Исследование фазовых переходов в трехмерной модели Изинга на треугольной решетке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 239.2

DOI: 10.21779/2542-0321-2018-33-2-45-50

12 3 12 1 2

А.К. Муртазаев ' ' , М.К. Рамазанов ' , М.К. Бадиев , К.Ш. Муртазаев

Исследование фазовых переходов в трехмерной модели Изинга на треугольной решетке

1 Институт физики ДНЦ РАН; Россия, 367003, г. Махачкала, ул. М. Ярагского, 94;

2 Дагестанский государственный университет; Россия, 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а;

3 Отдел математики и информатики ДНЦ РАН; Россия, 367025, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 45; [email protected]

На основе репличного алгоритма методом Монте-Карло выполнены исследования фазовых переходов и критических свойств антиферромагнитной модели Изинга на слоистой треугольной решетке с учетом внутрислойных взаимодействий следующих ближайших соседей. Исследования проведены для отношений обменных взаимодействий ближайших j1 и следующих ближайших j2 соседей в интервале г = 0.0^1.0, г = \j2/j1\ - величина взаимодействия вторых ближайших соседей. Рассмотрены системы с линейными размерами lxlxl = n, l = 30^90. Построены графики зависимости теплоемкости, восприимчивости и параметра порядка в широком интервале температур. С использованием метода кумулянтов Биндера четвертого порядка определены критические температуры для всех значений г. На основе гистограммного метода и метода кумулянтов Биндера проведен анализ характера фазовых переходов. Установлено, что в данной модели переход из неупорядоченной фазы в парамагнитную реализуется как фазовый переход второго рода.

Ключевые слова: Монте-Карло, модель Изинга, фазовый переход, антиферромагнетик, фрустрация.

Фазовые переходы и критические явления в магнитных спиновых системах в течение многих лет были основными объектами исследования в статистической физике. Благодаря обширным теоретическим и экспериментальным исследованиям мы теперь довольно хорошо понимаем природу фазовых переходов стандартных ферромагнетиков и антиферромагнетиков.

Однако поведение фазовых переходов и критических явлений в фрустрированных спиновых системах оказалось совершенно отличным от критического поведения систем без фрустраций. Это связано с тем, что наличие фрустраций в системе очень часто сопровождается сильным вырождением основного состояния системы. Это приводит к возникновению в фрустрированных магнетиках совершенно различных фаз и фазовых переходов [1].

Модель Изинга представляет собой одну из простейших, но вместе с тем наиболее часто изучаемых моделей в статистической физике. Данная модель обеспечивает множество возможных вариантов поведения и служит примером для различных приближенных или численных методов [2, 3].

Чистая модель Изинга является точно решаемой, и многие ее термодинамические и критические свойства известны и не представляют интереса для дальнейших иссле-

дований. Фрустрированная модель Изинга сильно отличается от сответствующей неф-рустрированной модели. Поэтому в последние годы продолжаются интенсивные исследования тепловых, магнитных и критических свойств фрустрированной модели Изинга на разных типах решеток [3-4].

Магнитные системы, состоящие из треугольной кристаллической решетки, вследствие особой геометрии структуры сильно фрустрированы. При низких температурах упорядочение в системе происходит медленнее по сравнению даже с обычными фруст-рированными системами. Следовательно, в таких магнитных системах возможны не только состояния с нетривиальным глобальным вырождением, но и частично вырожденные состояния [6].

Модель Изинга на треугольной решетке является одной из наиболее интенсивно исследуемых в последние годы [7-10].

Поскольку модель Изинга играет фундаментальную роль в статистической механике, необходимо провести комплексные исследования этой модели с учетом конкурирующих обменных взаимодействий.

В данной работе мы исследуем термодинамические и критические свойства антиферромагнитной модели Изинга на треугольной решетке с учетом конкурирующих взаимодействий вторых ближайших соседей. Эти системы интересны как с экспериментальной, так и с теоретической точки зрения, поскольку некоторые спорные вопросы, связанные с природой фазовых переходов и принадлежности к тому или иному классу универсальности, пока не решены. Для получения ответов на ряд нерешенных вопросов в нашей работе мы предприним попытку исследовать фазовые переходы в антиферромагнитной модели Изинга на слоистой треугольной решетке с учетом взаимодействий следующих ближайших соседей.

Гамильтониан трехмерной модели Изинга на треугольной решетке может быть приведен в виде [11]:

Н = -Л X № • Б,) - X № • Б, Ь С1)

(и) (м)

где J¡ и J2 - константы обменного взаимодействия первых и вторых ближайших соседей. г = J2/J¡ - величина взаимодействия вторых ближайших соседей. В нашей работе проводятся исследования для интервала значений г = 0.0^1.0.

