Исследование эффективности дискретного канала наблюдения с памятью в задаче экстраполяции Текст научной статьи по специальности «Математика»

удк 62-50:519.2

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДИСКРЕТНОГО КАНАЛА НАБЛЮДЕНИЯ С ПАМЯТЬЮ В ЗАДАЧЕ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

Н.С. Дёмин, О.В. Рожкова*

Томский государственный университет *Томский политехнический университет E-mail: rozhkova@tpu.ru

Решена задача исследования эффективности оценки экстраполяции стационарного гауссовского марковского процесса диффузионного типа (процесс Орнстейна-Уленбека) для случая дискретного канала наблюдения с фиксированной памятью единичной кратности относительно дискретного канала без памяти.

Ключевые слова:

Экстраполяция, память, среднеквадратическая ошибка, время корреляции.

Введение

Классическая теория обработки сигналов, математическими моделями которых являются стохастические процессы, основана на предположении, что текущие значения наблюдаемого процесса (принимаемого сигнала) зависят только от текущих значений ненаблюдаемого процесса (информационного сигнала) [1-3]. На практике весьма распространенной является ситуация, когда текущие значения наблюдаемого процесса зависят также и от прошлых значений ненаблюдаемого процесса (наблюдения с памятью, наблюдения с временными задержками) [4-7], что обуславливается инерционностью измерителей и конечным временем прохождения сигналов. Достаточно исследованной для данного класса наблюдений является задача фильтрации [4-6], хотя задача экстраполяции (прогноза, предсказания) является также важной, поскольку ее решение дает информацию о будущих значениях информационного сигнала.

1. Постановка задачи

Пусть ненаблюдаемый скалярный процесс х1 определяется уравнением

= —ах^И + , а >0, р0 = N{х; /л0; у0}, (1)

где а, является стандартным винеровским процессом, р0(х) - начальная плотность распределения, Щ.} - гауссовская плотность. Этот процесс, известный как процесс Орнстейна-Уленбека, является стационарным гауссовским марковским процессом диффузионного типа с корреляционной функцией Да)=[б/2а]ехр{-а|а|} и временем корреляции ак=1/а. Он широко используется как в технических приложениях для моделирования реальных процессов [1-3], так и в финансовой математике для моделирования процесса изменения процентной ставки [8, 9]. Наблюдается непрерывный скалярный процесс ^ без памяти, описываемый уравнением

dzt = Н0х + , (2)

и дискретный скалярный процесс с фиксированной памятью единичной кратности

n(tm ) = G0 x, + G X т+Ф ¿( tm ).

(3)

В (2) процесс и является стандартным винеровским процессом, в (3) процесс ^(4,) является стандартным белым гауссовским с дискретным временем.

Ставится задача исследования эффективности оценки экстраполяции для случая дискретного канала наблюдения с фиксированной памятью единичной кратности относительно дискретного канала без памяти.

Далее М{.} - математическое ожидание.

2. Основные результаты

Исследуем вопрос об эффективности дискретных наблюдений с памятью на основе задачи обратной экстраполяции с фиксированной памятью [7].

Для рассматриваемых моделей процессов х,, ^ и пЮ, согласно Теореме 3 и Следствию 2 [7], для ,м<,<,м+1 получим уравнения

dy(t)

dt

- = -2ay(t) + Q-Sy (t),

d/oi(T, t) dt

= -[a + Sy(t)] Yoi(T,t),

dyn(r, t)

dt

= -syh(j, t),

dyl0(S, t)

dt

-a + Q -Sy(t) Y(t)

dyn(s, t) dt

= -S[Yl(s, t )]2

^^^ = Soi(Tt) Yo(s,t), dt

c начальными условиями

G 2

Y(L ) =Y(tm - 0) - WO",

Yol(T, tm ) = Yol(T, tm - 0) -

GoG1

W '

(4)

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

(10) (11)

6 2

7и (т,С) = 7„(т,С - 0) - ^Т'

7Ж с)=7Ж т - 0) - СС!,

С2

/п(5,С) = 7и(*," -0)-

г1(т,О = г!(т,5,С -0) -

(12)

(13)

(14)

(15)

имеют вид

где

/(/) = М{[х(/)-М(/)]2| 20, П" },

70,(т, 0 = М{[х(/)-^(/)][ х(т)-р(т, /)] | 70, <},

711 (т,О = М{[х(т) -р(т, /)] 2 70, <}, /¿(/) = М {[ х(/) )][ х( 5) -М( /)] \2 0, П"},

