Исследование эффекта двойной перестройки нестационарной продольной волны в стержне прямоугольного сечения Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ISSN 222Б-3780

УДК 539.3

Б01: 10.15587/2312-8372.2015.41062

егармина л. н. исследование эффекта двойной

перестройки нестационарной продольной волны в стержне прямоугольного сечения

Проанализирован полученный в предыдущих работах новый эффект двойной перестройки нестационарной волны, которая возникает в стержне прямоугольного поперечного сечения во время динамической продольной нагрузки. Показанная картина получена на основе исследования трехмерных динамических уравнений теории упругости и соответствует процессам, которые происходят вблизи фронта нестационарной волны.

Илпчевые слова: асимптотико-групповой, динамическая нагрузка, фронт волны, квазифронт, нестационарная волна.

1. введение

Анализ волновых процессов и физических закономерностей колебательного движения упругих конструкций имеет большое теоретическое и практическое значение, благодаря чему эти задачи достигли большого развития [1-4].

Трехмерные динамические уравнения теории упругости наиболее полно описывают напряженно-деформированное состояние тел во время приложения к ним динамических нагрузок разного типа. Однако получать решения таких уравнений, как правило, удается только после наложения на исследуемые процессы предварительных допущений или условий, или же после дополнительных исследований, уточняющих и тем самым упрощающих исходную математическую постановку.

В работах [5, 6] динамические уравнения теории упругости подвергались алгоритмизированному способу исследований (метод асимптотико-группового анализа) для получения уточненных уравнений стержней. Полученные уравнения хорошо согласуются с основным принципиальным условием — сохранить трёхмерность напряженно-деформированного состояния конструкции. Благодаря этому были получены новые интересные результаты. В частности, эффект двойной перестройки нестационарной продольной волны возникающий вблизи ее фронта при динамическом нагружении стержня.

В отличие от указанных уточненных уравнений, решения известных моделей динамики недостаточно точно описывают подобные нестационарные волны. Они либо задают неправильные скорости распространения фронтов волн, либо описывают бесконечную скорость распространения возмущения [1, 2, 7].

2. Анализ литературных данных и постановка проблемы

Метод асимптотико-группового анализа, используемый в работе [8] позволил построить уточненную математическую модель обобщенного плоского напряженного состояния пластины.

Комбинация двух взаимоперпендикулярных таких состояний была использована в работе [5] для полу-

чения известных динамических уравнений продольной деформации стержня. При этом метод асимптотико-группового анализа, позволил отказаться от каких-либо предварительных догадок и гипотез, заранее упрощающих исследование.

В работах [8-10] данный метод использовался для построения уточненных динамических уравнений обобщенного плоского напряженного состояния пластин, учитывающих поперечные колебания. Исследования показали, что в динамических задачах существенную роль могут играть некоторые трехмерные факторы, которые не учитываются классическими уравнениями [1, 2, 7], в частности, поперечные колебания, возникающие при движении продольной волны.

Здесь проанализирован полученный в [5, 6] новый эффект двойной перестройки возмущения в прифронтовой зоне нестационарной продольной волны в стержне.

3. объект, цель и задачи исследования

Объект исследования — уточненные динамические уравнения продольной деформации стержня для случая прямоугольного поперечного сечения конструкции.

Целью работы является анализ прифронтовой зоны нестационарной продольной волны, которая возникает во время динамического нагружения полубесконечного стержня прямоугольного поперечного сечения.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Получить графическую картину распространения нестационарной волны в стержне.

2. Выполнить подробный анализ полученной картины прифронтовой зоны.

4. математическая модель продольной деформации стержня прямоугольного сечения

В работе [6] подробно описана процедура получения уточненных динамических уравнений продольной деформации стержня (1).

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 2/5(22], 2015, © Егармина Л. Н.

ISSN 222Б-3780

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

d2u Эх2

+ c

dV dW Эх ЭХ

du 1

V + c^- + cW + -Эх 8

d2u

d2V *=

(1)

Величина Ь2 равна отношению:

Ö2

b2 -—, a2 -

р(1 -1

" , dp =

£ (1 -v)

p(1+v)(1 - 2v)'

(4)

du 1 d2W du

W + c^- + cV + P + cV + cW.

