CC BY
16
Джанизоков У.А. cmарший преподаватель Джизакский политехнический институт
Гадаев Р.Р. cmарший преподаватель Джизакский политехнический институт
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
Аннотация. В данной статье рассматриваются нестандартные методы, такие как решение уравнений и неравенств, которые не могут быть решены стандартными методами или отличаются неудобством стандартного решения, с использованием некоторых свойств, возникающих из-за монотонности функции.
Ключевые слова: переменная, уравнение, решение, неравенство, функция, график, система координат, значения.
Dzhonizakov U.A. senior teacher Jizzakh Polytechnic Institute Gadayev R.R. senior teacher Jizzakh Polytechnic Institute
USING PROPERTIES OF FUNCTIONS IN SOLVING NON-STANDARD
PROBLEMS
Abstract: In this article, non-standard methods, such as solving equations and inequalities that cannot be solved using standard methods or are distinguished by the inconvenience of a standard solution, using some properties arising from the monotonicity of the function, are considered.
Key words: variable, equation, solution, inequality, function, graph, coordinate system, values.
Любое уравнение или неравенство f (x) = g (x) (f (x) > g (x), f (x) < g (x)) в результате определенных подстановок формы или удачных подстановок неизвестного не может быть приведено к уравнению или неравенству произвольной стандартной формы с помощью определенного алгоритма решения. В таких случаях иногда полезно использовать некоторые свойства функций, такие как монотонность, периодичность, ограниченность и т. д.
I. Использование монотонности функции.
Пусть функция у = I(х) определена на множестве X. Известно, что
если для Ух, х2 е X выполняется неравенство I(х1) < /(х2) при х1 < х2, то функция называется возрастающей функцией на множестве. Если неравенство I(х1) > I(х2) выполняется для Ух!, х2 е X при х1 < х2, то функция называется убывающей функцией на множестве X.
Например, функция, график которой представлен на рис. 1, на интервале (х; х2) убывает, а на интервале [а; х) и (х2; Ь] возрастает. Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из интервалов [а; х) и (х2; Ь], но не на объединении интервалов. Все такие функции обобщаются под названием монотонной функции. В этом случае возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными функциями. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.
Заметим, что если функция /(х) монотонна на отрезке X, то уравнение Дх)=сот1 не может иметь на этом отрезке кратных корней, это уравнение имеет только один корень.
Действительно, I (х1) = I (х2) = 0, если х1 < х2 — корень этого уравнения в интервале X, что противоречит условию монотонности функции.
Перечислим свойства монотонных функций (в предположении, что все функции определены на отрезке X).
-Сумма нескольких возрастающих функций есть возрастающая функция.
-Произведение неотрицательных возрастающих функций является возрастающей функцией.
-Если функция I(х) возрастает, то функции с ■ I(х) (с>0) и I(х)+с также возрастают, а функция с ■ I(х) (с < 0) убывает. Здесь с- некоторая константа.
-Если функция I(х) возрастает и сохраняет свой знак, то функция —1— убывает.
I ( х)^
Сложная функция g (I (х)) возрастающих функций I (х) и g (х) также является возрастающей.
Аналогичные утверждения можно сделать и для убывающей функции.
Теперь рассмотрим вопросы, связанные с применением свойств монотонности функции.
Пример 1. Решить уравнение. х ■ 2х + 2 х+3 = 64
Решение: Очевидно, что при x < 0, х • 2х + 2х+3 < 0 уравнение не имеет
решения. В интервале x > 0 каждая из функций у = 2х +2х+3 и у = x является непрерывной, положительной и строго возрастающей функцией. По свойству монотонности функций функция у = x • 2х +2 х+3 как произведение этих функций также непрерывно и строго возрастает. Итак, функция у = x • 2х +2х+3 принимает каждое свое значение в определенной точке интервала x > 0. Теперь видно, что x = 1 удовлетворяет данному уравнению, и это решение единственно для монотонной функции.
Пример 2. Решить неравенство. 2х + 3* + 4х < 3.
Решение: Известно, что каждая из функций у = 2х, у = 3х и у = 4х непрерывно и строго возрастает по оси всех чисел. Итак, на основании свойства у = 2х + 3х + 4х функция, состоящая из их суммы, также непрерывно и строго возрастает по оси целых чисел. Видно, что при х = 0 у = 2х + 3х + 4х функция принимает значение у = 20 + 30 + 40 = 1+1 +1 = 3. Видно, что у = 2х + 3х + 4х > 3 при х > 0 и у = 2х + 3х + 4х < 3 при х < 0 из непрерывного и фиксированного роста у = 2х + 3х + 4х функции на оси целых чисел. Значит, решением данного неравенства является х<0 .
Пример 3. Решить уравнение. ^18 - х - 8 х - 2 = 2.