/" (5,/) = М{[Х(5) -М(/)]2| 70, <},

г1(т, 5, /) = М { [ х(т)-М(т, /)][ х( 5)-М( 5, /)] 70, <}• ¿0 = °07«т - 0) + 61/01 (т,- 0), (16) ¿1 = 61711 (т, - 0) + 60/01 (т, /„ - 0), (17)

^2 = 60/1(5,/„ - 0) + С1/11(т, 5," - 0), (18) Г = V+о^г (Гт - 0)+26061/01 (т," - 0)+

+С12/П(т,Гт - 0).

(19)

7(0 Ц ,=70, (21)

7оl(т, /) |/= т = 7(т), (22)

7и (т,/) / = 7(т), (23)

/) 1 = 7(5), = 5 (24)

7П(5,/) | , = 7(5) , (=3 (25)

/11(т, 5, /) 1 = = 7оl(т, s), (26)

7(0 = 7 ?1 =

у2 -ехр{-2Я(/ -/0)} £ - ехр{-2Я(/ - /0)}'

72 = 71, 71 "70 72

Г01(Т,/) =Г(Т) 71 - ехр{-2Я(т- /0)} ехр{-Я/*}, П - ехр{-2Я(/ - /0)}

7п (т, /) =

"1 - —/(т) ^1 -ехР{-2Я(т-/0)} х = /(т) 2Я /1 - ехр{-2Я( /- ?0)} х(1 - ехр{ -2 Я/ *})

7<1(5, /) =7(/)ехр{-аТ},

/п(5,/) = 0 + ехр{-2аТ} [/(/) -

2а I 2а,

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

71 (т, 5, /) =/01(т, / )ехр{-аТ}.

Доказательство.

1) Получение формулы (27) (решение уравнения (4)).

Уравнение (4) является уравнением Риккати с постоянными коэффициентами [10]. Разделяя переменные, можем записать (4) в виде

йу(/)

■ = -8сИ,

(33)

Кроме того далее используются обозначения /* = /-т, Т = 5-/, О = Ф2Х, Я = Ф22,

Х=4 а2 + 80 ,8 = НуЯ,

71 =(Я-72 =-(Я + %

1= 1-^—у, Х = (Я + а)/2Я. (20)

Рассмотрим сначала случай отсутствия дискретных наблюдений.

Утверждение 1. Решения уравнений (4-9) при начальных условиях

(т(/) -7\)(т(/) -72)

где у1, у2 являются корнями уравнения 8/2+2я/- <2=0 и имеют вид, см. (20):

1 I- Н 2

У12 =-[~а±Я], Я = а2 +80, 8=-^. (34) 8 Я

Согласно (34) (/1-/2)=2Я/8. Тогда умножая обе части (33) на у1-у2=((у(()-у2)-(у(()-у1)) получаем

¿у(/) ¿у(/)

(/(/) -71) (7(0 -72) Интегрирование (35) дает, что (У(/) -71)

(7(/) -72)

= С ехр{-2Я/},

(35)

(36)

где константа интегрирования С ищется из начального условия (21). Согласно (36, 21)

С = У1)ехр{2Я/„}.

(37)

(70 -72)

Подставляя (37) в (36) и преобразовывая полу ченное выражение, приходим к (27).

2) Получение формулы (28) (решение уравнения (5)).

Перепишем уравнение (37) в следующем виде

¿701 (т, /)

7оl(т, О

= -[а + 8/(/

(38)

Интегрируя (38), получим что 1п701(т,/) — -а*-8//(О А + 1пС.

Согласно (27) ¡УМ* — ~ Г ^ -ехр{-21(/-/о)}

(39)

— У 2

— У 2 * + У2(У2 ~Ух)|

ух -ехр{-2!(/ -*о)} А

А —

у 1 - ехр{-2А(/ - *о)}

(40)

[11]

Использование в (40) формулы интегрирования

■ ёх х 1п(Ь + с ехр{ах})

Ь + с ехр{ах} Ь аЬ

(41)

дает, что

¡у^) Л = у4 + у2(у2 ~ух)' 1

71 2^У1

t

— +

-1п[/1 - ехр{-2!(* - *о)}]

* + . 1

7272 Ух

'У 2

У1 2х

х ЩУ1 - ехр{-2!(* - *о)}].

