Использование темпоральных графов как моделей сложных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел III. Информационные технологии в управлении

УДК 681.327

Л.С. Берштейн, АЛ. Боженюк

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕМПОРАЛЬНЫХ ГРАФОВ КАК МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрена модель темпорального графа, в котором инцидентность вершин и ребер изменяется в дискретном времени. Введены понятия достижимости и сильной связности темпорального графа.

Темпоральный граф); суграф; матрица смежности; достижимость графа; связность

.

L.S. Bershtein, A.V. Bozhenyuk

THE USING OF TEMPORAL GRAPHS AS THE MODELS OF COMPLISITY

SYSTEMS

In this paper the model of temporal graph is considered. In this graph the incidence of vertices and edges is changed in the discrete time. The notions of graph reachability, and graph connectivity are considered too.

Temporal graph; subgraph; adjacent matrix; graph reachability; graph connectivity.

Теория графов привлекает большое внимание специалистов различных областей знания. Она используется для изучения многих сложных природных явлений. Наряду с традиционными применениями ее в таких науках, как физика, электротехника, химия, она проникла и в науки, считавшиеся раньше далекими от нее - экономику, социологию, лингвистику и др. Традиционно теория графов используется для представления отношений между элементами сложных структур различной природы [1-3]. При этом данные отношения между элементами являются постоянными и не меняются во времени. Такие графы в работе [4] были названы «статическими». В случае, когда отношения между элементами некоторой структуры изменяются во времени, традиционные «статические» графы неприменимы для их описания и моделирования.

В данной работе рассматривается подход к построению темпорального графа, то есть графой модели, в которой связи между элементами (вершинами графа) изменяются во времени. Необходимо отметить, что само понятие темпорального графа (temporal graph) известно в литературе и трактуется в достаточно широком -

сетей Петри [5-10].

Темпоральным графом назовем тройку G=(X,{rt},T), где X - множество вершин графа с числом вершин |X|=n; T={1,2,...,N} - множество натуральных чисел, определяющих (дискретное) время; {Г} - семейство соответствий, или отображений множества вершин X в себя в момент времени teT, т.е., (Vte TTX^X. Причем, для различных моментов времени эти отображения, в общем случае, различные:

(VxeX)(Vti,t2eT tl&2) [Ги(х)ф Г2(х)].

Пример 1. Рассмотрим темпоральный граф 0=(Х,{Г},Т), у которого множество вершин Х={х1, х2, х3, х4, х5}, время Т={1, 2, 3}, п=5, N=3, а семейство соответствий {Г} задано в виде:

Гі(Хі) = {Х2, Х5}, Г2(Хі) = {Х2}, Гз(Хі) = {Х5},

Гі(Х2)=0, Г2(Х2) = {Х5}, Гз(Х2) = {Хз},

Гі(Хз) = {Х2}, Г2(Хз)= {Х4}, Гз(хз) = Х},

Гі(Х4) = {Х5}, Г2(Х4) = {Хз}, Гз(Х4) = {Хз},

Гі(Х5)= 0, Г2(Х5) = {Хі, Х4}, Гз(Х5) = {Х2, Х4}.

Графически темпоральный граф можно задать в виде обычного ориентированного графа, на дугах которого указан момент времени (множество моментов времени) их действия.

Граф, рассмотренный в примере 1, имеет вид, приведенный на рис. 1:

{3}

{2,3}

{2,3}

Рис. 1. Пример темпорального графа

Введем понятие смежности в темпоральном графе, которое является расширением понятия смежности обычного ориентированного графа:

Вершина является смежной вершине х,■ по моменту времени /еТ, если выполняется условие: хеГГх).

Вершины могут быть смежными друг другу по нескольким моментам времени, а могут не быть смежными вообще. Например, вершина х2 смежная вершине хг по моментам времени 1 и 2, и несмежная вершине х3.

Суграфом по моменту времени /еТ темпорального графа О=(Х,{Г},Т) назовем обычный (нетемпоральный) граф О(/)=(Х,Г), у которого Г есть отображение множества вершин X в себя в момент времени /.

