ИССЛЕДОВАНИЕ ФЛАТТЕРА КОМПОЗИТНОГО КРЫЛА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 74

www.mai. ru/science/trudy/

УДК 519.62; 629.7.01

Исследование флаттера композитного крыла Благодырёва О.В.

Корпорация « Тактическое ракетное вооружение», ул. Ильича, 7, Королёв, Московская область, 141080, Россия e-mail: OksanaBlag@yandex. ru

Аннотация

В статье рассматривается методика расчёта механических характеристик композитных материалов, используемая при расчёте безопасности от флаттера композитных несущих поверхностей с помощью полиномиального метода Ритца. Приведённая в статье методика реализована в виде отдельного программного обеспечения, разработанного в программной среде «Wolfram Mathematica 8».

Ключевые слова: флаттер, полиномиальный метод Ритца, композитный материал, моделирование колебаний летательного аппарата.

Введение

Композитный материал, также называемый композиционным материалом или композитом, представляет собой неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов, среди которых можно выделить армирующие элементы, обеспечивающие необходимые механические характеристики материала, и матрицу (или связующие), обеспечивающую совместную работу армирующих элементов. Композит обладает комплексом свойств, отражающим не только

исходные характеристики его компонентов, но и включающим свойства, которыми изолированные компоненты не обладают. [1]

Композиты, особенно с высокими эксплуатационными характеристиками, являются единственными существующими в настоящее время материалами, которые могут обеспечить одновременно малую массу, высокие прочность и жёсткость и хорошую стойкость к усталостным напряжениям. Удельная прочность при растяжении для углепластиков составляет около 9,2* 105 м по сравнению с 2*105 м у алюминия. Предел выносливости углеродных волокон составляет 80% от статической прочности по сравнению с 35% для алюминия. [2]

На сегодняшний день композиты стали реальностью в промышленности в качестве заменителей металлов. Области их применения расширяются достаточно быстро. Использование композитов нашло своё применение и в авиационной технике, особенно в области военной авиации, где отдача от затрат наибольшая.

Расчёт безопасности от флаттера композитного крыла представляет особый интерес для исследования, поскольку механические характеристики композита значительно зависят от выбора ориентации при их измерении. Например, модуль упругости однонаправленного углепластика вдоль волокон в 10-15 раз превышает соответствующий модуль упругости в поперечном направлении, что, в свою очередь, влияет на жесткостные и прочностные свойства материала, а, следовательно, на аэроупругую устойчивость изготовленного из него крыла и всего летательного аппарата (ЛА) в целом.

Механика композитных материалов

Композитные материалы (КМ) - это материалы, состоящие из двух или более компонентов (армирующих составляющих и связующей их матрицы) и обладающие специфическими свойствами, отличными от суммарных свойств составляющих их компонентов. При разработке и изготовлении новых КМ с требуемыми свойствами и характеристиками, а также при создании конструкций из КМ, приходится учитывать влияние внешних условий (температура, высокая влажность) на эти материалы и ряд специфических свойств самих КМ (плотность, удельная прочность, рабочая температура, сопротивление усталостному разрушению и воздействию агрессивных сред). [2]

Достоинства и высокие механические характеристики КМ наиболее полно реализуются в ориентированных материалах, армированных параллельными волокнами, то есть в так называемых однонаправленных слоях или монослоях (рис. 1(а)), из которых путём укладки в различных направлениях образуются слоистые композиты (рис. 1(б)). Несмотря на большое многообразие структур, которые определяются числом слоёв, их толщиной и взаимной ориентацией, свойства таких материалов определяются свойствами однонаправленного слоя. [1]

(а) (б)

Рис. 1. Элемент однонаправленного слоя (а) и слоистого композита (б)

Механика ортотропной пластины (монослоя).

Пластиной называется тело, толщина которого существенно меньше его размеров в плане. Ортотропной пластиной называется пластина, содержащая ориентированные волокна и такая, что её механические свойства в направлении ориентации отличаются от механических свойств в перпендикулярном направлении.

Если пластина находится в одноосном напряжённом состоянии, то есть на неё действует нагрузка, приложенная либо параллельно, либо перпендикулярно волокнам, то пластина рассматривается как специальная ортотропная, и напряжённо-деформационная взаимосвязь для этой пластины выглядит как

= Е 8\ или а2 = Е2 б2 , (1) где ак - нормальное напряжение в направлении к, Ек - модуль упругости, ек -соответствующая деформация, к = 1,2.