Так как согласно (27)

У2У2 21

У1

= 71,71 - 72 = ,

то из (42) получаем, что

17 (*) А — ух * + §1п[71 - ехр{-2А(* - д}].

(42)

(43)

(44)

Подставим (44) в (39)

1п У о1(Т 0 =

— -(а + 8у1) *-1п[у1 -ехр{-2А(*-)}] +1п С. (45)

Из (20) следует, что а+8у=Х. Тогда общее решение уравнения имеет вид

7о1(т, *) — 77-)}] ехр{-!*}. (46)

[ 71 - ехр{-2А(/ - *о)}]

Из (46) и начального условия (22) следует, что

С — 7 (т)[ 71 - ехр{-2А(г - О}] ехр{Ат}. (47) Подстановка (47) в (45) приводит к (28). 3) Получение формулы (29) (решение уравнения (6)).

Интегрируя уравнение (6) получаем, что

/11 (т,*) — -8/ уо21(т,*) А + С. (48)

Учитывая (28), можем записать (48) в виде 7п (т, *) —

— -8у2(т)ехр {2Ат}[71 - ехр{-2А(т - *о)}]2 х ехр

х/

[ 71 - ехр{-2А(* - *о)}]2

-+ С,

(49)

где

ехр{-2А/}ё*

•>[ 71 - ехр{-2А(* - *о)}] 2 ехр{-2А*о} Ы[71 -ехр{-2А(*-*о)}]

2А

[ 71 -ехр{-2А(* -*о)}] 2 ехр{-2А*о}

(50)

2А[ 71 - ехр{-2А(* - О}] Тогда общее решение уравнения (6) имеет вид

7ц(т, *) —— 7 2(т)ехр{2А( * - д}> 2Я

[ 71 - ехр{-2А(* - *о)}]

-+ С.

71 - ехр{-2А(* - *о)} Из (51) и начального условия (23) следует, что

(51)

С — 7 (т)-— 7 2(т)ехр{2А(т-д}> 2Я

(52)

х[ 71 - ехр{-2А(т - ^)}].

Подстановка (52) в (51) приводит к (29). 4) Получение формулы (30) (решение уравнения (7)).

Используя (4), можем записать (7) в следующем виде:

ё У Ж *) А

а +■

1 ё у (*)

7 ¿(5, *).

(53)

у (*) А

Тогда из (53) получим общее решение уравнения (7)

71(5, — Су (*) ехр{а*}. (54)

Из (54) и начального условия (24), получаем

С — ехр{-да}. (55)

Подстановка (55) в (54) приводит к (7).

5) Получение формулы (31) (решение уравнения (8)).

С учетом (30) можем записать (8) в следующем виде

ё 7П(5, *)

А

■ — -8у2(?) ехр{-2 аТ}.

(56)

Использование (4) в (55) дает, что ё 7П(5, *) \ёу (*)

А

А

- + 2ау(() - )

ехр{-2аТ}. (57)

Из (57) получим общее решение уравнения (8)

7П(5, *) —

г«) - £

2а

ехр{-2 аТ} + С.

(58)

Из (58) и начального условия (25) получаем б

С —-

2а

(59)

Подстановка (59) в (58) приводит к (31). 6) Получение формулы (32) (решение уравнения (9)).

С учетом (30) можем записать (9) в виде

dyl(т , 5, /)

Ж

¿ГыТ, О Л

+ «7о1(т, О

ехр{-аТ}. (60)

Из (60) получим общее решение уравнения (9) у! (т, 5, /) = 7о1 (т, О ехр{-аТ} + С. (61)

Из (61) и начального условия (26), получаем

С = 0. (62)

Подстановка (62) в (61) приводит к (32).

Начальные условия (21-26) с учетом (1) следуют из смысла задач фильтрации, интерполяции и экстраполяции.

Стационарные решения (,—да, т—да, ,* и Т -конечны) следуют из (27-32) и имеют вид

Г =71 =(Я - а)/5 , Г01С*) = У ехр{-^*}, У11С *) = ПХ + (1 -х)ехр{-2А/ •}], т0>(Т) = /ехр{-аТ },

ГП(Т) = О- + ехр{-2аТ} Гу-

2 а I 2 а

Т) = 7ехр{-1/*}ехр{-аТ}.

