CC BY
112
9. Гретцер Г. Общая теория решеток: Пер. с англ. / Под редакцией Д.М. Смирнова.
- М.: Мир, 1981.
10. Новак В., Перфильева H., Мочкорж Н. Математические принципы нечеткой логики:
Пер. с англ. / Под ред. А.Н. Аверкина. - М.: Физматлит, 2006. - 352 с.
11. . . : ,
, . - .: , 2002. - 352 .
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор С.М. Ковалев.
Бердник Владислав Леонидович - Волгоградский государственный технический университет; e-mail: [email protected]; 400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28; тел.: 88442248491; к.т.н.; ст. преподаватель.
Заболеева-Зотова Алла Викторовна - e-mail: [email protected]; тел.: 88442248492; д.т.н.;
.
Berdnik Vladislav Leonidovish - Volgograd State Technical University; e-mail: [email protected]; 28, Lenin V.I. avenue, Volgograd, 400131, Russia; phone: +78442248491; cand. of eng. sc.; senior lecturer.
Zaboleeva-Zotova Alla Victorovna - e-mail: [email protected]; phone: +78442248492; dr. of eng. sc.; professor.
УДК 681.3:519.168
Л.С. Берштейн, С Л. Беляков, А.В. Боженюк
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ТЕМПОРАЛЬНЫХ ГРАФОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ГИС*
Произведен анализ геоинформационных моделей. Обосновывается их нестаттность, нечеткость и неопределенность. В связи с этим, вводится понятие нечеткого темпораль-, , , , -ны - темпорального графов. В нечетком темпоральном графе степень связности вершин изменяется в дискретном времени. Предлагается использовать нечеткий темпоральный граф в качестве модели в геоинформационной системе. В работе введены понятия нечет, , , -мости и степени связности нечеткого темпорального графа.
Нечеткий темпоральный граф; степень достижимости; время достижимости; степень связности вершин графа.
L.S. Bershtein, S.L. Beliakov, A.V. Bozhenyuk THE USING OF FUZZY TEMPORAL GRAPHS FOR MODELING IN GIS
In this paper the analysis of geoinformation models is made. The illegibility, uncertainty and fuzziness of geoinformation models are proved. In this connection, the concept of fuzzy temporal graph is introduced. Which one is a generalisation of a fuzzy graph on the one hand, and a temporal graph on the other hand. The incidence of graph vertices is changed in the discrete time in fuzzy temporal graph. Fuzzy temporal graph is offered to use as a model in geographical information system. The notions of degree of graph reachability, reachability time and degree of graph connectivity are considered too.
Fuzzy temporal graph; degree of graph reachability; reachability time; degree of graph connectivity.
* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект № 10-01-00029а.
Геоинформационные технологии направлены на создание информационных , . геоинформационных технологиях имеет визуализация. Карты и схемы играют одновременно роль исходных данных, среды моделирования и представления ре, . -рат, используемый геоинформационными системами (ГИС) для конструирования
,
представления и манипулирования объектами [1, 2]. Одним из важных классов подобных объектов являются графы. Как универсальное средство моделирования , -лиза и синтеза геоинформационных моделей [3, 4].
