CC BY
37
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ МАТРИЦ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ НЕУСТОЙЧИВЫХ ЦИКЛОВ И НЕПОДВИЖНЫХ СОСТОЯНИЙ ДВОИЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ А. А. Мельников, Е. В. Рукуйжа, А. В. Ушаков
На основе анализа свойств матриц состояния и входа линейной двоичной динамической системы (ЛДДС) над конечным полем вР(2) решается задача обнаружения неустойчивых циклов и неподвижных состояний ЛДДС. Результаты иллюстрируются примерами.
Введение. Постановка задачи.
Рассматривается линейная двоичная динамическая система [1-3], векторно-матричное описание которой задается в формах рекуррентной
х(к+1)=Ах(к)+БЦк); х(0) (1)
у (к) = Сх(к) + Ни (к); (2)
и суммарной
к-1
х(к) = Акх(0) + ^ Ак-1-! БЩ) = Акх(0) + Щ(к) ■ У(к)
1=0 (3)
у (к) = Сх(к)+Ни(к)
моделей. В (1) - (3) х - п мерный вектор состояния ЛДДС, и - г мерная входная последовательность, У - т мерная выходная последовательность, А - (пхп) матрица состояния, В - (пхг) матрица входа, С - (тхп) матрица выхода, Н - (тхг) матрица "вход-выход", V- (к) вектор стратегии управления состоянием ЛДДС, задаваемый на первых к - тактах в форме
V(к) = ео^и(I); I = к -1,01 (4)
Щ (к) - матрица управляемости двоичной системы на первых к тактах, определяемая матричной структурой
Щ(к) = [Б | АБ | ....АК-2Б | Ак-1 б] (5)
В дальнейшем используется для оценки свойств пары матриц (А,В) матрица управляемости (5) для случая к = п, в силу чего она представляется выражением
Щ =Щ(к)|к=п =[б | АБ | ....Ап-2Б | Ап-1в] (6)
Ставится задача обнаружения неустойчивых циклов и неподвижных состояний двоичных динамичных систем вида (1) - (3) на основе анализа свойств пары матриц (АВ). Анализ опирается на то обстоятельство, что часть свойств матриц над конечными полями идентичны свойствам матриц над бесконечными [4], а другая часть свойств порождена модулярной природой конечных полей.
Свойства матриц состояния и входа над конечными полями
Анализ свойств матрицы состояния проведем опираясь на понятие матричной функции от матрицы с учетом модулярной специфики конечного поля, а анализ свойств матрицы В, в котором в основном ограничимся случаем г = 1, будем проводить на предмет установления факта принадлежности матрицы В геометрическому спектру собственных векторов матрицы А, а также установления свойства управляемости пары (А, В).
Основные результаты изложены в виде системы определений, утверждений и их доказательств.