При плоском напряжении, то есть напряжении, действующем более чем в одном направлении в пределах плоскости, важную роль играет коэффициент Пуассона:

¿>2 ¿1 У12 =~ или ^21 = "Т (2)

¿1 ¿2 Для нагрузки, Для нагрузки, действующей

действующей вдоль волокон перпендикулярн° в°л°кнам

Соотношение между коэффициентами Пуассона и модулями упругости в каждом из двух направлений имеет вид:

^21Е1 =^12Е2 . (3)

Для плоского напряжения компонентами деформации являются растяжения, получаемые в результате действия приложенной силы, минус сжатия из-за эффекта

Пуассона, получаемые в результате действия другой силы, перпендикулярной этой приложенной силе. Таким образом:

Ь = < ~У21£2 и Ь2 = <-У12£! . (4а) Е1 Е2

Используя уравнение (1), получаем:

с с2

Ь = Е-у21 / Е1 е2

с2 с

и Ь2 =~1т2-У12~

<^12 < . (4б)

Также при действии нагрузки на пластину может присутствовать поперечная сила. Касательное напряжение и деформация сдвига связываются друг с другом, подобно нормальным напряжениям и деформациям, с помощью постоянной, которая называется модулем сдвига (О):

Т12 = О12^12 , (5)

где г12 - касательное напряжение (сдвиг в 1-2 плоскости), а у12 - деформация сдвига. На рисунке 2 даётся определение деформации сдвига.

Относительная продольная деформация

Относительная тензорная деформация

у к

у к

изменение прямого угла элемента

2 Уху Ьху

(а) (б)

Рис. 2. Определение деформации второго рода (деформации сдвига).

Из уравнений (4б) и (5) находим, что напряжения и деформации связываются

матричными уравнениями

X

X

а1 а1

= [С ] а2 и а2 =[е ]

У 12 _ г12 ] г12 ] У 12 _

где [С ] - матрица податливости, [е ] - матрица приведённых жёсткостей

[С }

1 ^12 0 ^12 Е2

Е1 1 -^12^21 1 -У12У21

^21 1 0 , [е ]= ^21Е1 Е2

Е2 В2 1 -^21 1

0 0 1 а12 0 0

0

0

а

12

(7)

Для обобщённой ортотропной пластины направление действующей нагрузки не совпадает с главными направлениями материала (иначе говоря, отлично от 0° или 90°). Преобразуем напряжения и деформации в новые координаты, используя силовую схему свободного тела, изображённую на рисунке 3.

а

а„

г \ 1

а,,

площадь поверхности

ху Т

площадь поверхности

а,.

а

Рис. 3. Обобщённая ортотропная пластина.

х

Г

х

х

Из силовой схемы свободного тела, изображённой на рисунке 3, находим, что

< = <x cos2 6+<y sin2 6+2т sin 6 cos 6

cr2 = <x sin2 6+<y cos2 6- 2т' sin 6 cos 6.

(8)

т12 = -<x sin 6 cos 6 + <y sin 6 cos 6 + Txy (cos2 6 - sin2 6) . Таким образом, напряжения, описанные в системах координат 1,2 и x, y, могут быть преобразованы друг в друга с помощью матрицы преобразования [T ]

или обратной к ней [Г ] 1:

<x <x [<1

. (9)

<1 <x <x = [г ]-1 <1

<2 = [Г ] <y и < <2

т12 _ т xy т xy т12 _

где

[Г ]<

cos2 6 sin2 6 2 sin 6 cos 6 sin2 6 cos2 6 - 2 sin 6 cos 6 sin 6 cos 6 sin 6 cos 6 (cos2 6- sin2 6)

(10)

[Г ]

-1

cos2 6 sin2 6 sin6 cos6

sin2 6 -2 sin 6 cos 6 cos2 6 2 sin 6 cos 6 - sin 6 cos 6 (cos2 6- sin2 6)

(11)

Эти же матрицы используются для преобразования деформаций:

(12)

Отметим, что при преобразовании деформаций должна быть использована тензорная деформация сдвига, а не относительная продольная деформация сдвига.

Ч ^x ^x = [г ]-1 4"

S2 = [Г ] ^y и ^y £2

S12 _ £xy £xy S12 _

Это следует из геометрических построений, так как величина сдвига относительно осей х и у должна сохраняться при преобразовании этих осей в новые (рис. 2(б)). Используя уравнения (9), (6) и (12), получаем:

, (13)

^х рх

^у = р ] ру

р

" ху ° ху

где

б - матрица жёсткостей тонкой пластины (монослоя)

б>[тГ №]

1 0 0" 0 1 0 0 0 2

[Т ]. (14)

Отметим, что если 0 - любой отличный от нуля угол между системами координат 1,2 и х, у, то деформация сдвига будет порождать нормальные напряжения, а относительные линейные деформации будут способствовать напряжению сдвига. Такое растягивающее сдвигающее взаимодействие будет иметь место в тонкой пластине, нагруженной под углом к волокнам отличным от 0° и 90°.

Механика многослойных композитных материалов.

