Исследование аппроксимации и устойчивости разностной схемы для одномерной модели перемещения наносов в прибрежной зоне Текст научной статьи по специальности «Математика»

sin2 i ^ а/cos i Y}

i

где к = 2,4,6,... Видим, что показатель преломления п3 не может быть меньше щяШ. Причиной изменения ширины чётных пучков является расхождение лучей (зависимость углов 5 и V от X), проявляющееся в виде спектра. Их чёткость будет лучше в случае п3 > пь При п3 = п последняя формула переходит в предыдущую. Кроме того, в этом случае расстояние между серединами соседних пучков и в первой, и в третьей среде

У выходящих в первую среду нечетных пучков правые края имеют голубоватый оттенок, а левые -оранжевый; у выходящих в третью среду чётных пучков порядок оттенков краёв обратный. Ширина этих краёв мала. Например, у второго пучка (рис. 4) в третьей среде, имеющей показатель преломления п3 = пь край с голубоватым оттенком между направлениями 1-2, и край с оранжевым оттенком между направлениями 3-4 (проявление спектра) имеют ширину I. Именно это наблюдается при прохождении сквозь стеклянную пластину толщиной ё = 5см и длиной 15см параллельного пучка света, падающего под углом /э (наблюдалось три пучка).

Итак, поскольку любое однородное прозрачное вещество по своей сути есть совокупность призм со всевозможными направлениями, непрерывно переходящими друг в друга, то свет, выходящий из него в первую и третью среду, из-за расхождения лучей разных длин волн, должен распространяться в последних в разных направлениях и иметь окрашенности, являющиеся проявлениями спектров (дисперсии).

ИССЛЕДОВАНИЕ АППРОКСИМАЦИИ И УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ОДНОМЕРНОЙ МОДЕЛИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ НАНОСОВ В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ

Важными факторами изменения берегов и прибрежного рельефа служат волны и прибойный поток, в яркой форме проявляющиеся в береговой зоне моря. Среди природных процессов и явлений, наблюдающихся в водоемах под воздействием волн и течений, важное место занимает перемещение наносов в береговой зоне. Динамика берегов и прибрежного рельефа дна во многом определяется характером перемещения наносов в береговой зоне. Возведение и эксплуатация гидротехнических сооружений, создание проектов защиты берегов, проблемы обеспечения экологической безопасности береговой зоны невозможны без учета всех факторов и процессов, определяющих состояние берегов.

При конструктивном преобразовании и изменении рельефов следует учитывать динамику процессов образования берега, исследовать формирование профиля дна в прибрежной зоне водоема под воздействием волновых процессов. Возникает необходимость в построении математических моделей процессов перемещения наносов на мелководье под воздействием поверхностных гравитационных волн.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Енохович А.С. Справочник по физике и технике. М.: Просвещение, 1983. С. 255.

Е.А. Проценко

В настоящее время сведения о динамических явлениях и процессах, протекающих в водоемах, многократно расширились. Данным проблемам посвящены исследования И.О. Леонтьева, К.В. Гришанина, И.Г. Кантаржи, А.В. Караушева, А.И. Чеботарева, Ч.Т. Янга и мн.др. Проблемам математического моделирования береговых процессов посвящены работы отечественных исследователей Э.Б. Бертмана, И.В. Попова, Н.В. Пыхова, И.О. Леонтьева, К.В. Гришанина, И.Г. Кантаржи, А.В. Караушева, А.И. Чеботарева, Ч.Т. Янга и мн.др.). Представлены исследования посвященные динамики берегов и прибрежного рельефа дна и в ряде зарубежных публикаций (Hanson, Kraus, 1986, 1989; Watanabe ets!, 1986; Larson, Kraus, 1989; Dean, 1997; Komar, 1998; Thieler et.al., 2000 и др.).

Анализ современного состояния изученности динамики береговой зоны показывает общепризнанность того факта, что поверхностное волнение является основным источником поступления энергии в береговую зону моря и во многом определяет ее изменение. Все режимы волнения на внешней границе береговой зоны нерегулярны, а по мере распространения волн к берегу, они трансформируется в движения разных типов и масштабов, включая турбулентные и инфраграви-тационные, вызывая перенос донных осадков и загрязнений, значительные деформации рельефа дна и изменения береговой линии.

