Исследование деформации стержня большой гибкости при осевом нагружении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

DOI: 10.17213/0321-2653-2016-3-71-76

ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЯ БОЛЬШОЙ ГИБКОСТИ ПРИ ОСЕВОМ НАГРУЖЕНИИ

RESEARCH OF DEFORMATION OF THE ROD OF BIG FLEXIBILITY AT AXIAL LOADING

© 2016 г. А.С. Линковала, Б.А. Шемшура, С.А. Кузнецов

Личковаха Андрей Сергеевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Строительная механика», Ростовский государственный университет путей сообщения, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: [email protected]

Шемшура Борис Андреевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Строительная механика», Ростовский государственный университет путей сообщения, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: [email protected]

Кузнецов Сергей Анатольевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Общеинженерные дисциплины», ЮжноРоссийский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: sergey-kuznecov-57@mail. ru

Lichcovaha Andrey Sergeevich - Candidate of Technical Sciences, associate professor, department «Construction Mechanics», Rostov State Transport University , Rostov-on-Don, Russia. E-mail: [email protected]

Shemshura Boris Andreevich - Candidate of Technical Sciences, associate professor, department «Construction Me-chanics», Rostov State Transport University , Rostov-on-Don, Russia. E-mail: [email protected]

Kuznetsov Sergey Anatolievich - Doctor of Technical Sciences, Professor, department «All-engineering discipline», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]

Проблема формализации упругой линии тонкой стальной полосы большой гибкости возникла в процессе исследования упругих элементов с нелинейной характеристикой для применения в различного рода демпфирующих устройствах подвесок транспортных средств. Такие упругие стержни испытывают большие перемещения при работе материала в пределах упругости, в частности при осевом на-гружении в закритической области, когда осевая нагрузка превышает эйлерову силу. Используемый для анализа метод эллиптических параметров показал не только высокую корреляцию с экспериментальными данными, но и предпочтительность в процессе формализации деформации упругой линии.

Ключевые слова: упругая линия; тонкая полоса; большая гибкость; формализация; осевое нагружение.

The problem of formalization of the elastic line of thin steel strip greater flexibility occurred during research elastic elements with non-linear characteristics for use in various types of damping devices suspension vehicles. Such rods have great elastic displacement when operating within the elastic material, in particular when the axial loading in the supercritical region where the axial load exceeds the Euler force. The method of elliptic parameters used for the analysis has shown not only high correlation with experimental data, but also preference in the course offormalization of deformation of the elastic line.

Keywords: elastic line; thin strip; greater flexibility; formalization; axial loading.

Возможности упругих кинематических устройств можно расширить за счет применения упругих элементов с нелинейными характеристиками, в том числе регрессивно-прогрессивного вида [1]. В этом смысле определенный интерес представляют стержни большой гибкости, работающие при осевом сжатии, а именно возможности формализации их упругих характеристик существующими методами [2].

Рассматривается упругий стержень в виде тонкой полоски с поперечным прямоугольным сечением и с различными способами закрепления его концов: шарнир - шарнир (рис. 1 а),

заделка - заделка (рис. 1 б), заделка - шарнир (рис. 1 в). Один конец стержня является неподвижным, а другой может перемещаться по направляющей под действием вертикальной силы G, приложенной к ползуну.

Определение зависимости перемещения точек стержня от осевой нагрузки при различных способах закрепления его концов решается тремя способами: аналитически - методом эллиптических параметров; экспериментально - путем на-гружения тонкой стальной пластины силой тяжести G и с помощью расчетного комплекса ANSYS.

При исследовании методом эллиптических параметров используется методика Е.В. Попова [3, 4] и две правые системы координат с общим началом в точке О: неподвижная система ху и подвижная х'у'. Ось х' ориентирована по направлению силы, приложенной в начальной точке О изогнутого стержня, и угол между осями х' и х обозначен 5.

На рис. 1 показаны реакции связей стержня и приведена соответствующая данной задаче форма упругой линии. На этой линии указаны расположение точек сжатия (т.с.) и точек перегиба (т.п.), положение которых зависит от величины силы G. Величина и направление действия внутренней силы F на стержень в концевой точке «1» на схемах шарнир - шарнир (рис. 1 а) и заделка - заделка (рис. 1 б) совпадают с величиной и направлением силы G, поэтому совпадает и направление осей х и х' (5 = 0). На схеме заделка - шарнир (рис. 1 в) величина и направление действия силы F на стержень в концевой точке «1» зависят от приложенной к ползуну силы G и угла 5 (5 ф 0).

Основной переменной вдоль упругой линии является у - значение эллиптической амплитуды в произвольной точке упругой линии. Значение этой переменной от начальной точки «О» до концевой точки «1» согласно методике Е.В. Попова должно непрерывно возрастать, поэтому в характерных точках упругой линии (точках сжатия и точках перегиба) эти значения

будут равны: в точках сжатия утс = п% , в точках перегиба -

%

у т.п.=(2п

где п = 0, 1, 2, 3,...