Для простоты в дальнейшем будем рассматривать только симметричные слоистые структуры (несимметричные слоистые структуры подробно описаны в [3]), то есть структуры, состоящие из слоёв, которые являются зеркальными отражениями друг друга относительно срединной плоскости. Также далее будем считать выполненными следующие условия:

1. Толщина слоистой структуры мала по сравнению с другими её размерами.

2. Тонкая пластина (монослой) слоистой структуры полностью связана.

3. Линии перпендикулярные поверхности слоистой структуры остаются

прямыми и перпендикулярными поверхности после деформации.

4. Тонкая пластина и слоистая структура линейно упругие.

5. Внутренние напряжения и натяжения незначительны.

Для описания слоистой структуры вводят общую систему координат, относительно которой определяют угол отклонения волокон каждого из слоёв. Выбор такой системы координат, вообще говоря, произволен, но в большинстве случаев для упрощения расчётов в качестве координатных осей выбираются продольное (ось х - 0°-волокна) и поперечное (ось у - 90°-волокна) направления одного из слоёв.

В плоскости х, у определим углы, откладываемые от оси х по часовой стрелке, как положительные, а против часовой - как отрицательные. Далее запишем последовательность укладки слоёв в виде

[°1,02,...,°и]£ ,

где £ - индекс, означающий симметричную укладу слоёв. Первым в скобках стоит угол слоя, находящегося дальше всех от средней плоскости структуры. Далее слои располагаются по мере приближения к средней плоскости. Если число слоёв нечётно, то над значением последнего угла ставится черта:

01, 02,..., 0п 5 .

Любые повторяющиеся элементы внутри слоистой структуры записываются в круглых скобках с нижним индексом, равным числу повторений, например,

[0,90,0,90,0,90,0,90] может быть записано как [(0,90) " .

[ — £

Если смежные слои имеют одинаковые значения углов, но с разными знаками, то знак «плюс-минус» размещается перед значением угла этих слоёв, например, [О, +45, -45,90, -30, +30]5 может быть записано как [0,+45,90,+30]^.

После определения последовательности укладки слоёв композита, необходимо вычислить её механические характеристики: модули упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона.

Модули упругости и модуль сдвига определяются по формулам

Е = = ^х/Ь

рх рх

Е = ^ У р р

т N /И = тху. = ^х^, (15)

ху

У ху У у

где И - толщина слоистой структуры, а Nx, Ny, Nxy - результирующие напряжения, которые для симметричной слоистой структуры задаются уравнением

N. [ А1 А12 4б] Р0

= А12 А22 А26 . (16)

Nxy _ Аб А26 Абб. У I ху

Здесь р°, р°у и у0 - деформации срединной плоскости слоистой структуры, а А - компоненты матрицы пространственной жёсткости [А], которые имею вид

п Г - 1

4 = 1 & Ь, (17)

к=1

где ^ - это толщина к -ого слоя.

Для определения значения одного из результирующих напряжений полагаем два других равными нулю (например, если нужно найти Nx, то в (16) полагаем Ny = 0, ^ = 0). Таким образом, из (16) находим:

А16А26 А12 Ау6 А22 А66 _ А26

и

7

ху

А12А26А66 А16А26 _ Ав_ А22 А626 _ А26 Абб А66

(18)

Ех —

Ы^/Н

А11 ■

2А12А16А26А66 А12 А66 А126А26 А1

2 ^ 16

А22 А66 А26Л6

А66

(19)

аналогично,

рр-

А16А26 А12 Лб А11^6 _ А16

и 77у =

А12А16А66 А126А26 А26

А11 Лз6 А16 А66 А66

р, (20)

Е — Ы^Н -1

Еу р0 л

г

2

А22 ■

2 2 2 2 2 2А12А16А26А66 А12А66 А16А26 _ А26

А11 А,6_ А16 4^6 А6

(21)

и, наконец,

р -

А12 А26 А16 А22

А А _ А2 А11 А22 а12

7

ху

и

ру

А12 А16 А22 А12 А26 А26

а А2 _ А2 А А11 А22 а12 а22

А22

7

ху :

(22)

Ы

( — ху,

(ху 70

х

Н

ху

А66 ■

2 А12 А16 А22 А26

- А2 А2 А16 А22

2

22 а12 а26 а26

А А2 _ А2 А А11 А22 а12 а22

А22

(23)

Из уравнений (18) и (20) находим коэффициенты Пуассона:

(А12А66 А16А26) ( А22 4^6 _ А26 )

V — _

ху „0

рх

и

V — _ —

ух п

( А16 А26_ А12 466 ) (А126 _ А11А66 )

(24)

Расчёт безопасности от флаттера с помощью полиномиального метода Ритца.

Методика расчёта безопасности от флаттера с помощью полиномиального метода Ритца ранее более подробно была описана в [4]. Напомним основные её положения.

