Исследование эффективности алгоритма дифференциальной эволюции в зависимости от выбора схемы мутации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика

УДК 591.87

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ АЛГОРИТМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЭВОЛЮЦИИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВЫБОРА СХЕМЫ МУТАЦИИ

Д. А. Ерохин

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Е-шаП: erohhaa@mail.ru

Осуществлена оценка эффективности алгоритма дифференциальной эволюции с различными схемами мутации. С этой целью алгоритм был протестирован на различных задачах оптимизации, в итоге была установлена наиболее работоспособная стратегия мутации.

Ключевые слова: оптимизация, дифференциальная эволюция, мутация, функции вещественных переменных.

RESEARCH INVESTIGATION OF THE DIFFERENTIAL EVOLUTION EFFECTIVENESS DEPENDING ON THE CHOICE OF THE MUTATION SCHEME

D. A. Erokhin

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Е-mail: erohhaa@mail.ru

In this paper the Differential Evolution algorithm's effectiveness with different mutation strategies was estimated. For that purpose, algorithm was tested on various optimization problems; as a result, the most useful mutation strategy was established.

Keywords: optimization, differential evolution, mutation, real-parameter functions.

В последние годы интенсивно развиваются эвристические, стохастические алгоритмы глобальной оптимизации функций вещественных переменных, например, стайные алгоритмы [1], основанные на имитации коллективного поведения различных животных, генетический алгоритм [2], алгоритм дифференциальной эволюции [3] и т. д. Они продемонстрировали свою эффективность на различных тестовых задачах и активно используются при решении практических задач. Наиболее успешными среди них в настоящее время являются различные модификации алгоритма дифференциальной эволюции [4].

Алгоритм дифференциальной эволюции (Differential Evolution или DE) был предложен в 1995 году Р. Сторном и К. Прайсом [3] для решения задач многомерной оптимизации. Работа алгоритма DE начинается с создания случайным образом популяции индивидов, то есть множества потенциальных решений данной задачи. Каждый индивид определяется вектором координат точки в пространстве поиска D. Далее генерируется новое поколение индивидов следующим образом. Для каждого индивида х'ц из старого поколения выбираются три различных случайных вектора, затем генерируется так называемый мутант-ный вектор v\.

Существует различные схемы мутации, также называемые стратегиями. В данной работе исследование проводилось для трех наиболее известных схем (rand, best и current_to_best):

1. = х'а,, + - х'с,,);

2. = х\г« + ¥(х\л - х\,);

3. V', = х\3 + Е(хгь^ - х\) + Е(х'Я1 - х'я,).

Индексы а, Ь, с являются целыми числами, случайным образом выбранными из диапазона [1, Щ, и все они отличаются от базового индекса , и друг от друга. ^ - это коэффициент масштаба, то есть максимально возможное расстояние, на которое может расшириться область поиска оптимального решения по одной переменной. х'Ье& - лучшее положение, найденное всей популяцией за ' итераций.

Далее выполняется операция скрещивания с использованием индивида-мутанта. В процессе скрещивания некоторые его координаты замещаются с некоторой вероятностью (СЯ) соответствующими координатами базового вектора. Полученный после скрещивания вектор называется пробным вектором, для которого вычисляется значение целевой функции. Если оно оказывается лучше значения целевой функции для базового вектора, то в новом поколении базовый индивид заменяется на пробный, в противном случае базовый индивид переходит в новое поколение.

Исследование эффективности алгоритма проводилось с помощью 8 функций размерности 10, взятых с конкурса СЕС'2013 [5]. В рамках данного исследования размер популяции для каждой функции был равен 50, и максимальное число вычислений целевой функции - 100000. Также коэффициент ^ был равен 0.5, а вероятность для скрещивания 0.01.

Решетневские чтения. 2018

Таблица 1

Результаты, полученные алгоритмом БЕ с первой схемой мутации

Функции Худшее Минимальное Среднее

Discus 80797.8 1.1239 5740.94

Dif powers 40.3998 4.22503e-006 4.34297

Rosenbrock 0.0123589 3.30833e-007 0.00092965

Schwefel 332.786 26.6629 126.299

Ackley 1.16705 0.00160837 0.383545

Griwank 0.093627 1.18877e-006 0.0166178

Katsuura 8.95605e-006 1.82917e-008 2.53696e-006

Rastrigin 32.9338 1.08073 7.72028

Таблица 2

Результаты, полученные алгоритмом БЕ со второй схемой мутации

Функции Худшее Минимальное Среднее

Discus 80092.3 0.0293655 5969.52

Dif powers 0.416775 0 0.00825618

Rosenbrock 0.0237127 1.10412e-006 0.0010982

Schwefel 348.859 13.0267 114.171

Ackley 1.19041 0.000284644 0.248168

Griwank 0.0745277 0.00019538 0.0138207

Katsuura 1.00272e-005 1.07985e-007 2.60472e-006

Rastrigin 41.6213 3.07975 14.462

Таблица 3

Результаты, полученные алгоритмом БЕ с третьей схемой мутации

Функции Худшее Минимальное Среднее

Discus 13887.4 0.67139 1586.81

Dif powers 0.014025 3.605e-009 0.000351887

Rosenbrock 0.0016252 5.07989e-011 0.000199277

Schwefel 46.7491 0.407388 16.2331

Ackley 0.78797 0.000738799 0.133418

Griwank 0.0396711 8.6616e-006 0.00938918

Katsuura 1.04364e-005 1.18981e-007 2.70058e-006

Rastrigin 22.9374 0.256046 6.48018

Выбранные задачи оптимизации являются задачами минимизации. Эффективность алгоритма оценивалась по трем критериям: худшее (максимальное), лучшее (минимальное) и среднее значение целевой функции, полученные за 51 программный запуск.

В процессе исследования третья стратегия улучшала скорость сближения, но в тоже время часто приводила к стагнации. С другой стороны, при использовании первой стратегии алгоритм сходился к локальным минимумам: глобальный оптимум для сложных задач не был найден. Вторая стратегия в целом конкурентоспособна и в некоторых случаях превосходит другие стратегии. Таким образом, результаты, полученные после проведения экспериментов, показали, что работоспособность алгоритма DE повышается с применением третьей схемы мутации.

References

1. Kennedy J., Eberhart R. Particle Swarm Optimization. Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks, 1995. Vol. IV. P. 1942-1948.

2. Schmitt L. M. Theory of Genetic Algorithms II: Models for Genetic Operators over the String-Tensor Representation of Populations and Convergence to Global Optima for Arbitrary Fitness Function under Scaling.

Theoretical Computer Science, 2004. Vol. 310, No. 1. P. 181-231.

3. Storn R., Price K. Differential evolution - a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces. Journal of Global Optimization, 1997. Vol. 11, No. 4. P. 341- 359.

4. Das S., Mullick S.S., Suganthan P.N. Recent Advances in Differential Evolution - an Updated Survey. Swarm and Evolutionary Computation, 2016. Vol. 27. P. 1-30.

5. Liang J. J., Qu B. Y., Suganthan P. N., Hernandez-Diaz A. G. Problem Definitions and Evaluation Criteria for the CEC 2013 Special Session on Real-Parameter Optimization. Technical Report, Nanyang Technological University, Singapore, 2012.

© EpoxuH fl. A., 2018