Определение 1 (О.1) Матричной функцией f(A), представляющей собой (nxn) матрицу от (nxn) матрицы А, заданных над конечным полем GF(2) называется матричный ряд, порождаемый рядом от скалярной переменной а вида
f (а)=a0 + аха+а2а2+.... + apap +.... (7)
путем замены а на А, так что f (A) принимает вид:
f ( A)=a0I+a1A+a2 A2 +.... + apAp +... (8)
В (7), (8) at eGF(2);/ =1,p....; так, что суммирование и приведение подобных
проводится по правилам модулярной арифметики. □
Утверждение 1(У.1) Матричная функция от матрицы, порожденная модулярным характеристическим полиномом матрицы A
D( Л )=det(^I+A) =Лп + a1Àn-1 +.... + an-1 + an (9)
обнуляется этой матрицей, так что
D( A)=An + a1 A"-1 + a2 An - 2 +.....+ an-1 A + anI = 0 □ (10)
Доказательство утверждения опирается на положение теоремы Гамильтона-Кэли [4], сформулированное для случая характеристического полинома матриц над бесконечным полем [1]. ■
Определение 2 (О.2) Квадратная (nxn) матрица A обладает свойством принадлежности показателю ¿и, где ¿и - целое положительное, если выполняется условие
Au= I □ (11)
Утверждение 2 (У.2) Для того чтобы матрица A принадлежала показателю и достаточно чтобы характеристический полином D(X) этой матрицы входил в разложение двучлена Ли +1 в форме
Ли+1=Q(À) ■ D(À) (12)
где Q(Л) модулярный многочлен степени n) □
Доказательство (У.2) Сконструируем на модулярном многочлене (12) матричную функцию от матрицы
Au +1 = Q(A)■ D(A) = Q(A)(A" + a, A"-1 + a2A"-2 +....) (13)
В силу положения утверждения (У.1)
D( A) = 0 (14)
тогда подстановка (14) в (13) дает
Au +1 = 0 или Au = I ■
Определение 3 (О.3) Матрица A размерности (nxn) называется нильпотентной с индексом нильпотентности v, где v- целое положительное, если выполняется условие Av = 0 □ (15)
Утверждение 3 (У.3) Достаточным условием наличия у матрицы A свойства нильпотентности (15) с индексом v является представимость ее характеристического полинома в виде
D(X)=det( Л+A)=Л" □ (16)
Доказательство утверждения строится на свойстве (10) матрицы обнулять свой характеристический полином. ■
Утверждение 4 (У.4) Индекс нильпотентности v (nxn)-нильпотентной матрицы A удовлетворяет неравенству
2 <v< n (17)
Доказательство утверждения строится на канонической форме нильпотентной матрицы. Если каноническая форма матрицы A представляет собой (nxn) клетку Жордана [4] с нулевыми диагональными элементами, то индекс нильпотентности v ее равен значению n и является максимальным, что доказывает справедливость правой части неравенства (17). Если отсечением согласованных по размеру левых нулевых столбцов и нижних нулевых строк получается Жорданова клетка размера v<n, при этом индекс нильпотентности v такой матрицы устанавливается прямым возведением в степень v матрицы A, то очевидно, что минимальный размер Жордановой клетки с нулевыми диагональными элементами будет равен двум, что доказывает
справедливость левой части неравенства (17). ■
Утверждение 5 (У.5) Если матрица входа B имеет размерность (nxl) и при этом она является собственным вектором матрицы состояния A ЛДДС (1), то пространство управляемости ЛДДС имеет размерность равную единице. □
Доказательство утверждения строится на том, что размерность пространства управляемости системы (1) определяется рангом ее матрицы управляемости
Wy = [B | AB | A2 B |....| An-1b] (18)
Воспользуемся свойством собственного вектора матрицы A. Если некоторый вектор % является собственным вектором матрицы A, то над конечным полем GF (2) это обстоятельство может быть представлено в форме
A%=% (19)
Подставим в (19) вместо % матрицу-столбец B , тогда на основе (19) получим матричные равенства AB = B;
A2 B = A( AB) = AB = B; . (20)
ApB = Ap-2(A2B) = Ap-2 • B = B
Если (20) подставить в (18), то для матрицы управяемости получим W = [B | B | ...B]= row ^ = B; i = 1w J (21)
Матрица управляемости вида (21) обладает тем свойством, что ранг ее равен единице. ■
Утверждение 6(У.6) Пусть ЛДДС (1) характеризуется передаточной функцией
) = Ж=Md) (22)
U (d) D(d)
где Y (d ),U (d) — образы соответственно выходной y(k) и входной u (k)
последовательностей ЛДДС (1); M (d ), D(d ) - модулярные многочлены относительно переменной d с коэффициентом из GF(2); тогда характеристический полином
матрицы A ЛДДС (1) и знаменатель D(d ) передаточной функции (22) этой системы связаны соотношением
D(X) = D(d-1) | d-1 =А (23)
причем D(d-1) задается соотношением
D(d-1):D(d)=dnD(d_1) □ (24)
Доказательство утверждения строится на применении к векторно-матричному описанию (1) ЛДДС прямого й - преобразования [1,2] при нулевом начальном ее состоянии, тогда с использованием свойств й - преобразования получим
й-1 X (й)=АХ (й)+Ви (й); (25)
У (й)=СХ (й) + Ни (й) (26)
где X (й) - Д образы состояния х(к) входной последовательности и (к) и выходной У (к) соответственно.
