в зависимости от скорости потока и размера измерительной области. Вспышка источника света создает стробоскопический эффект в измерительной плоскости потока. Свет, отраженный частицами, попавшими в освещенную область, должен быть записан либо на один кадр, либо на последовательность кадров изображения.

Для записи изображений традиционно использовались фотографические негативы, причем, дальнейшая обработка предполагала оцифровку негатива на сканере. В последнее время, с появлением цифровых камер с высоким разрешением и малым временем экспозиции изображения оцифровываются непосредственно на матрице камеры и передаются для хранения на жесткий носитель компьютера в виде файлов в некотором графическом формате.

Последующая обработка изображений позволяет рассчитать смещения частиц за время между вспышками источника света и построить двухкомпонентное поле скорости, а при использовании двух камер (стереосистема) - трехкомпонентное поле скорости в освещаемой плоскости. Приведенное описание соответствует стандартной схеме эксперимента с применением PIV-метода и восстановлением двухкомпонентного поля скорости. Конкретная реализация метода может несколько отличаться, например, для измерения трехкомпонентного поля скорости может использоваться одна или две дополнительных камеры.

2. Теоретическая модель и описание стандартного алгоритма обработки Р!У-изображений

Одним из важных элементов РМ-метода является обработка полученных изображений. Существует несколько модификаций цифровой трассерной визуализации, соответственно, для каждой из которых применяются различные методы обработки. Рассмотрим здесь принцип работы метода обработки на примере стандартного кросс-корреляционного алгоритма. Четкое теоретическое обоснование метода со всеми выкладками можно найти в работе J. Westerweel [1]. Формулы и основные положения, которые будут встречаться ниже по тексту, были взяты из этой работы.

Вся измерительная область разбивается на элементарные ячейки - расчетные области (см. рис. 2). Традиционно принцип метода PIV, описывается в терминах теории линейных систем. Входным сигналом системы является набор частиц, попавших в расчетную область первого кадра изображения. В общем случае, входной сигнал может быть представлен в виде следующей суммы:

N

где N - число частиц в элементарной ячейке; X () положение i частицы в момент времени ^

Под линейной системой будем понимать некий "черный ящик”, преобразующий входной сигнал G(X) = G(X,t') в выходной сигнал G'(X) = G(X,t") (совокупность частиц в области на втором кадре изображения) по линейному закону V(X, t). В нашем случае, "черный ящик” - это поток жидкости или газа, а линейное преобразование - поле скорости в потоке. Для идеальных частиц-трассеров добавление новых частиц не должно изменять действия системы на другие частицы, т.е. система является линейной. Выходной сигнал такой системы может быть представлен через импульсный отклик системы и входной сигнал:

G"(X)= JH(X,X')G'(X')dX' . (2)

Импульсный отклик системы есть сдвиг входного сигнала на величину смещения в некоторой точке

потока

H0C,X") = 8[X"-X'-D\ , (3)

t"

где D(X;?,?') - jv(X(t),t)dt. (4)

t'

В статье [4] статистические свойства частиц-трассеров в потоке определяются через ансамбль всех возможных реализаций наборов частиц G( X, t) для данного поля скорости V (X, t). Таким образом, функция взаимной корреляции для ансамбля наборов частиц выглядит так:

R0.0. <X\X") = (GXX')G"(X")}-(с? (Т ))(№ XX'")), (5)

где (...) означает среднее по ансамблю. Используя уравнение Лиувиля, в предположении несжимаемости потока и однородного распределения частиц в потоке, можно показать [1], что в термодинамическом

пределе V —>°°и N —»( при — = С = const, где С концентрация частиц в области моменты первого

N

и второго порядка для ансамбля равны соответственно:

(g'(1')) = (g"(1")) = c

< . (6) (G\X')G'\X")) = C8[X"-X'-D] + С2

Отсюда получаем выражение для взаимной корреляции ансамбля наборов частиц:

Rg,g,,(X\X'') = CS[X''-X'-D], (7)