(63)

62

Гт ) =у11(Т) -

62 = Оо у10 (Т) + 01 У11 (ГТ), 4 = с0 702(Т), V = к+я (О, V = к+£(0,

я(/•) = 62 у + 26061 701 (О + 0127ц(/•), £(О = 602 у.

(65)

(66)

(68)

Дальнейшее исследование проводим, взяв в качестве меры эффективности величину

Р =7" (5, с)

10 -11/ ^ ч '

У tm )

Большая глубина памяти (/*—да). Обозначая Ишу^^^у!1^^) при , —да, получаем из (65, 66) с учетом (63, 67, 68), что

7>,0 = 7П(Т)-711(5,/т) = 7П(Т)-

62 = 62 = 00у ехр{-аТ},

V = К + 62 у,

V = К + 6 + 62х)7 = V + 62 УХ.

(69)

Формулы (27-32) определяют для указанных процессов %! и г.1 решение обобщенной задачи фильтрации-интерполяции-экстраполяции в случае непрерывных наблюдений без памяти при конечном времени, а (63) при бесконечном времени наблюдения. С помощью этих формул проводится исследование эффективности дискретного канала с фиксированной памятью единичной кратности относительно дискретного канала без памяти

П? Ст ) = 60 Х,щ + Ф ¿(^ ) (64)

в задаче экстраполяции в случае редких дискретных наблюдений, когда на интервалах /е [/ш/м+1) решения (27-32) достигают стационарных значений (63). Тогда, согласно (14, 18, 19) среднеквадратиче-ские ошибки уи(Т), уи(Т), оценок Д($,/т),

соответствующих и п(0 и (,т), будут определяться формулами

6 2

7П(5, т) = 7П(Т) - ^

Из (69) следует, что при большой относительно хт глубине памяти наблюдения с памятью единичной кратности эквивалентны наблюдениям без памяти с более мощным шумом интенсивности ~=¥+012ух. Очевидно, что 1/2<х<1, причем х— 1/2 при 5—да и х— 1 при 5-—0. Поскольку случаю 5=да соответствуют идеальные непрерывные наблюдения (т=0) а случаю 5=0 - отсутствие непрерывных наблюдений, то интенсивность V эквивалентного шума тем меньше, чем качественнее непрерывные наблюдения.

С использованием (69) можно показать, что Ише10=е1да при ,*—да имеет представление е1да=1+А„, где Дда>0, то есть е1да>1 и при большой глубине памяти наблюдения с памятью менее эффективны наблюдений без памяти. Таким образом, наличие памяти только ухудшает качество экстраполяции при большой глубине памяти. Объяснение этому заключается в следующем. Поскольку в рассматриваемом случае а<<', где ак - время корреляции процесса х,, то между хт и х^ отсутствуют корреляционные связи и сигнал У(т)=О1х1 действует в дискретном канале относительно сигнала О^х^ как дополнительный шум. С точки зрения указанной выше эквивалентности наблюдение кратности N=1 представляется как ~ наблюдение без памяти П(,т)=Ол„+£(,т) где ¿;(,и)=О1х~+Ф3^(,и) - эквивалентный шум интенсивности ~=¥+О12ух.

Малая глубина памяти (Г—0). Обозначая 11ш711(5,,т)=7011(5,,т) при 0, получаем из (65, 66) с учетом (63, 67, 68), что

6,

6 2

7 (5,о = 7 (Т)--2-, 701 (5,т) = 7 (Т)--2-.

¡V

V

62 = (60 + 61)у ехр{-аТ}, 62 = 60у ехр{-аТ},

¡V = к+а1у, V = к + (60 + 61)2у = ¡V + 6 + 2G0G1 )у. (70)

С использованием (70) можно показать, что И-ш£,0=£|"0 при ,0 имеет представление е100=1-Д0 (67) причем До<0, т. е. е100>1 если (О0,О1)ев и 0<Д0<1 то есть 0<е1°0<1 если (О0,О1)гв, где

о={(60,61): + 26061 < 0},

Условие (71) равносильно условию

О = {6 61): \60 + < 6 },

Таким образом, при малой глубине памяти наблюдения с памятью эффективнее наблюдений без памяти в случае (О0,О1)гв и менее эффективны в

(71)

(72)

противном случае. Поскольку в рассматриваемой ситуации коэффициент корреляции между х^ и хт, близок к единице, то наблюдения с пЮ воспринимаются как п((т)=(б0+01)х^+Ф3^(4). Условие (б^б^гО означает |&0+&1|>|&0|, поэтому интенсивность процесса 7(/шт)=б~х + б1хт=(б0+б1)х(> выше интенсивности процесса 7(4)=бх.