Разрешим соотношение (25),(26) относительно У(й), исключив из них X(й). Тогда получим
У (й) = {С (й-11 + А)-1 В+Н )и (й) (27)
Нетрудно видеть, что (27) представляет собой передаточную функцию ЛДДС, записанную в мультипликативной форме так, что
1
Ф (й)=С йЧ + А)-1 В+Н =---С (А(й+А))1 ■ В+Н (28)
ёе1;(й I+А)
Из(28)следует
ёе^й-1!+А)=Б(йоткуда следует (23) ■
Основной результат
Для решения задачи, вынесенной в название статьи, введем и сформулируем дополнительные определения и утверждения.
Определение 4(О.4) ЛДДС (1) называется асимптотически устойчивой при и (к) = 0, если существует значение к * такое, что выполняется соотношение
х(к)=х[х(0);и(к)=0, к]= 0 при к > к" и любых х(0). □ (29)
Утверждение 7 (У.7) Если матрица А состояния ЛДДС (1) обладает индексом нильпотентности V, то эта двоичная динамическая система будет асимптотически устойчива в смысле определения О.4 в форме (29), при этом к * определяется равенством
к * =v □ (30)
Доказательство утверждения строится на использовании суммарной модели (3) представления процессов ЛДДС по вектору состояния х(к). Если в (3) положить условие и (к) = 0 для любого к, то
х(к) = Акх(0) (31)
По условию утверждения матрица А является нильпотентной с индексом нильпотентности V, в силу чего для к >v, выполняется равенство
Ак = 0 (32)
Соотношения (31)-(32) делают справедливым положение (29), где к * =v, а х(0) любое. ■
Доказанное утверждение сформулированное в негативной логике приводит к тому, что если матрица состояния не является нильпотентной, то такая ЛДДС не обладает свойством асимптотической устойчивости, в ней возможны неподвижные состояния, замкнутые неустойчивые циклы и особые режимы поведения в случае, если матрица В оказывается собственным вектором матрицы А.
Определение 5 (О.5) Пусть ЛДДС (1) характеризуется (пхп) матрицей состояния А, не обладающей свойством нильпотентности, тогда цикл длины Т при и (к) = 0,
сформированный на подмножестве X множеств состояний этой ЛДДС мощностью 2п, будет называться неустойчивым, если условие
х (к) = х (к + Т), ~ (33)
выполняется для любого xi (к )еХ (/ = 0, Т -1) □
Выделим на множестве X удовлетворяющем условию (33) частные случаи Т, удовлетворяющие неравенствам
1 < Т < 2п -1 (34)
задаваемые следующими определениями и утверждениями
Определение 6 (О.6) Состояние х(к) называется неподвижным, если оно удовлетворяет условию
х(к + 1) = х(к) □ (35)
Условие (35) может быть реализовано следующими двумя способами, которые определим утверждениями.