Геоинформационные модели не является статичными. Изменение простран, , -ческих объектов и изменения реального мира взаимообусловлены и предусматривают динамику геоинформационных моделей. Как показывает анализ, традиционно используемые графовые модели в ряде случаев становятся неадекватны постановкам задач в условиях динамичности. Причиной тому может стать:
♦ неполнота данных, которую несёт в себе картографическая основа ГИС. Процесс производства карт предполагает использование набора нескольких источников картографической информации и массивов геоданных. Согласование сведений, зачастую противоречивых, приводит к «пересогласованное™», т.е. к искажениям карты. Кроме того, построение карты сопровождается картографической генерализацией - целенаправленным выделением главного и обобщением. Поскольку эта процедура не лишена
,
электронным картам должно вносить категории нечеткости [5, 6]. Без них модель представляется упрощённой, что приведёт к сложности последующей интерпретации результатов моделирования;
♦ использование данных из недостоверных источников вне ГИС. Решение многих задач в среде ГИС предполагает знание текущего состояния отображаемой области пространства. Например, анализ транспортной ситуации в городе предполагает наличие данных о пропускной способности
, ,
, -
дукции, произведённой городскими предприятиями. Однако получить подобные данные с абсолютной достоверностью невозможно. Как следствие, требуются механизмы извлечения информации косвенным путём, например из сети Интернет. Полнота, достоверность и непротиворечивость подобных сведений оценивается экспертами и описывается нечётко;
♦ при использовании графов традиционно предполагается, что достижимость
вершин однозначно определяется заданным вариантом графа. Во многих случаях это не так [7]. Веса отдельных дуг могут изменяться во времени, в про, - -
за и синтеза графов, алгоритмы решения оптимизационных задач на графах.
, -
новки задач. На рис. 1 показана карта железных дорог, на основании которой по-
. , решать задачи нахождения кратчайшего пути, оценивать потоки, находить центры , , задачи [3, 4]. Вместе с тем, при заданном расписании движения поездов решить задачу транспортировки дополнительного (не входящего в график) состава между
заданной парой станций за минимальное время традиционным путём становится .
граф дорожной сети не включаются. Здесь могут быть поставлены задачи:
♦ каков кратчайший путь из вершины А в В, если задан временной интервал начала движения из А;
♦ каков кратчайший путь из вершины А в В, если задан временной интервал прибытия в В, и другие.
Рис. 1. Карта с сетью железных дорог и схемой дорог
Приведённые постановки на практике связаны с неопрелённостью временных и метрических характеристик транспортной сети.
В случае решения задач логистики сложность графовых моделей растёт. На рис. 2 показан пример логистической сети, описывающей возможные направления перемещения материальных потоков. Вес каждой дуги определяется сложным об, , транспортной сети и динамики процессов, влияющих на транспортировку.
, ,
геоинформационных моделей требует специфического - темпорального описания графа. Поведение описывается функцией времени. Можно указать следующие модели описания поведения:
♦ аналитиче с кая модель. Известным недостатком такого подхода является необходимость применения упрощений, позволяющих применять матема-
. ;
♦ статистическая модель. Применима в тех случаях, когда исследователь располагает необходимыми средствами наблюдения в неизменных условиях. На практике это труднодостижимо. Но совершенствование технических средств наблюдения Земли позволяет говорить о перспективности
;
♦ экспертная ло гическая модель. Строится на основе индивидуального опы-
. - . знания в определённых случаях дают более адекватный результат, чем полная формализация [8];
♦ картометри ческая модель. Под измерением на карте понимается обобщён,
. -
ческого и неметрического характера. Современная структурная организация ГИС даёт возможность связывать с картографическими объектами сколь угодно сложное поведение, поддерживает коммуникацию с любыми внешними источниками данных локальных и глобальных сетей. Возникает идея моделей комбинированного характера, в которые входит сбор реаль-, .
Рис. 2. Логистическая сеть
Последний вариант модели представляется наиболее перспективным. Его реализация требует проработки аппарата анализа и синтеза теории нечетких темпоральных графов, которые, с одной стороны, обладали бы свойством нечеткости [9, 10], а с другой - изменялись бы во времени.
Необходимо отметить, что само понятие темпорального графа (temporal graph) известно в литературе и трактуется в достаточно широком диапазоне - от временных графиков до ориентированных ациклических графов и сетей Петри [11-16].
В данной работе рассматривается подход к построению нечеткого темпорального графа, в котором нечеткие связи между вершинами графа [10] меняются в дискретном времени [17].
Темпоральным нечетким графом назовем тройку G = (X,Ut,T), где X -множество вершин графа с числом вершин |Х|=и; T=[1,2,...,N] - множество натуральных чисел, определяющих (дискретное) время; U={<IXt(Xi,Xj)/(Xi,Xj) > } -
нечеткое множество ребер, где x^cX, /ut(xi,xj)e[0,1] - значение функции принадлежности /ut для ребра (x,,xj) в момент времени teT. Причем для различных момен-
(Xi,Xi) ,
в общем случае, различные.