Е.В. Поповым определена зависимость между переменной у, длиной дуги 5 и действующей силой F

ß - = F (у) - F (у 0),

которая при 5 = I принимает вид

Р = F (у1) - F (у 0).

Значения эллиптических интегралов F(у) приводятся в сборниках математических

таблиц [5] в зависимости от эллиптических мо-

%

дулей к. При у = 0 F(у) = 0, а при у = — получается значение полного эллиптического интеграла Лежандра первого рода, зависящего только от к и обозначаемого:

F (k) = J

dy

I 2 2

0дД-k sin у

л

Е.П. Поповым определено также уравнение упругой линии в осях, ориентированных по направлению силы Е (рис. 1). Формулы для определения координат концевой точки «1» имеют вид:

Ä I

2

- [ E (Vl) - E (у 0)]-1

2

2

cos 8+—k cos y0sin8; (1)

—[E(Yi) - E(y0)]-1

2

sin 8+— k cosy0 cosS,

где значение Е(у) является эллиптическим интегралом Лежандра второго рода:

E (у) = j\J 1-k 2 sin2 yd у.

Значения эллиптических интегралов Е(у) приводятся так же как и Е(у) в сборниках математических таблиц [3 - 5] в зависимости от

эллиптических модулей к. При у = 0 Е(у) = 0, %

а при у = — получается значение полного эллиптического интеграла Лежандра второго рода, зависящего только от к и обозначаемого

E (k) = jyj 1-k 2 sin2 у d у.

Аналитические значения полных эллиптических интегралов первого и второго рода можно определить согласно исследованиям [6 - 8]:

1

F (k) =

2(1-tg2a/2)

Т7П\ % 2 a

E (k) =—cos — ,

2 2

(2)

(3)

sin = k sin Уо , sin = k sin у1:

— = F (У1) - F (у o), — = ¡x\-•

Здесь с,0, - углы наклона касательной к оси х' в начальной и концевой точках; Н = ЕЗ - изгиб-ная жёсткость стержня.

Из системы формул (4) определяется порядок решения задачи для гибкого стержня, нагруженного по концам сосредоточенными силами и моментами.

Формулы для вычисления искомых величин напряжённо-деформированного состояния гибкого стержня в рассматриваемой задаче по методике Е.В. Попова [3 - 5] будут зависеть от способов закрепления концов стержня.

Для схемы шарнир - шарнир (рис. 1 а) с учётом того, что в точке «О» и точке «1» изгибающий момент равен нулю, а между ними находится точка сжатия, эллиптическая амплитуда

%

в характерных точках равна у о = —, у т с = %, у1=3% и расчётные формулы имеют следую-

щии вид:

— = F(У1) - F(yo) = F(—) - F(-) = 2F(k).

2

2

Согласно равенству (1) и граничному условию 8 = 0 формула для вычисления перемещения концевой точки «1» имеет вид:

Х 2

у = -№1) - Е (у о )]-1 =

2 3% % 4 = -[Е (—) - Е (%)]-1 = 4 Е (к)-1. Р 2 2 Р

Значение коэффициента Р определяется в зависимости от величины силы G (в данном случае Е = G) из формул (4). Это позволяет из равенства (2) вычислить значение полного эллиптического интеграла первого рода Е(к) и определить модулярный угол

где а = ш^т к - модулярный угол эллиптического интеграла.

Формулы, связывающие эллиптические параметры с геометрическими и силовыми характеристиками гибкого стержня [3], применительно к начальной и концевой точкам имеют вид:

a - 2arctg 1 -

2F (k)

и эллиптический модуль k = sin a .

Далее с учетом (3) по формуле (1) определяется координата точки «1» и искомое перемещение Ах этой точки от заданной нагрузки

Ах = I - х1.

(5)

Для схемы заделка - заделка (рис. 1 б) кривизна упругой линии в точках «О» и «1» рав-

х

I

71

на нулю. Эти точки являются точками перегиба, в которых Со = 0, С =180°. Из равенства (4) следует, что sin у o = 0 и sin у, = 0 . Принимаем у o = 0 . Так как между точками «О» и «1» находятся две точки перегиба и одна точка сжатия и при переходе к каждой из них эллиптическая

л

амплитуда увеличивается на —, то в концевой

точке «1» yj = 2л . Расчётные формулы имеют следующий вид:

Р = F(yj)-F(yo) = F(2л)-F(0) = 4F(k). (6)

G, 5

4

3

2

1

0

H

^ 3

t-2F( X)

.....

^ 1 п- -— .1. — «ч — •» — 2 / 1 „п

Г ...... .....