Эх 8 dt2 ЭХ

Применяя метод асимптотико-групового анализа к данной системе, в работе [6] также были получены классические динамические уравнения продольной деформации стержней в безразмерной форме:

„ Э2и Э2и „ Эи

*эХ2-atu"=P=b2ш-

(2)

Величина ар, как было указано ранее — это скорость распространения продольных волн в трехмерной упругой среде. Величина а2 равна скорости распространения двумерных продольных волн в пластине в рамках обобщенного плоского напряженного состояния [8]. Таким образом, величина Ь2 — это безразмерная скорость распространения продольных волн в пластине.

Поиск решения уравнений (3), как и в работе [6], выполняется с помощью процедуры последовательных приближений. Для этого представим искомые функции в виде рядов:

ь2 =

(1 + v)(1 - 2v) a2

1-v

2 E 2 =_ 2 =

О - d1 - - dp —

p p

E (1 -v)

p(1 + v)(1 - 2v)

«-Ёu, W-¿Wi, P-XP.

(5)

Здесь величина ар — это скорость распространения продольных волн в трехмерной упругой среде. Величина а! — это скорость распространения продольных волн в стержне по классической теории стержней. Отсюда делаем вывод, что величина Ь — это безразмерная скорость распространения данных волн, отнесенная к скорости ар.

Можем сделать вывод, что полученные уточненные уравнения описывают распространение фронта волны с «трехмерной» скоростью; при этом в качестве частного упрощенного случая, они содержат известные одномерные динамические уравнения. Также уравнения учитывают поперечные колебания стержня во время внезапного приложения к нему продольной нагрузки.

Рассмотрим случай, когда Й2фН3, что соответствует прямоугольному поперечному сечению стержня. Значение дроби hз может быть малым или большим.

Считая, что значение этой дроби мало, отбросим во втором уравнении (1) слагаемое с квадратом дроби, получая:

Э2и

ЭХ2

+c

dV dW

Эх Эх

Э2и

Эи

- — - V + c эх + cW - 0;

. Эи

1 - 2v

P - b22 — +vb22W; b22 — 2 Эх 2 2

(1 -v)2

Члены этих рядов удовлетворяют рекуррентной системе уравнений:

d2ui

b22 ЭХ2 + vb22 ЭХ

dWi d2ui

- °;

dt2

„ dui 1 d2W ^ +vb2 ¥+^ - °;

du'

P - b?2 эХ + vb22Wi-1, ((-1,2,...).

(6)

Решение данных уравнений разыскиваем в виде:

щ -Xui,jX- j (b2t- x)

j-1

P- -JjPi.jX--j (t- x)

j-1

W- W-,jXi-j (t- x j-1

Y+i+j-1

Y+ i+j-2

Л+ i + j

(7)

du 1 d2W du

W + c^- + cV+ °; P+ cV + cW.

dx 8 dt2 dx

Выражая из второго уравнения величину V и подставляя в остальные уравнения, имеем:

гд2и гШ Ъ2и г?и 1Э^

Ь2+^2 ¡.г=Ь2^+^2^+1 = (3)

Подставляя (7) в (6) получаем рекуррентные уравнения для поиска коэффициентов сумм (8): 1

^ = 2Ь2 ((-¿)(у + I + у -1) ^ ( - ' +1)(^-1 + +УЬ2 (((-}Щ_1 - (у +1 + ] -1))-У)],

((= 2,3,...; ] = 1,...,г-1);

8

Wi,j =-ТГг-:—^-:-—л №-1,-1 +

Ь22 (у + г + ]) + г + ] -1) 2

+ у^2 [(г - у +1) иг,у-1 - (у + г + ] -1));]}, (г = 1,2,...; у = 1,...,г);

2

p

О 13 ;

TECHNOLOGY AUDiT AND PRODUCTiON RESERVES — № 2/5(22], 2015

с

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ISSN 2226-3780

Ру = Ь| [((- ] + 1)-1 -

-(У + г + ] -1) щ, j ] + \ЬЩ _1, j-1,

(( = 1,2,...; ] = 1,...,г). (8)

Из этих зависимостей можно получить все коэффициенты, кроме щ,г. Учитывая граничные условия для случая внезапно приложенной и остающейся в дальнейшем постоянной нагрузки F1 = 1, Fi = 0 ((> 1), у = 0, а также с учетом, что Рг,г = Fi (( = 1,2,...), получим формулу для недостающих коэффициентов с учетом выражений для Ру из (8):