В настоящее время существует большое количество, как чисто теоретических, так и эмпирических и полуэмпирических моделей, описывающих специфические динамические процессы береговой зоны моря. Большинство моделей, явно или не явно, опираются на систему представлений об элементарных процессах, протекающих в береговой зоне моря. Как правило, большинство таких процессов имеют нелинейных характер и, следовательно, не могут быть проинтерпретированы на основе совпадения конечных результатов моделирования с наблюдениями в природе без детального рассмотрения механизмов данных процессов. Отсутствие стройной физической картины динамики береговой зоны может приводить к неправильной интерпретации, как экспериментальных данных, так и результатов моделирования. Это, в свою очередь, приводит к использованию ошибочных предпосылок при создании новых полуэмпирических моделей специфических процессов береговой зоны.

Основная идея построения моделей, связанных с изменением структуры морского дна прибрежной зоны, основывается на процессе перемещения наносов. Под расходом наносов понимают количество наносов, проносимых потоком за единицу времени [8]. Наибольшее количество наносов, которое поток может транспортировать при заданных гидравлических характеристиках, принято называть транспортирующей способностью потока [1]. Как известно, в морских условиях достаточно редко бывает случай, когда все частицы наносов независимо от их диаметра перемещаются в одном направлении. Так бывает на относительно крутых участках дна: на бортах подводных карьеров или каньонов. В условиях слабонаклонного морского дна наносы под воздействием волн совершают равнонаправленные движения [2, 3].

Математическое описание процесса равнонаправленного перемещения морских наносов под воздействием поверхностных волн сопряжено со значительными трудностями. Для инженерных целей при строительстве сооружений в прибрежной зоне достаточно знать характеристики результирующего переноса осадков, а не одной частицы. В этом случае описания динамики морских наносов в прибрежной зоне можно применить уравнения, которые описывают переформирование дна, где вода и твердые частицы перемещаются в одном направлении.

Целью нашего исследования является нахождения результирующего профиля дна, сформированного под воздействием поверхностных гравитационных волн. Будем считать движение частиц равнонаправленным, вызванным поверхностными ветровыми волнениями, и использовать результирующее движение потока.

Нами рассмотрена нестационарная одномерная модель транспорта наносов в прибрежной зоне водоемов и алгоритм численного решения дискретной задачи, базирующийся на методе про-гонки [4].

В данной статье освещаются вопросы аппроксимации и устойчивости разностной схемы для одномерной модели перемещения наносов в прибрежной зоне. Описанная математическая модель используется для численного моделирования динамики аккумулятивного берега. В соответствии с критерием «крутизны» используется уравнение непрерывной модели формирования наносов.

1. Постановка задачи

Для описания динамики морских наносов в данной работе применяется пространственно-одномерная модель, которая описывает переформирование профиля дна прибрежной зоны водоемов за счет движения воды и твердых частиц.

Соответствующая начально-краевая задача имеет вид:

(1-а)^ + ^ = ко5т(т + в), (1)

от ох

(2) (3)

¥о=_ТЛ_5 (4)

(А-Ро)^'

ть=-0,6Сиь\иь\, (5)

где Е - пористость грунта;

Н - глубина дна, отсчитываемая от невозмущенного уровня водоема; Q - расход наносов;

А и р - безразмерные постоянные (в настоящей работе. I равна 19,5; р равна 3); тъ - касательное напряжение на дне; ш - частота волны;

у/ - параметр Шильдса (касательное напряжение на дне, записанное в безразмерном виде);

/9|, р{) - плотности твердых частиц и воды;

С - коэффициент сопротивления твердых частиц;

иь - придонная скорость в области неразрушенных волн).

Входящие в формулы значения иь и Ть интерпретируются не как мгновенные, а как вели-

чины, усредненные в течение половины периода волны.

иь=иЬс

/ ли X -х

\ X ЭСг, \ п О У

(6)

где и^с - скорость на критической глубине Н;

хп - координата верхней границы наката; х0 - координата точки опрокидывания волн; п - постоянная (в данной работе п=0,33).

При ¡5 =3 получаются известные в речной гидравлике формулы расхода наносов А. Шильдса (1948), Мейера-Петера и Мюллера (1948), Х. Эйнштейна - С. Брауна (1950).

Весьма существенным является допущение, что на профиле перемещение осадков происходит только в одну сторону - результирующего переноса. Движением частиц в направлении, противоположном направлению результирующего переноса, пренебрегаем. Таким образом, предполагается, что при моделировании аккумулятивных процессов осредненные скорости и направлены

в сторону берега и имеют отрицательный знак в принятой системе координат, а наносы перемещаются только в сторону берега. Напротив, при моделировании абразии допускается, что все скорости и положительны, направлены в сторону моря, в этом же направлении перемещаются и

наносы. Следовательно, волновой поток моделируется квазистационарным однонаправленным потоком.