1111Й1,„ 1

... .......... i о

10

20

30

40 Дх, см

2 8 = - [ Е (2л) - Е (0)]-1 = - E (k )-1.

(7)

3

ß = F (^ л) - F (0) = 3F (k ).

(8)

Зная F(к), по формулам (6), (7) определяем модулярный угол а и соответствующее значение эллиптического интеграла второго рода Е (к).

Рис. 3. Экспериментальная установка

Равенство (1) для вычисления перемещения концевой точки «1» в данном случае принимает вид

-1 = (-3E (k) - 1)cos 5+—k - sin 5

2

2

l ß

ß

3л

Рис. 2. Расчетные зависимости при закреплении концов: 1 - шарнир - шарнир; 2 - шарнир - заделка; 3 - заделка - заделка

Как и в схеме шарнир - шарнир с учётом равенств (1), (2), (3) и граничного условия 5 = 0 определяется координата х1

х 2

^ = "[Е(у1) - Е (у о )]-1 =

здесь E(yi) - E(у0) = E(—) - E(0) = 3E(к).

По заданным значениям (F, l, H) вычисляется силовой коэффициент р, а с учетом формул (8), (2), (3) определяется модулярный угол а и соответствующее значение Е(к).

Угол 5 определяется согласно условию: yi = 0, т.е.

У = -(23E(к)-1)sin 5+2к cos 5 = 0 , l р р

где yi - координата концевой точки «1»,

2к

tg5 =

6E (k) -ß

Далее согласно (5) перемещение Ах концевой точки «1».

Для схемы заделка - шарнир (рис. 1 в) кривизна упругой линии в точке «О» равна нулю. Изгибающий момент в точке «1» равен нулю, направление силы F (угол 5) неизвестно. Так как между точками «О» и «1» находятся одна точка перегиба и одна точка сжатия, то принимаем уо = 0 и у1 = 3 % . Значение силового коэффициента Р в этом случае по (4) равно:

При данных условиях закрепления необходимо учитывать условие G = Fcos 5 .

На рис. 2 приведены графики теоретических зависимостей перемещения Ах концевой точки «1» при различных закреплениях концов стержня от величины силы G для стержня с длиной l = 0,47 м и размерами поперечного сечения b = 0,56 мм, h = 5,17 мм.

На рис. 2 также представлена теоретическая зависимость 2 - перемещения концевой точки «1» от силы F при условиях закрепления шарнир - заделка F(Ax). Данная зависимость получена исходя из условия G = F cos 5 и соответствует приложению нагрузки по направлению

F. Практически этот прогрессивный участок означает увеличение реакции стойки на ползун и силы трения, т. е. повышению зависимости данной бифуркации от условий трения.

На рис. 3 показана экспериментальная установка, позволяющая обеспечить различные условия закрепления концевых точек «О» и «1» гибкого стержня с описанными выше геометрическими размерами. С помощью установки были получены диаграммы перемещений точки «1» в зависимости от величины силы «О» при различных закреплениях концов стержня (рис. 4).

Анализ теоретических результатов (рис. 2) и экспериментальных исследований (рис. 4) позволяет сделать вывод о существенной сходимости (порядка 95 %) полученных данных в случаях закрепления заделка - заделка и шарнир -заделка, и порядка 18 % расходимости результатов в случае закрепления шарнир - шарнир, что можно объяснить влиянием веса и большой гибкостью самой пластины. Поскольку критическая сила для такой длинной пластины очень мала -около 0,5 Н, вес пластины имеет существенное значение, прибавляясь к нагрузке О.

О, н 5

' 3

2

/

10

20

30

40 Ах, см

ANSYS [10], подтверждают правильность этих выводов.

Совокупность результатов, полученных с помощью расчетного комплекса ANSYS для стержня с данными геометрическими параметрами в зависимости от различных условий закрепления концевых точек «О» и «1», приведены на рис. 5.

Наибольшая корреляция получена для закрепления концов стержня заделка - заделка. При закреплении шарнир - шарнир результаты расчета методом эллиптических параметров и данные расчетного комплекса ANSYS практически идентичны, однако при закреплении шарнир -заделка расчетный комплекс ANSYS просто не дает результатов при Ах > 18 см, т.е. нагрузке более 1,56 Н.

О, н

5

^ 3

■ 2 1

_ _0_ _ _ -о

10

20

30

40 Ах, см

Рис. 4. Экспериментальные зависимости:

1 - шарнир - шарнир; 2 - шарнир - заделка;

3 - заделка - заделка

Эксперимент вносит ясность и в случай закрепления шарнир - заделка, подтверждая ее регрессивный характер после значения перемещения Ах = 20, когда падение характеристики продолжается даже при снятии части вертикальной нагрузки. Этот вариант потери устойчивости можно характеризовать как переход от безразличного равновесия к неустойчивому, т. е. обрушению. Во всех остальных случаях упругая характеристика имеет выраженный прогрессивный характер, соответствующий устойчивому равновесию.