1

Ш^Ш Р(х) первый квазифронт МН Р(х) второй квазифронт Классическая теория

30 35 АО 45 Ъ^т

Рис. 3. Распространения волны в стержне Р (х) для значений Л2/А3 = 0,2; ( = 50

Р(х)

Р(х) первый квазифронт Р(х) второй квазифронт Классическая теория

Y + 2i -1

Fi

b92(Y+2i-1)

+vW -

(9)

В итоге автор статьи имеет все необходимые расчетные формулы для произведения вычислений. Эти вычисления необходимо выполнять для фиксированного значения т с изменением х в диапазоне 0 < х < Ь2т с некоторым небольшим шагом. Полученные результаты используются для построения графиков волны Р (х) для заданного значения времени. Картина распространения волны отслеживается посредством изменения безразмерного времени т.

На рис. 1-4 изображены графики распространения волны Р (х) для случая внезапно приложенной постоянной продольной нагрузки, равной единице при разных значениях величины безразмерного времени т.

30 к к юЬ\1 Ь^Т I*

Рис. 4. Распространения волны в стержне Р (х) для значений ¿2/^3 = 0,2; t = 70

5. Обсуждение результатов исследования продольной деформации стержня прямоугольного сечения

¡4г 12 Ь2Т

Рис. 1. Распространение волны в стержне Р (х) для значений ¿г/^3 = 0,2; t = 13

Рис. 2. Распространения волны в стержне Р (х) для значений = 0,2; t = 30

На графиках (рис. 1-4) отчетливо видно, что волна, появляющаяся в стержне после приложения нагрузки, имеет сложный характер. Вблизи первого фронта х = т, распространяющегося со скоростью трехмерных продольных волн, имеем быстроизменяющийся процесс, быстро затухающий с удалением от фронта.

В точке х = Ь2т образуется квазифронт перехода от двумерного напряженно-деформированного состояния в трехмерное. Данная зона характеризуется значительно более медленным осциллирующим процессом из которого далее, при помощи еще одного квазифронта, происходит окончательный переход от двумерного состояния в одномерное.

Это одномерное состояние представляет решение классических динамических уравнений продольной нагрузки стержня. Автор статьи показывает, что в действительности классическое решение описывает не фронт нестационарной волны, а очередной квазифронт х = Ьт, с помощью которого происходит последняя перестройка.

Аналогичные результаты были получены для пластин в работе [8]. Они интересны сами по себе, так как иллюстрируют двухступенчатый процесс перехода от трехмерного напряженного состояния к одномерному и показывают роль самоуравновешенных колебаний при образовании квазифронтов [3].

I 10

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 2/5(22], 2015

ISSN 2226-3780 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

6. Выводы

Таким образом, получена графическая картина распространения нестационарной волны в стержне прямоугольного сечения. Она позволила исследовать прифронтовую зону и выявить новые трехмерные эффекты вблизи нее.

Проанализировано сложное явление двойной перестройки волнового процесса в стержне прямоугольного поперечного сечения, в процессе которого последовательно чередуются трехмерные, двумерные и одномерные явления. Общеизвестные одномерные результаты оказываются медленно изменяющейся асимптотикой для сложного пространственного процесса.

Литература

1. Бабаков, И. М. Теория колебаний [Текст] / И. М. Бабаков. — М.: Наука, 1968. — 559 с.

2. Векуа, И. Н. К вопросу распространения упругих волн в бесконечном слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями [Текст] / И. Н. Векуа // Тр. Тбилисск. Гео-физич. Ин-та. — 1937. — Т. 2. — С. 23-50.

3. Слепян, Л. И. Нестационарные упругие волны [Текст] / Л. И. Слепян. — Л.: Судостроение, 1972. — 376 с.

4. Шамровський, О. Д. Дискретна модель поширення нестационарно! подовжньо! хвилi в пружному стержш [Текст] / О. Д. Шамровський, А. I. Веселов, Ю. О. Лимаренко // Новi матерiали та технологи в металурги та машинобуду-ванш. — 2008. — № 1. — С. 98-102.

5. Шамровский, А. Д. Вывод динамических уравнений продольной деформации стержня при помощи двойного упрощения уравнений теории упругости [Текст] / А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина // Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудуванш. — 2009. — № 2. — С. 111-115.