Решение: Множество возможных значений -х в данном уравнении состоит из сечения 2 < х < 18. Функции ух = ^18 - х и у2 =-Vх - 2 непрерывны и строго убывают в этой области обнаружения. Итак, на основании вышеприведенного свойства их сумма у = у + у2 = ^18 - х - 8х - 2 также является непрерывной и строго убывающей функцией. Поэтому эта функция принимает каждое свое значение только в одной точке. Видно, что при х = 2, у = >/18-х-8х-2 = ^18-2--2 = 2 и это единственное решение данного уравнения.
Пример 4. Решить уравнение. 3х + 4х = 7х.
Решение: Делим обе части уравнения на 7х:
3
4
= 1. Левая
часть уравнения представляет монотонно убывающую функцию в виде
суммы у =
: монотонно убывающих функций, а потому
V ' У V7.
принимает каждое свое значение один раз. Ясно, что данное уравнение
3
V
4 1 3 4
имеет решение х = 1. у = -1+ -1=- + - = 1 Таким образом, данное
V 7
7 У 7 7
уравнение х = 1 имеет единственное решение.
Вывод: Из способов решения приведенных выше уравнений и неравенств видно, что использование свойств функции, в частности свойства ее монотонности, позволяет легче и удобнее достигать решения
некоторых нестандартных задач. Поэтому изучение таких примеров и вопросов на дополнительных занятиях или в кружках науки играет важную роль в умственном и духовном развитии учащихся [1-8]. Изучение этих типов задач требует от студента(ов) знаний, умений и навыков, позволяющих им самостоятельно решать математические задачи. Кроме того, изученные методы помогут студентам в дальнейшем анализировать и изучать темы и статьи [1-15], связанные с уравнениями и неравенствами. Потому что в этих статьях требуется упростить уравнения и неравенства, определить удовлетворяющие им значения переменных и параметров.
Использованные источники:
1. Sh.A. Alimov, Yu.M.Kolyagin va boshqalar. Algebra va analiz asoslari. O'rta maktab-ning 10- 11- sinf uchun darslik. -T.: O'qituvchi, 2001.
2. В.С.Крамор. «Павторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа», Москва, «Просвещение», 1990
3. Abdukadirovich, S. U., & Abduganievich, D. U. (2022). ABOUT THE METHODS OF SOLVING PARAMETRIC EQUATIONS. Journal of Academic Research and Trends in Educational Sciences, 7(5), 1-7.
4. Soatov, U. A. (2022). Tenglamalarni yechishning grafik usuli haqida. Science and Education, 3(8), 7-12.
5. Abdukadirovich, S. U., & Abdug'oniyevich, D. U. B. (2022, November). ABOUT THE METHODS OF SOLVING GEOMETRIC PROBLEMS AT THE SCHOOL LEVEL. In E Conference Zone (pp. 49-56).
6. Abdukadirovich, S. U., & Abduganievich, D. U. (2021, June). ON SOME PROBLEMS OF EXTREME PROPERTIES OF THE FUNCTION AND THE APPLICATION OF THE DERIVATIVE AND METHODS FOR THEIR SOLUTION. In Archive of Conferences (pp. 113-117).
7. Соатов, У. А., & Джанизоков, У. А. (2022). Сложные события и расчет их вероятностей. Экономика и социум, (1-2 (92)), 222-227.
8. Djonuzaqov, S. U. (2019). Irratsional tenglama va tengsizliklarni yechish metodlarining tatbiqlari haqida. Scientific-methodical journal of Physics, Mathematics and Informatics, 4, 8-16.
9. Djonuzaqov, S. U. (2019). Tenglamalar sistemalarini tuzish va ularni yechishga oid ba'zi masalalar haqida. Scientific-methodical journal of" Physics, Mathematics and Informatics, (1.13-20).
10. Бердиёров, А. Ш., Джанизоков, У. А., & Арслонов, У. У. (2021). Построение периодических решений c помощью метода Простьх итераций. Экономика и социум, (12-1 (91)), 858-864.
11. Soatov, U. A. (2022). Logarfmik funksiya qatnashgan murakkab tenglamalarni yechish usullari haqida. Science and Education, 3(9), 16-22.
12. Abdukadirovich, S. U., & Abduganievich, D. U. (2023). Using Real World Problems in Developing Students' Mathematical Skills. Eurasian Journal of Physics, Chemistry and Mathematics, 14, 10-15.
13. Abdukadirovich, S. U., & Abdug'oniyevich, D. U. B. (2023). GEOMETRIK MASALALARNI YECHISHDA ASOSIY TUSHUNCHALARNI BIRGALIKDA QO'LLASH. Conferencea, 45-50.
14. Abduganievich, D. U., & Rajabovich, G. R. (2023). PARAMETRIC LINEAR EQUATIONS AND METHODS FOR THEIR SOLUTION. Open Access Repository, 4(2), 780-787.
15. Соатов У.А., & Джанизоков У.А. (2023). О НЕКОТОРЫХ СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ. Экономика и социум, (1-1 (104)), 411-415.