Утверждение 8(У.8) ЛДДС (1), с (пхп) матрицей состояния А, при любой ее реализации всегда имеет в качестве неподвижного состояния нулевое состояние х(к) = 0 □
Доказательство утверждения использует рекуррентную модель ЛДДС (1), в которой положено и (к) = 0, так, что она принимает вид
х(к + 1)=Ах(к) (36)
Подстановка в (36) условия х(к) = 0 дает при любой матрице А, для состояния перехода
х(к + 1) = 0 (37)
что приводит к удовлетворению (35) ■
Утверждение 9 (У.9) ЛДДС (1) с (пхп) матрицей состояния А произвольной реализации имеет в качестве неподвижного состояния состояние, которое является ее собственным вектором. □
Доказательство утверждения опирается на определение собственного вектора который с учетом специфики конечного поля ОЕ (2), записывается в форме
(38)
Подстановка х(к)=% в (36) в силу (38) приводит к (35). ■
Необходимо сделать следующие примечания. Примечание 1 (П.1)
Нетрудно видеть, что условию утверждения У.9 удовлетворяет любой вектор если матрица состояния ЛДДС (1) является единичной. □
Рассмотрим теперь ситуацию, в которой Т = / , где / - показатель, которому принадлежит матрица А.
Если характеристический полином Э(Я) = ёе1;(Я! + А) является неприводимым, то, как известно [5], показатель / в этом случае связан с размерностью п соотношением / = 2п-1 (40)
Таким образом, в случае удовлетворяющем (40) все множество мощностью 2п состояний ЛДДС (1), (36) разбивается на два подмножества, где одно представлено нулевым неподвижным состоянием, а второе образовано / состояниями, где / удовлетворяет (40), образующими замкнутый неустойчивый цикл.
Если характеристический полином Э (Я), является приводимым, то в зависимости от конкретной его реализации / принимает одно из значений удовлетворяющее неравенству
п </< 2п-1
В этом случае 2п возможных состояний ЛДДС (1), (36) образует сумму подмножеств. Первое из них образуется нулевым неподвижным состоянием. Второе-образуется р неустойчивыми циклами, каждое из которых содержит и состояний. Следующие подмножества образованы неподвижными состояниями
соответствующими собственным векторам матрицы А и, наконец, последнее подмножество образовано собственными векторами матрицы Ах составляющими замкнутый цикл из х состояний, где
х = 2п -1 - и-[[4,)] (41)
[(^ )]- мощность множества из элементов (£. ) (38).
В ключе поставленной проблемы обнаружения неподвижных состояний и замкнутых неустойчивых циклов, рассмотрим теперь поведение ЛДДС (1) для случая ненулевой входной последовательности. При этом выделим ситуацию, когда матрица В размерности (пх1) является собственным вектором матрицы А. Для этой ситуации сформулируем следующее утверждение.
Утверждение 10 (У.10) Пусть входная последовательность представляет собой унитарный код, так что
и (к) = 1(к) (42)
Пусть матрица входа В размерности (пх1) является собственным вектором матрицы А так, что выполняется соотношение
АВ = В (43)
Тогда, под действием такой входной последовательности в пространстве состояний ЛДДС (1), возникает вынужденное движение, образующее неустойчивый замкнутый цикл {х(к) = 0; х(к +1) = В} с периодом Т = 2. □
Доказательство утверждения строится на рекуррентной модели ЛДДС (1) в предположении, что х(к) = 0 и с учетом условий (42), (43), тогда рекуррентная модель для смежных к, (к +1), (к + 2) тактов приводит к результатам
х(к +1) = Ах(к) + Ви(к) = А0 + В -1 = В (44)
х(к + 2) = Ах(к +1) + Ви (к +1) = АВ + В -1 = В + В = 0 (45)
Из (44), (45) становится очевидным справедливость равенства х(к + 2) = х(к) ■ (46)
Примеры
В качестве примеров, иллюстрирующих основные положения работы, рассмотрим три версии ЛДДС третьего порядка (п =3) со следующими реализациями матриц состояния А:
А = со/{[010], [001], [101]}: Б(Л) = ёе1(Л I + А) = Л3 + Л2 +1 (47)
А = со/ {[010], [001], [111]}: Л) = ёе<Л I + А) = Л3 +Л2 +Л +1 (48)
А = со/ {[010], [001], [00]}: £(Л) = det(ЛI + А) = Л3 +1 (49)
при этом все версии ЛДДС будут иметь матрицу входа В
В = [111 ]Т (50)
Анализ информации, представленный (47) показывает, что матрица А (47) обладает неприводимым характеристическим полиномом ^(Л) поэтому она
принадлежит показателю и = 2п -1 = 7. Как следствие, структура состояний ЛДДС с такой матрицей при и (к) = 0 представлена двумя подмножествами. Первое подмножество состоит из нулевого состояния, являющегося неподвижным, второе подмножество образует неустойчивый цикл из оставшихся семи состояний. Матрица А
(47) с матрицей B (50) образует полностью управляемую пару, так что матрица управляемости
W = [в | AB | A2B]= row {lll]T,[ll0]T , [l0l]T } обладает рангом равным 3, что соответствует выполнению условия управляемости rangW = n . Установленное свойство полной управляемости ЛДДС гарантирует соответствующим выбором входной последовательности перевод системы из любого начального состояния в любое конечное за фиксированное число тактов.