6. Шамровский, А. Д. Моделирование распространения продольной волны в стержне с помощью уточненных динамических уравнений [Текст] / А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина // Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудуван-ш. — 2010. — № 2. — С. 139-145.

7. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле [Текст] / С. П. Тимошенко. — М.: Наука, 1967. — 444 с.

8. Шамровский, А. Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости [Текст] / А. Д. Шамровский. — Запорожье: ЗГИА, 1997. — 169 с.

9. Скрыпник, И. А. Двумерное моделирование трехмерных продольных волн в плоском слое [Текст] / И. А. Скрыпник, А. Д. Шамровский // Математическое моделирование физико-математических полей и интенсификация промышленного производства. — Запорожье, 1995. — С. 43-50.

10. Скрыпник, И. А. Графическое моделирование волновых процессов в пластинах и оболочках [Текст]: тез. докл. Междун. практ. конф. / И. А. Скрыпник, А. Д. Шамровский // Современные проблемы геометрического моделирования. — Мелитополь, 1995. — 164 с.

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ЕФЕКТУ ПОДВ1ЙНО1 ПЕРЕБУДОВИ НЕСТАЦ1ОНАРНО1 ПОВЗДОВЖНЬО1 ХВИЛ1 У СТЕРЖН1 ПРЯМОКУТНОГО ПЕРЕР13У

Проанал1зовано отриманий у попередшх роботах новий ефект подвшно! перебудови нестацюнарно! хвил1, яка виникае у стержш прямокутного поперечного перер1зу тд час динам1ч-ного повздовжнього навантаження. Показана картина отримана на основ! дослщження тривим1рних динам1чних р1внянь теорй пружност 1 вщповщае процесам, що вщбуваеться поблизу фронту нестацюнарно! хвиль

Ключовi слова: асимптотико-груповий, динам1чне навантаження, фронт хвил1, квазифронт, нестацюнарна хвиля.

Егармина Лариса Николаевна, кандидат технических наук, доцент, и. о. заведующего кафедрой высшей и прикладной математики, Запорожская государственная инженерная академия, Украина, e-mail: l.yegarmina@gmail.com.

€гармта Лариса Миколагвна, кандидат техтчних наук, доцент, в. о. завГдувача кафедри вищог та прикладног математики, Запорiзька державна тженерна академiя, Украгна.

Yegarmina Larisa, Zaporozhye State Engineering Academy, Ukraine, e-mail: l.yegarmina@gmail.com

УДК 66.023.2 Б01: 10.15587/2312-8372.2015.41070

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ Х1М1ЧНИХ ПРОЦЕС1В В М1КРОРЕАКТОРАХ

В даншроботi проведено огляд лтературних даних по застосуванню мжроструктурнихреак-торiв для оптимiзацiг хiмiко-технологiчних процеав та реакцш, детальний опис яких можливий з використанням сучаснихметодiв та засобiв моделювання. На основi встановлених технжо-еко-номiчних переваг мжросистемних приладiв доведено доцыьтсть гх впровадження у виробництво.

Ключов1 слова: мжрореактор, структурований реактор, мжроканал, ктетика, моделювання.

Miрoшниченкo Ю. A., Безшсик Ю. О., Бoндаренкo О. C.

1. Вступ

Зрушення техшчного прогресу в область мжротехно-логш являеться прюритетним напрямком дослщження для багатьох галузей науки й виробництва (рис. 1) [1]. В наш час застосування мжроструктурних реактор1в заметь традицшних апарапв являеться новим альтер-нативним пщходом, який штенсивно розвиваеться в багатьох наукових центрах США, Канади, Шдерланд1в,

Шмеччини, Швецп [2]. Тут було проведено дослщження процеав 1 реакцш у мжрореакторах та створено довщ-ники з детальним описом методик виконання експе-рименпв. При цьому науковий та практичний штерес полягае в можливост оптимально! оргашзацп р1зних процеив х1м1чно1 технологи.

Незважаючи на м1шатюршсть м1крореактор1в, 1х об'ем залишаеться занадто великим для того, щоб ре-човини взаемод1яли м1ж собою на молекулярному р1вш.

TECHNOLOGY AUDiT AND PRODUCTiON RESERVES — № 2/5(22), 2015, © Miроmиичеико Ю. А., Безиосик Ю. О.,

Боидареико О. С.