Результаты компьютерного анализа, полученные с помощью расчетного комплекса

Рис. 5. Расчетные зависимости комплекса А^УБ: 1 - шарнир - шарнир; 2 - шарнир - заделка;

3 - заделка - заделка

Это позволяет сделать вывод не только о пригодности применения для данного случая расчетов метода эллиптических параметров, но и его предпочтительности, тем более что для вычисления эллиптических интегралов применяются аналитические выражения, позволяющие достичь высокой степени формализации базы знаний для перспективной САПР.

Литература

Цейтлин Я.М. Упругие кинематические устройства. М.: Машиностроение, 1972. 296 с.

Kollbrunner Curt F., Meister Martin. Knicken, Biegedrillknicken, Kippen: Theorie und Berechnung von Knickstäben Knickvorschriften. Curt F. Kollbrunner, - Berlin: Springer-Verlag, 1961. 320 s.

Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 296 с.

0

2

4. Попов Е.П. Расчет больших перемещений при продольно-поперечном изгибе // Труды моск. механико-маши-ностр. ин-та им. Н.Э. Баумана, 1938. Вып. 41 - 42/2. С. 60 - 80.

5. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней Л.; М.: Наука. Гостехиздат, 1948. 170 с.

6. Анфилофьев А.В., Замятин В.М. Геометрическое представление эллиптических интегралов // Изв. Томского политехи. ун-та [Известия ТПУ]. 2005. Т. 308, № 5. С. 11 - 14.

7. Анфилофьев А.В. Стрела прогиба и сближение концов стержня в продольном изгибе // Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т. 42, № 2. С. 188 - 193.

8. Mises R. Ausbiegung eines auf Knicken beanspruchten Stabes // Z. angew Math. Mech. 1924. Bd 4. S. 435 - 436.

9. Пономарев С.Д., Бидерман В.Л., Лихарев К.К., Маку-шин В.М., Малинин Н.Н., Феодосьев В.И. Расчеты на прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1956. Т. 1. 886 с.

10. Чигарев А.В. ANSYS для инженеров: Справочное пособие. М.: Машиностроение - 1, 2004. 512 с.

References

1. Tseitlin Ya.M. Uprugie kinematicheskie ustroistva [Elastic kinematic device]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1972, 296 p.

2. Kollbrunner Curt F. Knicken, Biegedrillknicken, Kippen: Theorie und Berechnung von Knickstäben Knickvorschriften, Curt F. Kollbrunner, Martin Meister - Berlin: Springer-Verlag, 1961. 320 p.

3. Popov E.P. Teoriya i raschet gibkikh uprugikh sterzhnei [Theory and Design of flexible elastic rods]. Moscow, Nauka. Gl. red. Fiz.-mat. Lit., 1986, 296 p.

4. Popov E.P. Raschet bol'shikh peremeshchenii pri prodol'no-poperechnom izgibe [Calculation of big movements at a longitudinally cross bend]. Trudy mosk. mekhaniko-mashinostr. in-ta im. N.E. Baumana [Works Mekhaniko-mashinostr. In-that of N.E. Bauman]. Moscow, 1938, vyp. 41 - 42/2, pp. 60-80.

5. Popov E.P. Nelineinye zadachi statiki tonkikh sterzhnei [Nonlinear problems of statics of thin rods]. Leningrad-Moscow, Nauka. Gostekhizdat, 1948, 170 p.

6. Anfilofev A.V., Zamyatin V.M. Geometricheskoe predstavlenie ellipticheskikh integralov [Geometric representation of elliptic integrals]. Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo universiteta, 2005, vol. 308, no. 5, pp. 11-14. [In Russ.]

7. Anfilofev A.V. Strela progiba i sblizhenie kontsov sterzhnya v prodol'nom izgibe [Deflection and convergence in the ends of the rod buckling]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika, 2001, vol. 42, no. 2, pp. 188-193. [In Russ.]

8. Mises R. Ausbiegung eines auf Knicken beanspruchten Stabes // Z. angew Math. Mech. 1924. Bd 4, pp. 435-436.

9. Ponomarev S.D., Biderman V.L., Likharev K.K., Makushin V.M., Malinin N.N., Feodos'ev V.I. Raschety na prochnost' v mashinostroenii [Calculations of strength in mechanical engineering]. Moscow, Mashgiz Publ., vol. 1, 1956, 886 p.

10. Chigarev A.V. ANSYS dlya inzhenerov [ANSYS for engineers]. Moscow, Mashinostroenie - 1, 2004, 512 p.

Поступила в редакцию 31 марта 2016 г.