2. Уточнение одномерной математической модели транспорта наносов

В настоящей работе используется декартова прямоугольная система координат, начало которой совмещено с урезом воды. Ось Ох совмещена с поверхностью невозмущенной жидкости и направлена в сторону моря. Предполагается, что в начальный момент времени (7 = 0) к откосу, сложенному из осадочных пород, подходят монохроматические волны.

Считаются заданными следующие параметры: 50 - начальный уклон дна; к0,Л0 ~ высота и

длина волны; Т - период волны; й, рх, р0 - характеристики осадков и воды; Т - длительность шторма.

Итак, мы имеем уравнения (1) - (3).

В выражении для параметра Шильдса используется уклон дна. Система уравнений для параметра Шильдса принимает следующий вид:

г

Ws = У7 о

sin S

1±

v *8<Ро У

(7)

где у/8 - параметр Шильдса для наклонного дна; Л'(х. /) - угол, составленный касательной к контуру дна в момент времени ?; - угол естественного откоса грунта в воде.

Физический смысл формулы для 0 состоит в следующем. При движении твердой частицы

вверх по откосу в потоке должна быть совершена работа по преодолению силы тяжести. Поэтому при прочих равных условиях транспортирующая способность потока, переносящего наносы вверх по откосу, меньше, чем транспортирующая способность потока над горизонтальным дном. Соответственно расход потока, переносящего частицы в направлении к берегу, представляется в виде:

Qs = Awdipt{

1-

sinS"

\3

(8)

Делаем допущения при решении пространственной задачи о переформировании берегов:

. „ „ дН дН шо « <Ь « агс^-«-.

дх дх

Подставляя данное допущение и расчетную формулу расхода потока в основное выражение (уравнение неразрывности (1)), получаем:

г л лдН д (1 - С)--1--

dt дх

Qo-

з Q0 дН tg<pQ дх

= h0 sin(£7i + 0).

(9)

Сократив запись, получим уравнение, описывающее переформирование дна в случае, если все частицы наносов двигаются в сторону берега:

дН

д ( дН , , .. .

---а- + Ъ = Дх, t),

dt дх I дх

(10)

а =

3<2о

ъ =

tg(p0(l~s) 1

(11)

\-е дх / (х, = к0 + в).

Соответственно расход наносов, переносимых волновым потоком в направлении моря, больше, чем в случае горизонтального дна, и записывается в виде:

Qs = Amdi//(

1 +

sin S

(12)

о /

3

V дН д

Уравнение вида--1--

Й дх

а-

дН_ дх

+ Ь = / (х^) описывает случай, когда все наносы пе-

ремещаются в сторону моря. Данное уравнение может быть использовано для математического моделирования процесса абразии в прибрежной зоне.

Выбор уравнения, то есть решение вопроса о направлении результирующего переноса осадков к берегу или от берега, производится на основании «критерия крутизны», согласно которому длинные пологие волны намывают берег, являются «конструктивными», а короткие и крутые -размывают берег и носят «деструктивный» характер.

Уравнение неразрывности дополняется начальным условием, согласно которому

Я(х) = 5"0х при / — . (13)

Граничные условия определяются из физических соображений. В верхней границе наката, где скорость обращается в ноль, берег не подвергается деформациям:

Я(хн,0 = Ян, хн = Нн /50 (14)

На границе «глубокой воды» глубина также не изменяется: На границе

«глубокой воды» глубина также не изменяется:

Н(хгл > 0 = нгл > Нгл = Л / 2 (15)

3. Погрешность аппроксимации и устойчивость конечно-разностной схемы

Рассмотрим дискретную математическую модель процессов перемещения наносов в прибрежной зоне. Поставленная для уравнения параболического типа (10) начально-краевая задача решается приближенно конечно-разностным методом [5, 6, 7].

Строим сетку: интервал , хгл и временной интервал разбиваются на равные части.

х;. =Х0+7'/2, 7 = 1,2,...,

11=4 +7 = 1,2, ...Д

Уравнение в частных производных аппроксимируется двухслойной неявной схемой - системой трехточечных разностных уравнений:

Н7+1 - Н7 1

к

где

а

7+1 1

/Ч—

2 V

Н^ - Я'1

г+1_г

к

— а

7+1

~2 V

к

7+1

(16)

Я/=Я(хг,^); Я/+1=Я(хгЛ+1);

"7+1 ;

л./+1 аг+1 0+1 + 0+1 4 2

у-+1 а,-1 0+1 + а, 0+1 а' , =-

2 ^

о~ п]~1

г.7+1 _ ^г+1 .

