CC BY
138
'АДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
Сок 10.24411/2409-5419-2018-10268
ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОМ ФУНКЦИИ НОВОГО КЛАССА ШИРОКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ
ПАВЛИКОВ Сергей Николаевич1
УБАНКИН Евгений Иванович2
Сведения об авторах:
1к.т.н., профессор, профессор кафедры радиоэлектроники и радиосвязи Морского государственного университета имени адмирала Г.И. Невельского, г. Владивосток, Россия, [email protected]
2к.т.н., доцент, доцент кафедры радиоэлектроники и радиосвязи Морского государственного университета имени адмирала Г.И. Невельского, г. Владивосток, Россия, [email protected]
АННОТАЦИЯ
Объект исследования - широкополосные сигналы в системах радиосвязи. Предмет -исследование корреляционных свойств нового класса широкополосных сигналов. Цель - обосновать выбор сигнала и метода его обработки для обеспечения максимума отклика согласованного фильтра при больших значениях относительной радиальной скорости между передатчиком и приёмником и значительном превышении уровня шума над уровнем сигнала на входе приемника. В работе проанализированы автокорреляционные и взаимные корреляционные функции определяющие область использования сигналов из того или иного ансамбля. В частотно-временной плоскости временная и частотная корреляционные функции образуют поверхность называемую функцией неопределенности, которая является мерой способности телекоммуникационной системы различать принимаемые сигналы по задержке и относительной радиальной скорости. Функция неопределенности, введенная Вудвордом и нашедшая широкое применение при анализе сигналов, по классификации преобразований времени соответствует параболическому типу. В работе показано, что в соответствии моделями аддитивных и мультипликативных преобразований способность разрешения по скорости определяется шириной полосой Меллина сигнала, изменение которой связано с введением задержки начала мультипликативного сигнала относительно начала его отсчета. Для выявления зависимости корреляционных свойств мультипликативного сигнала от сдвига относительно начала сигнала проведено численное моделирование в среде Ма1:ИСаС. Анализ полученных результатов показал увеличение помехоустойчивости системы связи за счет устранения потерь связанных с доплеровской дисперсией и уменьшение элемента разрешения позволяющего, в свою очередь, расширить объем ансамбля ортогональных сигналов и тем самым увеличить количество одновременно работающих линий связи. В результат численного моделирования получен максимальный контрастный отклик согласованного фильтра для относительной радиальной скорости 106 м/сек и аддитивной помехи в виде шума при отношении сигнал помеха на входе приемника в диапазоне 0,25-0,15.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: широкополосный сигнал; помехоустойчивость; дисперсия; корреляция; преобразование; обработка; скорость; радиальная функция; мультипликативная; неопределенности.
Для цитирования: Павликов С.Н., Убанкин Е.И. Исследование автокорреляционной функции нового класса широкополосных сигналов // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2019. Т. 11. № 3. С. 46-59. Сок 10.24411/2409-5419-2018-10268
3-2019, H&ES RESEARC-RF TECHNOLOGY AND COMMUNICATION
Уо!
Nc
Введение
При выборе ортогональных функций в качестве математических моделей ортогональных сигналов и кодов при построении телекоммуникационных систем необходимо учитывать не только степенью сложности их реализации, но и уровень влияния различных видов аддитивных и мультипликативных помех и преобразований сигналов в канале распространения [1]. Увеличение вероятностей ошибок при приеме (проигрыша в отношении сигнал помеха (ОСП)) связано не только с видом и уровнем помех, но и с выбором ансамбля сигналов.
Методика исследования
Автокорреляционные и взаимные корреляционные свойства сигналов, выражающие степень их зависимости при различных временных сдвигах, определяют условия и ограничения использования того или иного ансамбля сигналов.
Сигналы могут характеризоваться корреляционной функцией в частотной области (при заданном частотном сдвиге) [1-2].
В частотно-временной плоскости временная и частотная корреляционные функции образуют поверхность называемую функцией неопределенности (ФН) [2-3].
Благодаря существованию соотношения между частотно-временным представлением сигнала и ФН, последняя играет важную роль при исследовании сигналов [4].
Сигнал характеризуется рядом характеристик, таких как длительность, несущая частота, количество волн под огибающей, мощность, форма, вид ФН. Функция неопределенности характеризует степень разрешения принимаемых сигналов по задержке и доплеровскому параметру или по ускорению и задержке. Другими словами, ФН является мерой точности различения сигналов по дальности, радиальной скорости и производной радиальной скорости (ускорению) между объектами, а также надежности разрешения по указанным параметрам. Функция неопределенности, введенная Вудвордом [5] и нашедшая широкое применение при анализе сигналов, по классификации преобразований времени соответствует параболическому типу. При связи между подвижными объектами необходимо рассматривать группу линейных преобразований времени, учитывающих как задержку сигнала, так и его доплеровское искажение. В параболической же ФН данная группа О заменяется на двухпараметрическую группу Н с законом композиции элементов, действующих по правилу:
£(ТР Ц) • £(Т 2, Ц) = £(Т ! + Т 2, Ц + Ц), (1)
а ее представление в пространстве спектров Фурье задается соотношением
Из (1) и (2) видно, что Н является декартовым произведением двух коммутативных групп параболического типа, что и обосновывает определение ФН, построенной на этих группах, как параболической. Указанная замена справедлива при выполнении условия узкополосности сигналов, когда дисперсионное произведение много меньше единицы:
V
WT ■—<< 1.