где положение 8 функции определяется локальным смещением частиц в области. Здесь предполагается, что все частицы в области делают одинаковое смещение. На самом деле это не совсем так, в области могут существовать ненулевые градиенты скорости, поэтому необходимо выработать критерий применимости данной модели к реальным условиям. Детальное описание эффекта градиентов скорости будет дано чуть ниже. Таким образом, интерпретация корреляционной функции в терминах смещения трассеров возможна только для несжимаемого потока с однородным распределением "идеальных” частиц-трассеров. Если эти условия не выполняются, положение максимума корреляционной функции определяется не только движением потока, но и распределением частиц внутри него. В этом случае обработка может быть проведена c использованием другого метода, например, PTV. До сих пор рассматривался ансамбль всех возможных реализаций наборов частиц. В реальном эксперименте практически невозможно воспроизвести одно и то же поле скорости дважды (например, для турбулентного потока), поэтому обычно имеется единственная реализация Г и I”. В этом случае усреднение по ансамблю заменяется усреднением по пространству [3]:

C(s, t) -Я' '(x,y)F'(x + s,y + t)dxdy , (8)

где I', I'' - значения интенсивности в каждой точке соответствующих областей изображения первого и второго кадров. Необходимым условием такой замены является эргодичность пространственного усреднения по отношению к усреднению по ансамблю. Это означает, что среднее по пространству при устремлении размера области, по которой проводится усреднение, к бесконечности должно сходиться к среднему по ансамблю [5]. Это условие удовлетворяется, если распределение частиц в области однородно и импульсный отклик системы есть инвариант относительно смещения. Пространственная корреляция может быть записана как сумма среднего по ансамблю <C{s,t)> и флуктуации C'(s,t) по отношению к среднему [3]:

С(£,/) =< С(£,/) > +С'($^) = КС)($^) + КС(я,/) + Лр.(я,^ + С'(я,/),

(9)

где Яв (t) - так называемый корреляционный пик смещения;

^(я,{) - постоянный фоновый корреляционный член;

Яр (t) - представляет корреляцию между средней и флуктуационной составляющими интенсивности изображения. Члены ^(я, {) и Яр (я, t) могут быть устранены в (8) путем вычитания средних

интенсивностей из интенсивностей областей изображения обоих кадров. Принимая во внимание тот факт, что в численной обработке изображений сигналы являются дискретными, запишем окончательную формулу для расчета вектора скорости в измерительной области, заменяя при этом интегрирование в (8) суммированием:

(10)

/■=1 ]=1

Рис. 2. Принципиальная схема работы измерителя скорости на основе цифровой трассерной визуализации

Это выражение представляет собой свертку двух функций. Метод вычисления свертки зависит от конкретной реализации алгоритма обработки. Обычно используют либо непосредственное вычисление сумм, либо, применяют корреляционную теорему /*g = 3“1[3[/]3[g']*], где 3 и З”1 обозначает прямое и обратное преобразование Фурье. Иногда применяется и смешанный тип вычислений.

Далее по схеме (см. рис. 2 "расчет вектора скорости”) после вычисления корреляционной функции производится поиск максимального корреляционного пика, отвечающего наиболее вероятному смещению в области. Поскольку изображение представляется в виде конечного числа элементов, найденное положение максимума будет иметь целочисленные координаты в pix. Для того чтобы определить смещение частиц точнее одного пикселя, используют интерполяцию корреляционного максимума кривой (по одной координате) или поверхностью некоторой известной формы, и затем определяют положение максимума кривой или поверхности численно с подпиксельной точностью.

2.1. Погрешность метода измерения

При измерении скорости методом PIV погрешность измерения включает в себя две составляющие: связанную с экспериментом (неидеальность оптической системы, неточное определение коэффициента увеличения и.т.д.) и с методом обработки изображения (в нашем случае - это кросс-корреляционный алгоритм). В книге [2] подробно рассмотрены факторы, определяющие ошибку метода обработки. Наиболее важными из них являются:

• величина смещения частиц на изображении А;

• средний диаметр частицы dT;

• концентрация частиц в области Ni;

• градиенты скорости в потоке S.