' 2к '

В предположении достаточной гладкости функций, входящих в уравнение (16), выполним разложения сеточных функций, входящих в уравнение (16) в ряд Тейлора в окрестности точки

(Хг > ) :

Н! = Н

7+1

дН

дг

0(т2),

н£ =НГ+ А

дН

дх

(*/>*,-! 1) к2 д2Н

2 дх

/г3 52//

6 (Эх

дН

дх

+ ■

к2 д2Н

2 дх

к3 д2Н

6 дх

+ 0(к4),

1)

(17)

7+1 7+1 О ~ О Аналогично записьшаются выражения для сеточных функций О , . и , , у*1 = — 1

4 4 ' 2И

2 2

которые мы для краткости опускаем.

Подставляя указанные представления в уравнение (16), получим:

дН д , дН ч ,

---(а-) + Ъ

д1 дх дх

+ П,г = /О,> )> ГД6 = + к2У

Учитьшая исходное уравнение (10) ЁИ-__—

д1 дх

Г яд Л

дх

а-

V /

+ = у (х^ а также граничные

условия, получаем, что погрешность аппроксимации есть величина порядка 0(т + к2).

Как принято при исследовании устойчивости разностных схем энергетическим методом вводится гильбертово пространство сеточных функций Н со скалярными произведениями:

N-1

1=1

N

(г, у] - ^гуД.

Также рассматриваются нормы в Ни Н^:

\\4=у1М, Ил=

где А = А* > О, А, В - операторы, переводящие элементы Н в себя. Тогда построенная разностная схема записывается в виде:

Н1+1-Н]

В--— + АН] =/, 7 = 0,1,...,

г

Я°(хг) = у хг ,

где В = Е + Т А > 0,5 Т А, что в соответствии с теорией устойчивости двухслойных схем означает устойчивость по начальным условиям и правой части.

4. Численная реализация математической модели

Система уравнений преобразуется к стандартному виду:

А1Н1_1-В1Н1+С1Н1+1+В1= 0;

4 (¿)2

д. = 1 +

7+1.

(Л)2 4 (И)2 4

1_ 5

2

Г = -Л-

4 (¿)2

Ц=(Ь/+1-//+1)т-Н>

х=х,. 1=1

В соответствии с теорией метода прогонки, определяют прогоночные коэффициенты:

W = ,}> +A'W'-1 ; 7 = 1,2,...,JY -1. В,-А,_ХР,_Х

Коэффициенты р, W0

и PN, находят из граничных условий:

Ж0=Я(х0), WN=H{xnw).

После того, как прогоночные коэффициенты определены, вычисляют значения искомой функции Я," = 1] Н^ + W/+l.

Метод прогонки устойчив при выполнении условия: Aj + Cj < Я . если существует, хотя

бы, один узел сетки, где данное неравенство выполняется в строгом смысле, что в данном случае имеет место.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барышников Н.Б., Попов И.В. Динамика русловых потоков и русловые процессы. Л.: Гидроме-теоиздат. 1988. 456 с.

2. Дебольский В.К., Зайдлер Р., Массель С. и др. Динамика русловых потоков и литодинамика прибрежной зоны моря. М.: Наука, 1994. 303 с.

3. Леонтьев И.О. Прибрежная динамика: волны, течения, потоки наносов. М.: Геос. 2001. 272 с.

4. Проценко Е.А. Модель и алгоритм решения задачи о транспорте наносов // Известия ЮФУ, Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблеы математического моделирования». Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009. № 8 (97). С. 71-75.

5. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. 2-е изд., испр. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2005. 384 с.

6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. 2-е изд., М.: Научный мир, 2003.-316 с.

7. Сухинов А.И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения. М.: МАКС Пресс, 2005. 408 с.

8. Чеботарев А.И. Гидрологический словарь. Л.: Гидрометеоиздат, 1978. 308 с.

В.Ф. Сокуров

ВОЗДЕЙСТВИЕ КОСМИЧЕСКОЙ РАДИАЦИИ НА ОРГАНИЗМ ЧЕЛОВЕКА

Рассматривается воздействие потока космических лучей на живой организм за пределами магнитного поля Земли и защита от облучения.

Установлено, что наибольшую радиационную опасность представляют солнечные протоны с энергией выше 108 эВ, которые создают в обшивке корабля мощную электронно-фотонную лавину и поток рентгеновских лучей (за счет тормозного излучения электронов).

Поток частиц высоких энергий 108 - 109 эВ не может проникнуть на поверхность Земли, так как частицы таких энергий отклоняются магнитным полем Земли и огибают магнитосферу.

Однако, энергичные частицы наиболее глубоко проникают в магнитосферу Земли в приполярных районах, и космическая радиация, помимо всего прочего, может настичь человека.

После наиболее мощных солнечных вспышек доза, полученная даже в течение одного трансполярного полета на пассажирском самолете, может быть больше, чем доза ста флюорографических обследований.