с
При гетеродинном представлении доплеровского эффекта, приведенных в уравнениях (1), (2), т. е. когда допле-ровский эффект аппроксимируется сдвигом частот Фурье, в основу ФН положено обобщение корреляционной функции на случай двух трансляции — одной по времени, другой — по частоте (функция отклика) [4].
Так как в основу параболической функции неопределенности положено гетеродинное представление до-плеровского эффекта, целесообразно рассматривать комплексную огибающую сигнала. Комплексная огибающая сигнала принятого от подвижного объекта с точностью до фазы е-Цт имеет представление у(/ - т) . Спектр Фурье комплексной огибающей равен у+ • е]Ю%, тогда отклик XX т, Ц), измеренный на выходе фильтра, согласованного с принимаемым сигналом, т. е. имеющего коэффициент передачи у * (ю), примет вид
%(t, т, Q) = F- (у (ю + Q) • • у * (ю)} = = (y(t) •y*(-t)} • (t -т),
(3)
где у (0 — импульсная реакция,
* — знак оператора свертки Фурье. Максимум отклика (3) достигается, если фильтр согласован с сигналом, т.е. при Ц = 0, t = т, в этом случае:
|у(т, т,0)| = -1 fly(ю)|2 dю =1 fly(t)|2 dt = E, 2п 2 2
(4)
T (g) -ф (ю) = е>""-ф (ю + П)
(2)
где Е — энергия сигнала.
Под ФН понимается модуль отклика (3) в плоскости частота — время, наблюдаемый на выходе согласованного фильтра.
В реальных устройствах для устранения неопределенности по доплеровскому параметру применяют набор фильтров, каждый из которых настроен на частоты Цп = п ДЦ, где п = 0, ±1, ±2, ±3, ...; ДЦ — разумный частотный интервал, в пределах которого энергетические потери отклика малы. Неопределенность по задержке выбирается за счет инвариантности откликов относительно сдвига. В этом случае по максимуму отклика на выходе одного из фильтров можно судить о значении доплеровского сдвига, а по моменту появления максимального отклика — о задержке.
№ 3-2019
В силу инвариантности относительно сдвига модуля отклика фильтра в плоскости (^ Ц), без потери общности (3) можно переписать:
\%(г, П)| = ^ч{у (ю + П) •у*(ю)}| = = ||у(т + г)-у*(т) • еП% d т|,
а используя замену переменной преобразовать в симметричный вид:
I? («+") •? >-") •а ю
|У(Т+2)-?*(Т-2) • а х
(5)
Заметим, что функция отклика (4) может быть обобщена на случай, когда импульсная характеристика фильтра описывается функцией, отличной от передаваемого сигнала:
ХУ1>У2(г, П) А ) • вП * у2(-)] = = Р-1{у1(ю + П) •у 2(ю)}.
(6)
Объем параболической ФН зависит только от энергии сигнала, его инвариантность при нормировке сигнала по энергии называется «принципом неопределенности».
В ряде работ описаны ФН, вид которых наиболее приспособлен к типу исследуемого сигнала. Так, например, в работе [6] рассмотрена обобщенная ФН сигнала с линейно частотной модуляцией (ЛЧМ), учитывающая рассогласование сигнала как по времени прихода и несущей частоте, так и по скорости качания частоты. Поведение ФН при больших произведениях длительности сигнала на полосу частот является частным случаем асимптотической аппроксимации интегралов вида
Р
I = | g (х) • ехр{> • Ф( x)}dx,
а
где g(x) и Ф(х) — действительные функции;
V — большой положительный параметр.
В работах [7-8] рассмотрен асимптотический метод вычисления ФН ЧМ-сигналов на основании принципа стационарной фазы. Метод стационарной фазы, основан на том, что при интегрировании вклады в величину интеграла быстроосцилирующей функции ехр(/'фФ(х)) взаимокомпенсируются, за исключением концевых или стационарных точек функции Ф(х). Стационарной точкой функции Ф(х) является точка, в которой Ф(х) = 0. Стационарной точкой экспоненциальной функции является точка пересечения / -1 линии опорного и принятого сигналов. Но использование этого метода связано с рядом
трудностей. Так функция ехр(/г-Ф(х)) всегда является бы-строосцилирующей, а для сигналов с прямоугольной огибающей при значениях вблизи т = ±Т, а так же близких к началу координат, метод не дает точных результатов. Из анализа формулы (3) видно, что для широкополосных сигналов параболическое приближение становится некорректным даже при небольших относительных скоростях между объектами. Если ограничение на узкополосность не выполняется, то возникает необходимость модернизации узкополосной ФН Вудворда с учетом реальной модели эффекта Доплера. Этой проблеме посвящено множество работ, важно отметить, что в общем случае при параболическом подходе объем широкополосной ФН (ШФН) определяется выражением [9]:
V = | Цх(а, 0| dadт =
-ю о
I— I2
» 2 » 5 (ю)
= ] 5(ю)| dю-_|]-— dю.
0 ю
(7)
Следствием является то, что только для сигналов, удовлетворяющих условию интегрируемости относительно мер dю и ^ю/ю, объем тела неопределенности будет конечен, что значительно сужает класс анализируемых сигналов. Анализ объема ШФН показывает зависимость от формы сигнала. В работе [10] показано, что объема ШФН не существует, если спектр содержит нулевую частоту. Для согласования выражения (6) с традиционным представлением ФН используют ограничение области допустимых значений коэффициента сжатия, при условии, что он близок к единице, или используют узкополосное приближение [9].