Критерий безопасности от флаттера. Флаттером называют незатухающие упругие колебания ЛА, возникающие в полёте под действием набегающего аэродинамического потока, если скорость полёта достигает некоторой определённой величины, которая называется критической скоростью VKp полёта ЛА.

Основной критерий безопасности от флаттера состоит в том, что критическая скорость флаттера VKp должна превышать максимальную скорость Vmax полёта ЛА

не менее чем в к раз, где к = 1.3 - коэффициент запаса:

V > к ■ V

у кр — у max •

Критическая скорость существенно зависит от плотности воздуха (высоты полёта) и его сжимаемости (числа Маха). Поэтому очень важной является задача определения критических скоростей для всех возможных режимов полёта или для всех возможных траекторий полёта.

ЛА может быть подвержен разнообразным формам флаттера, в зависимости от того, какие степени свободы ЛА являются «ведущими». Например, для рулевых форм флаттера ведущими степенями свободы будут угол отклонения руля и деформация поверхности, несущей руль; для безрулевых - деформация кручения и деформация изгиба несущей поверхности (например, крыла). Изменение связи

между этими ведущими степенями свободы приводит к заметному изменению значений критической скорости.

Выделение ведущих степеней свободы во многих случаях позволяет рассматривать колебания отдельных частей ЛА (чаще всего несущих поверхностей) изолированно, пренебрегая их взаимодействием с ЛА в целом, что значительно упрощает задачу.

Полиномиальный метод Ритца. При решении задачи о флаттере, как правило, ограничиваются определением границы устойчивости малых упругих колебаний конструкции в потоке воздуха в условиях установившегося полёта. При этом все аэродинамические характеристики считаются линейными функциями деформаций и скоростей деформаций, силами внутреннего трения в конструкции, как правило, пренебрегают.

Вводится следующая схематизация: предполагается, что деформацию ЛА можно описать деформацией его срединной поверхности, совпадающей с плоскостью хОх. Дополнительно вводится гипотеза прямых нормалей: при деформации системы все точки остаются на тех же нормалях к исходной поверхности и на тех же расстояниях от неё.

Полиномиальный метод Ритца, заключается в том, что функция деформации ЛА (или какой-либо из его частей) w( х, г, г) представляется в виде полинома

N

w(х,г,г) = £ик(г)хРкгдк, (25) к=0

где х - координата в направлении потока, а 2 - координата в направлении размаха, t -время, а неизвестные коэффициенты ряда ик (г) принимаются за обобщённые

координаты. Набор показателей степеней ряда задаётся таблицей в зависимости от характера граничных условий данной конкретной задачи и от того, сколько тонов собственных колебаний считается необходимым учитывать при расчёте на флаттер.

Дифференциальные уравнения задачи о малых колебаниях получаются из уравнения Лагранжа второго рода

б , к — 1,...,ы, (26)

Л ди, ди, ^к К '

\ к у к

если за обобщённые координаты выбрать ик ) коэффициенты ряда (25).

Кинетическую энергию Т и потенциальную энергию П колебаний представляют квадратичными формами от обобщённых скоростей и обобщённых координат.

Решениями системы N уравнений Лагранжа являются вектор собственных частот системы и матрица, соответствующая собственным формам в обобщённых координатах. С помощью матрицы перехода полученные собственные формы из обобщённых координат преобразуются в физические.

Моделирование ЛА. Конструкцию ЛА или какой-либо из его частей схематизируют девятью типами элементов, которым присвоены следующие условные названия: 1) «балки, работающие на изгиб»; 2) «балки, работающие на кручение»; 3) «панели»; 4) «ортотропные панели»; 5) «элероны»; 6) «линейные части»; 7) «сосредоточенные массы»; 8) «пружины»; 9) «трапеции». Минимальное количество элементов, с помощью которых можно описать ЛА, зависит от конструкционной схемы. Подробное описание этих элементов приведено в [4].

Расчёт на флаттер. Исходя из значений конструкционных параметров ЛА, для его модели вычисляются матрица инерции и матрица жёсткости, позволяющие

определить собственные частоты и собственные формы ЛА в отсутствие аэродинамического потока. После чего для исследования поведения ЛА под действием аэродинамического потока строятся матрицы аэродинамической жёсткости и аэродинамического демпфирования, используя один из следующих методов: метод сосредоточенных вихрей (при моделировании дозвукового потока) или метод поршня (при моделировании сверхзвукового потока).

Из полученных матриц инерции, жёсткости, аэродинамической жёсткости и аэродинамического демпфирования составляется общая матрица. Найденные собственные значения этой матрицы Л = 8+га позволяют определить критическую частоту флаттера и, соответственно, найти критическую скорость флаттера. Флаттер возникает при тех значениях Л, для которых S> 0.

