Исследование функций чувствительностей и погрешностей алгоритмов дифференциальной геомагнитной навигации Текст научной статьи по специальности «Математика»

АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 550.383; 550.384; 550.382; 550.389

Г.М. Проскуряков, А.С. Буров

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЕЙ И ПОГРЕШНОСТЕЙ АЛГОРИТМОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМАГНИТНОЙ НАВИГАЦИИ

Предложен новый метод дифференциальной геомагнитной навигации по наблюдениям за нормальной составляющей геомагнитного поля, разработаны алгоритмы обработки магнитометрической информации с использованием аппарата функций чувствительностей и дана оценка ожидаемых максимальных погрешностей решения задачи дифференциальной геомагнитной навигации.

Магнитное поле Земли, полигармонический ряд Гаусса, функции чувствительностей, дифференциальная геомагнитная навигация

G.M. Proskuryakov, A.S. Burov A RESEARCH INTO THE SENSITIVITY FUNCTION AND ERROR ALGORITHMS OF THE DIFFERENTIAL GEOMAGNETIC NAVIGATION

A new method for differential geomagnetic navigation through the observations of the normal component in the geomagnetic field, and the algorithms are developed for processing the magnetometer data using a set of sensitivity functions. Estimation is made for the maximum expected errors in the solution of the differential geomagnetic navigation problem.

The earth magnetic field, the Gaussian polyharmonic, sensitivity functions, differential geomagnetic navigation

Создание в конце XX века бесплатформенных инерциальных систем ориентации и навигации (БИСОН) и спутниковых навигационных систем (СНС), а также их практическое внедрение в XX -XXI веках ознаменовало яркие и значительные достижения научно - технического прогресса в передовых странах мира, в том числе и в России.

Разработка в конце ХХ века интегрированных систем ориентации и навигации (комплексов БИСОН+СНС) не сняла полностью в XXI веке проблемы поиска альтернативных методов решения задач навигации и разработки новых навигационных систем, более совершенных, чем интегрированные комплексы БИСОН+СНС. Идея комплексирования способов и технических средств навигации не является новой и известна давно (комплексирование радиотехнических, астрономических, инерци-альных, магнитометрических и других способов и средств навигации). Для обеспечения относительной простоты решения задачи комплексирования методов и средств навигации заслуживает особого внимания способ комплексирования с использованием информации о магнитном поле Земли (МПЗ) [1].

Сравнительный анализ информационных свойств геофизических полей показывает, что МПЗ является более информативным, чем другие геофизические поля [2]. В соответствии с современным представлением об описании геомагнетизма МПЗ обычно представляют состоящим из постоянной составляющей (нормального Тд , аномального МПЗ) и переменной (вариативной) составляющей (вариации 5Тд геомагнитного поля):

Та=Т» + Т“ + 5Тд. (1)

Вариативная составляющая 5Тд в основном носит случайный характер и может быть принята за методическую погрешность магнитометрических средств, причем анализ данных геофизических наблюдений показывает, что 8T™ax < 1 + 10 нТл (вековые вариации, магнитные бури и пр.), следовательно (8Т™ах/Тдн) < 10~2 + 10~3% [3].

В настоящее время в геомагнитной навигации находят ограниченное применение так называемые корреляционно - экстремальные навигационные системы (КЭНС), использующие информацию об аномальном МПЗ (Т^) на основе применения цифровых магнитных карт местности (аномалий). Однако они сравнительно сложны, дороги, локальны и ненадежны, поэтому находят ограниченное применение на практике [2].

В геофизике достаточно давно и успешно используется модель нормального МПЗ по составляющей Tg в виде модели Международного аналитического описания IGRF (International Geomagnetic Reference Field), основанного на разложении геомагнитного потенциала в бесконечный сферический ряд Гаусса и представлении проекций вектора напряженности = [T%g Tyg T^g] на оси нормальной земной системы координат XgYgZg (ГОСТ 20058-80) в виде суммы гармонических функций:

да Т n+2 n

Т£9 = А (~) A (9m cos mЛ + hm sin mЛ) - VPm,

n=l m=0

да

TJg = ^(n + 1) ■ ^ {g™ cos mA + h™ sin mA) ■ P™(sin ф), (2)

n=1 m=0

да i rj n.

z V ^ Pm(sinv)

Tz9 = X,\r) ^m(gmsinmA-hmcosmA)■ c

n=1 m=0

где R - средний радиус Земли, м; r - модуль радиуса - вектора Т(ф; A; г) текущей точки месторасположения в пространстве; Tyg; Tyg; Tyg - проекции вектора напряженности нормального МПЗ (Тд) на оси нормальной земной системы координат XgYgZg (ГОСТ 20058-80); ф; X - сферические координаты точки (географическая широта и долгота); P™(sin р) - присоединенные функции Лежандра n -ой степени порядка m; VP™ - широтный градиент первого порядка присоединенной функции Лежандра n-й степени порядка m; д}?; К? - коэффициенты гармонического сферического ряда разложения (коэффициенты Гаусса - Шмидта).