Однако это не позволяет использовать ФН при анализе широкополосных сигналов. Новая функция неопределенности может быть построена в классе нестационарных процедур. В дальнейшем будем полагать, что задержка сигнала известна. Если же нет, то для устранения неопределенности по дальности применим набор нестационарных процедур, каждая из которых настроена на свою задержку ти = Атп где п = 0, 1, 2, 3, ..., Ат — разумный временной интервал, в пределах которого энергетические потери отклика малы.
Изоморфизм между группой преобразований сдвига О и группой преобразований сжатия О позволяет ввести узкополосность и для мультипликативных сигналов, условие узкополосности на гиперболическом базисе выглядит в виде:
Ж Т << 1,
' т т 7
где Ш — ширина меллиновского спектра сигнала;
t и/,
l'íl (ií/írs
Vol 11 No 3-2019, H&ES RESEARC-RF TECHNOLOGY AND COMMUNICATION
Тт = ln(ti/tn) — длительность сигнала в мультипликативном масштабе;
Тп, tk — время начала и конца мультипликативного сигнала;
в — параметр, учитывающий относительное радиальное ускорение абонента.
При этом группа преобразований сжатия О заменяется на двухпараметрическую группу Н с законом композиции элементов, действующим по следующему правилу:
£(ар Ц) • я(а2, Ц2) = • с^, Ц + Ц2)
а ее представление в пространстве спектров Меллина задается соотношением:
\xm (t, П)| = \м~\у m (ю + Q) -у m (ю)}| = ]у m (at)-ym (-) - 111 -
(9)
где е ^ 0 — бесконечно малая величина.
Несложной заменой переменных формулу (9) можно привести к симметричному виду
\хт (', О)| = ^ 2п
"О о
/у m (®+О•у m (®-О • 111 'd ®
/у m (<w) •ym (т) • 111 a —
Е V t a
(10)
T (g) -ф (ю) = exp(y'ro ln a) -(p (ю + Q).
Предположим, что сформирована мультипликативная (гиперболическая) комплексная огибающая сигнала принятого от подвижного объекта двигающегося с ускоре-
1 —nlna
нием, с точностью до фазы е :
Ym (t) ^ Уm (" 1) ' eXP(./^ln Z), a
где a—доплеровский параметр;
V
2
0 '
tntk — сдвиг меллиновских частот
CR(0)
обусловленных ускорением объекта;
— центральная меллиновская частота сигнала, С — скорость распространения электромагнитных колебаний в среде,
R(0) — начальное расстояние между объектами. Спектр Меллина комплексной огибающей составляет
У m + • ехР(./юln a).
Выражение (10) может быть преобразовано к виду
К (t,-
ут (exp(ln - +ln a)) • ym (exp(ln a -ln -)) • exp(jQln a) — 2 2 a
I У m (exP(a' + -2)) • У*т (exP(a'- 2) • exPja')da'
-m 2 2
(11)
Предположим, что комплексные огибающие у(0 и ум(^ имеют соответствующие им тождественные спектральные функции Фурье и Меллина, т.е. у(ю) = ут(ю). При этом условии сигналу утф будет соответствовать эквивалентный сигнал уф = ут(ехр () и, наоборот, сигналу y(t) будет соответствовать эквивалентный сигнал утф = у(1п t). При сравнении формул (5) и (11) видно, что для эквивалентных сигналов имеет место соответствие:
гт (t, Q) = x(in t, Q) X т (exp t, Q) = x(t, Q).
(12)
Отклик, измеренный на выходе нестационарного фильтра, согласованного с переданным сигналом, т. е. имеющего коэффициент передачи ут, запишется:
Природа полученного соответствия обусловлена наличием отображенных изоморфизмов между группой сдвига О и группой сжатия О :
Хт (t, a, Q) = M-1 (у m (ю + Q) • a • y I (ю)} =
= [уm(t)• j 111' ®ym(1 )]•
(8)
где ® — знак оператора свертки Меллина.
Под мультипликативной (гиперболической) функцией неопределенности (МФН) понимается модуль отклики в плоскости частота-время, приведенный в формуле (8) и наблюдаемый на выходе мультипликативного согласованною фильтра. В силу инвариантности модуля отклика нестационарного фильтра в плоскости (^ Ц) относительно сжатия (расширения), имеем
G — > G G —— G.
(13)
При этом указанные отображения сохраняют групповые операции. На основании полученных соответствий в формулах (12) и (13) можно построить простой алгоритм вычисления МФН, который представлен ниже.
I. Преобразование сигнала: у(0 ^ у(ехр
II. Вычисление параболической (аддитивной) функции неопределенности для преобразованного сигнала известными способами либо используя существующие таблицы [11-12].
(¡(ж
\\\\
III. В полученной ФН осуществить преобразование аргумента: t ^ ln t.
Для примера вычислим МФН сигнала с гиперболической ЧМ вида:
если ут(-, соответствует ут (ю), то xm(t•ekn, соответствует у (ю) • екю.
6. Инвариантность объема: если — МФН, то
£,(-) = rect(ln t / Тт) • • 1п t).
I. £(ехр 0 = / Тт) •
II. Для полученного сигнала, представляющего не что иное, как отрезок гармоники, параболическая ФН известна и имеет вид:
|x(exp t, Q)| =
t Q t (1 - T )sin( - T<(1 - T))
№
Q
T (1 -
от от i 2 jt'2
^МФН = i i|xm(^f ^— = |*»(0,0) =
Следовательно, общая потенциальная гиперболическая неопределенность одинакова для класса сигналов с одинаковой энергией.