В настоящее время существует теоретическая модель [2], с хорошей точностью описывающая величину ошибки обработки в зависимости от параметров указанных выше, что также подтверждается математическим моделированием.

Минимальная величина ошибки определения скорости 0,1 pix для стандартного алгоритма достигается при следующих параметрах: А < 0,5pix, dT » 2pix, Ni > 5ед. Для оценки погрешности измерений используют искусственно сгенерированные методом Монте-Карло изображения с заранее известным распределением скорости. Погрешность измеряется путем сравнения точно известного смещения частиц со смещением, рассчитанным корреляционными алгоритмами. Такие изображения с хорошей точностью моделируют реальные изображения, полученные экспериментально. Они учитывают большинство физических особенностей, связанных с получением реального изображения: трехмерность потока, вариацию диаметра частиц, неоднородное распределение частиц, случайный шум на изображении.

Значительная погрешность измерений имеет место при измерении скоростей в потоках с большими градиентами скорости, когда внутри одной элементарной области различные частицы делают разные перемещения. В этом случае корреляционная функция имеет несколько максимумов, соответствующих перемещениям разных частиц.

Исходя из накопленного опыта по работе с PIV-измерителями скорости и оценки погрешностей измерений, обычно следуют следующим рекомендациям по минимизации погрешностей PIV измерений:

• Размер частиц на изображении должен быть порядка 1.5 -г 2 пикселя (Raffel et al., 1998) - как можно меньше, но более одного пикселя для устранения эффекта повышения погрешности из-за неопределенности в положении центра образа частицы "peak-locking effect".

• Эффективное количество частиц (с учетом эффекта "потери пары") в элементарной области должно быть Nt>5 для кросс-корреляционных алгоритмов, и NJ > 8 для автокорреляционных. Выполнение этого условия повышает вероятность правильного определения скорости практически до 100%.

• Из теоремы Найквиста следует ограничение на максимальное измеряемое смещение частиц, которое в случае PIV-измерений равно Dmax < 1/4 элементарной расчетной области.

Минимальное измеряемое смещение частиц, при условии минимизации погрешности, равно Dmin = 0.1 пикселя (при применении алгоритмов межпиксельной интерполяции для повышения точности определения сдвигов частиц), а максимальное смещение Dmax < % области расчета. Очевидно, что динамический диапазон измеряемых скоростей зависит от размера элементарной измерительной области. Чаще всего используется разбиение на области размера 32x32 пикселя (для ПЗС матрицы 1K x 1K), а следовательно, динамический диапазон для этих условий равен 80.

3. Постановка задачи

Шаровые засыпки широко используются в современных технологических процессах для интенсификации тепло- и массообменных процессов. Поведение жидкости в области между шарами, влияет на такие параметры, как качество фильтрации, скорость отвода конденсата, и, в конечном итоге, определяет эффективность работы теплообменников.

На рис.4. показана схема растекания одиночной струи в кубической упаковке шаров. Жидкость течет в виде пленки по поверхности шаров, образуя в областях точек контакта мениски. Возникает вопрос - есть ли движение жидкости в областях точек контакта шаров, или в менисках жидкость неподвижна? Так как размеры исследуемых областей малы, то применение стандартных методов, а именно термоанемометрии, элек-тродиффузионного и.т.п. проблематично. Использование оптических методов из-за сложности геометрии поверхностей раздела сред также сталкивается со значительными трудностями. Целью данной работы являлась разработка методики исследования пленочного течения жидкости в окрестностях боковых и теневых точек контакта шаров в кубической упаковке. В результате проведенных исследований был предложен новый оптический метод, основанный на применении стеклянных шаров упаковки в качестве элементов объектива. Использование различных оптических схем позволяет получать увеличенные и панорамные изображения исследуемой области. Дисторсия исправляется корректирующей оптикой. Данный подход позволил провести визуализацию и измерение поля скорости жидкости в окрестностях боковых точек контакта шаров при помощи PIV метода.