На основе описанной выше методики в программной среде «Wolfram Mathematica 8» на языке «Mathematica» разработана программа «Flutter Analysis Program». Программа обеспечивает возможность расчёта моделей несущих поверхностей ЛА, учитывая особенности материала, из которого сконструированы сами несущие поверхности. Расчётные значения выдаются в виде таблиц и графиков, что обеспечивает наглядность представления результатов.

Далее на основе вышеописанной методики приводится пример расчёта безопасности от флаттера композитного крыла с помощью полиномиального метода Ритца.

Пример

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ Рассмотрим крыло, состоящее из двух материалов: титана и углепластика. Покажем, что структура композита непосредственно влияет на безопасность от флаттера. Для этого выполним расчёт для двух вариантов последовательности укладки слоёв углепластика.

Крыло моделируется семью ортотропными панелями и тремя пружинами (рис. 4). Крепление крыла к заделке предполагается упругим.

Рис. 4. Ортотропные панели и пружины

Механические и геометрические характеристики ортотропных панелей приведены в таблицах 1 и 2 соответственно.

Таблица 1

Механические характеристики ортотропных панелей

ТИТАН р = 4430[кг/м3 ] УГЛЕПЛАСТИК р = 1880 [кг/м3 ]

1 вариант 2 вариант

ОП №1,4 ОП №2,3,5,6,7 ОП №2,3,5,7 ОП №6

Механические характеристики материала

Е = 1.21 х 1011[Н/м2 ] О = 4,5149 х 1010[Н/м2 ] у = 0,34 Е = 1.16 х 10п[Н/м2 ] Е = 4.2 х 109 [Н/м2 ] О = 2,55 х 109[Н/м2 ] П2 = 0,18 Е = 4.55 х 1010[Н/м2 ] Е = 1.76 х 1010 [Н/м2 ] О = 2,07 х 1010[Н/м2] П2 = 0,81 Е = 4.54 х 1010 [Н/м2 ] Е = 1.66 х 1010[Н/м2 ] О = 1,9 х 1010[Н/м2 ] П2 = 0,79

Структура композита

К °)„ ] 5,п=НА [С0, ±45)и ]5, п = Н/3 [ 0, ±45,45,0^

Здесь г = 0.00125 [м] - толщина монослоя; Н - высота ортотропной пластины (ОП).

Таблица 2

Ортотропные панели

№ Х0 х1 Х2 Х3 Н 0 Нх Н 2

1 -0,175 0 -0,1586 0,7 -0,11 -0,1089 0,0025 0,0025 0,015

2 -0,11 0 -0,1089 0,7 0,11 0,1089 0,015 0,01172 0,01456

3 0,11 0 0,1089 0,7 0,175 0,1538 0,015 0,011 0,002

4 -0,1586 0,7 -0,148 0,975 -0,1089 -0,148 0,0025 0,0025 0,01172

5 -0,1089 0,7 -0,124 0,816 0,1089 0,124 0,01172 0,00798 0,011

6 0,1089 0,7 0,148 0,975 0,1538 0,148 0,011 0,002 0,002

7 -0,124 0,816 -0,148 0,975 0,124 0,148 0,00798 0,0025 0,00754

Здесь х0,- координаты переднего угла панели, имеющего меньшее значение 2 [м]; х1,-координаты следующего по размаху угла панели [м]; х2, х3 - абсциссы остальных двух углов, при этом ^ = 22 < ^ = , х0 < х2, х1 < х3 [м]; Но, И1з Н2 - толщины в трёх углах панели [м].

Характеристики пружин приведены в таблице 3.

Таблица 3

Пружины

№ с к х г Ь Бт6

1 1012 148505 -0,11 0 0 0

2 1012 148505 0 0 0 0

3 1012 148505 0,11 0 0 0

Здесь с - коэффициент упругости на вертикальное смещение [Н/м]; к - коэффициент упругости на поворот [Н м]; х, г - координаты точки, к которой жёстко присоединён горизонтальный стержень с пружиной на конце [м]; Ь - длина стержня - вынос пружины [м]; - синус угла

между осью 2 и стержнем, пружина действует в плоскости стержня ( — ж/2 <6 < ж/2).

Предполагается, что крыло прикреплено к заделке упруго. Степени полинома, соответствующего такой свободной схеме, приведены в таблице 4.

Таблица 4

Степени полинома

к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Рк 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4

Як 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 0 1

Дозвуковой аэродинамический поток рассчитывается при числе Маха равном М = 0.9 и описывается трапецией, сведения о которой приведены в таблице 5.