Так, для темпорального графа О, приведенного на рис. 1, суграфами в моменты времени /=1, 2, 3 являются графы О;, О2 и О3, приведенные на рис. 2.

0(1) 0(2) 0(3)

Рис. 2. Семейство суграфов темпорального графа

Темпоральный граф О=(Х,{Г},Т) взаимно однозначно представляется семейством своих суграфов {О(/)\ /еТ}.

Темпоральный граф О=(Х,{Г/},Т) можно представить временной матрицей смежности вершин КО=\\Гц\\, /,7=1,2,...,п, элементы которой определяют подмножество моментов времени, при котором соответствующие вершины являются смежными. Иными словами:

{' }, если Хі Є Г (Хі),

0

в противном случае.

О, . 1,

вершин имеет вид

Ко =

Х1 Х2 Х3 Х4 Х5

Х1 "0 {1,2} <0 0 {1,3}

Х2 0 0 {3} 0 {2}

Х3 0 {1} 0 {2,3} 0

Х4 0 0 {2,3} 0 {1}

Х5 ч{2} {3} 0 {2,3} 0

Пусть Я(/) =|| г7) ||, /е Т - матрица смежности суграфа Оф. Здесь

1, если х7 бГ( (х{), 0 в противном случае.

Определим операцию произведения матрицы смежности Я(/) на некоторое число р как р X Я(/) =|| г(р) ||, /, 7 = 1, п, где

т(р) = • у

если тЦ') = 1,

У

{p},

0 в противном случае.

и операцию объединения квадратных матриц Я1 =|| 7 || и Я2 =|| 7 || одинако-

вой размерности пхп как Я1 и Я2 =|| {г7 где

[{г7(1)} и {г,(2)}, еслиг^ 7 Ф0,

I 0 в противном случае.

ЯО О

матрицами смежности Щ), /={1,2,...,Ы} его суграфов по времени запишется в виде

X,

Ко = ^ х К(').

Для темпорального графа О, приведенного на рис. 1, матрицы смежности его суграфов по времени О(1), О(2) и О(3) имеют вид

Д(1) =

Хл X,

0 1 0 0 1 X1 0 1 0 0 0

x2 0 0 0 0 0 X, 0 0 0 0 1

x3 0 1 0 0 0 , К(2) = Xз 0 0 0 1 0

X4 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

X5 0 0 0 0 0 X5 1 0 0 1 0

X х

X

X

X.

ад=

/0 0 0 0 П 0 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 10 10

что

временная

матрица

,

ЯО = 1 х Я(1) и 2 х Я(2) и 3 х Я(3).

Рассмотрим теперь понятия достижимости и сильной связности темпораль-.

Будем считать, что вершина xk достижима из вершины X], если существует такая последовательность вершин

seq(x1,xk) = (Xl,X2,...,Xк),

(1)

ЧТО x2 е Г (X!) , X3 е Г (x2), ..., xk е Г,. ^ (xk_1) и при этом выполняется ус-

ловие:

/1 ^ 12 ^ /ы, 11, 12,., к-]е Т.

, (1) -

на смежна предыдущей по моменту времени не меньшем чем моменты, по которым все предыдущие вершины в этой последовательности являются смежными. Значение 1^1 назовем временем достижимости вершины xk из вершины x1.

Если существует несколько Ь последовательностей вида (1) из вершины x1 в вершину xk, то значения для каждой последовательности

seq■ (x1, xk), у = 1, Ь могут быть различными. Наименьшее из этих величин назовем минимальным временем достижимости ?Ш1П (x1, xk ) вершины xk из вершины x1, т.е.:

*тш( X1, X ) = т1п(/1 ^1}.

у =1, Ь

Пример 2. В темпоральном графе, приведенном на рис. 1, вершина x3 достижима из вершины x1 с помощью последовательностей: seq1=(x1,x2,x3),

x1 x2 x3

x1 x2 x3

и

X

2

3

X

4

X

5

seq2=(x1,x5,x4,x3), seq3=(x1,x2,x5,x4,x3) и seq4=(x1,x5,x2,x3), с временами достижимости

3, 2, 2 и 3 соответственно. Поэтому, величина tmm (x1, x3) = 2 .