7. Свойство самотрансформации:
1 ОТ ОТ 7 2
i- i i\lm (a,Q)|2 V^ada ™=\lm (t,«)
2 п_От„ a
III. \Xm (t, Q)| =
|ln t\ Q lln t|
(1 - L^)sin( - T< (1 - Li))
_Tm_2_T m
qt (1 -h '
2 m Vх t
2 -im
(14)
Таким образом, мультипликативная функция неопределенности для сложного широкополосного сигнала с ГЧМ описывается выражением (14). МФН служит для анализа и синтеза сигналов, оптимально разрешающих объекты по скорости и ускорению, а так же для оценки точности измерения данных параметров.
Правила (12) и (13) позволяют перенести свойства естественной функции неопределенности на мультипликативный случай. Рассмотрим основные свойства МФН.
1. Симметрия относительно начала координат
т.е. квадрат модуля МФН является инвариантом к преобразованию Фурье-Меллина
а,? ^
\хт (а,0)|2 ^_\Хт (?,ю)|2
8. Правило умножения:
Если сигналу Ym1(t) соответствует МФН утЛ(-, Ф), а хт2(-, соответствует сигналу Ym2(t), то произведению сигналов ут(-) = ут1(-) • ут2(?) соответствует МФН которая задается сверткой
1т (t, П) = \ 1 ml(t, Ц) -Xm2(t, П ,
—ОТ
аналогично если уm (Q) = уm1 (Q) • уm2 (Q), то соответствующая МФН определяется сверткой
гт (и «) = хт (1, -«).
" t dx Im (А = jXmlCX 'Im iL ф —. c x x
2. Наибольшее значение МФН принимает в начале координат
E
\Хт(t,Q)| <\Хт(0,0) = -.
3. Свойства масштаба:
1 . k
если xm(t, ß) соответствует ут(а), то тттХт(t ,—) соответ-
ствует у (а).
4. Гиперболическая фаза (время):
если МФН хт(-, соответствует сигналу Ym(a), то МФН
Хт(-, ^ + 2&1п -) соответствует сигналу Ym(a) • ехр(-/&1п2а).
5. Гиперболическая фаза (частота):
9. МФН обладает свойством оставаться инвариантной к следующему преобразованию
ti = t*ii Q1 = k21 ln t + k22 Q'
det
k11 k12
k k
21 22
= 1.
Таким образом, если хт(-, есть МФН соответствующая сигналу Ym(a), то хт(-1, — так же МФН, но соответствующая сигналу
t
2
m
Vol 11 No 3-2019 RF TECHNOLOGY AND COMMUNI
H&ES R=SEARC^|ffl||^J] ' \/lUNICATION
Vi
У//,
w —
У mi (a) = КГ J - n expjpQn a — -2 ß)) x где .(t)
— —x
x f У m (x) exp(-j ln x(ß — T^ln x)) -X J 2—,,
n- tl,
У 0
Itl >1.
Вид МФН приведен на рис. 1.
Сама МФН ут(!1, Ц1) может быть получена последовательным использованием свойств 3, 4, 5. Следовательно, если ут(а) соответствует х^, Ц), то гт(а) = ут(а)ехр(/'д(1па)2) соответствует
к гт [1к, -1(Q + 2q 1п а)}.
Нормированные сечения запишутся:
\хт (0,0) ( Tm >' \Xm (0,0)
2sin( J Tm )
QT„
Постоянные разрешения по доплеровскому параме-Если же Z(ttl) = М(а)}, то МФН, которая соответ- тру и по частоте Меллина соответственно составляют:
ствует сигналу со спектром Меллина V(ю) = Z(ю)е^Ью , есть
1 (.k kbü. qlnt йп TTiXm {t e >— + — (1 + qb)}. k а а
Рассмотрим пример мультипликативной функции неопределенности сигнала в виде отрезка гиперболической гармоники
5(0 = !+(/) • гей(1п t/Tm)cos(Цln t).
!\хт («, 0)|
2 da
A(ln а) =
A(Q) =
\Xm (0,0)2
ОТ
\\%т (о, а)|2 d а
-от
|Хт (0,0)|2
^ = 2Tm
3
2л 3 '
МФН в плоскости (lna, ß) запишется:
м
Рис. 1. Общая структура неопределенности для сигнала, представляющего отрезок гиперболической гармоники в плоскости (lna, ß)
При отсутствии априорных данных распределения параметров сигнала и помехи в частотно-временной плоскости желательную ФН можно представить в виде функции, приближающейся к Ц) — функции. Сравнительный анализ позволяет понять процедуру выбора передаваемого сигнала.
С физической точки зрения, необходимо подчеркнуть, что при построении МФН доплеровский эффект описывается точно, т.е. МФН применима для анализа широкополосных сигналов. Кроме того, в МФН учитывается дополнительный параметр, обусловленный ускорением носителя сигнала.
Частотные корреляционные функции особо актуальны при информационном обмене между абонентами, движущимися с большими скоростями, например, в системах спутниковый радиосвязи, а выигрыш в качестве определяется числом символов последовательности и их взаимокорреляционными свойствами.
Оптимальной формой корреляционной функции сигнала для систем связи с РКФ является 5-импульс. Который имеет узкий центральный пик и малые боковые лепестки, распределенные равномерно во времени.
Разрешающая способность сигналов в частотно-временной плоскости определяется областью их высокой корреляции по этим параметрам [11].