Таблица 5

Трапеция

№ Х0 ^0 х1 21 Х2 хз г

1 -0,175 0 -0,148 0,975 0,175 0,148 10 5

Здесь х, , I = 0,1,2,3 - координаты углов трапеции [м], при этом ^ = < ^ = , х0 < х2 х1 < х3. Трапеция разбивается на г полос, в каждой из которых равномерно распределены ^ вихрей.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЁТА В результате расчёта определяются первые восемь тонов собственных колебаний консервативной системы и соответствующие им формы. В инженерной практике известно, что наиболее важными являются первый тон изгиба и первый тон кручения. Их собственные формы и собственные частоты приведены на рисунках 5 и 6 для первого и второго вариантов укладки слоёв соответственно. На рисунках отчётливо видны узловые линии, по облику которых можно определить, что для первого тона колебаний форма близка к изгибу относительно бортовой хорды, а для второго - к вращению относительно оси близкой к оси вращения крыла.

С = 7,59 Гц (изгиб) с2 = 35,7 Гц (кручение)

Рис. 5. Собственные частоты и формы для 1 варианта

С = 10,85 Гц (изгиб) с = 53,56 Гц (кручение)

Рис. 6. Собственные частоты и формы для 2 варианта

Изменение комплексных частот крыла в дозвуковом потоке в зависимости от относительной плотности потока представлено в таблицах 6 и 7. Расчёт выполнен для скорости звука у земли у0 = 340[м / с]; плотности воздуха у земли р0 = 1.225 [кг / м3 ].

Таблица 6

Комплексные частоты крыла в дозвуковом потоке (1 вариант)