Пример 1. Рассмотрим нечеткий темпоральный граф О = (X,и,,Т), у которого множество вершин Х={х 1, х2, х3, х4, х5, х6], время Т={1, 2, 3}, п=6, N=3, а нечеткое множество дуг иг задано в виде
иг = {<0,81/(х1,Х2>, <12/(х1,Х2)>, <0,51/(х2,Х1)>, <12/(х2,Х1)>, <0,72/(х2,Хз)>, <0,8з/(Х2,Хз)>, <11/(Хз,Х2)>, <1з/(Хз,Х2)>, <0,6^(Хз,Х5)>, <1з/(Хз,Х5)>, <0,81/(Х5,Хз)>,
<0,93/(х5,х3)>, <0,92/(х5,х6)>, <13/(х6,х5)>, <0,81/(х1,х4)>, <13/(х1,х4)>, <0,81/(х4,х1)>,
<12/(Х4,Х1)>, <0,92/(Х4,Х5)>, <0,61/(Х5,Х4)>, <1з/(Х5,Х4)>}.
Графически нечеткий темпоральный граф можно задать в виде нечеткого , -лежности л в моменты времени 1еТ.
Граф, рассмотренный в примере 1, имеет вид, приведенный на рис. 3:
{<0,7/2>,<0,8/3>} Хз
{<0.9/2>} Хб
1
{<1/3>}
Х4
Рис. 3. Пример нечеткого темпорального графа для Т={1,2,3}
Будем считать, что вершина х^ является нечетко смежной вершине Х1 по моменту времени 1еТ, если выполняется условие: а,(хьХ])>0.
Ориентированным нечетким путем L(х;, Хк ) нечеткого темпорального гра-
О , -
ШИНЫ Х1 в вершину хк, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от по-
, :
~(Х1,Хк) =< л(Х,Х)/(х1 ,Хх) >, < л2(Хх,Х2)/(Хх,Х2) > ,...,
<ЛЧ (Хк -^ Хк)/(ХкХк) >, (1)
и для которой выполняются условия
А(Х, Х1) > ^ Лt2 (Х2, Х3) > 0, •••, (Хк-^ Хк) > 0, (2)
а для моментов времени t1, ^,..., Твыполняется неравенство
11 < 12 <.< tk. (3)
, (1) -
четко является смежной предыдущей вершине по моменту времени, не меньше
,
являются нечетко смежными.
Конъюнктивная прочность пути L (Хi, Хк ) определится выражением
А&(Цх;,хк)) = & А <х;,х] >.
Нечеткий путь L ( x¡, xk ) будем называть простым путем между вершинами
x¡ и xk, если его часть не является никаким другим нечетким путем между этими же вершинами.
Очевидно, что это определение совпадает с таким же определением для чет.
xk xi
темпоральном графе при условии, что существует ориентированный нечеткий
путь L(x¡, Хк ) из вершины x¡ в вершину xk.
Значение tk назовем временем достижимости вершины xk из вершины x¡, а величину ^&(L(xi,xk)) - степенью достижимости по этому пути.
Если существует несколько L последовательностей вида (1) из вершины xj в вершину xk, то значения 1[^ для каждой последовательности могут быть различными. Наименьшее из этих величин назовем минимальным временем достижимости tmin (x, xk ) вершины xk из вершины x¡, Т.е.
tmin (Х1, xk ) = -1}, (4)
j=1, L
a соответствующее ему значение ^(tmin) - степенью достижимости при мини.
Пример 2. В нечетком темпоральном графе, приведенном на рис. 3, вершина x3 достижима из вершины x¡ с помощью последовательности seqj=(xj,x2,x3) - со степенью достижимости 0,7 при времени достижимости t=2, со степенью достижимости 0,8 при t=3 и последовательности seq2=(xj,x4,x5,x3), - со степенью достижимости 0,8 при t=1 и со степенью достижимости 0,9 при t=3. Поэтому величина
tmin ( xi, x3) = 1, а значение М^) = 0,8.