Рис. 4. Растекание струи жидкости по кубической упаковке шаров

Эксперимент был организован следующим образом. Шары диаметром 18мм позиционировались между двумя плоскими плексигласовыми пластинами, толщина которых составляла 10 мм. Струя жидкости из пипетки направлялась сверху на средний шар. Для того чтобы наблюдать картину течения в жидкость, добавлялись трассеры (стеклянные частицы диаметром 10 мкм.). Для освещения исследуемой области использовался импульсный YAG - лазер, пучок которого преобразовывался анаморфозной оптической системой в световой нож. Толщина ножа составляла 0,5 мм. Панорамное изображение исследуемой области проецировалось на CCD камеру. Полученные картинки анализировались при помощи системы Flow Manager.

4. Описание эксперимента

Для исследования гидродинамики течения в боковых точках контакта элементов шаровой засыпки был разработан и изготовлен экспериментальный стенд, схема которого изображена на рис. 5.

Эксперимент проводился следующим образом. Шары из оптического стекла диаметром 18 мм (5) помещались между двумя плоскими плексигласовыми пластинами (3), толщиной 10 мм (рис. 1). Струя жидкости (дистиллированная вода с трассерами) из пипетки направлялась сверху на один из средних шаров (4). Расход измерялся с помощью ротаметра (9). Исследуемая область освещалась световым ножом (2), который генерировался лазером (1) и анаморфотной оптической системой. Корректирующая оптика (7) обеспе-

чивала панорамное изображение исследуемой области, которое проецировалось на цифровую камеру (6). Полученные кадры сохранялись в базе данных и анализировались при помощи системы Flow Manager. В результате обработки с помощью ЭВМ были получены изображения мгновенных полей скорости, в необходимой нам области т.е. боковой точки контакта шаров.

Рис. 5. Схема установки: 1 - импульсный лазер; 2 - световой нож; 3 - рабочий участок; 4 - пипетка; 5 - оптические шары; 6 - CCD камера; 7 -корректирующая оптика; 8 - ротаметр; 9 - вентиль; 10 - бак постоянного уровня.

Параметры рабочей установки

Рабочая жидкость Дистиллированная вода

Трассеры Стеклянные сферы d=10 мкм

Расход рабочей жидкости 1 - 5 мл/с

Диаметр капилляра 2,0 мм

Толщина стенок рабочего участка 10 мм

Диаметр шаров 18 мм

Показатель преломления 1,478 (ЛК-7)

Измеряемая область 10 на 10 мм

Время м/у кадрами 500 мкс

Время м/у измерениями 1с

Толщина светового ножа 0,5 мм

Расстояние между штрихами миры 0,5 мм

Осветительная система Импульсный Nd:YAG

5. Результаты эксперимента

В результате эксперимента были получены мгновенные и осредненные поля скорости в окрестности боковых точек контакта для различных режимов течения. На рис. 6. изображены характерные средние поля скорости в мениске для боковой точки контакта шаров. Размеры области составляют 9x9мм. Незакрашенная область - застойная зона, в которой скорость жидкости близка к нулю. Ее размеры составляют ~ 2x2 мм. При обтекании застойной зоны образуются два вихря, которые занимают нижнюю часть исследуемой области Максимальные скорости наблюдаются в боковых областях, составляют около 10 см/с. (в зависимости от расхода жидкости). Эксперимент показал, что в зависимости от начальных условий возможны несколько типов устойчивых течений (рис. 6): вихревая пара и одиночные вихри, причем, завихрение может происходить как против, так и по часовой стрелке. При расходе жидкости больше 5мл/с устойчивость нарушается. Из рисунка видно, что при отклонении пипетки от точки симметрии картина перестает быть симмет-

ричной (рис. 7), но качественно структура течения сохраняется. При более сильных отклонениях вихревая структура исчезает (х=5 мм).

123456789

Рис. 6. Средние поля скорости в области боковой точки контакта шаров

1-

"//// / *\\\\\\\Л

^ 4

і * * * ^ ч’,’ЧЧ,чГ*44

V

*-* -4

1 2 3 4 5 6 7 8

***** і V \\\\Ч*

///*//і \ \\\у

НШ-..........