р/ра Е [н] а [м/с] V [м/с] Ч/Чо 61 й>1 <52 ы2

0.01 32 641.3 304.012 273.61 0.0073350-3 -0.247214 7.6 6315 -0.133455 35.7411

0 . 04 23723.4 237.533 267.734 0.0306328 -1.043 3 3 7.31622 -0.524266 35.352 6

0.07 20226.2 2 35.18 265. 662 0.0527611 -1.33434 ■3.13354 -0.866125 35.3445

0.1 17 355.4 2 35.063 265.563 0.0753166 -2 . 33614 3.50746 -1.30443 35.3363

0.13 16 232.6 235.063 265.563 0.0373116 -4.07126 8.8684 -2.13311 36.0304

0.16 14 353.4 2 35.063 265.563 0.12 0507 -5.3 6705 3.23137 -32.5103 35.5326

0.1Э 13-364. 6 235.063 265.563 0.143102 -6.355 6 6 9.80299 -37.3172 33.3714

0.22 12 331. 2 35.063 265.563 0.165637 -3.56625 10.4442 -43.2033 30.3013

0.2 5 12 117.1 235.063 265.563 0.188232 -10.4732 11.2985 -48.5042 28.077

0.2 3 11335.3 2 35.063 265.563 0.210337 -12.2236 12.5532 -54.0034 24.6636

0.31 10 632.7 236.543 2 66.335 0.23583 -10.5454 14.5657 -62 . 3 67-3 20.234-3

0.34 3341.63 233.735 2 63.307 0.2 6432 7 0.733553 16.0316 -31.533 15.3277

0.37 3243.14 302.773 272 .5 0.233422 11.2703 16.4274 -33.363-3 12.1706

0.4 35 Э 3.51 305.5 64 275.008 0.323078 13.332-Е 16.4212 -114.733 7.3 6704

0.43 7 3 34.32 30 3.172 277.354 0.3532 61 25.3634 16.237 -30.4017 0

0.46 7402.13 310.62 3 273.561 0.333343 31.4351 16.0344 -70.2114 0

0.49 6 34 3.53 312.337 2 31.643 0.4151 36.2471 15.3713 -60.0064 0

0.52 6320.31 315.13 2 33.617 0.446708 40.4301 15.6335 -53.2435 0

0.55 5315. 317.213 2 35.432 0.478748 44.1543 15.33 63 -43.2763 0

0.53 5330.43 313.133 237.273 0.511201 47.5063 15.1366 -44.3347 0

0. 61 43 64.73 321.035 2 33.33 6 0.544051 50.54 67 14.3355 -41.2418 0

0. 64 4416.31 322.311 2 30. 62 0.5772 33 53.3234 14 . 6354 -33.6036 0

0. 67 3333.76 324.654 2 32.13 3 0.610884 55.3732 14.3374 -36.3625 0

0.7 3565.33 326.323 233.636 0.644333 53.2254 14.1425 -34.4147 0

0.73 3161.44 327.342 2 35.14 3 0.673133 60.4036 13 . ЗОН -32 .702-3 0

0.76 2763.62 323.437 236.547 0.713772 62.4274 13.6637 -31.1313 0

0.7Э 2389.51 330.333 2 37.-333 0.74-372 7 64.3131 13.4305 -29.8179 0

0. 32 2020.32 332.452 2 3 3.207 0.733335 66.0743 13.2 013 -23.5352 0

0.85 1661.37 333.858 300.472 0.-313563 61.7223 12.3776 -27.4635 0

0. 33 1312.03 335.221 301.633 0.355433 63.2 637 12.7531 -26.4363 0

0. 91 971.718 336.544 302.3 3 0.-331536 70.7206 12.5432 -25.4325 0

0. Э4 633.313 337.32 3 304.046 0.32 3035 7 2.03 63 12.3332 -24.6136 0

0. 37 316.157 33 3.073 305.171 0.364743 73.3724 12.1273 -23.8095 0

1. 0.000154114 340.2 34 30 6.2 65 1.00173 74.5343 11.3274 -23.055 0

1.03 -30 3.32 3 341.473 307.33 1.03337 75.7237 11.7316 -22.3433 0

1.06 -611.043 342.631 303.363 1.07647 7 6.303 11.5406 -21.633 0

1.03 -306.656 343.757 30 3.331 1.11422 7 7.3233 11.3545 -21.0673 0

1.12 -1196.08 344.355 310.37 1.15221 73.7949 11.173 -20.4826 0

1.15 -1473.61 345.32 3 311.335 1.13045 73.7077 10.3364 -13. 32 3-3 0

1.13 -1757.51 346.376 312.273 1.22332 30.5714 10.32 44 -13.4066 0

1.21 -1333.37 347.336 313.037 1.2 6 673 Р г , з э 10.6572 -18.3105 0

Здесь р/р0 - относительная плотность потока воздуха, Н - высота полёта [м], а - скорость распространения звука в воздушной среде, V - скорость ЛА [м/с2], д/д0 - относительный скоростной напор, + , 7 = 1,2 - собственные частоты 1 и 2 тона колебаний системы.

Из таблицы 6 видно, что для первого варианта укладки композита флаттер возникает на первом тоне колебаний при относительных плотностях потока Рр > 0,31.

Таблица 7

Комплексные частоты крыла в дозвуковом потоке (2 вариант)