Исследование термодинамических, магнитных и критических свойств спиновых систем при наличии фрустраций на разных типах кристаллической решетки проведены различными теоретическими и экспериментальными методами. Все же такого рода методы исследования не всегда проясняют полную картину природы фазовых переходов фрустрированных спиновых систем. Это обстоятельство вынудило ученых прибегнуть к методам численного эксперимента. Практика показала, что методы численного эксперимента достаточно хорошо справляются и дают весьма точные и оригинальные результаты при исследовании фрустрированных систем.

Классический метод Монте-Карло с использованием алгоритма Метрополиса сталкивается с трудностями при больших размерах решетки из-за критического замедления и быстрого увеличения времени корреляции. По этим причинам трудно получить значимые результаты при больших размерах решетки. Использование специально разработанных репличных алгоритмов метода Монте-Карло устраняет все эти недостатки и позволяет с большой степенью точности получить хорошие результаты [12-15].

Параметр порядка системы т вычислялся с использованием формулы [10]:

т

N

М \ + М I + М с)/з

(2)

где МА, Мв и Мс - намагниченности трех подрешеток.

Теплоемкости и восприимчивости вычислены с использованием выражений [16]:

С = (Ж2)(([/2)-{^)2), (3)

X

(Ж (т2 (Л1К у,т2),

тп\

Т < ГЛ

т > 7\

(4)

С/Тс» 6

п

1 .2 -

0.8 -

О. А -

о.о

г^О.О г=0.1 г=0.2 г=0.3 г=0.-4

г=0.6 г=0. 7 г=0.8 г=0. 9 г=1.0

10 11 л- т/\ ^ I

В 1

X

80

I I I—» » |—1 I I—I—I—|—I—I—I—I—» | I—»111—|—I—I—1—1—1—|—I—I—I—I 1 |—Г—1—1-1 I |-II»!—I—|—I—I » I

60 -

40 -

20 -

Д '1

А А/

1.

ЛА

и шли А

л

г±

гО. о Г=0.1 •-0.2 г=0.3 -О.-4 гО.5 г=0.6 г=0. 7 г=0.8 г=0.9 г=1.0

----"" ♦ «тСТ. пйТ тТ**Уби в5и I И7»1 >Т71 1 < 1*Т » />>«

ю

А в Т/\ .1, I

Рис. 2. Зависимость восприимчивости / от температуры квТ/\]\| для различных г

На рис. 1 и 2 представлены зависимости теплоемкости и восприимчивости от температуры в интервале г = 0.СН-1.0. Отметим, что на графиках теплоемкости и вос-

приимчивости для всех г области критической температуры наблюдаются хорошо выраженные максимумы. Графики демонстрируют, что увеличение значения г в интервале г = 0.0^1.0 приводит к смещению графиков в сторону высоких температур.

Чтобы вычислить критическую температуру ТN мы использовали метод кумулянтов Биндера Пь четвертого порядка по намагниченности, которая вычисляется с помощью следующей формулы [16]:

Пь = 1 -

т

3 т2

2\ 2

(5)

3.70 3.75

Рис. 3. Зависимости кумулянта Биндера иь от температуры квТ1\1\ для г = 0.1

ся критической точкой.

Данная формула позволяет определить критическую температуру Тм с высокой степенью точности. Как нам известно из теории, если в системе происходит фазовый переход второго рода, кривые зависимости кумулянтов Биндера от температуры имеют явно выраженную точку пересечения.

На рис. 3 представлены характерные зависимости Пь от температуры при г = 0.1 для разных линейных размеров. Этот рисунок демонстрирует точность определения критической температуры. Из графика видно, что в критической области все линии пересекаются в одной точке (температура дана в единицах \1\1кв). Точка пересечения всех кривых на графике являет-

Рис. 4. Гистограмма распределения энергии при г = 0.4

Рис. 5. Гистограмма распределения энергии при г = 0.9

На рис. 4 и 5 приведены гистограммы распределения энергии для случаев г = 0.4 и г = 0.9. Такие же гистограммы были построены во всем интервале значений г. Из по-

ь

ь

лученных результатов и приведенных рисунков следует, что во всем рассмотренном интервале r наблюдаются фазовые переходы второго рода. Этот факт подтверждает и метод кумулянтов Биндера UL четвертого порядка.

Исследовались фазовые переходы в трехмерной антиферромагнитной модели Изинга на слоистой треугольной решетке с учетом взаимодействий следующих ближайших соседей внутри слоев с использованием специально разработанного реплично-го алгоритма метода Монте-Карло. С помощью гистограммного анализа данных и метода кумулянтов Биндера четвертого порядка определен характер фазовых переходов. Установлено, что в исследуемой нами модели происходит фазовый переход второго рода.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-02-00214-а, № 18-32-00391мол-а и фондом Гаджи Махачева по поддержке науки и образования.