Нечеткий темпоральный граф G назовем нечетко сильно связным, если каждая вершина графа достижима из любой другой вершины за конечное время.
Величину tscon = max {tmin (x¡, x] )} назовем временем сильной связности
Vx¡, xj eX j
G. ,
любой другой вершины за время не более tscon .
Введенные понятия нечеткого темпорального графа, степени его достижимости и степени связности могут послужить основой для моделирования сложных процессов в ГИС, в которых элементы имеют нечеткие связи, изменяющиеся во .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Malczewski J. GIS and Multicriteria Decision Analysis. - New York: John Wiley & Sons, Inc., 1999. - 220 p.
2. Longley, P., Goodchild M., Maguire D., Rhind D. Geographic Information Systems and Science. - New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. -350 p.
3. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. - М.: Наука, 1975. - 180 c.
4. . . . - .: , 1978. - 290 c.
5. Goodchild, M. Modelling Error in Objects and Fields. - Basingstoke: Taylor & Francis, Inc., 1989. - 114 p.
6. Zhang J., Goodchild, M. Uncertainty in Geographical Information. . - New York: Taylor & Francis, Inc, 2002. - 260 p.
7. Иерусаломский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. - М.: Вузовская книга. - 2001. - 240 с.
8. Поспелов ДА. Ситуационное управление: теория и практика.- М: Наука, 1986. - 320 с.
9. Monderson J.N., Nair P.S. Fuzzy graphs and fuzzy Hypergraphs. - Heidelberg; New York: Physical-Verl., 2000. - 248 p.
10. . ., . . . - .: , 2005.- 256 c.
11. Kostakos V. Temporal graphs // Proc. of Physica A: Statistical Mechanics and its Applications.
- 2008. - Vol. 388. - P. 1007-1023.
12. Barzilay R., Elhadad N., McKeown K. Inferring strategies for sentence ordering in multidocument news summarization // Journal of Artificial Intelligence Research. - 2002.
- № 17. - P. 35-55.
13. Bramsen P.J. Doing Time: Inducing Temporal Graphs. Technical report. - Massachusetts: Institute of Technology, 2006. - 51 p.
14. Baldan P., Corradini A., Konig B. Verifying finite-state graph grammars: An unfolding-based approach // Proc. of C0NCUR’04, vol.3170 of Lecture Notes in Computer Science. - 2004.
- P. 83-98.
15. Baldan P., Corradini A., Konig B. Verifying a behavioural logic for graph transformation systems // Proc. of C0META’03. Vol. 104 of ENTCS, Elsevier. - 2004. - P. 5-24.
16. Dittmann F., Bobda C. Temporal graph placement on mesh-based coarse grain reconfigurable systems using the spectral method // From Specification to Embedded Systems Application.
- 2005. - Vol. 184. - P. 301-310.
17. Берштейн Л.С., Боженюк ^.¿¡.Использование темпоральных графов как моделей сложных систем // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 4 (105). - С. 198-203.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор А.В. Чернов.
Берштейн Леонид Самойлович - Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: 88634371695; зав. кафедрой прикладной информатики; д.т.н.; профессор.
Беляков Станислав Леонидович - e-mail: [email protected]; д.т.н.; профессор.
Боженюк Александр Витальевич - e-mail: [email protected]; д.т.н.; профессор кафедры .
Bershtein Leonid Samoilovich - Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: [email protected]; 44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; phone: 88634371695; chief of department of applied Information science; dr. of eng. sc.; professor.
Beliacov Stanislav Leonidovich - e-mail: [email protected]; dr. of eng. sc.; professor department of applied Information science.
Bozhenyuk Alexander Vitalievich - e-mail: [email protected]; dr. of eng. sc.; professor department of dpplied information science.