Темпоральный граф О назовем сильно связным, если каждая вершина графа достижима из любой другой вершины за конечное время.

Величину = таХ^тп(XІ , )} назовем временем СИЛЬНОЙ СВЯЗНОСТИ

Ул ,X е!

О. ,

любой другой вершины за время не более 1цСоп .

Так темпоральный граф, приведенный на рис. 1, является сильно связным, с

величиной 1соп =2, а темпоральный граф, приведенный на рис. 3, не является

. О1 О2, -

вающие исходный граф, каждый из которых является сильно связным с временем сильной связности соответственно 2 и 3.

Введенное понятие темпорального графа, его достижимости и связности может послужить основой для моделирования сложных структур, в которых элементы имеют связи, изменяющиеся во времени.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. - М.: Наука, 1975.

2. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978.

3. Харари Ф. Теория графов. - М.: Мир, 1973.

4. Kostakos V. Temporal graphs. In Proc. of Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol.388, Issue 6, Elsevier, 2008. - P. 1007-1023.

5. Barzilay R, Elhadad N., McKeown K. Inferring strategies for sentence ordering in multidocument news summarization. Journal of Artificial Intelligence Research, №17, 2002. - P. 35-55.

6. Bramsen P.J. Doing Time: Inducing Temporal Graphs. Technical report, Massachusetts Institute of Technology, 2006. - 51 p.

7. Baldan P., Corradini A., Konig B. Verifying finite-state graph grammars: An unfolding-based approach. In Proc. of CONCUR’04, vol.3170 of Lecture Notes in Computer Science, Springer, 2004. - .83-98.

8. Baldan P., Corradini A., Konig B. Verifying a behavioural logic for graph transformation systems. In Proc. of COMETA’03, vol.104 of ENTCS, Elsevier, 2004. - P. 5-24.

2О2

9. Erten C., Harding P.J., Kobourov S.G., Wampler K., Yee G. Exploring the computing literature using temporal graph. http://tgrip.cs. arizona.edu.

10. Dittmann F., Bobda C. Temporal graph placement on mesh-based coarse grain reconfigurable systems using the spectral method // From Specification to Embedded Systems Application, vol.i84, Springer, 2О05. - P. 30i-3i0.

Берштейн Леонид Самойлович

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный » .

E-mail: [email protected].

347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 88б3437^95.

Боженюк Александр Витальевич

E-mail: [email protected].

Bershtein Leonid Samoilovich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education «Southern Federal University».

E-mail: [email protected].

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78б3437^95.

Bozhenyuk Alexander Vitalievich

E-mail: [email protected].

УДК 681.3.06

C.JI. Беляков, ИЛ. Розенберг

КОМБИНИРОВАННАЯ АНАЛОГИЯ ПРИ ПОИСКЕ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

Рассматривается задача поиска картографических материалов в интеллектуальных , . -вать комбинированную аналогию как способ представления знаний о поиске. Приводится алгоритм нахождения контекстов комбинированной аналогии.

Геоинформационные системы; цифровые карты; компьютерные сети.

S.L. Belyakov, I.N. Rozenber

COMBINED ANALOGY WHEN LOOKING FOR CARTOGRAPHIC

MATERIALS

In work the problem of search of maps and sharts in the intellectual geoinformation systems using the mechanism of analogy is considered. It is offered to use the combined analogy as a way of representation of knowledge of search. The algorithm of a finding of contexts of the combined analogy is resulted.

Ggeographic information system; digital maps; computer network.

Решение прикладных задач с помощью интеллектуальной геоинформацион-ной системы предполагает использование процедуры картографического анализа. Одним из начальных его этапов является поиск и отбор необходимых картографи. -, . -чевым словам либо каталогам поисковых серверов имеет определённые недостат-