(¡(ж
\\\\
Аналогичную оценку можно выполнить в спектральной области сравнивая энергетический спектр исследуемого сигнала со спектром 5-импульса:
1-2
R (®) = Sm (ю) = |Г(./^ + 1)\ 'М-
Используя выражение Г(х + 1) = хГ(х), получим:
^{5(т)} = 1.
Исследуем энергетический спектр мультипликативного сигнала на предмет близости к единице [13]
R(ю) = [(/«)(-/«)].\T(jnf = (16)
ю
sh (rnQ)
ю
2. При у = 1/2, выражение (15) имеет вид:
Sm (t) = ejnhi(t-т) • (t - т)-у = (t - т)jQ-y,
где Q — начальная частота (ra(t) = Q/(t - т.)); т = const; Y = const; 0 < у < 1.
Преобразование Фурье сигнала Sm(t) определим используя табличное значение [14]:
R (ю) =
^ = -
ch (лО) |ю|
3. При y = 1, выражение (15) принимает виду:
R (<о) = |Г(/П)|2 = Л
• Л (17)
Q- sh (лО)
(18)
Sm (®)=jr(jn-y + 1)х
(-n-jy)B
2 -co"^ "L е
■со
-jn+y -1
t> т;
Sm (ш) = 0, 0 < t< т. Комплексно-сопряженный спектр примет вид:
Известно, что
sh (nQ) =
nQ -nQ
e - e
ch (nQ) =
nQ , -nQ
e + e
В условиях больших значениях ^ для гиперболических функций, выражения (16)^(18) примут вид:
1. г = 0; л («,) =
e ю
2л 1
2. y = t ;R (ю) = -^-п;
2 e ю
(19)
(20)
Sm(ro) = -jr(jfi-y + 1)х
(Д+jT)"
•<о.
j"+y -1
(-n-jy)n
•со
jn+y-1
3. у = 1; R (ю) =
2л
Qe
лО,
(21)
Из анализа которых видно, что при Y = 1 энергетический спектр исследуемого сигнала соответствует спектру 5-функции и оптимальной моделью канального сигнала является мультипликативный сигнал вида:
t > т;
Sm (ш) = 0, 0 < t< т.
5(-)-rec,| i«^,
(22)
Энергетический спектр реальных сигналов (конеч-Энергетический спектр сигнала определяется по форме ной длительности) ограничен полосой Аю. Спектры узкополосных ЧМ сигналов могут приближенно считаться ограниченными пределами изменения мгновенной частоты, но с ростом ширины полосы спектра ошибка становиться произвольно малой величиной.
При Y = 1 для сигнала конечной длительности выражение (16) приобретает вид:
R (ю) = Sm (ю)' Sm (ю) =
= |г(уп-у +1)) •|ю|-2(1-^)
(15)
Исследуем выражение (15) при различных y = 0; Y = 1/2; y = 1.
1. При y = 0 выражение (10) примет виду:
R(ro) = rect
Ю-Юп
2л
2-АЮ ) Q-e
лО
(23)
2
2
2
е
H&ES RESEARC-RF TECHNOLOGY AND COMMUNICATION
\\\\ V44->-—/.--
Vol 11 No 3-2019,
NS
■¿¿'//A
Автокорреляционная функция (АКФ) выражения
(23) принимает вид:
* (,).,-■ { („)}. .
При этом модуль АКФ определяется выражением (24)
I* (4 =
2sin (Аю- t)
QkQ .
- e -1
(24)
Из анализа выражения (24) следует, что основная часть отклика ограничена точками Да^ = ±п, а элемент разрешения по времени равен:
A(t) = £-,
Аю
S (t) = rect
i т ^
t---T
2
(26)
В предположении, что начало отсчета сигнала зафиксировано, а параметр сдвига начала сигнала относительно начала его отсчёта т изменяется, преобразование Меллина сигнала (26) запишется:
M {S (t)} = | rect
f т ^
t---т
2
v
T+т
x ejC1111 'd In t = f ejC1111 tdt.
t
Произведем замену переменных 1п t = г, тогда:
о
и определяется полосой Фурье сигнала.
Для случаев когда у = 0 и у = 1/2 видно, что временное разрешение уменьшается. Амплитуда огибающей спектров спадает по закону, соответственно, 1/а2 и 1/1а1 Огибающие (19) и (20) можно с достаточной степенью достоверности аппроксимировать функцией:
rect
ю-ю0 2Аю'
2 п
(25)
где Аю' выбирается с условием равенства площадей под функциями (25) и ограниченными в полосе Да функциями (19) и (20). При Аю' < Аю, А'^) > А^), т.е. разрешающая способность уменьшается. Таким образом, наилучшее разрешение по оси времени соответствует сигналу при у = 1, приведенному в выражении (22).
Разрешающая способность мультипликативных сигналов по дальности обратно пропорциональна полосе 2 к
Фурье А^) = —, а разрешающая способность по скорости Аю
обратно пропорциональна полосой Меллина сигнала ДЦ:
А(1п а) = —-.
АП
В силу неинвариантности спектра Меллина сигнала относительно преобразований сдвига, ширина спектра Меллина изменяется с появлением задержки начала сигнала относительно начала его отсчета. Для определения этой зависимости оценим ширину спектра Меллина сигнала длительностью Т с прямоугольной огибающей. Так как несущая частота не несет информации о форме спектра, сигнал определяется выражением:
M{S(t -т)} = f ej0zdz =
X
= —\ein!n(T+т) - eJO.Inт ]
Определим энергетический спектр Меллина:
\M {S (t -T)}|2 = Q2
_4 . (Q, T + x. Q2
1 -
—H-H—) I.
cos(Q In^)) T
С учетом, того, что основная часть энергетического
^ Т + Т
спектра заключена в интервале (~1п(-)) = , полоса
2
Меллина равна:
AQ =
4 л
1 T + хл
ч—)
т
(27)
а элемент разрешения по доплеровскому параметру составит:
Л Л \ 2л 1 T + т.