Литература

1. Kawamura H.J. Universality of phase transitions of frustrated antiferromagnets // Phys.: Condens. Matter. - 1998. - V. 10. - P. 4707.

2. Lenz W. // Z. Phys. - 1920. - V. 21. - P. 613.

3. Ising E. Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus // Z. Phys. - 1925. - V. 31. -P. 253.

4. Gekht R.S. Magnetic states and phase transitions in frustrated triangular-lattice antiferromagnets // Usp. Fiz. Nauk. - 1989. - V. 32. - P. 871.

5. Boubcheur E.H., Diep H.T. Critical behavior of the two-dimensional fully frustrated XY model // Phys. Rev. B. - 1998. - V. 58. - P. 5163.

6. Chandra Р., Coleman Р., Ritchey I. // J. de Phys. - 1993. - V. 33. - Р. 591.

7. Blankschtein D.M., Berker A.N. Orderings of a stacked frustrated triangular system in three dimensions // Phys. Rev. B. - 1984. - V. 29. - P. 5250.

8. Stephenson J. Ising-Model Spin Correlations on the Triangular Lattice. III. Isotropic Antiferromagnetic Lattice // J. Math. Phys. - 1970. - V. 11. - P. 413.

9. Yamada Y., Miyashita S., Horiguchi T., Kang M., and Nagai O. Spin-ordering of the antiferromagnetic Ising model with general spin S on a triangular lattice // J. Magn. Magn. Mater. - 1995. - V. 140. - P. 1749.

10. Landau D.P. Critical and multicritical behavior in a triangular-lattice-gas Ising model: Repulsive nearest-neighbor and attractive next-nearest-neighbor coupling // Phys. Rev.

B. - 1983. - V. 27. - P. 5604.

11. Zukovic M., Mizisin L., and Bobak A. Low-Temperature Properties of Ising Antifer-romagnet on a Stacked Triangular Lattice // Phys. Polonica A. - 2014. - V. 40. - P. 126.

12. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Кассан-Оглы Ф.А., Курбанова Д.Р. Фазовые переходы в антиферромагнитной модели Изинга на объемно-центрированной кубической решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей // ЖЭТФ. - 2015. -Т. 147. - С. 127.

13. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Бадиев М.К. Фазовые переходы и критические свойства фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с взаимодействиями следующих за ближайшими соседей // ЖЭТФ. - 2012. - Т. 142. -

C. 338.

14. Murtazaev A.K., Ramazanov M.K., Badiev M.K. Critical properties of the two-dimensional Ising model on a square lattice with competing interactions // Physica B: Condensed Matter. - 2015. - V. 476. - P. 1.

15. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Кассан-Оглы Ф.А., Бадиев М.К. Фазовые переходы в антиферромагнитной модели Изинга на квадратной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей // ЖЭТФ. - 2013. - Т. 144. - С. 1239.

16. Биндер К., Хеерман Д.В. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике. - М.: Наука, 1996.

Поступила в редакцию 15 февраля 2018 г.

UDC 239.2

DOI: 10.21779/2542-0321-2018-33-2-45-50

Phase transitions in the Ising model on a layered triangular lattice with next-nearest-neighbor interaction

12 3 12 1 2

A.K. Murtazayev ' ' , M.K. Ramazanov ' , M.K. Badiyev , K.Sh. Murtazayev

1 Institute of Physics, Dagestan Scientific Center, Russian Academy of Sciences; Russia, 367003, Makhachkala, M. Yaragskiy st., 94;

2Dagestan State University; Russia, 367001, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43a;

Math and Information technology Department for Dagestan Scientific Center of Russian

Academy of Sciences; Russia, 367025, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 45; [email protected]

The given research studies some phase transitions and critical features of the antiferromagnetic Ising model on the layered triangular lattice with regard of intralayer interaction of the forthcoming next-nearest neighbor on the basis of Monte Carlo replica algorithm. Investigations were carried out for the ratios of exchange interactions of the nearest J1 and the next nearest J2 neighbors in the range r = 0.0 ^ 1.0, r = \J2/Ji\ - is the next-nearest neighbor interaction value. Systems with linear dimensions LxLxL = N, L = 30^90 are considered. The graphs of the dependence of the heat capacity and the susceptibility on temperature are constructed. Using the fourth-order Binder cumulant method, critical temperatures are determined. The character of phase transitions is analyzed using the histogram technique and Binder cumulant method.

Keywords: Monte Carlo, model Ising, phase transitions, antiferromagnetic, frustration.

Received 15 February, 2018