%. 'А.'»*—*

1 2 3 4 5 6 7 8

////*'/4 \ \\\\\\\\

//" * ЧЧ^\Х\

Ч

*. -к А Чк

1 2 3 4 5 6 7 8

Х=-3мм

Х=-1мм

Х=0мм

"МЧ и\\\ч ///члм\\\\\\\>

~1 2_

МН\ +

3 4 5 6

Х=1мм

/|\\\\^ ///и/4 і \\\\\\\\

Г'44#4

3 4

///*///1 У\\\\лл^

”'?У

**Н

Х=3мм

ннин \\wsiitf*« *4 •ух* ♦ * |К»жж ^ \

2 3 4 5 6 7

Х=5мм

Рис. 7. Средние поля скорости в точке контакта в зависимости от положения пипетки

7-

2-

2-

1-

1-

1-

7-

7-

-

1 2

5 6

6. Анализ экспериментальных результатов

Разработан новый способ визуализации течения в боковых точках контакта. Проведены успешные эксперименты по получению поля скорости в боковых точках контакта шаровой засыпки.

Исследования показали, что жидкость, обтекающая точку контакта, при определенных начальных условиях (расход рабочей жидкости от 1 до 5 мл/с), имеет устойчивую вихревую структуру (рис. 6). В зависимости от расхода жидкости, возможны три различных режима течения: два вихря в нижней части измерительной области, одиночные вихри по или против часовой стрелки (рис. 6). Начиная с определенного критического значения расхода (свыше 5 мл/с), устойчивость структуры течения теряется.

Основным недостатком проведенных экспериментов является то, что на процессы пленочного растекания сильно действует краевой угол смачивания, что приводит к появлению сухих пятен, которые вероятно могут влиять на структуру течения. Поэтому необходимо провести дополнительные эксперименты с другими рабочими жидкостями при других расходах.

7. Погрешность эксперимента

Относительная погрешность используемой методики носит оценочный характер. Погрешность PIV-метода складывается из нескольких основных факторов.

Систематические погрешности, вызванные оптической системой

Данная погрешность связана с тем, что мы измеряем не реальное смещение частиц, а смещение изображения частиц. Поскольку любая оптическая система в большей или меньшей степени искажает геометрию, это сказывается на точности определения скоростей. В данном случае основное искажение вносила подушкообразная дисторсия. По нашим оценкам, отклонения составляли 0,5 мм на 10 мм, что соответствует относительной погрешности 5%.

Погрешности, вызванные алгоритмами обработки изображения

1. Погрешность кросс-корреляционной оценки по отношению к различным диаметрам изображения частиц в пикселях.

Средний размер частиц в эксперименте составлял 4 точки, что соответствует относительной погрешности (для окон 32*32 точки) 0,05 точки - 1%.

2. Погрешность кросс-корреляционного алгоритма, вызванная величиной смещения.

В нашем эксперименте смещение изображения частиц составляет приблизительно 5, что соответствует погрешности около 0,05 точки - 1%.

1. Шумовой фон дает погрешность при уровне шума около 5% и смещении частицы приблизительно от 0-5 точек около 0,01точки -0,2%.

2. Погрешность для градиентов перемещения частиц для плотности частиц в окне, равной N=5 около

0.1.2%. Следовательно, средняя относительная погрешность измерений составляла приблизительно 10%.

Выводы

Проведенные экспериментальные исследования позволяют изучить структуру течения жидкости в окрестностях боковых точках контакта элементов шаровой засыпки. Нами экспериментально получены и изображены поля скорости жидкости в исследуемой области. Для решения этой задачи использовался PIV-метод (Particle Image Velocimetry) , который позволил измерить и отобразить мгновенное поле скорости. Параллельно была разработана оригинальная методика оптической визуализации исследуемого объекта (использование стеклянных шаров и корректирующей оптики для исправления возникающей дисторсии), а также наиболее глубокое изучение PIV-метода и алгоритмов расчета векторных полей сопутствующим программным обеспечением. Исследовано влияние положения пипетки на структуру течения жидкости в исследуемой нами области.