Р/Ра Е [и] а [м/с] V [М/с] <3/Чп 61 62 ы2

0.01 32 641.-3 304.012 273.61 0.00733503 -0.2 31473 10.342 4 -0.105563 53.5671

0.04 2372В.4 237.533 267.734 0.0306328 -1.14411 10.3143 -0.425103 53.5335

0.07 20226.2 2 35.13 265. 662 0.0527611 -2.03526 10.73 67 -0.743654 53.6132

0.1 17 355.4 2 35.063 265.563 0.0753166 -2.35635 10.75 33 -1.08028 53.641

0.13 16 2 32.6 235.063 265.563 0.0373116 -3.30376 10.7322 -1.4132 2 53.6613

0.16 14 353.4 2 35.063 265.563 0.120507 -4.33634 10.7052 -1.7643 53.6 30 3

0.19 13 3 64.6 235.063 265.563 0.143102 -5.31335 10.6734 -2.12133 53.6377

0.22 12 931. 295.069 265.563 0.165637 -6.33143 10.6517 -2.43113 53.7125

0.25 12117.1 235.063 265.563 0.188292 -8.08406 10.6243 -2.37455 53.7252

3.2 3 11 3 35.3 2 35.063 265.563 0.210887 -3.2 30 64 10.5373 -3.27444 53.736

0.31 10 6 32 .7 236.543 2 6 6.335 0.2 35 33 -10.4245 10.5706 -3.63327 53.7443

0.34 3341.63 233.735 2 63.307 0.2 6432 7 -11.6633 10.542 3 -4.13367 53.7513

0.37 3243.14 302.773 272 .5 0.233422 -12.3633 10.5144 -4.5 3342 53.7573

0.4 3533.51 305.564 275.008 0.323078 -14.323 10.4 35 -5.09039 53.7616

0.43 7 3 34.32 303.172 277.354 0.3532 61 -15.7541 10.4544 -5.61243 53.7651

0.46 7402.13 310.623 273.561 0.333343 -17.2504 10.4223 -6.16723 53.7633

0.43 6343.53 312.337 231.643 0.4151 -18.8253 10.3882 -6.75743 53.7713

0.52 632 0.31 315.13 233.617 0.44 670 3 -20.4363 10.3516 -7.3351 53.7766

0.55 5 315. 317.213 235.432 0.47374 3 -22 .245 10.3113 -8.05158 53.7333

0.58 5330.43 313.133 237.273 0.511201 -24.1103 10.2 6 32 -3.75743 53.7332

0. 61 43 64.73 321.035 2 33.336 0.544051 -2 6.0 333 10.2135 -3.50222 53.3073

0.64 4416.31 322.311 2 30.62 0.5772 33 -23.2237 10.1647 -10.2 337 53.3263

0. 67 3333.76 324.654 2 32.13 3 0.610884 -30.5071 10.1013 -11.0373 53.3532

0.7 3565.33 32 6.32 3 233.636 0.644333 -32.3734 10.02 3 6 -11.3337 53.3376

0.73 3161.44 327.342 2 35.143 0.673133 -35.6536 3.3422 -12.7373 53.3311

0.76 2763.62 323.437 236.547 0.713772 -33.5373 3.33315 -13.6645 53.3345

0.73 2333.51 330.333 2 37.333 0.743727 -41.8281 3.71041 -14.52 61 54.0432

0. 32 2020.32 332.452 2 3 3.207 0.733335 -45.4441 3.54334 -15.3633 54.1222

0.35 1661.37 333.35 3 300.472 0.3135 6 3 -43.5317 3.342 31 -16.1735 54.2057

0.3 3 1312.03 335.221 301.633 0.355433 -54.2275 3.06623 -16.3461 54.2372

0. 31 371.713 336.544 302.3 3 0.3 315 3 6 -53.7343 3.6302 2 -156.515 43.075 3

0.94 633.313 337.32 3 304.046 0.32 3035 -66.3673 8.10722 -156.364 45.5044

0. 37 316.157 333.073 305.171 0.364743 -74.6431 7.17207 -155.614 42.732 3

1. 0.000154114 340.2 34 30 6.2 65 1.00173 -35.4442 5.34604 -151.33 33.7632

1.03 -303.32 3 341.473 307.33 1.033 37 -73.0756 0 -144.214 36.6361

1.06 -611.043 342.631 303.363 1.07 647 -62.7573 0 -131.237 33.3266

1.0Э -306.656 343.757 30 3.331 1.11422 -55.1565 0 -114.317 32 .07

1.12 -113 6.03 344.355 310.37 1.15221 -50.05 31 0 -33.4537 31.1253

1.15 -147 3.61 345.323 311.335 1.13045 -46.232 0 -36.7 302 30.6537

1.13 -1757.51 346.376 312.273 1.22332 -43.130 6 0 -76.3365 30.3336

1.21 -1333.37 347.33 6 313.037 1.2 6 673 -40.6 3 67 0 -67.7165 30.2304

Из таблицы 7 видно, что для второго варианта укладки композита при рассматриваемых относительных плотностях воздуха флаттера не возникает.

Частотный годограф первых двух тонов колебаний представлен на рисунках 7 и 8, визуализирующих значения, полученные в таблицах 6 и 7. На рисунке 7 виден переход значений декремента 5 первого тона колебаний в правую полуплоскость, что говорит о неустойчивости полученного для этого тона корня. Соответственно, на частоте около 16 Гц у крыла рассматриваемой конструкции (для 1 варианта укладки слоёв) возникает флаттер. Из рисунка 8 видно, что частоты первых двух

тонов колебаний находятся достаточно далеко друг от друга, то есть опасности флаттера не возникает. Таким образом, в обоих случаях - для вариантов 1 и 2 -проведён анализ возможности возникновения флаттера.

,-----Ч

г 4

у

ш

г г ч * N

\ \

\ \

Рис. 7. Годограф колебаний в дозвуковом потоке (1 вариант)

-- "

Н 1

\ \ ——и

•с Л \ \-- . ш тт

Рис. 8. Годограф колебаний в дозвуковом потоке (2 вариант)

Заключение

Применение КМ при их правильном использовании даёт возможность значительно повысить лётные характеристики ЛА в результате облегчения конструкции. При этом не происходит потери устойчивости ЛА, так как КМ позволяют изменять упругие характеристики формируемого изделия в зависимости от выбора заданной структуры материала.

Полиномиальный метод Ритца вместе с предложенной в работе методикой расчёта механических характеристик КМ позволяет произвести расчёт безопасности от флаттера с достаточной точностью. Эффективность в решении этой задачи объясняется простотой математической модели, быстротой подготовки расчётных данных и скоростью расчёта. Это является очень важным фактором, поскольку производство КМ и изделий из них довольно сложно технологически и требует больших финансовых затрат. Предварительный расчёт формируемого изделия при различных исходных данных позволяет получить экономическую выгоду, так как модель изделия формируется на компьютере, и инженер-конструктор может уже на начальном этапе определить наиболее подходящий вариант для укладки слоёв композита.

Библиографический список

[1] Васильев В.В. Механика конструкций из композитных материалов. - М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.

[2] Справочник по композиционным материалам: В 2-х кн. Кн. 1 / Под ред. Дж. Любина; Пер. с англ. А.Б. Геллера, М.М. Гельмонта; Под ред. Б.Э. Геллера. -М.: Машиностроение, 1988. - 448 с.

[3] Nettles A.T. Basic Mechanics of Laminated Composite Plates, NASA, Marshall Space Flight Center, October 1994, 103 pp.

[4] Благодырёва О.В. Расчёт на безопасность от флаттера крыла малого удлинения методом полиномов, Электронный журнал «Труды МАИ», Выпуск №68, www. mai. ru/science/trudy/