A(ln а) = — = - ln(-).
AQ 2 т
(28)
Анализ выражений (27) и (28) позволяют объяснить связь инвариантных свойств мультипликативных сигналов со сдвигом их начала относительно начала отсчета
РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
и оценить инвариантные свойства мультипликативных сигналов в зависимости от выбираемых параметров.
Изоморфизм аддитивных и мультипликативных преобразований позволяют воспользоваться аддитивными методами оценки помехоустойчивости для мультипликативных правил обработки.
Известно, что ОСП на выходе и входе идеального коррелятора (согласованного фильтра) прямо пропорционально корню квадратному базы сигнала (произведение полосы Фурье сигнала Ж на его аддитивную длительность Т) [15]:
Ж Т
т т
N7
кЖтТтР 2
яЖтТтИ 2
^ (out) = (in) -^¡т.
и
и„
Выражение для максимум огибающей отклика коррелятора имеет вид:
2Е
Si
:пЖтТт$
2
кЖтТтР
2
(29)
где Жт — ширина полосы спектра Меллина сигнала;
Тт = 1п — — мультипликативная длительность
-п
сигнала,
-),, — время конца и начала сигнала соответственно;
в — параметр, характеризующий радиальное ускорение объекта
Анализ выражения (29) показывает, что если значение Wm ■ Тт • р меньше единицы, то ослабление выходного сигнала не превышает 2 дБ.
В случае Wm ■ Тт • р >> 1 максимальный выходной сигнал пропорционален (Жт ■ Тт ■ р)"1:
2Е
Ж Т Р
" т тг
При условии, что помеха на входе представляет собой белый шум в мультипликативном масштабе аргумента с идеальным прямоугольным спектром шириной Жт и центральной мультипликативной частотой максимума ОСП на выходе коррелятора запишется:
где N — спектральная плотность мультипликативной по-
мехи на входе;
с
т
входе;
2
с
дисперсия мультипликативного сигнала на
- дисперсия мультипликативной помехи на входе;
-тт - — ОСП на входе по мощности.
°тп
При изменении параметра в, можно получить оценки значений на выходе коррелятора. На рис. 2 приведены графики зависимости выигрыша в помехоустойчивости мультипликативного согласованного фильтра
п
^т т
= W Т
" т т
Si
nW Т В
2
^тТтВ
2
Рис. 2. Выигрыш на выходе мультипликативного согласованного фильтра при наличии доплеровской дисперсии
т оыг тах
т ош
3-2019, H&ES RESEARC-RF TECHNOLOGY AND COMMUNICATION
Vol
Nc
от величины WmTm при различных значениях р. Когда в = 0 (отсутствует ускорение) выигрыш является линейной функцией произведения мультипликативной длительности на ширину полосы спектра Меллина Жт.
Приведенный математический аппарат позволяет определить параметры мультипликативного сигнала, при которых эффектом ускорения относительного перемещения абонентов можно пренебречь. Для сигнала с гиперболической частотной модуляцией мера разрешения по частоте равна:
Q| = Q
V 2tn
C ■ R (0)'
где 10 = ^ 1п1к — среднегеометрическое время сигнала;
V — относительная скорость радиального перемещения абонентов;
Я(0) — расстояние между абонентами в начальный момент времени;
С — скорость распространения электромагнитных колебаний.
Элемент разрешения по частоте равен 2п / Тт, тогда область параметров сигнала, при которых эффект ускорения можно не учитывать, задается неравенством:
O-Tm V¿tn
< 1,
2 п C ■ R(0)
С учетом того, что полоса отрезка гиперболической гармоники определяется как
QAt QAt ю0 At
Аю = юу - юп = —— =-=-,
t0 tntk t0
где ю0 — — среднегеометрическая частота сигна-
ла, ап, ак — начальная и конечная граница частотного носителя сигнала, условие примет вид:
V ro0At , < 1,
C ■ R(0) Аю
(30)
где nn
QT
ni 2n
— число гиперболических периодов.
Если отрезок тона можно представить как короткий гиперболический сигнал, то соотношение неопределенности для тонально-импульсного сигнала (30) при Д^а = 3п, запишется в виде неравенства:
nV¿ nM
C ■ R(0) 3л
< 1,
а для отрезка тона n = n+
ю0 At 2л
получим
2 n+V\ 4л -At =--
ЗА n+ V
3 C ■ R(0) 3 C ■ R(0) ю0
-1 < 1.
(31)
Если условие (31) нарушается, требуется выполнять расфильтровку сигнала по меллиновской частоте аналогично тому, как это делается при обнаружении сигнала с неизвестным доплеровским параметром в аддитивном случае.
Для оценки эффективности применения сигнала (22) проведено численное моделирование в среде MathCad, результаты моделирования представлены на рисунках.
Временная диаграмма передаваемого f1. сигнала (22) представлена на рис. 3-6, где |с1у| — его амплитудный и ф1 — фазовый спектры.
Численный эксперимент показал, что автокорреляционная функция сигнала с параметрами
N = 210; ю = 900 • 106; Q = 103;
имеет игольчатую форму (рис. 3), а элемент разрешения по т порядка ~10-5 (рис. 4).