Литература

1. Westerweel, J. Digital Particle Image Velocimetry - Theory and Application / J. Westerweel. - Delft: Delft University Press, 1993. - 235 p.

2. Westerweel, J. Theoretical analysis of the measurement precision and reliability in PIV. Proceedings of the Third International Conference on PIV / J. Westerweel. - Santa Barbara, 1999. - Р. 9-14.

3. Raffel, M. Particle Image Velocimetry / M. Raffel C. Willert J. Kompenhans. - Berlin: Springer-Verlag, 1998. -

229 p.

4. Adrian, R.J. Statistical properties of particle image velocimetry measurements in turbulent flow. Laser Anemo-

metry in Fluid Mechanics-III. - Lisbon: Instituto Superior Tecnico, 1988. - P. 115-119.

5. Priestley M.B. Spectral Analysis and Time Series 7th edn / M.B. Priestley. - San Diego, CA: Academic, 1992.

УДК 548.12+57.018.72 Б.П. Сорокин, Т.П. Сорокина

СИММЕТРИЯ В НАУКЕ, ТЕХНИКЕ И ТЕХНОЛОГИЯХ.

III. СИММЕТРИЯ В УРАВНЕНИЯХ ФИЗИКИ И ТЕХНОЛОГИЯХ

Третья статья цикла посвящена анализу симметрии физических уравнений и применению понятий симметрии в технологиях и новых композиционных материалах. Отмечено важное требование - однородности физических величин, входящих в любое уравнение, как с точки зрения однородности вида, так и внутренней симметрии. Приведены примеры анализа симметрии уравнений электродинамики Максвелла, линейных тензорных материальных уравнений. Указаны способы вычисления трансформации полярных и аксиальных векторов при векторных и скалярных произведениях. Кратко рассмотрены пьезоэлектрические текстуры и композитные материалы с точки зрения эвристического значения принципа симметрии в предсказании вновь возникающих свойств.

Данная статья является третьей частью цикла и посвящена анализу симметрии физических уравнений и применению понятий симметрии в технологиях и новых композиционных материалах. Все основные понятия и обозначения приведены в первой части [1].

1. Анализ симметрии физических уравнений

Уравнения, описывающие самые различные физические процессы или явления, могут быть представлены в виде функциональной связи тех или иных величин, которые в математическом смысле могут представлять собой тензоры (псевдотензоры) различного ранга. Например, общую взаимосвязь явления (физического эффекта) и воздействия можно представить соотношением

Явление (эффект) = Свойство х Воздействие. (1)

Уравнение (1) дает возможность обратиться к любому материальному свойству вещества. Так, вследствие анизотропии свойств кристаллов явление (эффект), т.е. реакция кристалла на воздействие, геометрически может не совпадать по направлению с воздействием. Учесть многообразие физических эффектов и свойств можно, записав (1) в координатном виде:

Pabc...f ^abc...fijk ...гЯjk...г i (2)

где f - тензор (или псевдотензор) ранга n (равного числу подстрочных координатных индексов

abc...f), описывающий эффект; qjk г - тензор (или псевдотензор) ранга m (равного числу подстрочных координатных индексов ijk..r), задающий воздействие; ТаЬс...fijk..r - материальный тензор (или псевдотензор)

ранга n+m, соответствующий искомому свойству вещества. В (2) и далее принято, что строчные индексы соответствуют осям ортогональной системы координат и пробегают значения от 1 до 3 (X = 1, У = 2, Z = 3), а также действует эйнштейновское правило суммирования по дважды повторяющемуся индексу (таким образом, в правой части (2) суммирование производится m раз). С точки зрения классификации следует также иметь в виду, что тензор нулевого ранга - это скаляр, первого ранга - полярный вектор; псевдотензор нулевого ранга - псевдоскаляр, первого ранга - аксиальный вектор.

Анализируя (2), следует зафиксировать важное обстоятельство: в правой и левой частях равенства должны стоять величины, однородные по виду (тензор или псевдотензор), рангу и внутренней симмет-