Анализ информации представленный (48) обнаруживает, что матрица A принадлежит показателю / = 4. Структура пространства ЛДДС для этого случая при U(к) = 0 разбивается на 4 подмножества. Первое подмножество представлено неподвижным нулевым состоянием х = [000]T . Второе подмножество представлено состояниями образующими замкнутый неустойчивый цикл с периодом равным 4. Третье подмножество образовано неподвижным состоянием х = [lll]T, которое является собственным вектором матрицы A. Четвертое подмножество представлено состояниями, образующими замкнутый неустойчивый цикл с периодом Т = 2, каждое из которых х(к) = [0l0]T и х(к) = [l0l]T таково, что для них выполняются соотношения х(к + 2) = A2 х(к) = х(к) , является собственным вектором матрицы A 2 .
A2 = Co/{[00lJ [ill], [l00]} £ =[010]t ,£2 =[l0l]T
Матрица A (48) и матрица B (50) образуют не полностью управляемую пару, т.к. матрица B (50) является собственным вектором матрицы A, как следствие при входной последовательности в виде унитарного входа U (к) = Цк) в структуре состояний ЛДДС возникает неустойчивый вынужденный цикл периода 2, содержащий нулевое состояние х = [000]T и состояние х = B = [lll]T .
Анализ информации представленный соотношением (49) показывает, что матрица A ЛДДС принадлежит показателю / = 3. Как следствие, при U(к) = 0 структура пространства ЛДДС представлена четырьмя подмножествами. Первое подмножество образовано нулевым неподвижным состоянием. Второе и третье подмножества представлены неустойчивыми неподвижными циклами периода T = / = 3 . Четвертое
подмножество, представленное неподвижным состоянием х = [lll]T , которое является собственным вектором матрицы A. Пара матриц (49), (50) является не полностью управляемой, т.к. B-собственный вектор A. Как следствие, при входной последовательности в виде унитарного кода в поведении ЛДДС обнаруживается неустойчивый вынужденный цикл периода Т = 2 на состояниях х = [000]T и х = [lll]T .
В заключении необходимо отметить, что полученная на основе анализа свойств матриц A и B в рассматриваемых примерах структура неподвижных состояний и неустойчивых циклов также обнаруживается таблично-графическим способом с использованием таблиц и графов переходов ЛДДС [6].
Литература
1. Гилл А. Линейные последовательностью машины. М.: Наука, l974.
2. Фараджев Р. Г. Линейные последовательностью машины. М.: Сов. радио, l975.
3. Бохман Д., Постхофф Х. Двоичные динамические системы. М.: Энергоатомиздат, l986.
4. Гантмахер Ф. Д. Теория матриц. М.: Наука, l988.
5. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. / Пер. с англ.М.: Мир, l976.
6. Алгебраические методы в теории устройств дискретной автоматики и телемеханики // Труды лаборатории телемеханики СПб ГИТМО (ТУ) / под ред. А. В. Ушакова. СПб: СПбГИТМО (ТУ), 200l.