Таким образом, при малой глубине памяти дискретный канал с памятью оказывается более информативным, нежели дискретный канал без памяти. Это дает более существенное уменьшение среднеквадратической ошибки в случае наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти, что приводит к свойству е10°<1.

Исследование %(/*) как функции Г при соблюдении условия (00, б1) г в дает следующий результат.

Утверждение 2. Если (б^б^ев, то %(0>1 для всех ¿>0, при произвольном значении глубины памяти. Если (б^б^гв, е10(/*) при (^ю монотонно возрастает от е100<1, определяемой формулой

с0 =

= 1-

V у2(С\ + 2G0G1)exp{-2 aT} Г[Уп(Т)(V + YG02) - Y2G0 exp{-2aT}] x^ x[V + y {Go + Gi}2]

(73)

до £^>1, определяемой формулой

= 1 +

XY3Go2Gfexp{-2aT}

11

[Y (T)(V + y Go2)-Y Gg exp{-2aT}]x

eff

= Iln

1 |Gg|^ V2 + XYGi2(V + xyG2) + V ]'

(75)

где знак «-» берется в том случае, если бб^б^б^, а знак «+», если б0б1=-|б0|.|б1|.

Формулы (73, 74) получены с использованием (69, 70). Формула (75) получается как единственный положительный корень уравнения е10(/*)=1, имеющего вид

О2 (У + X7G02)exp{-21t *} + +2VG0G1 ехр{-Л/} - х 7 О2О,2 = 0.

Влияние непрерывного канала наблюдения осуществляется через параметр 8, пропорциональный отношению сигнал/шум по интенсивности.

Величину ¡1д можно определить как эффективную глубину памяти наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти. В частности, при отсутствии непрерывных наблюдений, когда 8=0, Я=а, х=1, Y=Q/2a, формула для Сгд принимает вид

'eff

= iln-

v+qG2

2a

r2 + | V + QG02 | + V 2a I 2a

(76)

vx [(V + y Gg2) + XYGi2] ; (74)

с равенством единице в точке f=t'ф определяемой формулой

Gi|(V + XYG2)

Таким образом, из (76) следует явная зависимость эффективной глубины памяти от времени корреляции ак=1/а процесса х.

Заключение

Получено точное решение системы дифференциальных уравнений, определяющих точность (среднеквадратическую ошибку) оценки экстраполяции. Исследованы два предельных случая малой и большой глубины памяти. Приведен анализ временной зависимости точности оценки и получена формула, определяющая эффективную глубину памяти при отсутствии непрерывных наблюдений, в том числе ее зависимость от времени корреляции ненаблюдаемого процесса (информационного сигнала).

a

s™ =

10

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. - М.: Советское радио, 1972. - Т. 1. - 744 с.

2. Девис M.X.A. Линейное оценивание и стохастическое управление. - М.: Наука, 1984. - 205 с.

3. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. - М.: Советское радио, 1975. -704 с.

4. Basin M.V., Zuniga M.R. Optimal linear filtering over observation with multiple delays // Intern J. of Robust and Nonlinear Contr. -2004. - V. 14. - № 8. - P. 685-696.

5. Basin M.V., Zuniga M.R., Rodriguez J.G. Optimal filtering for linear state delay systems // IEEE Trans. on Automatic Control. - 2005. - V. AC-50. - № 5. - P. 684-690.

6. Wang Z., Ho D.W.C. Filtering on nonlinear time-delay stochastic systems // Automatic. - 2003. - V. 39. - № 1. - P. 101-109.

7. Демин Н.С., Рожкова О.В., Рожкова C.B. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокуп-

ности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2000. - № 4. - C. 39-51.

8. Мельников А.В. О стохастическом анализе в современной математике страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 1995. - Т. 2. - № 4. - C. 514-526.

9. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях в стохастических моделях финансовой математики // Теория вероятностей и ее применения. - 1994. - Т. 39. - № 1. - С. 5-22.

10. Матвеев А.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 1967. - 409 с.

11. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. - М.: Наука, 1998. - 608 с.

Поступила 13. 04. 2009 г.