Результат квадратурной корреляционной обработки R принимаемого f сигнала, представляющего сумму сигнала fl. подвергнутого доплеровской дисперсии и аддитивного шума при различных значениях относительной радиальной скорости и отношений сигнал/шум на входе приемника, представлен на рис. 5-6, где |су| — амплитудный и ф. — фазовый спектры.
На рис. 5 представлены результаты численного моделирования для доплеровской дисперсии при относительной радиальной скорости между передатчиком и приёмником V = 106 м/сек и аддитивной помехи в виде шума, при отношения сигнала к шуму на входе приемника ОСШ = 0,25.
На рис. 6 представлены результаты численного моделирования для доплеровской дисперсией при относительной радиальной скорости между передатчиком и приёмником V = 106 м/сек и аддитивной помехи в виде шума, при ОСШ = 0,15.
Заключение
Таким образом, исследования корреляционных функций сигналов сформированных по закону s(ln(t - т)) • (t - т)-1, где т = const, параметр, определяющий объем ансамбля ортогональных сигналов, показали повышение помехоустойчивости системы связи за счет устранения потерь связанных с доплеровской дисперсией и увеличение количества одновременно работающих линий связи за счет малого значения элемента разрешения.
n
m
: ¡//У ¡1
Рис. 3. Автокорреляционная функция мультипликативного сигнала (/ = /1.)
Рис. 4. Функция взаимной корреляции мультипликативных сигналов / и /1. при т Ф т1, без помех (за пределом разрешения)
Рис. 5. Результат квадратурной корреляционной обработки принимаемого сигнала/ при ОСШ = 0,25 и V = 106 м/сек
Рис. 6. Результат квадратурной корреляционной обработки принимаемого сигнала / при ОСШ = 0,15 и V = 106 м/сек
X<N\ \\\\ Ч>Л\\ \\\\
НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ В КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ЗЕМЛИ, Т
'АДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
Литература
1. Варакин Л. Е. Теория систем сигналов. М.: Советское радио, 1970. 376 с.
2. Тузов Г. И. Статистическая теория приема сложных сигналов. М.: Советское радио, 1977. 400 с.
3. Шумоподобные сигналы в системах передачи информации / Под ред В. Б. Пестрякова. М.: Советское радио, 1973. 424 с.
4. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: пер. с англ. Москва: Мир, 1983. Т. 1. 312 с.
5. Woodward P.M. Probability and Information Theory, with Applications to Radar. McGraw-Hill, New York; Pergamon Press, London, 1953. 128 p.
6. Белов С. П., Рачинский С. А., Белов А. С., Белов Ан.С., Ефимов Н. О. О влиянии доплеровского сдвига частоты на помехоустойчивость спутниковых телекоммуникационных систем со сложными сигналами // Научные ведомости БелГУ Серия: Экономика. Информатика. 2017. № 9 (258). Вып. 42. С. 179-186.
7. Харис Б. Д., Крамер А. С. Асимптотический метод вычисления функции неопределённости ЧМ сигналов высокочувствительных корреляционных гидролокаторах // ТИИЭР. 1968. Т. 56. № 12. С. 59-68.
8. Либенсон Е. Б. Об оценке функции неопределённости широкополосных ЧМ сигналов. // Труды V всесоюзной школы-семинара по статистической гидроакустике (СГ-5). Новосибирск, 1974. 377 с.
9. Келли У., Вишнер Р. Теория согласованной фильтрации целей движущихся ускоренно с высокими скоростями // Зарубежная радиоэлектроника. 1965. № 10. С. 38.
10. Бовбель Е. И., Гилевский С. В., Юровский А. А. Некоторые свойства широкополосной функции неопределенности для детерминированных и стохастических сигналов // Зарубежная радиоэлектроника. 1977. № 6. С. 33-55.
11. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы: пер с англ. Москва: Советское радио, 1971. 568 с.
12. Сапрыкин В. А., Рокотов С. П. Теория гидроакустики и цифровая обработка сигналов. Л.: Изд-во ВВМУРЭ им. А. С. Попова, 1991. 415 с.
13. Мочалов А. В., Павликов С. Н., Убанкин Е.И.Новые направления в развитии телекоммуникационных систем: монография. Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2016. 116 с.
14. Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 287 с.
15. Зарайский В. А., Тюрин А. М. Теория гидролокации. Л.: Изд-во ВМА, 1975. 605 с.
STUDY OF AUTOCORRELATION FUNCTION OF A NEW CLASS OF BROADBAND SIGNALS
SERGEJ N. PAVLIKOV, KEYWORDS: broadband signals; dispersion; doppler dispersion; cor-
Vladivostok, Russia, [email protected] relation, transformation, processing, speed, radial, function, multiplica-
tive, uncertainty.
EVGENIY I. UBANKIN
Vladivostok, Russia, [email protected]
ABSTRACT
Object of research broadband signals in radio communication systems. Subject: study of correlation properties of a new class of broadband signals. Aim is to justify the choice of method and signal processing to ensure maximum response coordinated the filter at high values of the relative radial velocity between the transmitter and receiver and significantly exceeding the noise level above the level of the signal at the input of the receiver. In the analysed
avtokorreljacionnye and mutual correlation functions define the scope of the use of signals from an ensemble. In the time-frequency plane time and frequency correlation functions form a surface called a function of uncertainty, which is a measure of the ability of a telecommunications system to distinguish the signals taken by delay and the relative radial velocity. Function of uncertainty imposed by Woodward and found wide application in the analysis of signals,
Vol 11 N
RF TECHNOLOGY AND COMMUN!