Численные значения коэффициентов Гаусса - Шмидта обновляются каждые 5 лет и представляются Международной геофизической службой глобальных наблюдений за МПЗ на каждый пятилетний период (эпоху). В частности, на эпоху 2010 - 2015 годов действует модель WMM-2010, информация о которой представлена на сайте сети Internet (http://www.ngdc.noaa.gov.com). И в частности модель WMM-2010 может быть приспособлена к решению задач геомагнитной навигации (а не к решению задач геофизики), если воспользоваться дифференциальным подходом, основанным на методе линеаризации или методе Ньютона:

Tg = Tg0 Т Alg = I g0

Ar = [Ар АА Ar]T = D-1 ■ (Tg - Tg0) = F ■ ATg (4)

Компоненты вектора Tg вычисляются путем пересчета показаний блока магнитометров

6 = [Тх Ту tz]t из связанных осей XYZ в оси нормальной земной системы координат XgYgZg на основании информации об углах ориентации основания (ф,д,у), получаемой по алгоритмам аналитического гиро-горизонт-широт-компасирования, в соответствии с выражением

Tg = Ау ■ Aq ■ А-ф [тх Ту Tz] (5)

Определение вектора Ar в соответствии с выражениями (2) - (5) (алгоритмами дифференциальной геомагнитной навигации) относится к области решения обратных задач бортовой магнитометрии. Элементы матрицы линеаризации D находятся как производные от функций (2) по соответствующим вариациям навигационных параметров (Ар; АА; Ar). Функции чувствительностей Fij (i,j = 1<Т) находятся как элементы матрицы F путем обращения матрицы D (F = D_1). Используя пакет прикладных программ MatchCad v.14.0 проведены аналитические преобразования по формулам частных производных, вычисления элементов обратных матриц и получены конкретные формулы для функций чувствительности в численном виде с использованием укороченной модели WMM-2010 (n = 1,6; m = 0, п). Из-за громозкости этих формул они не приводятся в настоящей работе. Вместе с тем эти формулы и семейства графиков функций чувствительностей Fij для р £ (20° + 85°) с.ш. и А £ (0° + 180°) в.д. приведены в полной версии настоящей статьи, текст которой размещен на сайте в сети Internet (http://www.sstu.ru).

Tg = Tgo + АТ^ = Tqo+D- [А(Р АЛ Аг]7 (3)

Используя вычисленный вектор АГ вариаций сферических координат (Аф; АА; Аг) можно определить вектор Г(ф; А; г), характеризующий положение произвольной текущей точки на маршруте:

Г = г0 + АГ (6)

с учетом задания сферических координат г0(ф0; А0; г0), известных для базовой точки А0(ф0; А0; г0).

Численный анализ по разработанным алгоритмам дифференциальной геомагнитной навигации с использованием укороченной модели WMM-2010 (п = 1,6; т = 0,6.) с учетом достижимой точности работы бортовых средств измерений (АТи <50 нТл) и с использованием функций чувствительностей показывает, что предельно возможные значения погрешностей позиционирования не пре-

вышают следующих величин (для территории Саратовской области с координатами 50 с.ш., 45 в.д.):

Афтах < ±°1^5 ;

ААтах < ±°Л )

АЦтах < ±У!°М.

Дальнейшее повышение точности решения задачи определения координат ф, X, г способом дифференциальной геомагнитной навигации связано как с повышением точности описания МПЗ (путем повышения размерности модели (степени п и порядка т), а также путем учета табулированных аномалий и вековых вариаций 8Тдек), так и с повышением точности работы средств магнитометрии путем снижения их инструментальных погрешностей.

Сравнение разработанного метода дифференциальной геомагнитной навигации с методами инерциальной и спутниковой навигации показывает, что предлагаемый метод в сравнении с методом СНС является полностью автономным, обеспечивающим лучшие условия помехозащищенности и более простым (так как не предусматривает устройств внешней инфраструктуры - полной космической группировки навигационных спутников со средствами доставки их в космос (космического сегмента), наземного сегмента корректирующих станций и радиотехнических систем связи), а в сравнении с методом работы БИСОН является позиционным (безынтегральным), не склонным к накоплению во времени погрешностей решения задачи навигации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Серкеров С. А. Теория гравитационного и магнитного потенциалов: учебник для вузов / С.А. Серкеров. М.: Недра, 1990. 304 с.

2. Белоглазов И.И. Основы навигации по геофизическим полям / И.И. Белоглазов, Г.И. Джан-жгава, Г.П. Чигин. М.: Наука, 1985. 328 с.

3. Магниторазведка: справочник геофизика. 2-е изд. М.: Недра, 1990. 470 с.

Проскуряков Герман Михайлович -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Приборостроение» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Буров Александр Сергеевич -

магистрант кафедры «Приборостроение» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

German M. Proskuryakov -

Ph. D., Associate Professor Department of Instrumentation Gagarin Saratov State Technical University

Aleksandr S. Burov -

Postgraduate

Department of Instrumentation Gagarin Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 15.10.12, принята к опубликованию 20.02.13