I iff/ ¡•¡I //,-/
3-2019, H&ES RESEARC
according to the classification of the transformations of time corresponds to the parabolicheskomu type. It is shown that under additive and multiplicative models transformation ability to speed resolution is determined by the width of the stripe Mellin signal, which is associated with the introduction of the delayed start of multiplicative signal relative to the beginning of it. To identify the properties of multiplicative correlation dependence of the signal (MS) from shift relative to the start signal numerical modelling in MathCad Wednesday. Analysis of the results showed an increase in the noise immunity of communication systems by eliminating losses associated with Doppler dispersion and reduces an item permissions allowing, in turn, increase orthogonal ensemble signals and thereby increase the number of simultaneous lines of communication. In the result of numerical simulations obtained maximum contrast response agreed to filter the relative radial velocity 106 m/s and additive noise interference when the SWAPS at the entrance of the receiver in the range
0.25.0.15.
REFERENCES
1. Varakin L. E. Teoriya sistem signalov [Systems theory signals]. Moscow: Sovetskoe radio, 1970. 376 p. (In Russian)
2. Tuzov G. I. Statisticheskaya teoriya priema slozhnykh signalov [Statistical theory demanding signals reception]. Moscow: Sovetskoe radio, 1977. 400 p. (In Russian)
3. Pestryakov V. B. (Ed.) Shumopodobnye signaly v sistemakh pere-dachi informatsii [Pseudonoise signals information transmission systems]. Moscow: Sovetskoe radio, 1973. 424 p. (In Russian)
4. Max J. Methodes es techniques de traitement du signal et applications aux mesures physiques. Masson, 1972. Vol. 1. 355 p.
5. Woodward P. M. Probability and Information Theory, with Applications to Radar. McGraw-Hill, New York; Pergamon Press, London, 1953. 128 p.
6. Belov S. P., Raczynski S. A., Belov A. S., Belov An. S., Efimov N. O. On the impact of doppler frequency shift on the noise immunity of telecommunication system with complex signals. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Ekonomika. Informatika [Scientific statements, technopark, economy series. Informatics]. 2017. No. 9 (258). Issue 42. Pp. 179-186. (In Russian)
7. Harris B. D., Kramer A. S. Asymptotic evaluation of the ambiguity functions of high-gain FM matched filter sonar systems // Proceedings of the IEEE. 1968. Vol. 56. No. 12. Pp. 2149-2157. DOI: 10.1109 / PROC.1968.6828
8. Libenson E. B. Ob otsenke funktsii neopredelennosti shiroko-polosnykh ChM signalov [On the evaluation function uncertainty broadband FM signals]. Trudy V vsesoyuznoy shkoly-seminara po statisticheskoygidroakustike (SG-5) [Proceedings of V all-Union seminar on statistical hydroacoustics (SG-5)]. Novosibirsk, 1974. 377 p. (In Russian)
9. Kelly U., Vishner P. Teoriya soglasovannoy fil'tratsii tseley dvizhush-chikhsya uskorenno s vysokimi skorostyami [Theory of coherent filtering purposes moving rapidly with high speeds]. Zarubezhnaya radioelektronika [Foreign radioelectronics]. 1965. No. 10. Pp. 38. (In Russian)
10. Bowbel E. I., Gilevskiy S. V., Yurovsky A. A. Nekotorye svoystva shi-rokopolosnoy funktsii neopredelennosti dlya determinirovannykh i stokhasticheskikh signalov [Some properties of broadband features uncertainty for deterministic and stochastic signals]. Zarubezhnaya radioelektronika [Foreign radioelectronics] 1977. No. 6. Pp. 33-55. (In Russian)
11. Cook Ch.E., Bernfeld M. Radar signals. Academic Press, 1967. 531 p.
12. Saprykin V. A., Rocatov S. P. Teoriya gidroakustiki i tsifrovaya obrabotka signalov [Hhydroacoustics theory and digital signal processing]. Leningrad: Voenno-morskoy institut radioelektroniki imeni A. S. Popova Publ., 1991. 415 p. (In Russian)
13. Mochalov A. V., Pavlikov S. N., Ubankin E. I. Novye napravleniya v razvitii telekommunikatsionnykh sistem: monografiya [New directions in development of telecommunication systems: monograph]. Vladivostok: Vladivostok State University of Economics and Service Publ., 2016. 116 p. (In Russian)
14. Brichkov U. A., Prudnikov A. P. Integral'nye preobrazovaniya obobshchennykh funktsiy [Integral transforms generalized functions]. Moskov: Nauka, 1977. 287 p. (In Russian)
15. Zaraysky V. A., Tyurin A. M. Teoriya gidrolokatsii [Sonar theory]. Leningrad: S. M. Kirov Military Medical Academy Publ., 1975. 605 p. (In Russian)
INFORMATION ABOUT AUTHORS:
Pavlikov S.N., PhD, Full Professor, Professor of the Department of Radioelectronics and telecommunications of Maritime State University named after Admiral G.i. Nevelskoy;
Ubankin E.I., PhD, Docent, Associate Professor of the Department of Radioelectronics and telecommunications of the Maritime State University named after Admiral G.I. Nevelskoy.
For citation: Pavlikov S.N., Ubankin E.I. Study of the autocorrelation function of a new class of broadband signals. H&ES Research. 2019. Vol. 11. No. 3. Pp. 46-59. doi: 10.24411/2409-5419-2018-10268 (In Russian)
